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Full text of "Bulletin - Société mathématique de France"

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Physical & 
Applied ScL 
3eriai$ 



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BULLETIN 

DE LA 

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE 

DE FRANCE. 



PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIKR-VILLARS ET 0% 
58o!54 55, quai des (irands-Augustins. 



BULLETIN 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE 



DE FRANCE 



VAW LES SECRETAIRES. 



TOME QUARANTE-CINQUIÈME. — ANNÉE 1917. 



.^. 






\^\ 



PAKIS, 

AU SIÈ(JL DE LA SOCIÉTÉ, 



A LA son BON NIC. 



1917 



^S9 



L'I^: 



•A _ 



BULLETIN 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE. 



LE THÉORÈME DE BOREL 
DANS LA THÉORIE DES ENSEMBLES ABSTRAITS; 

Par m. Mauuice Fréchet. 



I/itroduclion. — Dans la théorie des ensembles linéaires, un 
théorème fondamental a été énoncé par M. Borel. .lai étendu dans 
ma Thèse ce théorème au cas d'ensembles abstraits appartenant à 
une classe 1res générale, en modifiant très légèrement le raison- 
nement de M. Borel. 

Une nouvelle modification permet d'étendre le théorème à une 
classe d'éléments encore plus générale. Et cette fois l'extension 
obtenue est, à un certain point de vue, définitive. En efTet, nous 
montrons d'abord que le lliéorèine de Borel convenablement 
énoncé est vrai dans toute classe d'éléments jouissant de la pro- 
priété que tout ensemble dérivéy est fermé. Puis, réciproquement^ 
que toute classe delenienls à laquelle le théorème de Borel 
s étend est nécessairement une classe où tout ensemble dérivé 
est fermé. 

Dans la seconde Partie de cette ÎNote, je généralise également 
ce qu'on peut appeler « le théorème de Borel- Lebesgue ». Mais la 
généralisation est moins étendue. Elle résulte au reste des théo- 
rèmes que j'ai démontrés ailleurs et d'une remarque de M.T.Hil- 
debrandt. Mais je l'expose ici directement au moyen de doux 
lemmes préliminaires seulement; ceux-ci sont évidents quand les 
ensembles sont linéaires, la démonstration du tbéoièmc lui-même 
ne souffrant aucune complicalion ([uand on passe du cas des 
ensembles linéaires au cas des ensembles abstraits. 

Pour éviter d'avoir à l'envoyer à ma Thèse, je rai)pelle explici- 

LXV. 1 



— 2 — 

Ipiiifiit ri-a[)ivs htiiles les clcliull idiis qui seronl iililiMCs |»;ii- la 
s 1 1 1 1 ( • : 

J'appelle classe (£j une classe d'éléments dan? laquelle la limite d'une 
suile d'éléments Ai, Ao, .... A/j, ... est définie, de façon quelconque 
d'ailleviis, pourvu que : 

i" Si Al, Ao, ... sont identiques, la suite soit nécessairement conver- 
gente et que sa limite soit Ai; 

2" Toute suite extraite d'une suite convergente soit aussi convergente 
et vers la même limite. 

Ln ensemble E est compact si, de toute infinité d'éléments appartenant 
à E, on peut extraire une suite convergente (dont la limite d'ailleurs pent 
ne pas appartenir à E). 

L'ensemble dérivé E' d'un ensemble E est l'ensemble de ses éléments 
limites. L'ensemble E ç.%\. fermé s'il comprend son dérivé E'. 

Un élément A est intérieur à un ensemble E dans une classe (£) s'il 
appartient à E et s'il n'est, d'aucune façon, limite d'une suite d'éléments de 
la classe n'appartenant pas à E. 

Nous appellerons classe (S) toute classe (£) dans laquelle tous les 
ensembles dérivés des ensembles d'éléments de celte classe sont fermés. 



\. — Théorème de Borki.. 

Lenime de Hedrich ('). — Si un élément A iiilérieur à un 
ensemble E d'éléments d'une classe [é) est limite d'une suite 
A,, Ao, ..., A„, ... d'éléments de cette classe, les éléments de 
cette suite sont eux-mêmes intérieurs à l'ensemble E à partir d'un 
certain rang. 

En effet, puisque A est intérieur à E, les éléments de la suite des 
A„ appartiennent à E à partir d'un certain rang jiq. Si le lemme 
n'était j)as exact, il y aurait une infinité d'éléments A^ de rangs 
supérieurs à «„ qui seraient limites d'éléments A^/', A^^-', ..., 
A',f', . . . n'appartenant pas à E, Mais la classe d'éléments consi- 
dérée étant une classe (rS), l'ensemble dérivé de l'ensemble 
des A|f' (/i = «0 + I , /io + 2, ... ; /> ^ 1 , 2, . . . ) est fermé ; par 
suite l'élément A serait limite d'une suite d'éléments A^f ; ceux-ci 
n*aj)parlenant pas à E, A ne serait pas intérieur à E contrairement 
à riiypothèse. 

(') Transactions oj' tke American Matk. Soc, vul. \U. njn. ]i. •j^'Ô-jçj^- 



Théorème de Borel. — Soit E un. ensemble compact et terme 
appartenant à une classe {&). Si ^ est une famille dénomhrable 
d'ensembles I„ telle que tout élément de E soit intérieur à Tun 
des I„, on peut toujours extraire de 4 une famille -T, formée 
d'un nombre fini des ensembles I„ et telle que tout élément de E 
est intérieur à l'un des ensembles I„ de la famille ^f, . 

En efl'et, si le théorème était inexact, il existerait au moins un 
élément A, de E. qui n'est pas intérieur à 1, . Mais A, est inl('rieur 

à l'un des ensembles To, I3 Soit K^ le premier à qui A, est 

intérieur [qx > i ). Il y a au moins un élément Ao de E qui n'est 
intérieur k aucun des ensembles I,, U, ..., L,- Mais Ao est inté- 
rieur à l'un au moins des ensembles I, soit T,._^, le premier 
(^2>7i)- E'- ^in^i de suite. On obtient ainsi une suite infinie 
d'éléments A,, A2, ... appartenant à E, tous distincts et tels que A,.j., 
ne soit intérieur à aucundes ensembles I,, L, Lt, . . ., T . De cette 
suite, on peut extraire une suite A„p A„^, . . . qui converge vers un 
élément A de E (puisque E est compact et fermé ). Or A est inté- 
rieur à un des ensembles I, soit U. Et comme il est limite de la 
suite A„ , A„^, ..., les éléments de cette suite sont, d'après le lemme 
de Hedrick, intérieurs à Ia à partir d'un certain rang. Or, puisque 

^1 <C ^2 <C ^i^ "^ pour /■ assez grand ^/r > />"; dès lors, pour r 

assez grand. A,.,., ne pourrait être intérieui- à 1^. On arrive ainsi à 
la contradiction prévue (' j. 

Champ d'application dit t/iéorème de Borel. — 11 c>l Inlé- 
ressant maintenant de constater que les deux propriéirs d'une 
classe d'éléments exprimées l'une par le théorème de liorel, 
l'autre par la proposition d'après laquelle tout ensemble 
dérii'é est fermé, so/it enlièiement é(jni\-aU'ntes. 

En d autres termes : 

Considérons une classe (^ '^ ) (C'est-à-dire une classe où la Imiitc 
est définie). Si pour tout enseml)le E compact et fermé d éléments 
de cette classe, et toute famille dénoudjrable -T d enseudde> !„ lidic 



(') l)aiis mu 1 licsL-, je ira\ai> iliiiiniil 1 1 le llieuieiile île liuiel que poiii dej 
classes (moins générales) où la liiiiilc e;-! dclinie en pailaat tie la notion de dis- 
lance ou de voisinage. 



que cliaque clciiienl de E soit inlérieur à rua au moins des en- 
sembles I„. on peut extraire de F une famille J) composée d'un 
nombre fini d'ensembles I„ et jouissant de la même propriété que §] 
alors la classe (J^) est en outre une classe (rS), c'est-à-dire que 
les ensembles dérivés j sont tous termes. 

En effet, supposons que le théorème de Borel soit vrai pour une 
certaine classe (4^)- Montrons que si F est un ensemble quelconque 
d'éléments de cette classe, son ensemble dérivé F' est fermé. 
C'est-à-dire que si une suite d'éléments de F' : A, . A2. . . ., A„, ... 
converge vers un élément A, A appartient à F'. Or A„ est la 
limite d'une suite d'éléments de F : A*/', A„-', . . ., A,f , — Appe- 
lons Iq renseinl)Ie formé par les éléments de la classe autres que 
les X)^' i^ji = 1 , 2 . . . , J3 = 1 , 2 . . .) el\,i l'ensemble formé par les 
éléments de la classe autres que A,, Ao. . . ., A^^,, A„^i, A„^2? — 
L'élément A„ appartient à I„ et n'est limite d'aucune suite extraite 
de la suite d'éléments n'appartenant pas à ]„ : A„ est intérieur 
à \„. II appartient à Iq, mais est limite des éléments A',/\ A^,-', ... 
qui nappartiennent pas à Iq : A/^ n'est pas intérieur à !„. L'élé- 
ment A appartient à lo ; mais si A n'appartenait pas à F', A ne serait 
limite d'aucune suite des éléments A",;' qui n'appartiennent pas 
à Ifl. Donc A serait intérieur à Iq. 

Par suite, on pourrait appliquer le théorème de Borel à l'en- 
semble E formé par A, A,, Ao, ... (ensemble qui est bien com- 
pact et fermé) et à la famille dénombrable é? formée par les en- 
sembles lo, 1(5 • • -5 '/o • • •• On pourrait donc remplacer ^ par une 
famille 3\ composée d'un nombre fini d'ensembles I tirés de S'. 

Mais, en dehors de ,^1, il resterait une infinité d'ensembles I : 
soient I„ , I„^, .... Et alors les éléments A„_, A„ , ... ne pourraient 
être intérieurs à aucun des ensembles 1 de ^j contrairement à la 
délinilion de .îf, . 

Réciproque du théorème de Borel. — La réciproque du théo- 
rème de Borel s'étend à un champ encore plus vaste que les 
classes (S). 

Soient E un ensemble appartenant à une classe (J^) et ^ une 
famille dénombrable dcnseiubles I„ telle que tout élément de E 
est intérieur à l'un des I,j. Si, quelle que soit la famille .T, on peut 
en extraire une famille Si composée d'un nombre fini d'ensembles T„ 



el jouissant de la iiièiue propriété, rensenihle E est nécessairement 
compact et fermé. 

En elTet. dans le cas contraire, on pourrait extraire de E une 
suite A|. Ao. . . . qui ne converge (ni elle-m(''me. ni aucune suite 
extraite d'elle-même) vers aucun élément de E. Alors appelons H 
l'ensemble des éléments de la classe autres que les éléments de cette 
suite, puis Ta l'ensemble formé par A/f et par les éléments de H. 
Tout élément de E est intérieur à l'un des Ta (à Ia si c'est Aa, à 
tous les Ia s'il appartient à H). Et si l'on forme une famille .T, au 
moyen d'un nombre fini d'ensembles Ia, elle ne pouin\a jouir de la 
même propriété que '$ puisqu'elle ne contiendra même pas tous 
les A A- 

II. — Thkorème de Borel-Lebesgue. 

Dans le cas des ensembles linéaires, le tbéorème de Borel a 
été généralisé par M. Lebesgue au cas où la famille -T n'est plus 
supposée dénombrable. 

Dans ma tbèse, j'avais étendu ce nouveau théorème au cas d'un 
ensemble abstrait appartenant à une classe {<)) normale. 11 n'est pas 
nécessaire de donner ici la définition d'une telle classe, car grâce 
à une remarque de M. T. llildebrandt ('), on peut en combinant 
divers théorèmes de ma tlièse laisser de côté la condition que la 
classe soit normale. Je vais montrer ici comment on peut dé- 
montrer directement ce résultat au moyen de deux lemmes pré- 
liminaires. — dont l'un est celui de Hedrick. 

Auparavant je rappelle ce qu'on appelle classe (\'>). 

Une classe d'éléments est une classe (V) lorsque la limite est définie au 
moyen du voisinage de la façon suivante : 

On suppose qu'à tout couple A, B d'éléments de la classe correspond 
un nombre (A, B)^o, appelé voisinage de A et de B, tel que : 

1° (A, B) n'est nul que si A, B sont identiques; 

■i" Si A, B, C sont trois éléments variables quelconques, le voisinage 
(A, B) est toujours infiniment petit quand (A, G) et (B, C) le sont simul- 
tanément. 

El la limite est ainsi définie : 

C) Ain. Journal of Malheinalics, a^xW \\)\'.\- 



— — 

3" Si (A, A„) tend vers zéro quand //. croîl indéfiniment, la suite 
Al, Ao, . . ., A„, . . . converge vers A et inversement. 

Les condilions i", 3" luonlreiiL qu'une classe {"Ç ) est une 
classe (-f^). C'est aussi une classe (S). Car si A est limite d'une 
suite d'éléments A, , A 2, .... A,/, .... de l'ensenible dérivé d'un 
ensemble E d'éléments d'une classe (\'^j, A„ sera la limite d'une 
suite d'éléments A^*', A-^^', ... de E. Et alors si l'on prend n puis 
jy assez grands, (A, A„) et (A„, A^/") seront infiniment petits, donc 
aussi (A, A,'' ), c'est-à-dire que A appartient aussi à E'. 

Ainsi pour une classe (\'-') le théorème de Borel et sa réciproque 
s'appliquent. Nous allons démontrer qu'il en est de même de la 
généralisation de Lehesgue. 



Deiixirme Lemme. — Etant, donné un ensemble compact E 
appartenant à une classe (\''), il est possible de former pour chaque 
valeur du nombre s >> o un nombre fini d'ensembles d'éléments 
de celte classe, soientK,, Ko, ..., K^, tels que le voisinage de deux 
éléments quelconques appartenant à l'un des ensembles K soit inté- 
rieur à £ et que tout élément de E soit intérieur à l'un des en- 
sembles K. 

Choisissons d'abord un nombre Tj > o, tel que les conditions 
(A,C)-<yi, (B, C)<;r, entrafnent (A, B) << £• Puis prenons, 
arbilrairement pour le moment, un nombre (ji <^i\. 

Soit A, un élément quelconque de E. S'il y a un élément de 
l'ensemble E dont le voisinage avec A, soit^w, appelons-le Ao. 
S'il j a un élément de E dont les voisinages avec A,, Ao soient 
tous deux>o), a])pelons-le A3. Et ainsi de suite. jNous formons 
une suite A,, Ao, ... d'éléments de E, tels que le voisinage de 
deux quelconques d'entre eux est =w. Mais cette suite est néces- 
sairement finie. Autrement, on pourrait, puisque E est compact, 
extraire de la suite des A,, une suite A„,, A„ , ... convergeant 
vers un certain élément A. Alors si r et s sont assez grands, 
(A, A„_), (A, A„,) sont infiniment petits, et par suite (A„ , A„ ) 
pourrait être intérieur à to contrairement à l'hypothèse. 

Au moyen de la suite fiiaie des A, soitA, , Ao, ..., Ay,nous allons 
former la suite finie d'ensembles K,, Ko, . . ., K^, en prenant pour 
K/, ( /> = 1 , 2, ..., (j) l'ensemble des éléments de la classe dont 



— 7 — 

le voisinage avec A^ est inférieur au nombre r, . Alors le voisi- 
nage de deux éléments de K,, est < î, d'après le choix même 
de T,. 

D'autre part, tont élément B de E est intérieur à l'un des K^. 
En effet, dire que la suite des A^ est finie, c'est dire qu'il n'existe 
aucun élément de E dont les voisinages avec A,, ..., A^ soient 
tous ^co. Il existe donc un des A, soit Ap tel que (B, A^,) <<oj. 
Alors B appartient àK/,. De plus, il lui est intérieur, si l'on a soin 
de prendre to assez petit, — à savoir tel que les conditions 
(M, X) < to, (N, P) < (o entraînent (M, ?)<-/-. — . Car, dans 
le cas contraire, B serait limite d'éléments C,. Co. ..., n'apparte- 
nant pas à Kp. jMais, pour ;• assez grand (B, C, ) serait — comme 
(Ay,, B) — intérieur à o^; et par suite (A,,, Cr) serait inférieur à r, 
contrairement à la définition de Kp. 

Dans le cas des ensembles linéaires, le théorème précédent est 
évident. Tout ensemble linéaire compact étant borné, il suffit de 
prendre pour les Kp des intervalles de longueur <^ s. 

Théorème de Borel-Lebesgae. — SoitE un ensemble compact 
et fermé d'éléments d'une classe (x'-»). Soit .? une famille d'en- 
sembles l d'éléments de cette classe, famille telle (pie tout éléuient 
de E est inti'-iieur à l'un des ensembles I. Alors on peut extraire 
de ^ une famille -f , jouissant de la même propriété et constituée 
seulement par un nombre fini d'ensembles 1. 

En effet, formons les ensembles K^ du lemme précédent. Si le 
théorème actuel n'était pas exact, il ne le serait pas pour chacune 

des parties de E contenues dans K,, Ko, •••, K^. Pour £ = -, appe- 
lons T^ un des ensembles K,, . . ., K^ dont les éléments apparte- 
nant à E ne sont pas intérieurs à un nombre fini d'ensembles I. 

Soit A^ l'un des éléments de E appartenant à T,,. Puisque E 
est compact et fermé, on peut extraire de la suite A,, Aj, . . . une 
suite A„ , A„ , ... (lui converge vers un élément A de E. Par 
hypothèse, A est intérieur à un certain P ties ensembles l. Si l'on 
déuKjiiIre que pour une valeur assez gi\inde de /, T., a tous ses élé- 
ments intérieurs à I'. contrairement à la définition des Ty,, on sera 
arriv('' à la contradiction annoncée. Or, dans le cas contraire, il y 
aiirail nue inliiiil('- de \alcui-< de/: /|. /o //. ... telles (jiie tians 



- 8 - 
T.,_ par exemple il y ail un éh-iiieul C, non iiilcneur à I'. Mais 
/A, A \ lend vers zi'-ro, ( A , C^ ) esl par livpotlièse inIV-rieur 
à — Done (A, (i, ) tend aussi vers zi'-i-o. Va alors A c-laiil inh'iiciir 

P'r _ ■ 

à 1'; d'après le premier lemme. la siiiU; (^, qui e()U\eri;e vers A 
aurait ses termes intérieurs à A à partir diui eerlain ran<; coulrai- 
rement à riiypnlhèse. 

Remarque. — Il serait intéressant de déterminer — eomme 
nous l'avons fait pour le théorème de Borel — quelle est la classe 
la plus f^énérale où l'on peut énoncer le lliéorème de Jiorel- 
Lebesgue. Une telle classe est au moins une classe (^), mais elle 
n'est pas nécessairement une classe (\'>), comme on en peut facile- 
ment fournir des exemples. 



SUR LA DÉTERMINATION DES SURFACES PAR UNE RELATION 
ENTRE DES SEGMENTS DE NORMALES; 

Pau m. Emile Turrière. 



La détermination de courbes planes (G) au moyen d'une relation 
imposée entre les segments de noi^male MPel MQ limités au point 
d'incidence M et aux traces respectives P et Q sur deux axes 
coordonnés rectangulaires a été ellectuée dans quelques cas parti- 
culiers : 

MP — MQ := o : cercle de centre O ; 

MP — MQ = const. : lijpocycloïde à quatre rebroussements ; 
MP ; MQ = const. : coniques rapportées à leurs axes ('); 
MP X MQ = const. : courbes transcendantes panalgébriques de 
Collignon (- ). 



(') M. GiNo LoRiA appelle ainsi les courbes Iransceiulanles spéciales qui satis- 
font à une équation didÏTenticlle du premier ordre, algébrique en a:,y ety' . 

(^) Kd. CoLi.UiNON, Problèmes sur les normales aux courbes planes {Nouvelles 
Annales de Matliémati</ues, !\' série, l. I, i<joi, p. 4*^i-âo8). — M. d'Ocagne, Au 



— 9 — 

D'aulres cas particuliers peuvent vraisemblablement avoir été 
considérés; par exemple, le cas de la courbe transcendante et 
panal<;ébrique pour laquelle le conjugué harmonique sur la nor- 
male du point courant, par rapport à deux axes rectangulaires, 
décrit une courbe parallèle, courbe qui s'obtient par la relation 

MF -^ÂTq^^ '""''•' 

doit avoir été signalé ('); de même pour les courbes définies par 
les relations simples 

MP'± IvIq^ = const. 

Au sujet de ce problème qui, de prime abord, ne semble offrir 
aucun intérêt spécial, j'ai pourtant obtenu récemment (2) un 
résultat assez curieux, dont je rappellerai l'énoncé : 

La déteviniiuition des courbes planes, pour lesquelles les seg- 
ments de normales respectivement limités à deux axes rectan- 
gulaires doivent satisfaire à une relation donnée, est équiva- 
lente à la quadrature de la courbe figurative précisément 
représentée par la relation imposée. 

Je me propose d'établir une [)roposition analogue concernant les 
normales aux surfaces. 

L'espace étant rap[)orté à un système d'axes rectmgulaires 
{Ox, O}', O^), la normale à une surface généi-ale (S), en un 
point quelconque jM de cette surface, perce les plans coor- 



sujet des courbes de M. Collignon {Nouvelles Annales de Mathématiques, 
4" série, t. II, lyo-». p. i3--i38). — La construction du centre de couriiure des 
courbes de Colliyiion indi(|ULe par M. M. d"()cai;iie est d'ailleurs caractéristique de 
ces courbes. 

(') Ces courbes et dune manière i;én('rale toutes les courbes (C) pour les- 
quelles MP el MQ sont liés involulivement ont d'ailleurs des relations simples 
avec les courbes de Collignon (par dilatation). 

(^) Ce travail doit paraître prochainement au Periodico di Matematica de 
M. G. Lazzeri. D'autre part, M. G. Teixeira publiera incessamment dans les 
Annaes scientificos da Acadcniia Polytcchnica do Porto un evtrail de lettre 
relatif à celte nn-ine proposition el à l'une de ses applications possibles à des 
l'aTuilIfs (II- couilu-s al:;(''iiricij-intersrendanles. 



- 10 — 

donnés O)':;, Ozx et Oj:"}' eu Ir.jis point> fjtii sorant re.^pecli- 
venienl désignés par X, ^ el /.. 

La surface (S) est représentée par l'équation 

(i) Pi^-^p-2r-^p^.^ = -^: 

de son plan tangent en M : /*,, y>j, ps sont les Clt^illu^ direfteurs 
de la normale MXYZ. Les segments MX = X, M\ = \ , MZ ^Z 
de cette normale sont algébriquement définis par les rclalions 

(a) X = X/>,, y = \pi, z = y.p,, 

dans lesquelles (x, y, z) sont les coordonnées cartésiennes du 
point d'incidence M de cette normale. L'équation du plan 
tangent à (S) en AI se transforme alors en l'égalité 

(3) X/jf-+-\>|-f-Z/>2 = to; 

la relation 

( 4 ) Pi dx -+- p-i dy ■+• />3 dz = o, 

exprimant que tout déplacement infinitésimal du point (M) sur la 
surface (S) est normal à la normale (/^, , />2, yOs) se transforme 
d'autre part en la relation 

\ dpi -\- Y dp\ -^ Z dp\ = — •> [p'I d\ -+- pi d\ -.- pi r/Z], 

cjui permet de réduire 1 expression 

dm = \ dp\ -\- Y dpi -^ Z dpi -^ p-^ d\ -^ p\ d\ -\- pi dZ 

de la dKTérentielle de la distance to de l'origine O au plan tangent 
à la surface (S) aux seuls termes : 

(5) dm = — p] d\ — p': d\ — p\ dZ. 

Soient alors u et r deux paramètres quelconques de repré- 
sentation de la surface (5]) représentative de la relation im- 
posée /(X, \, Z)=::o entre les segments MX = X, ^\\ =^ , 
MZ =: Z de la normale à (S). En d'autres termes, je suppose que 
dorénavant X, A et Z sont des fonctions connues de deux 

variables // et v admettant les dérivées ^. — -> •••• Moyennant 

Ou ov 



— 11 — 

ces notations, on se trouve en présence d'un système de relations 



(6) 



Pi -^Pi -+-P5 =i> 



oX 
Ou 
oY 



■■ôi^p''-^WcP'^-^:n-cP'^=-7rc- 



dX ,_ 



dZ 



^0 + ^/^3--—; 



ce sont quatre équations linéaires enp\,p'l^ p^. L'élimination de 
ces trois derniers carrés des cosinus directeurs de la normale donne, 
par conséquent, une condition 



(7) 



dm 
'dû 


dX 
Vu 


d\ 

7ÏÎ 


aZ 
lu 




dm 


dX 


d\ 


dZ 




dv 


dv 


dv 


dv 


— 


— m 


X 


Y 


Z 




— I 


I 


I 


1 





o, 



qui n'est autre qu'une équation linéaire aux dérivées partielles du 
premier ordre définissant la fonction inconnue rrr des deux variables 
(t/, r). A une intégrale quelconque m de cette équation linéaire 
aux dérivées partielles du premier ordre correspondra un système 
linéaire i^ésoluble de quatre équations en />j, p'^,. p'^. l^a surtace 
clierchée (S) sera dès lors parfaitement déterminée par ses élé- 
ments tangentiels. Il résulte des formules (a), 

^ = ^P\, y = ^Pi^ - = Z/»3, 

que la même surface (S) sera aussi très simplement définie au 
point de vue ponctuel en fonction des paramètres u et v. 

La (lètenninnlion des surfaces (S) définies pai- une idalion 
donnée entre les segments MX, M\ et MZ de normale est donc 
équi\alente à Vintégration de Véquation linéaire aux déri^-ées 
partielles du premier ordre (7). 

Cette é(piatlon (~) se présente sous une forme assez remar- 
quable. La surface (S), représentative de la relation donnée, ('tant 
représenlcf (I une uiaiiière génér.ile au nioveu (!<■ (Icux piraiiitii'c^ u 
et i\ les coordonnées \. ^ . / d'un pnial (juelcniKpif de (^-) sont 



— 12 — 

trois fond ions de ii et de r délinissanl une ccilaine équalion 
linéaire 



(8) 



Ou ov 



slnuiltanément satisfaite parX, \ et Z. Les coefficients A, B, C, D 
sont des fonctions de a, v définies à un facteur arbitraire près par 
les trois équations du premier degré 



(9) 



ou ôv 

au av 



Ou av 



GZ +D = o. 



Il résulte alors de la structure même du déterminant, ])remier 
membre de l'équation (y), que celle-ci n'est autre que l'équation 



(lO) 



dm dm 

A h rs — —Cl 

(lu âv 



Aucune bvpotbèse n"a été juseju'à pré>eat faite i^elativement au 
cboix du système de courbes (a, v) de référence sur la surface 
représentative de la relation imposée. 11 est possible de choisir 
convenablement l'un des systèmes de courbes de référence de 
manière à annuler l'un des coefficients A ou B de l'équation (8). 

Soit, en eiret, 01 l'axe ternaire X= V =Z de symétrie du 
trièdre des coordonnées. Je prendrai pour système v = const. les 
sections (') de la surface représentative par les plans pivotant 
autour de cet axe ternaire OI. 11 résulte de ce choix des courbes u 
(les courbes m = const. restant quelconques d'ailleurs) que la 

relation 

dX dY ÔZ 

du Ou ou 

X Y Y 



(') I^c cas où la surface représentative est un plan passant par l'axe ternaire 
fait exception. Mais alors la relation imposée est liomogène et, d'après le résultat 
énoncé à la fin de cet article, il suffit de prendre pour ra une fonction lioirio- 
gène de degré — i de (X, Y. Y). 



— 13 - 
est identiquement satisfaite; B est donc nul et l'équation (8) est 
réduite à une équation de la forme 

(11) — +Me + N=o. 

ou 

L'équation (lo) devient donc 

0175 

(12) Mtîî — N = o-, 

Ou 

cette éfjuation (12) doit être traitée comme une équation différen- 
tielle linéaire du premier ordre entre la fonction m et la variable u, 
la constante d'intégration étant une fonction arbitraire de v. 

Dès maintenant le problème est donc ramené à deux quadra- 
tures au plus. Mais le fait que (12) admet pour intégrales particu- 
lières X, Y et Z entraine des simplifications importantes et 
notamment la suppression d'une des quadratures. Les deux re- 
lations 

^ + M X + \ = o, 
au 

Ç- -+-MY-+-N =0, 
ou 

résolues en M et ÎN donnent 

du du du 

l'équation sans second membre 


.^ M 6 = o 

du 

admet donc pour intégrale particulière ^ y" ^ en résulte que 

l'intégrale générale de l'équation (12) est 

(.3) ^= -^ ^^ly '"' , 

V étant une fonction arbitniire de r. D'où la proposition suivante 
qui généralise le théorème que j'avais précédemment obtenu pour 
les courbes planes : 



— li -~ 

La ch'terminalion des sidjares définies par une r/dation 
donnée cnlre les segn}enls \f\, \\\ , MZ de nornirile, /imités 
d'ii/ie jxirt (tu jx^inl d i nriden<-e de la noimale et daiitre part 
aifx traces respeclives de cetlr ilroile sur les plans eoordonnés^ 
ne dépend que d' une (piadralure au plus. 

(]clle (jiiadralurc a nue iulcr|)i(''tali()ii roiiianjnahle ; C'est 
iinlégrale de quadral ure de lasectio/i, par un plan quelconque 
passant par l'axe ti'inaire de symétrie du trièdre coordonné , 
de la surfaci' qui représente précisément la relation imposée 
entre les segments de normale de la surface cherchée. 

Parmi les cas particuliers inlércssauls, ilya lieu de uieationner 
d'une manière toute spéciale celui dune relation l)omoi;ène entre 
(X, \ , Z) : c'est une généralisation de la propriété des normales 
des coniques rap[)orlées à leurs axes. 

La surface représentative étant un C(uie, l'intégrale d'aire consi- 
dérée est alors nulle et ro se réduit au quotient d'une fonction 
arbitraire de c par X — \ ; tts est donc une fonction homogène de 
degré — i des seguients X, A , Z. 

On est d'ailleurs conduit à examiner ce cas particulier à l'occa- 
sion de l'étude directe de l'écpiation (lo). D est nul et par suite 
l'équation en rn est celle qui admet pour solution une fonction 
linéaire à coefficients constants des inverses de X, de \ et de Z. 

Si l'on pose alors 

nT=/(X,Y,Z), 



on a 



du àv kJ 0\ \ au Oi' ) 



=-'^[^l-^l-4^-4 



Dans le cas d'une relation homogène entre les segments de 
normale.) la Jonction west la Jonction homogène de degré — i la 
plus générale des variables X, \, Z. 



- il 



SUR LE MOUVEMENT D'UNE BILLE DE BILLARD ; 
Vm{ m. B. Globa-Mikhaïlenko. 

1. (]elle question a été déjà traitée par M. Appell (') (|ui a mis 
en évidence les éléments géoiiiélriques du problème. Il désigne 
par y la vitesse de la molécule de la Ijille située à Tiiistant / au 
point de coiilacl A avec le la|)is, par a l'angle que fait celte \ilcsse 
avec l'axe fixe Oç situé dans le plan du t^pis, |)ar il la composante 
horizonlale de la rotalion inslanlanée de la splière dans son mou- 
vement autour de son centre de gravité G, par p l'angle de ii 
avec 0;, enfin par y et o les coefficients de frottement et de rou- 
lement. Avec ces notations, et en prenant pour axes fixes les 
axes O^, Or, situés dans le plan du tapis et l'axe O^ vertical 
ascendant, M. Appell pose 



fY = x, 



/^ .- 



/ 



A2 






î — a=.0: 

0- 

, tr f^ 

1,1 » - ^ 



(R étant le ra\on de la sphère et k- son coefficient d'inertie) et 
ol)tient les équations suivantes : 

dx 
~dt 
dy. 



(•) 



y 



dt 

dt 



= — a + 6 sin' 
= ~ 6 cos6, 
= b sinO — c, 
= 6'cos6, 



dt 

dont l'intégration est ramenée à l'intégration d'une seule équation 
de la forme suivante 

qui ne peut pas être intégrée dans le cas générai. 



(') Journal de Mathënuitiques pures et appliquées, l. \'I1. njii. 



- 1() — 

2. Nous nous proposons ici de chercher les solutions appro- 
chées du problème, en supposant le coefficient de frottement de 
roulement o très petit. Nous montrerons d'abord que les intégrales 
des équations (i) sont développables en séries suivant les puis- 
sances croissantes de o et nous formerons les équations qui per- 
mettront de calculer autant de coefficients de ces séries que l'on 
voudra. 

Assurons-nous d'abord que les intégrales des équations (i) sont 
développables suivant les puissances de ô. Po.ur cela écrivons ces 
équations comme il suit : 

~ = — a + S6'sin[eo+(e — 9o)], 
r/a _ Q6'cos[eo-<-(6 — 60)] ^ 

(i^ I do. 

^ ' ' -^ = i'sin[0o + («-0o)]-ôc', 

d^ _ //cos[6o+(e — e»)] 
dt ~ i2o+(£> — t>o) ' 



ou 1 on pose 






et où l'on désigne par Xq, ao, [^,,5^-0)^0 les valeurs pour 0=0 des 
nombres x^ a, [îi, 12, 9. 

11 suffit maintenant d'appliquer au système (2) le théorème 
général que M. Picard donne dans son Trailé cC Analyse (t. 111, 
p. 162) et dont voici l'énoncé : 

« Soit le système d'équations 

(S) -^ =\i{XiX.î. ..x,t, t, •^) (f = I, -2, .. .. «)• 

On suppose que, pour ij. := o, on ait l'intégrale 

continue de ^ = o à l =z /q. De plus les X/ sont supposées déve- 
loppables en séries oidonnées suivant les puissanc-es de a et 
(xi — 'fii) pour toute valeur de l, entre o et /o? 'es coefficients de 



- 17 - 

ces développements étanl, bien entendu, des fonctions continues 
de t. 

» Dans ces conditions les intégrales de (S) prenant respective- 
ment pour < =: o les valeurs 

ç>,(oj -H a??, o.j,{o)-\-x\, ..., cp„(o)-+-.rO 

seront continues de o à t^ el développables suivant les puissances 
de a;',', .ri,', .. ., x^^ et y. pourvu que ces grandeurs aient des mo- 
dules suffisamment petits. » 

Or, le système (2) vérifie complètement les conditions de cet 
énoncé. De plus, il est facile de voir que les quantités x'\^ 
ar!î, ..., x'^i, sont itlentiquement nulles dans notre problème, car, 
quel que soit 0, les conditions initiales restent toujours les mêmes. 
Donc V, a, |j, iî sont développables en séries suivant les puissances 
croissantes de o, |)ourvn que cette dernière quantité soit suffisam- 
ment petite ; et par suite les coordonnées du centre de la spbère et 
les composantes de la rotation instantanée autour de son centre 
sont développables en séries de même nature. 

3. Cela posé, établissons les équations de mouvement de la 
spbère sous leur forme classique. 

Menons par le centre G de la spbère les axes Gxyz parallèles 
aux axes fixes 0;rj(!^. Soient c, v], ^ les coordonnées du centre de 
la spbère, /;, </, r les composantes de la rotation instantanée sur 
les axes mobiles Oxyz^ m la masse de la sphère, mk- son moment 
d'inertie par rapport au diamètre. 

La liaison s'exprime par la condition 

;^ = R = const. 
Les forces qui agissent sont : 

a. La pesanteur (o, o, — tng) appliquée au centre de la spbère; 

h. \a\ réaction inconnue du plan (/^^X, /«Y, N) appliquée au 
point de contact de la spbère avec le plan ;r, ; 

c. Le couple du frottement de roulement, dont le moment est 
égal à oJN et qui est dirigé dans le sens inverse de la projection 
horizontale co de la rotation inslanlanéc de la spbère. 

Avec ces notations les cosinus directeurs du niomenl de frolle- 

XLV. 2 



— IS — 

inenl (l(; roiilcnioiil sont 

et les momenls de celle force par rapport aux axes Qixyz sont 

Maintenant nous pouvons écrire les cfjualions du mouvement 
d'où 



Ensuite 



/jNo 



m/^^p'= Rm Y 



' mk^ g = — K /« X — : 



nik- r' = o, 

en supposant le coefficient de frottement de pivotement nul. La 
dernière équation donne ainsi 

/• = /'o = const. 

A ces équations nous devons ajotiter encore la condition que la 
réaction horizontale du plan est égale ày'N, ce qui nous donne 

(5) X2+Y2=/2^2. 

Et enfin que cette réaction est dirigée en sens inverse de la \itesse 
du point de contact de la sphère avec le plan horizontal. Or, les 
projections de celte vitesse étant 

« = ç' — ^R, P=7)'-f-^R, o, 

la condition cherchée est 

(6) (ï'_,yR)Y = (V + />R)X. 

Ces six équations : (3), (4), (5) et ((i) nous déterminent com- 
plètement les six valeurs inconnues 

(7) ;. '1, p, q-, ^, V. 



— 19 — 

■4. Pour ô = o ces six fonctions prennent des valeurs bien 
déterminées, que nous appellerons 

?0; ''lO) PO) 5'0) ^0) Yq 

et qui sont les fonctions connues du temps, prenant pour t :^ o 
les valeurs initiales constantes 

ta ^n nO ^n vo v** 
soj loi A'oi 70) ^oi ' 0* 

Nous savons que, pour o suffisamment petit, les fonctions (-) 
peuvent être représentées par des séries entières en o de la forme 
suivante 



(8) 



P = Pn-^ /?lO -1-/72 o2-t-. 

X = Xo-f- Xj B -(- XoO^-h 
Y = Yo -+- Yi -^ Y2 o2 -4- 



4- ^«S« + 

+ Y„ ô" -i- 



où ç,, Yj/, />/, ^y,, X,, \i sont des fonctions inconnues du temps, 
s'annulant pour ^ ^ o, car évidemment les conditions initiales 
sont indépendantes de 0. 

Portons maintenant ces expressions dans les équations (3), (4), 
(5) et (6) et, en identifiant les coefficients de 0, nous obtiendrons 
les équations qui nous permettront de calculer autant de termes 
des séries (8) que nous voudrons. 

Nous avons d'abord 



(10) 

(II) 
(12) 



\\l+l\o+ i;o2 + ...= X,+ X,o4-X2o2 + ..., 



•»)(,-+- rj,0 4- Tj 2 o2 + . 



Y„-4- Yiû -t- YaO^H-, 



t /f" (/^o -+- /^ '1 S + />'2 02 +...)= R( Yo+ Y,Ô-h \^Z'- + ...) — g'. 



^^(/j'o^ l'\ ° + 72 2--i-...) = — K( \o-l- \\0 -r X2O- 



^«.2; 



( Xn H- X, -+- X. 32 -4- . . . )2 + ( Yo + V, 8 + Yj 0-2 + . . . )2 = y2 ^2 ; 
— RC70-H gro-h q> c--h. . .)J (Yo-4- YiO -H Yî02-i-. . .) 



['■■^j'o 



-r,,Q- 



•••) 



-+- R(/>o-f-/)iô +/J.02-H. ..)](Xo-t-X,o + Xoo2 + . . .). 



— 20 — 
Les deux é(|Uiilioiis (()) nous doiinciit iinmédialciiicnl 

(i3 ) "z', = X/, -r)/ = Y,- ( t = I, 2, 3, . . . ). 

o. Mais, avant d'aller plus loin, il nous faut développer 



= s/p'-^ ff- 



suivant les puissances de o. 
On a 



l i,k=l 

1 /, /. = ! 

el nous pouvons écrire 

w' = >'-+-'7'= wf, + /(o), 
où Ton pose 

< = pl^ql^ 

1 /, /, = 1 

ou en développant 

f(o)= ■i(poPi + qoqi)o^ [■i'ipoPi-r-qoq-i) -^/'i + ^iJS- 

-^['^iPoPs-i- qoqz) -h i(piPi^qiqî)]o^-+---- 
-+- les termes d'ordre supérieur en o. 

Comme f{o) est petit lorsque o est petit, et s'annule avec ô, 
nous pouvons écrire 

1 I I I 

w = [wiî+/(o>]-= w„+-o)^i/(ô)— -ojôM/(o)]'+ 77^0^/(0 )]3-^.... 
2 o ni 

Et en remplaça nty(o) par sa valeur 

+ \-^['^ipoP2+qoqi) -^p\ -^qU ^(/'o/'i ^ q^qi)- ^^ 

~'PoPi-^ qoq\)[-^( PoPi-^qoq-2) -^(Pi-^ q'ï)] 



^ -- <PoPi-^qoqiy o3. 



les termes supérieurs en o. 



Ou encore 
en posant 



- 21 — 

OJ r= (0(1 -1- OJ 1 -H 0)0 0- -f- 0J3 ' -f- . 



(■4) 



^2= -^[2(/>«/?2 + ^0^2) + (/>r -H ^î ;] ^ (popi+q^qi f, 



et ainsi de suite. 



G. Reprenons maintenant notre calcul. En |)ortant l'expression 
trouvée de to dans les équations (10), on a 



X ( coo -!- Wi 8 -I- 0J2 0- 
{k-iq'^ 4-^,0 +^2Ô2- 



)- R(Y„- V,.:^ Y.,o2 + ...,| 

) -i-^'î(^0-!- 9'!^^ + ^2 3- + - • .) = O. 



En idenlifiant les coefficients de 0' et en renijjlacant les w, par 
leurs valeurs, on trouve, après quelques transformations, les équa- 
tions suivantes : 



"•> "~ / 2 



(i5) 



P\ = 



Pt 



RYiWo — ^/?o RYi 



/.2a>„ 



/.^ /.-2 



/>o. 



I^Y, ^/'i^'^o — ^(/'o/^i + ^u7i ) 



(16) 



9o 

(Il 



RXo 

RX, 

/.2 A- 



^0, 



^^0 



RX, ^7i^'^o+ -^(/>oPi-^y(i<7i I 
A- A^d)?! 



Ces équations nous permettent, en connaissant les X/ et Y,, de 
calculer de proche en 'proche tous les coefficients de p et de q à 
l'aide d'une seule intégration. 



22 

Passons niaiiilenanl aux ôqiiatioiis (ii). L'idenlificalioM des 
coefficieuls nous donne ininiédiatenieal 

I X„X,+ V-„Y, = o, 
et gcnéialenient 

2(X/X/,-f-Y/Y/,) = o (/ + /.- = 1,2, 3, ...). 

Ces équations nous permettront de calculer tous les X/, en con- 
naissant les \i sans aucun signe d'intégration. Le problème se 
ramène donc au calcul des Y/. Les équations qui nous permettront 
de le faire seront données par les équations (12). L'identificalion 
des coefficients donne 

j (?o— R^o)Yo=(-^'o+ R/?o)Xo, 



et, en général, 

I.(uiY/,— ç,-X/,) = o (t-i-A- = o, 1,2, ...), 
où l'on pose 

U = IIq -\- Ui 8 -+- 11-20'^ -\- . . . , 

étant 

Ui = ï; — R f/i. c, = r^'i -+- Rp,. 

En dérivant la première des équations (18) nous avons, en 
tenant compte d'elle-même et en remplaçant çj,, rj'„, r/[^, />'„ par 
leurs valeurs tirées de (i3), (i5) et (16), 



X^^ X^ 

Vo Y„' 

d'où 

Xo 

— = consl. 

La réaction du plan conserve sa direction si = 0, de même 
que la vitesse du point de contact de la sphère. C'est le lésultat 
connu d'avance. 



— 23 — 

7. Faisons maintenant un choix d'axes qui nous permettra de 
simplifier notablement nos équations. Prenons pour l'axe O; l'axe 
parallèle à la vitesse initiale du point de contact de la sphère, et 
nous auron'ï 

j Uo = "u, v>}= o, 

I ^o = —fg, Yo=o. 



(«9) 



En portant ces valeurs dans les équations (i3 ), (i5) et (i(:)), on 
retrouve d'abord la solution classique où l'on néglige le coeffi- 
cient : 

(uo) 

' 'lO — ^(0 ^" 'ïU '• 



(•21) 



V P'i=P6 = const., g^= 7» -t- -jr ff^ = 7!!^ Tlf" ^' 

/ "0= io — ^uR = «0— ^/^^ *-o = o. 



Les équations (17) donnent ensuite 

Xi = o, 

/,-X3=Y,\%, 



En connaissant les valeurs des \ i (^i ■= i, 2, ..., /?), on trouvera, 
à l'aide de ces équations, la valeur de X^_,_,. 
Enfin les équations (iB) s'écrivent 

l (f'o-R^o)V, = (r/,+ R/>,)Xo. 

(23> (ï'^_R^„)V,4-(ï',-R,7,)V, = (Vo--R/7o)X,+ (r/,-(-R/>2)Xo, 



Eu dérivant la première de ces équations par rapport à /, nous 
avons, en remplaçant ^'^, Vu^'o' Pi P^^ leurs valeurs tirées de (i3), 

(i5)et(i6), 

(;o— t^f/o)ï 1 = T77- — 

D 'o ù I "o n tire 






— 24 - 

lu linaU'inciil 

En employant le même procédé avec la deiixit'me des éqiia- 
lions (a.'i), elle nous donne 



A- OJ L 



(/'i^o — /?n7i )-'*^o 



et ainsi de suite. On voit clairement que tous les ^ / peuvent être 
calculés de proche en [jroclie ])ar des quadratures. Les équa- 
tions (22) nous donneront les X< par le calcul ali;éljrique, les 
équations (i5) et (16) nous donneront /j/ et (ji ])ar une nouvelle 
quadrature, enfin les équations (i3) nous permettront de calculer^/ 
et r,/ par deux quadratures.. 

Le problème est donc ramené aux seules quadratures. 

8. Première approximation. — Lorsqu'on néglige le frotte- 
ment de roulement, on se trouve dans le cas classique et l'on 
obtient la solution donnée par les équations (20) et (21). Nous 
\oulons tenir compte de ce frottement de roulement, mais nous 
supposons que son coefficient est assez petit pour pou\oir né- 
gliger son carré et les puissances supérieures. iXous aurons ainsi 
pour la première approximation 

X = Xo-!-oXi, Y = Yo-i-oY,, 

En se reportant aux résultats précédents nous avons 
X, = o, 



Or 
en posant 



^. ^5y>^ r' dt 



>o= //'o-t- Ç'o = v/ô^r^-f-aèf/iU-^ w!j-, 






— 2o — 
L'intéi^ralion faite, on trouve 



■j "1! » n 5 «» 






A étant une constante essenliellement positive, ne dépendant que 
des conditions initiales du problème et donnée par la formule 



A=+i/(z^ + îi;) +pV 



Le calcul elfeclif de ;,, y,,? Pm Ci-, quoique laborieux, ne pré- 
sente aucune difficulté, mais, en revanche, les expressions obte- 
nues sont tellement compliquées que leur analyse directe ne donne 
pas d'indications sur l'influence du frottement de roulement sur le 
mouvement de la sphère. Tâchons de déterminer cette influence 
directement, sans calcul. 

Remarquons d'abord que, d'après (i3), ^'^ = o et comme Cj 

et ç', débutent par zéro, 

çi = o. 
Ensuite 

■n'î = Vi, 

et comme Tj, et r,'j débutent par zéro, elles sont du signe de \ , et 
si \f conserve son signe, r,j et fi, conservent le même signe et 
croissent en valeur absolue. 

Cherchons maintenant le signe de \ ,. La dérivée de la quantité 
qui est sous le signe de logarithme est du signe de rex[)ression 



(»;-6).A = 5A^(,^2.) 



qui est essentiellement positive. 

Par conséquent le logarithme, parlant de zéro, reste toujours 
positif et croît en valeur absolue. Donc \ , est du signe de p" et 
croît en valeur absolue. 

Pour la commodité du langage, choisissons pour origine des 
axes fixes le point de contact de la sphère avec le plan horizontal 
pour / = o. 

Ceci posé, et en remarquant que 

, .^' iO _ ^ _ R 7,0 



— 20 — 

nous pouvons dire que pour />Jj >> o, el en négligeant o, la trajec- 
toire tout entière est située du côté des y, négatifs et |)our /o|[ << o 
du côté des yj positifs. Mais comme, dans le premier cas, tj, est 
positif et, dans le deuxième négatif, nous pouvons affirmer que, 
dans lous les cas, le froltemetit de roulement lend à rapprocher la 
trajectoire de l'axe Oç. 

Par conséquent, si la vitesse initiale du centre de la sphère fait 
un angle aigu avec l'axe Oç (^(''^ o), le frottement de roulement 
redresse la trajectoire et, dans le cas contraire, (ç„''<;o), il la rend 
plus courhe. 



SUR L'ÉQUATION INDÉTERMINÉE a'" ^ b'" ^ C". EN NOMBRES 
ENTIERS DIFFÉRENTS DE ZÉRO, QUAND m EST FRACTION- 
NAIRE, ET SUR UNE ÉQUATION ANALOGUE PLUS GÉNÉRALE; 

Par m. Edmond Maillet. 

I. Nous nous occupons ici principalement de l'équation indé- 
terminée 

(i) a'>^+b"'=c"' 

en nomhres entiers (') tous ^ o, dans le cas où m= — est un 

nomhre rationnel >> o, n et p étant premiers entre eux, et j9 > i . 
Cette équation a déjà été envisagée (-); mais il ne semhle pas que 
des résultats un peu étendus aient été obtenus à son sujet pour 
7i > 2 ; un Mémoire annoncé par M. Dutordoir n'a jamais été 
publié à notre connaissance. Lorsque n est égal à i ou 2, ré(|ua- 
tion (1) admet les solutions évidentes connues 

a = a'i, b = 6^, c = c^, 
où cii , ùf , Ci sont les systèmes d'entiers ^ o en nombre infini 



(') Sauf indication contraire, cette expression et celle de nombre rationnel 
s'appliqueiont toujours à des nombres entiers ou rationnels ordinaires ou naturels. 

(■-) Voir, par exemple, Dutordoir, Annales de la Société' scieiUiJique de 
Bruxelles, t. XVII, 1890, p. 81 ; Cashmore, Fermais fast Iheorem, Londres, 1916. 



— 27 — 
satisfaisant à 
(I bis) a'i^b'l = c1. 

Le théorème que l'on peut considérer comme vraisemblable et 
que nous établirons, par exemple, pour m > i et dans d'autres 
cas, c'est que l'équation (i), ^i étant quelconque, équiv^aut à l'équa- 
tion (i bis), qui fait l'objet du dernier théorème de Fermât, pour 
chaque valeur de n, et présente, par suite, comme elle, de nom- 
breux cas certains d'impossibilité pour « >> 2. 

11 y a un théorème analogue pour l'équation indéterminée 
a"'i-\- b"'-=c"'3^ où les rrii^i =^ i, 2, 3) sont des nombres ration- 
nels >> o, a, ^, c étant des entiers premiers entre eux deux à deux : 
nous l'établissons, par exemple, quand un des m, est >- i. Enfin, 
il y en a un aussi pour l'équation analogue à (1) avec m rationnel 
négatif et égal à — m,, équation qui équivaut à l'équation (i) 
pour m = m,. 

II. Envisageons l'ensemble des entiers et des racines jd'*"""** d'en- 
tiers. L'ensemble ou corps formé à l'aide de ces nombres par 
addition, soustraction ou multiplication est composé de nombres 
entiers algébriques; en effet, les entiers ordinaires et leurs ra- 
cines p'^^^^ sont des entiers algébriques; de plus, la somme, la dif- 
férence, le produit de deux entiers algébriques sont des entiers 
algébriques (' ). 

Rappelons encore que, si a, [3, y sont des entiers algébriques 
tels que y divise a et [3, y divise aussi a + ^ et a — p. 

Pour déterminer les solutions de (1), on peut toujours sup- 
poser rt, Zy, c premiers entre eux deux à deux. 

Si, en eflet, les entiers ordinaires a el b par exemple sont divi- 
sibles par le nombre premier ordinaire A, on a 



a = la', b = lb', c''=lP 



Vf =V'o, 



où 8 est un entier algébrique ; À divise c, car qP est un entier ordi- 
naire. Le raisonnement est analogue quand on suppose (jue c et, 

(') DiRicHi.ET. Vorlesungen iïber Zalilentlieorie, i' édition, 1S79, p. \b\ et 
suiv. 



— 28 — 

j)ar exemple, a ont nu diviseur premier coiuiuuu )., : eelui-ci 
divise h. Si (Iduc i\) a une solution en entiers a, />, c ayant le 
plus grand eommun diviseur c/, soit a = a" d^ b = 1/ cl^ c =^ c'cl; 
rt", b'\ c" sont premiers entre eux deux à deux et solutions de (i); 
inversement toute s(diiiiou a", (j'\ c" de (i) en donne une solu- 
tion rt, b, c, (|uel (|ue >oil d. 

111. En\ isai;cons donc léijuation (i) avec a, b, c^o et pre- 
miers entre eux deux à deux. On a 

(a) c" = («'«-!- b"^)i>~ rt''4- i"-H C/,rt"'^*"-"'-f-. . .4- C"a'«*^«-"'*-r- 

Soieni /. un noudire premier (pu divine a^ mais non p. jj" la 
jtliiN haute puissance de A qui divise a\ on a 

(3) c"— a"— 6«= 0/,^;"'^"-"'-+-. . .: 

dans le deuxième membre, les termes non écrits sont tous divi- 
sibles par a-'", par suite par a-'"^; le premier terme Test (') 

n, 

par A'"'' et non jjar )/' avec n, entier >> /,/?. 

Donc c" — a" — b" est di\isible par)/'" et n(jn par). ''; il 
en résulte [note (') précédente, .>"] I,n =^ hp et. puiscpie n est 
premier à p, k = /. 'p (A' entier). 

Ainsi, l'exposant de la plus baute puissance de tout diviseur 
premier de a, lorsfpie ce diviseur est premier à y>, est multiple 
dejo; a est de la forme a ^a['a.,^ où «, est premier à p, tandis 
que les diviseurs premiers de «2 divisent tons p. On a, de même. 



(') Soient A, B, C, 6, 6, des entiers >o; S, £,. 0^ des entiers algébriques: 

9, 
1° Si A^ = B''.ô, b* divise A^ et réciproquement ; on le voit de suite en remar- 
(juant que oP est un entier ordinaire ; quand = 0,. B divise A. 

2° Si 6j= A*"'B''C, soit a*^ la plus haute puissance du nombre premier a, pre- 

1 

niier à B et C, qui divise A : la plus haute puissance de a'' qui divise 2, est a'''"'; 
on le voit de suite en considérant o'{. 

2 
3° Si A = //'"'.Oj, où Çj n'est pas divisible par V, on a 6« = /ip {/t entier). On 
le voit en envisageant o(!, qui est un entier premier à >.. 



— 29 — 

b =: h'1 0,,^ (111 les diviseurs premiers de />2 divisent p^ tandis 
que b, est premier k p. 
D'autre pari, d'après (i), 

(4) b"= (c'"—a'")i' = c"-r- (— ij/' [a" — Cj,c"'a"- '"-h. . .]; 

en raisonnant sur c et cette formule comme on la fait sur a et la 
formule (2), on voit que c = c^'co, où les diviseurs premiers dec2 
divisent p. tandis que Cf est premier à p. On obtient alors ce 
résultat : 

Théorème 1. — La tésolution de L'équation (i) équivaut 
à celle de l'équation 

( 5 ) a f a'I-^b '," b^ = c'^' c '/ , 

OÙ rt|, 6,, Ci, premiers deux à deux, sont premiers à p. tandis 
que a-2f ^o, c-,. premiers aussi deux (i deux, n'ont d'autres 
diviseurs premiers que ceux de p. 

I\ . Reprenons la formule (o), en désignant maintenant j>ar A 
un diviseur premier commun de p et de a, par suite de a^- 
Soient )v*i et À''^ les plus hautes puissances de \ qui divisent p et a. 

Nous avons l)esoin, pour la suite, de savoir déterminer la plus 
haPite puissance de A ({ui divise 

CX_ P- ^P 

' OLl ( p — a ) ! 1 

au moins dans des cas étendus. Soit 

a = A|)X''-+- A,X'-i-+-...-i- A,-, Ao>o, olAy<X (j = o, i, ..., i), 

le nombre a écrit dans le système de numération de base À. On 
sait ('), ou l'on voit lacilement. ([uc la |)lus haute puissance de À 
qui divise a! est )v'^<x, avec 

,^, a — (Ao-t- A,-+-...-i- A,) 
(o) ^a= ^^37j 

Soii /.// lii plus haute puissance de/. i|ui divise C* ; pntposnns- 



(') Encyclopédie des Sciences nialhématiques (.1. Molk). t. I, vol. 3, fasc. 1, 
p. 4. 



— .30 — 

nous (le Iroiixci-, dans la siiilc J\^ J\^ ..., des /« d'indices crois- 
sants, la suile S de ceux qui sont plus petits «pio les nombres 
analogues d'indice plus petit. 

Admettons que a soit divisible par A' et non par V+' 
(5 = o, I, 2, . . .). On a, 5, étant £5, 

pa-t-/. > r* 

W "" /' d' 
avec 

N = (/? — a). . .(/j — a - A'^'-l- i), D = (a -H i). . .(a -+- X''). 

ÏN et D sont chacun le produit de )/i nombres consécutifs; dans 
un pareil produit il y a un facteur (p^^ divisible par )/i et qui peut 
être divisible par une puissance de A d'exposant supérieur à .y,, 
). — 1 autres facteurs divisibles par )/i~' et non par Vi, ).- — À 
autres facteurs divisibles par,)/-"- et non par)/i~', . . .. Soit 

7 = ^, + (À — (5,-1) + (X2_X) (5, -2) -}-...= ^^J^- 

D. divisible par À*^ ne pourra l'être par À<^+' que si le facteur 
cp^=a4-)/i de D l'est par )/i+', ce qui exige s = i-, ; si donc 5>5(, 
ou si a -t- V, avec 5 = 5,, n'est pas divisible par )/+',]N étant divi- 
sible par A'^, on a 

Ja+y' = y a- 

Faisant successivement 5 =: o, 1 , 2, . . ., on voit (|ue les valeurs 
de fa, appartenant à la suile S font partie des valeurs 

gs = fv {s = 0, 1, 2, ...); 

car si le nombre v =r v, V, avec v, premier à A et > 1 , /v ne fait 
pas partie de S, puisque ^v =yv-),-î liie v, — 1 soit ou non divisdjie 

par )>. On a 

gs = ep— e^.— Cp-a, ( a = X-^' ), 

_ g — I _ X^ - I 
^''~ X-i " X^^' 
si le nombre/) s'écrit 

p = >,^,(BoX'+B,X'-l^-...-^B,) (Bo>o, B,>o), 
dans le système de numération de base À, on a 

_ ;o-(Bo + ...^B,) 



— 31 — 

quant à p — a, si 5 > /. , et si le coeflicieiit B/i__,.f_5 de )/ clans p 

esl ^ (>, on a 

, . _ /? — X- — (B o-4-...-T-B,— 1) , 

dans les anlres cas, posant B,_n = . . . = B/_^;(^ = o, soit ^k^+t-u 1^ 
premier des coefficients 

qui soit T^^o; /? — a s'écrit dans le système de numération de 
base À 

-+- ( X — I ) X^ + B/,,+;_,+i X-^-i -K . . . 
et 

_ ^ _ x.s- _ r B ^- . . . ^ B , - 1 ) — ( À — I ) ( «f - 5 ) 



(8) 



X-i 

On a ainsi 

^^ = o avec la formule (7), 



(9) 

( ,^.s-= « — 5 avec la formule (8) 

Par conséquent : 

1" Quand s << /,, . la >econde formule (<)) ayant lieu, 

k^^ t — u ^ t^ it — k^, gg = Al — s ; 

2" Quand 5 = A| , 

^^=0, car Bf^o; 

3" Quand s > /."|. 

et 

^i= " — 5 = A:i— < — * < < si Ba,-h,-, = o. 

\ . Ceci posé^ ré([uation (3) a pour terme général dans le 
deuxième membre Cta"'^b"~""^. lecpiel est divisible par \'^'^ et 

non par A /', si 

Cherchons hi plus petite \.ileur «r/^j^ de dr^: A//; a croissant avec a, 
/ y^^ >rr,i |)hi> piiil cpipy^ (pund 7 <; a, et fera [)artie de la suite S; 



32 - 



c/a, ^era un îles nombres 



Or G/,^ = /.A7i//> est plus petit que G^ pour 5 > / , (au cas où 
roii peut avoir s > /v, ) ; a, corresjxmd donc à un (l(;s nonilîres (lo) 
avec 5 ^ A'i , pour lesquels 

(il) G,- = X'i — 5 -+ ^m A". 

Considérons dans (i i) G^ comme fonction continue de s; on a 
G^ = Am X-- L A — I , g;; = A /« À ^ ( L À ;2 -> o 

jNous nous bornerons à conclure que G'^ est positif et plus petit 
(pie ( i'^. pour 5 >- I , si 

(12) km )> L X ^ I ; 

supposant celte condition remplie, f/^ est l'un des nombres Go, G,; 

ce sera Gq si 

Al ~ km < A", — I -i- kml, 

km ( >. — I ) > I ; 
cette con(litu)n et. a JortiorL la c^ndiliou (12) seront remplies si 



( I 3 ) /H > ; . 

A — I 

Admettant (pie (i3) ait lieu; dans le deuxième membre de (3), 

1 • 1 • • • I 1 - z j. z . ^ , -t- X m + - 

le premier terme est divisible par a''i"*''"" et non par /. '' qui 

divise chacun des autres termes; donc c" — a" — />"= )/■+*"' 0, 

1 
où ô est un entier algébrique non dixisiblc par a''. Il en résulte 
[n" m. note (' ), o°], par la considération de oP, (|ue A", + Ani est 
un entier, c'est-à-dire k^=zk'p, où A' est entier; la plus haute 
puissance de X (pii divise a est )/'/'. 

Un raisonnement identique s'applique à chacun des diviseurs 
premiers de p qui divisent a ou b, et même, avec quehpies clian- 
gemenls de signes, à ceux qui divisent c d'après (4)- pourvu (jue 
chacun de ces diviseurs satisfasse à (i3). Donc : 

Théorème II. — L'équation (5j du théorème 1 peut se mettre 



- 33 - 
sous la forme 

(i4 ) «'î'" «'i" -^ b'i" b'" = c'î" c'i", 

OÙ rt,. b\, c,, a.,, /y.,, c\ sont, premiers entre eux deux à deux., 
et a',, b[,, c-, n'ont d'autres facteurs premiers a que ceux de p 
qui satisfont à 

(i5) ni^- 

À — I 

Eu jtiirliculier : 

CouoLLAïuE. — Si, <J. étant le plus petit facteur premier de p^ 
on a 

(i6) m > , 



l'équation (i) équivaut à une équation de la forme (i bis). 
Ce résultat conij)rcad un de ceux annoncés au n" I. 

A J. ?sous pouvons encore établir le résultat suivant : 

Théoiœ.me III. — Si, dans l'équation (o) du théorème /. un 
des nombres ordinaires ao, bo, Co est une puissance p^<'""^ 
exacte d'un nombre ordinaire, cette équation équivaut encore 
à une équatio/i de la forme (i bis). Il en est ainsi en parti- 
culier quand p n'a pas plus de deux facteurs premiers dis- 
tincts. 

De même, (i4) équivaut à (i bis') si «/,, b., ou c., est une 
puissance p"'""' exacte. 

En eUel. soient, par exeuiplc, 

62=. S/', </2=af'i^J|, 00=7^2'^», p = mipi= T^,_p^, 

où a, Y ne son! |)uissances d'aucun autre nondjre. du 0, est pre- 
mier à yj,, H.> à p.,, tandis que rrr, et rso divisent p\ soit, par 
exemple p2 = p\- On a 

X = a'" = y.^i^i,">, z = c'" = •'Tsfi^m 

(17) .r/'.^a'J.", 3/N = vO,«. [r/'/r -h (è,p )'']/>. = c'i'i"Y9.", 

d'après (5). 

XLV. 3 



- 34 - 

Si /7, = i, on a y?2='' «2^ ^'2^ C-^ sont des puissances y?'*"'»» 
exactes et {^) peut se mettre sous la forme (i his).. D'autre part 
on ne peut avoir />, >i, sans <pi()i. 0,// (■laiil premier à p^ et 
P> = P\-) lii première ('-quation (i;) ne serait pourtant pas irréduc- 
tible, contrairement à ce qu'on sait('), à cause de. la dernière 
équation (17). 

On peut raisonner de MK-me. >oil (piand p\2pi. >oil <pi,iu(l 
c'est rto <JLi Co, et non A^, <pii est une ptii^^ance p'^'"^ exacte. 

L'extension à {\ \) est évidente. c. o. f. p. 

Corollaire. — Ouand p a au moins trois facLcitrs prciaicrs 
distincts, soient a,, ;j.o, |j.3 avec '^-i <[J.2< •J■■^■, les trois plus 
petits. Si l'on ci 

I 
m > , 



l'écjuation [i) et l'équcition (5) écjuiçalent encore à une équa- 
tion de la forme (i bis). 

En ellV't, dans ce cas, l'inégalité (i5) ne peut avoir lieu (pie si A 
est égal à [j., ou à ijlo. Dans l'équation (1 1), a'.,, />.,, c'.,, premiers 
entre eux deux à deux, ne peuvent avoir d'autres lacleurs pre- 
miers que u., et jj-o, c'est-à-dire que l'un d'eux se réduit à l'unité; 
le théorèuie IIJ ci-dessus s'applique. 

VII. Tous les raisonnements, calculs et résultats précédents 
s'étendent à Téqualicjn indéterminée 

(18) a'«i-f- b'"2 = c"'3, 

où rt. A, c sont dcr, entiers ordinaii'cs y£ o et premiers entre eux 
deux à deux [-), et où 

N, /«, N, ,u ÎV3 «3 

^i P P2 p ^3 p 



C) Th. Vahlen, Acta mathematica, t. XIX. 

(-) Oa pourrait cliercher à supprimer cette dernière restriction en essayant de 
ramener, comme au n° II, le cas où a, b, c sont des entiers quelconques au cas 
où a, b, c sont premiers entre eux deux à deux; mais des difficultés spéciales 
apparaissent. Toutefois on les surmonte assez facilement quand on suppose que 
deux des quantités /(,, «,. «, sont égales entre elles el multiples de la troisième. 



— 35 — 

— ^ (f = 1, a, 3) étanl une (Vaclion irréductible et p le plus petit 

commun multiple de P,, Pai Ps- On opérera presque mot j)our 
mot de la même manière. 

Le théorème que l'on peut espérer établir, c'est que l'équa- 
tion (i8) équivaut à ré(|uati()n 

{\% bis) A/N, _^ 6N, = c^-3 

en- entiers <i, , />| , C| y^ o. 

L'équation (5) est remplacée par 

( , ç) ) «'«1 a^'. -H b':_^i 6^'^ = c'2"' c^'», 

où «1, 6|, Cl sont des entiers premiers deux à deuv et à y^, tandis 
que les entiers «o, />o, Co, aussi premiers deux à deux, n'ont 
d'autres diviseurs premiers (jue ceux de p. 

Dans le cas où p est quelconque, l'équation (1 4) du théorème II 
devient 

où rt'i , A',, c'j, rt'.,, />!,, c', sont premiers entre eux deux à deux, 
et a'.,, Z>'.,, c'^ n'ont d'autres facteurs premiers cjue ceux X de p 
satisfaisant respectivement à 

{■>.o) nii^ ^ _ ^ (j=i,2, 3). 

Si l'un des entiers a'.,, />.',, c'„ est une puissance l\ , l^^. ou p'j'""' 
cxacle respectivement, par exemple si p n'a pas plus de deux 
facteurs preirilers dilïerents, on voit, en raisonnant comme au 
théorème III ('), ([ue ( iS) éipiivaut à ( i (S bis). Cette mémo é([ui- 
valence a lieu quand une des inégalités (20) est impossible, car 
alors un des nombres a'.^, 6'^, c'., est égal à i ; il en est ainsi (juand 

une des (luantités m; est plus grande que ' u étant le iilus 

petit diviseur premier de y>, ou (juand les nii sont toutes plus 



( ' ) Si ù^-— jJ^'^ on pose 
où 0, est premier à y^,, 0., à y^,. 



— 36 — 
f;ran(los (jiic > daitirs \,\ (Iclliiil loii dr '/., ( ii" \ I, (lorollaire). 

VIII. L'équation (i), où /// est ii(';;al i f, ('(iiiiN;!!!! ii iiiu' i''(|ikiI ion 
de même forme où m est posiiil. 
Soit, en elTet, l'équation 

(21) h -, — = — ou A'" C» -+- c"'a"i = '/'« />'" ( m > o ) ; 

(i"> Iji" c'" --• / ' 

C divise a/^ [n" III, note ( '), \"\. et si ab = Ce, 

a'"+ h'" = C'". 

Soit d le plus grand commun diviseur de a et h, a =: ac/, 
b := ^d, où a, ^ sont premiers entre eux; d divise C, et G = ycZ, 

(22) a'" H- p"' = Y'" ; 

a, p, étant jjremiers entre eux, le sont aussi chacun à y. car un 
diviseur commun à a et y, par exemple, diviserait [j (n^II). L'équa- 
tion (22) est de la forme (i). On a 

ab := cc^d'^= Ce = y de, oi.'^d = '[c^ 

et Y divise d. 

Inversement, soit a, ^, v une solution de (22) en entiers ^o 
et <:/ un multiple quelconcpic de y; posons a.^d=^yc; on a 

(y de)'" — (oLde)'"-h C^dc)"^; 

soient 

a = xd^ b = '^d, Y '^^ — ^? f^' ^= '^''^1 

(ah)"'= (rtc )'«-*- (bc)'"-, 

et Ton obtient une solution de (21). Les écjualions (21) et (22) 
sont entièrement équivalentes; cette conclusion ne suppose 
pas p> \. 



— 37 — 

SUR LA TRANSFORMATION DE LIE 
( Étude géométrique j ; 

Par m. Maurice Fouché. 



1 . Introduction. — Dans un excellent Ouvrage sur Les premiers 
principes de la Géométrie moderne., Duporcq a donné de la 
transformation de Lie qui, à chaque droite de l'espace tait corres- 
|)i)ndre une sphère, une interprétation géométrique à laquelle 
j'étais arrivé de mon côté, et qui, à cause de sa simplicité, a dû 
se présenter à l'esprit de plusieurs géomètres. Cependant, il ne 
semble pas que le texte de Duporcq soit suffisamment explicite au 
])oint de vue de la rigueur des raisonnements. L'auteur a l)ien indi- 
qué que la transformation de Lie consiste à faire correspondre à 
cha([ue point de l'espace une droite isotrope et qu'elle doit être pos- 
sible parce que les points de l'espace d'une part, et le complexe des 
droites isotropes d'autre part, constituent deux ensembles dont les 
éléments dépendent d'un même nombre de paramètres. Ensuite, à 
l'aide de considérations fort simples relatives à des rapports anhar- 
moniques, il explique que si l'on fait correspondre arbitrairement 
cinq points de l'espace à cinq droites isotropes on en déduira, 
par des constructions faciles, la droite isotrope qu'il faut taire 
correspondre à un point donné de l'espace. Mais Duporqq ne 
discute pas les cas d'indétermination que présente sa construction. 
Je ne prétends pas faire ici la critique complète de cette théorie 
un peu sommaire; mais il est des remarques qu'il me semble utile 
(hi signaler. 

D'abord les droites isotropes, au sens précis du mot, ne forment 
pas Néritablement un complexe. Le complexe est celui des droites 
qui rencontrent le cercle de l'inlini : il comprend, outre les droites 
isotropes |)roprement dites, toutes les droites du plan de l'inlini, 
chacune de celles-ci étant considérée comme double puisqu'elle 
icncontre le cercle de l'infini en deux points. Or, dans la trans- 
foiinaliou de Lie, ces droites de liuliui ne correspondent pas à des 
piiiiils distincts de l'espace. La vérité est qu'il j a une droite que* 
j'.ippelltuai droite sin^it lii-re, à cliacjue point de laquelle ou |»eut 



— 38 — 

t'aii'e correspondre non mie tirolle de rinlini. mais it n point dit 
cercle (le /'i/i/ini. Avec les formules liahitiicllcs. la droile slii^ii- 
licre csl la droite de l'Infini de lun des plans de cooi'd(jnnées ; 
mais il est bien évident (|iie si l'on combine la transformation 
classi([iie a\ec une transformai ion liouiourapli ique. on |>ourra 
donner à la droite singulière une position (|uelconc|ue. 

D'autre part, Duporcq fait état de la proposition fort simple 
d'après laquelle il existe une droite isotrope et une seule qui en 
rencontre trois antres. Or cette proposition tomlie en défaut si les 
trois droites isotropes données passent p:ir un mi'nir point du 
cercle de l'inlini. 

L'omission de la discussion des cas d'exception empèclie évi- 
demment de meltre en lumière le caractère homographique de la 
transformation. Le caractère dualistique n'en est pas non plus 
nettement indiqué. On n'a pas expliqué qu'à chaque plan de 
l'espace correspond aussi une droite isotrope, sauf, bien entendu, 
aux plans qui passent par la droite singulière. 

Enfin l)u[)orcq signale aussi l'importante propriété de la trans- 
formation de Lie qui, aux lignes asvm|)toliques d'une surlace, 
la il correspondre les lignes de courbure d'une autre surlace; mais 
il n'en donne pas de démonstration géométrique. 

Il m'a semblé qu'il |)ouvait être utile de combler ces lacunes, 
et c'est [)ourquoi j'ai cherché à l'eprendre d'une manière plus 
attentive l'étude géométrique de cette inqiortante transformation. 

2. Renuiiqucs sur les liansfoinuitiojis lioiiiogrcipliKjiies. — 
Bien que la transformation homographique soit très connue, je 
ferai cependant, à son sujet, quelques remarques qui seront utiles 
]JOur la suite de ce travail. 

Une transformation homographique ponctuelle est une trans- 
formation algébrique biunivocjue entre tous les points de 
Vespace^ sans aucune exception, y compris les points imaginaires 
et les points à l'inlini. Un plan (P) et une droite donnés ( D) 
se transforment ainsi en une surface (P') et une ligne (D') qui 
ont un point commun et un seul, lequel correspond au point 
d'intersection de (P) et de (D) ; cela exige que(P') soit un plan 
et (D') une droite. Il en résulte qu'une droite se transferme en 
une droite et qu'une surface de /i'^""* ordre se transforme en une 



- 39 — 

surfiicede /r'''"*^ ordre puisque cliacuiie des deux surfaces doit couper 
une dr.tile quelconfpie en Ji points. 

Une Irinstormition lioiaogrcipliique dualistique lait C(jrres- 
|tondre dune manière biunivoque un point à un plan et inver- 
sement, et cela sans aucune exception. 

L'importance de la discussion des cas d'exception est capitale, 
car, sans cet examen, on se ferait de singulières illusions. Par 
exemple l'inversion établit bien une correspondance biuni\(>(jue 
entre les points de l'espace, saul'en ce qui concerne les p;)ints de 
l'infini et le pôle d'inversion. Aussi l'inversion n'est-elle pas 
bomograpliique. 

Le même exemple nous montre qu'il ne serait pas correct de 
dire qu'une transformation biunivoque entre deux ensembles 
dont les éléments dépendent d'un même nombre de paramètres 
est bomograpliique, car l'inversion établit une telle correspon- 
dance entre les points de deux espaces superposés si 1 on j 
supprime le pôle et les points de l'infini. Il semble alors qu'on 
doive réserver le nom àliomo graphiques aux transformations dé- 
finies comme il suit : pour qu'on puisse établir une transformation 
liomographique entre deux ensembles, il faut que ces deux 
ensembles aient la même structure, c'est-à-dire qu'ils puissent 
être re|)résentés ])ar un même système de coordonnées, de telle 
sorte que chaque élément de l'un ou l'autre ensemble corres- 
|)onde d'une manière biunivoque à un système de valeurs de ces 
coordonnées. Il convient aussi, en général, d'exclure les valeurs 
infinies des coordonnées, soit que les systèmes de valeurs, dont 
une au moins est infinie, ne correspondent à aucun élément de 
l'ensemble, soit qu'on emploie des coordonnées homogènes, ce 
(pii est préférable. Les éléments qui se correspondent sont alors 
ceux qui sont représentés par les mêmes valeurs des coordon- 
nées. C'est ainsi qu'on peut établir une correspondance homo- 
graphifjue entre les points de deux courbes uuicursales 
distinctes ou confondues : le système de coordonnées est alors 
composé de deux coordonnées homogènes. On le peut aussi 
entre les points de deux quadriques : les coordonnées sont an 
nombre de quatre réparties en deux groupes hom(»gènes. On le 
ptnit aussi entre les j)oints d'une courbe unicursalc et les géné- 
ratrices d'un même système d'une qu.ulrique. Par exemple, 



— 40 — 

1 lin ('i-.i(»ii qui n'est piis hi)iii(),i;ra|)liiqiie cliiblil ccpeiiilaiil une 
C()rre.s|>i)ii(iance lioin(»i;rapliiqiie entre les [xjinls de tleu\ sphères; 
mais il est impossible délahlir une pareille ('(jrresponcJance entre 
les j)i)iut> (I lin plan et ceux d'une sphère. 

3. L'Iiomographie ponctuelle. — La manière la plus rapide 
d'établir rigoureusement et sans calcul la possibilité et les pro- 
])ri(-lés de l'homographie ponctuelle me |)arail résulter de l'emploi 
simultané des rapports anharmoniques et des coordonnées homo- 
gènes. 

Considérons dans l'espace quatre points A, , Ao, Aj, A^ formant 
les sommets d'un tétraèdre dit de référence, et un point 1^ dit 
point directeur qui n'est situé dans aucune des faces de ce 
tétraèdre. Par chaque arête du tétraèdre de référence faisons 
passer quatre plans d(jnt deux sont des faces du tétraèdre, dont 
le troisième passe par le point directeur P et le quatrième par 
un point quelconque M de l'espace. Ces quatre plans ont un 
rapport anharmonique que je désignerai par (A, A^. A;, A^ PM) s'ils 
passent par l'arête A, Ao. 

A chaque point M de l'espace correspondent ainsi six rapports 
anharmoniques dépendant chacun d'une des arêtes du tétraèdre 
de rétérence. Or, si l'on considère les intersections de la tiroile 
PM avec les faces du tétraèdre, on démontrera sans peine que les 
trois rapports anharmoniques qui dépendent de trois ai'êtes 
concourantes sont les quotients deux à deux des trois autres, à 
condition bien entendu qu'on prenne les éléments dans un ordre 
convenable. Par exemple : 

(AiA2.A3AiMP) = (A2A3.AiA4MP) : (A. A4. Ai A3 MP). 

Si alors on désigne par "-,-,- les trois rap[)orls anharmoniques 

qui dé|)endent des ccUés de l'un des triangles, AjAsA., par 
exemple, les trois autres rapports anharmoniques seront respecti- 
vement <;gaux à — ' ;' - > eta:, j', v, t constituent un système ds quatre 
y z X -^ 

coordonnées homogènes telles qu'à tout point M de l'espace corres- 
pond un système de valeurs et un seul. Inversement, la connais- 
sance des valeurs des quatre coordonnées donne les valeurs des six 



- 41 - 

rapports aiiharinoniques. L'une au moins des quatre coordonnées 
n'est pas nulle; sujîposons que ce soit t : les trois premiers rapports 

'-) -> - définissent trois plans passant respectivement par les côtés 
(lu triangle A^AsA^ et se coupant en un seul point qui sera le 
point JM; les trois autres rapports anharmoniques seront - > - 
et -• Si t est nulle, ces trois plans se confondent sur le plan 

A, AoA.j; mais alors on prendra les rapports qui correspondent à 
une autre face du tétraèdre de référence. De toute manière on 
trouve un point M et un seul. Il est aisé de vérifier que tous les 
points d'un des plans du tétraèdre de référence ont une coordon- 
née nulle, que tous les points d'une des arêtes ont deux coordon- 
nées nulles, et enfin que chacun des quatre sommets de ce 
tétraèdre a trois coordonnées nulles. Il existe donc une corres- 
pondance biunivoque entre les points de l'espace et les systèmes 
(le valeurs des quatre coordonnées, et cela sans aucune excep- 
tion. 

11 su [fit alors de changer le tétraèdre de référence et le point 
directeur, et de faire correspondre les points qui ont les mêmes 
coordonnées dans les deux systèmes. 

Ainsi se trouve établie rigoureuseuient la proposition fonda- 
mentale qu'une transformation homographique ponctuelle est 
complèleuient définie quand on se donne cinq couples de points 
homologues pourvu que dans chacun des systèmes, quatre tle ces 
points ne soient pas dans un même plan. 

4. Le complexe mixle. — JarriNc iniintenant à la transfor- 
mation de Lie; mais, au lieu du cercle de 1 infini, je considère 
une conique (F) à'ilQ fondamentale. Dans le complexe des droites 
qui rencontrent cette conique, je supprime les droites situées 
dans le |)lan de cette conique et j'introduis les points mêmes de 
celte conique. J'obtiens ainsi \e complexe mixte. Je vais montrer 
que, malgré son caractère hétérogène, cet ensemble de driiites 
et lie points. aii\(piels je donnerai le nom couimun d^'A''//?e///.s, 
possède la uK-me structure que l'ensemble des points de I espace 
et jouit d'uncei'lain nombre de proprii'lf'-s identiques à celles des 
points et des [)!anN, dételle soiic (pion pourra faire correspondre 



— Ai> — 

homograpliiqiieinenl ces (''l('iii(;nts soit aii\ pniiils. soil aux plans 
de l'espace. 

J'appellerai y>/.s7e une suite (réiénienls délinis connue il suit : 
Une pisie peut se composer d'une suite de droites du complexe, 
et alors elle sera formée des i^énératrices de même système d'une 
quadrique, ce qu'on appelle une semi-quadriqne. Elle peut 
aussi se composer des droites passant par un même point de la 
conique londamentale cl situées dans un nu-nie |»Ian, ce qui 
constitue un faisceau. Seulement, dans ce faisceau, il j a une 
droite faisant partie du plan de la conique (F). Celte droite 
devra être remplacée par son second [)oint d'intersection avec la 
conique. Enfin 1^ piste peut se composer des points de la 
conique (F). Dans tous les cas, le rapport anhavinoniriue de 
quatre éléments d une piste est bien déterminé. 

5. Les pistes conjuguées. — Je dis d'abord que deux éléments 
quelconques définissent une piste et une seule dont ils font 
partie et en même tenq)s une j)isle conjuguée formée, dans le cas 
général, des droites du complexe qui rencontrent ces deux-là 
autre part que sur la conique fondamentale. 

Si les deux éléments donnés sont deux droites rencontr.int la 
Conique (F) en deux jioints diUerents et ne se rencontrant pas 
elles-mêmes, elles déterminent avec la conique (F) une quadrique. 
Les deux pistes conjuguées sont formées des génératrices de 
cette quadrique de l'un ou l'autre système. On voit aussi que les 
seules droites du complexe mixte qui rencontrent les deux droites 
données autre part que sur la conique (F) sont les génératrices de 
cette quadrique n'appartenant pas au même système qu'elles, 
parce que, par chaque point de la conique (F) autre que les 
pieds de ces droites sur cette conique, on ne peut faire passer 
qu'une seule droite les rencontrant toutes deux. Il convient aussi 
de remarquer que si A est le pied sur la conique (F) d'une des 
deux droites données, la génératrice de la piste conjuguée passant 
[)ar A est située dans le plan tangent en A à la quadrique, de sorte 
que le plan des deux droites est tangent à la conique (F). 

Si les deux droites se rencontrent en un point S non situé 
sur (F), la quadrique se réduit au ctuie de sommet S et les deux 
pistes conjuguées sont confondues. 



- 43 - 

Si les deux droiles [)arient d'un même point A de la 
conique (F), leur |)lan coupe cette conique en un second point A', 
et les seules droiles du complexe mixte qui les rencontrent sont 
celles qui passent par A' dans ce plan-là. La quadrique se décom- 
pose donc en deux |)lans dont l'un est celui des deux droites et 
l'autre le plan de la conique (F). Alors la première piste sera 
constituée par le faisceau des droites issues de A dans le plan 
des deux droites données, et la piste conjuguée sera formée du 
faisceau du sommet A' dans le même plan. Il reste entendu qu'il 
faudra remplacer la droite AA' du |)remler faisceau par le point A' 
et la droite A'A du second [)ar le point A. 

Si le jilan des deux droites est tangent à la conique (Fj, le 
|)oint A' coïncide avec le point A et les deux pistes coïncident. 

Si les deux éléments sont une droite coupant la conique (F) 
en A et un autre point A' de cette conique, les deux pistes seront 
formées des faisceaux de sommet A et A' dans le plan défini par la 
droite donnée et le point A'. Elles coïncident si le point A' coïn- 
cide avec A. Bien entendu, dans ce cas, il faudra remplacer la 
tangente en A à la conique (F) par son point de contact. 

Si, enfin, les deux éléments donnés sont deux points de la 
conique (Fj, il faut concevoir que la quadrique se réduit au plan 
de (F) considéré comme plan double, et les deux pistes se 
composent l'une et l'autre des points de la conique (F). 

On remarquera que, dans tous les cas, deux éléments du 
complexe mixte définissent une quadrique et une seule, laquelle 
peut se réduire à deux plans ou à un plan double. Deux pistes 
conjuguées sont toujours situées sur une même quadrirpie. 

Il résulte évidemment de ce qui précède que deux pistes 
distinctes n'ont jamais |dus d'un élément commun. En général, 
elles n'en ont aucun. 

6. yt/)((loi;ie avec le pl<in cl lu droite. — ■ L'existence des 
pistes conjuguées fait prévoir le caractère dualistique du 
com[)lexe mixte. ISous supposerons que chaque élément de 1 en- 
semble soit pour ainsi dire dédoublé, c'est-à-dire qu'il se compose 
de deux éléments superposés que nous appellerons elemenl-jioinl 
et eleine/it-pl<in . Je dirai de plus (pie deux éléments de (lasses 
didérentes conviennent l'un à l'autre s'ils font partie de deux 



- Ai - 



|)isie.s conjui; liées. Ce seront, suivaiil les cas, deux droites ayant 
un point coniniun en dehors de lu conique fondamentale, et 
pouvant d'ailleurs cijïncider, ou l)i<Mi >\(^\\y. dioiles couj)ant la 
conique iondanicnlalc au uièiiu; pniut el dont le plau est lani;ent 
à celte conique, ou l)ien une droite et son pied sur la conique 
londauientale, ou enlin deux points de cette conique pouvant 
daillciirs Coïncider. 

On verra facilement, en reprenant la discussion pn-cédente, 
que si un élément convient à deux éléments donnés, il est situé 
sur la conique définie par ces deux éléments, et que, |)ar consé- 
quent : 

Si un ('bhnenl cnnvii-nl à deux autres, il Jail prir/ic de la 
piste conjuguée de celle qui contient ces deux-là . 

On voit ainsi que deux éléments qui conviennent l'un à l'autre 
sont l'analogue d'un plan et d'un point situés dans ce |)lan et 
qu'une piste est l'analogue d'une droite. Deux pistes conjuguées 
sont l'analogue d'une même droite considérée pour l'une coiume 
formée de la suite de ses points, et pour l'autre de la suite des 
plans qui la continuent. 

7. Théovèine des trois éléments. — Les propositions qu'on 
vient de démontrer sont donc les analogues des suivantes, corré- 
latives deux à deux : 

Par deux points on peut toujours faire passer une droite et une 
seule. Deux plans se coupent suivant une di'oite par laquelle 
passent une inliail:é d'autres plans. Si un plan passe par deux 
points, il passe par la droite qui joint ces points, ce qui revient 
à dire que si une droite a deux points dans un plan, elle y est 
située tout entière. Si un point fait partie de deux plans, il fait 
partie de leurs dri)ites d'intersection, ce qui est évident. 

Une proposition caj^italeest que trois points non en ligne droite 
définissent un plan qui les contient, el que trois plans qui ne 
pissent pas par la même droite ont un point commun et un seul. 
L analogue sera la suivante : 

Trois éléments de la mrme classe ite Jidsan l pas partie d' une 



— io — 

même piste détermiiieiil toujours un élément de l'uni re classe 
qui leur convient à tous trois^ et un seul. 

Pour le démontrer, remarquons que parmi les trois éléments 
donnés il j a au moins une droite (D) puisque trois points de la 
conique fondamentale font partie de la même piste. Les deux 
autres éléments déterminent une piste (l*) et une piste conjuguée 
(P'). Il suffit donc de faire voir qu'il existe un éléjnent et un seul 
de cette piste (P') convenant à la droite (D). Si (P') est une semi- 
quadrique, la droite (D) la coupe en deux points dont Tun A est 
sur la conique (F). La génératrice (G) de (P') qui passe par le 
second point d'intersection B est la droite cherchée. 

Il n'y a pas d'exception si le point B se confond avec le point A 
parce qu'alors les deux droites (D) et (G) sont dans un même 
jilan tangent à la semi-quadrique (P') et par suite à la conique 
fondamentale. 

Si la piste (P') est un faisceau de droites, le plan de ce faisceau 
est coupé par la droite (D) en un point B et l'élément cherché est 
la droite du faisceau passant par B. Il peut se faire que la droite (D) 
passe par le sommet A du faisceau, lequel est situé sur la conique 
fondamentale. Alors l'élément cherché est le point A lui-même. 

Si e\\{in la piste (P') se compose des points de la conique (F), 
l'élément cherché est le pied de la droite (D) sur cette conique. 

Des cas particuliers rcmarquahles sont ceux où les trois élé- 
ments sont trois droites passant par un même point A de la co- 
nique (F), ou un point A de la conique (F) et deux droites pas- 
sant par ce point, ou enfin une droite passant par A et deux 
points de (F). L'élément cherché est alors le point A. 

Le raisonnement précédent montre aussi qu'il existe vnx éh-mcut 
et un seul faisant partie d'une piste donnée et consenanl à un 
autre (dément donné ne faisant pas partie de la piste conjuguée. 
C'est l'analogue de ce qu'une droite et un plan qui ne la contient 
pas ont un point commun et un seul, ou que, une droite et un 
point extérieur déterminent un plan et un seul. Seulement on n'a 
liwité que le cas où l'élément donné est une droite. Pour comhler 
cette lacune, prenons deux éléments a et 3 de la piste (P'); avec l'élé- 
ment donné, cela en fera trois aux(piels conviendra un élément (E) 
et un seul. Mais on a \u au numéro précédent que tout élément 



— /.() - 

qui çouvicnl à ticu.v (iléiiicaLs do la pisic ( P'^ l'ail parlie de la j)iste 
coujui^iiée ( l*). L'(''lément (E) est donc l'clf-inenl cherché, et ce 
sera le seul parce <pie loul éléineul de (P) doit c<>m\ cuir à y. cl à [j. 

Celle proposiiioii peut encore s'énoncer: Dans L'eiiscinhle des 
rlèmcnls qui coinicnnciit à un élément de Vautre classe^ il y 
en a un et un seul faisant pu i- tic d'une pist^' de la première 
classe^ pourvu que cette piste ne fasse pas partie de l'ensemble 
considéré. 

Dans l'espace, si dcuv droites oui uu point coniuiun, elles sont 
dans un même plan, et réciproquement. La traduction sera : 

Si deux pistes composées d'éléments de la même classe ont un 
élément commun, il existe un élément de l'autre classe et un seul 
qui convient à lous les éléments de ces deux ])istes, ou, ce qui 
revient au même : 

Si deux pistes ont un élément commun, les pistes conjuj^uées 
ont aussi un élément cojnmun. 

11 sulfit de considérer l'élément commun aux deux pistes et 
deux autres pris sur chacune d'elles. A ces trois éléments en con- 
vient un de l'autre classe et un seul, et celui-là fait partie des 
deux pistes conjuguées des pistes données puisqu'il convient à des 
éléments de chacune d'elles. 

8. Pr(>p}'iétés projectiles. — Toutes les pistes qui ont un élé- 
ment commun et dont tous les éléments conviennent à un même 
élément de l'autre classe définissent avec leurs conjuguées une suite 
de quadiiques passant par (F) et admettant, dans le cas général, 
deux génératrices de systèmes dillerenls et formant par suite un 
faisceau. Donc le rapport anharmonique de quatre d'entre elles 
est complètement défini; il importe peu qu'une de ces quadriques 
se réduise à deux plans ou au plan double de la conique (F). 

Si les deux élémenls communs sont deux droites confondues, 
le faisceau sera celui des C()nes ayant pour hase la conique (F) et 
la droite donnée pour génératrice commune. 

Si l'un des éléments communs est une droile et l'élément com- 
mun de l'autre classe un point A de la conique fondamentale, le 
point A est le pied de la droile sur la conique (F) et le faisceau 
de quadriques se réduit au faisceau des plans passant par la droile. 



- âl — 

Si les deux éléments communs sont deux points de la conique ton- 
damentiile, on aura encore un faisceau de plans passant |>ar la 
droite des deux points, laquelle sera tangente à la conique (F) si 
les deux points coïncident. Dans tous les cas le rapport anharmo- 
nique de quatre de ces pians est bien déterminé. 

Nous aurons ainsi deux espèces de rapports anharmouiques: celui 
de quatre éléuîcnts d'une même piste qui est l'analogue de celui 
de quatre points en ligne droite ou de quatre plans passant [)arune 
même droite, et celui de quatre pisles avant un élément commun 
qui est l'analogue de celui de quatre droites passant dans le même 
plan par un même point. 

Les propriétés projectives des points, droites et plans dépendent 
toutes de ce que le rapport anharmonique de quatre droites ou de 
quatre plans d'un même faisceau est égal au rapport anharmonique 
des quatre points où une droite quelconque coupe ces quatre 
droites ou ces quatre [ilans, et cette égalité résulte de ce qu'il v a 
correspondance homographique entre les droites ou les plans du 
faisceau d'une part, et les points correspondants de la transver- 
sale d'avitre part, c'est-à-dire du fait que deux droites dans le plan, 
une droite et un plan dans l'espace ont un point commun et un 
seul. Puisque nous avons trouvé dans le complexe mixte les pro- 
priétés équivalentes à celles-là, les propriétés pi^ojectives des 
droites, plans ou points s'appliqueront sans changement aux élé- 
ments et aux pistes de ce complexe mixte, et l'on pourra parle pro- 
cédé indiqué au n°3 constituer un système de quatre coordonnées 
homogènes représentant les éléments d'une manière biunivoque. 

On se donnera par exemple cinq éléments-points choisis de 
manière qu'aucun élément-plan ne convienne à quatre d'entre 
eux. A, B, G, D, V. Si M est un élément-point quelconque, consi- 
dérons les quatre éléments-plans définis respectivement par ABC, 
ABD, ABP, ABM. Ils font partie de la piste conjuguée de celle 
qui contient A et B. Ils admettent donc un rapport anharmonique 
(AB.GDMP). On obtient six de ces rapports anharmoniques en 
taisant toutes les combinaisons deux h deux des (piatrc «'léments 
A, B, C, D. Par la considération de la |)iste définie par M et P, on 
verra, comme on l'a indiqué au n" 3. que trois de ces raj)ports sont 
les quotients de deux des trois autres, ce qui pcrmetlni de les 
représenter tous les six par les quotients de deux dos quatre coor- 



- AS - 

données homogènes. Enlin on démonlrera comme au n" 3 <|u"à 
tout sjslème fie valeurs de ces quatre coordonnées correspond un 
élément-poinl et un seul (jui sera d("fini pai- trois éh-menls-plans 
définis à leur tour [>ar trois des six ra[)|)orls anliarmoniques (|ue 
1 on pourra toujours choisir do uianirre que les trois ('h'-menls-plans 
ne coincidriil pas, ainsi que cela a rir c\pli(pu' au n" 3. 

9. La transformation. — La correspondance entre les points 
de l'espace et les éléments du complexe mixte sera complètement 
définie par l'égalité des valeurs des coordonnées, si, à cinq points 
de l'espace parmi lesquels il n'y en a pas quatre dans un luème 
plan, on fait correspondre cinq éléments parmi lesquels quatre ne 
conviennent pas à un même élément de l'autre classe. Celle cor- 
respondance est hiunivoque et peut être dite homographiqne. 

Consid(''rons maintenant 1 ensemble des éléments-points qui 
conviennent à un même élément-plan, et une piste d'éléments- 
points ne faisant pas partie de cet ensemble. Nous savons (n" 7) 
qu'il existe un élément-point et un seul commun à cette piste et à 
cet ensemble. Or, à l'ensemble considéré correspond une certaine 
surface et à la piste une certaine ligne, lesquelles ont par consé- 
quent un point commun et un seul. Cette surface est donc un 
plan et cette ligne une droite. Inversement, à une di'oite ( D) on 
fera correspondre la piste définie par les éléments-points qui cor- 
respondent à deux points de la droite (D), et à un plan (P) l'en- 
semble des éléments-points qui conviennent à l'élémenl-plan E 
convenant aux trois éléments-points qui correspondent à trois 
points du plan (P). Il est évident qu'à cet ensemble et à cette piste 
correspondent une droite et un plan qui ne pcu\ent être que la 
droite (D) et le plan (P). On peut encore dire que le plan (P) 
correspond à Télément-plan E et réciproquement. Les propriétés 
principales de la transformation peuvent alors s'énoncer ainsi : 

1° A chaque point de V espace correspond un élément du 
complexe mixte et un seul, et réciproquement. 

'>° A tout plan de l'espace correspond un élément du com- 
plexe mixte et un seul., et réciproquement. 

3° A un plan et à un point de ce plan correspondent des élé- 
ments qui contiennent l'un à rautre, et réciproquement. 



— 49 — 

4° A tous les points cVune droite correspondent les éléments 
d\ine piste ^ et à tous les plans passant par cette droite, les élé- 
ments de la piste conjuguée , ou encore : A toute droite de 
Vespace correspond une des quadriques de l'ensemble, cette 
quadrique pouvant d'ailleurs se réduire à deux plans distraits et 
confondus. 

5" Si deux droites ont un point commun , les quadriques qui 
leur correspondent ont deux génératrices communes de sys- 
tèmes différents et sont par conséquent tangentes, et récipro- 
quement. 

Si maintenant nous supposons que la conique fondamentale 
soit le cercle de l'infini, les droites du complexe mixte seront des 
droites isotropes, les quadriques de l'ensemble seront des sphères 
et nous retomberons sur la transformation de Lie qui fait corres- 
pondre à toute droite une sphère, et à deux droites situées dans 
un même plan, deux sphères tangentes. 

En ce qui concerne la transformation inverse, il faut bien 
remarquer que, si à chaque élément du complexe mixte ne corres- 
pond qu'un seul point ou un seul plan, à chaque quadrique de 
l'ensemble correspondent au contraire deux droites suivant que 
1 on considère comme formés d'éléments-points l'un ou l'autre des 
deux systèmes de génératrices qu'elle contient. Ces deux droites 
se confondent si la quadrique est un cône ou bien si elle se réduit 
à deux plans dont l'un est tangent à la conique fondamentale. A la 
conique fondamentale, c'est-à-dire à la quadrique réduite au plan 
de cette conique considéré comme plan double, correspond la 
droite singulière, qui contient tous les points correspondant aux 
divers points de la conique fondamentale et par laquelle passent 
tous les plans cjui correspondent aux mêmes points. 

10. Le complexe linéaire. — A chaque point A de l'espace 
correspond un élément-point E du complexe mixte qui peut être 
aussi considéré comme un élément-plan et auquel correspond im 
plan (P) de l'espace, mais deux éléments de classe différente qui 
coïncident conviennent l'un à l'autre. Donc le plan (P) contient 
le point A. Il en résulte que la transformation qui nous occupe 
établit aussi entre les éléments de l'espace une correspondance 

XLV. 4 



— so — 

dualislique par laquelle à chaque point de l'espace on fait 
correspondre un plan passant par ce point et inversement. Cette 
correspondance définit un complexe linéaire. 

Soient maintenant deux pistes conjuguées (P) et (P') appar- 
tenant par conséquent à une même quadrique. Nous savons qu'il 
leur correspond deux droites suivant que c'est (P) ou (P') qui est 
considérée comme formée d'éiéments-points. 

A un point de la première droite correspond un élément de la 
piste-point (P) auquel correspond à son tour un plan si (P) est 
considérée comme une piste-plan. Mais alors ce plan contient tous 
les points qui correspondent aux divers éléments de la piste-point 
conjuguée (P') puisque l'élément E convient à tous ceux de la 
piste (P'). C'est dire que la transformation dualistique fait cor- 
respondre à chaque point de la première droite un |)lan (jui 
passe par la seconde. Donc : les deux droites qui correspondent 
à une même qiicidriciue sont conjuguées par rapport au com- 
plexe linéaire. 

Les droites du complexe linéaire sont celles qui se corres- 
pondent à elles-mêmes dans la transformation dualistique. Donc, 
dans notre transformation elles correspondent à des cônes parmi 
lesquels il faut comprendre les [)lans tangents à la conique fonda- 
mentale et cette conique elle-même. La droite singulière fait 
partie du complexe linéaire. 

Tous les éléments d'une piste composée d'un faisceau de 
droites conviennent, comme on l'a vu, au sommet du faisceau, 
lequel est situé sur la conique fondamentale (n° 5). Donc les 
points qui leur correspondent sont dans le plan qui correspond 
à ce sommet, lequel passe par la droite singulière . Donc : les droites 
qui correspondent à des quadriques dégénérées sont celles qui 
rencontrent la droite singulière. 

11 . La transformation est de contact. — Un point M et un 
plan (P) qui le contient se transforment en deux éléments qui 
convienent l'un à l'autre. Je ne parlerai que du cas général où ces 
deux éléments sont deux droites qui se coupent en un point M'non 
situé sur la conique fondamentale. A l'élément de contact M(P) 
on peut donc faire correspondre le point M' et le plan (P') des 
deux droites M'A et M'B. Si le point M décrit une surface (S) et 



— 51 — 

si (P) est le plan tangent à cette surface, le point M' de'crira une 
autre surface (S'). Je vais démontrer que le plan (P') est tangent 
en M' à la surface (S'). 

Faisons d'abord quelques remarques préliminaires. 

Si un point (M) décrit une ligne (L), la droite du complexe 
mixte qui lui correspond décrit vme surface réglée (R). Si deux 
lignes (L) et (L') passent par un même point M, les deux surfaces 
réglées qui leur correspondent ont une génératrice commune (G) 
qui correspond au point (M). Supposons maintenant que les deux 
lignes (L) et (L') soient tangentes en M, et considérons sur ces 
deux lignes deux points N et N' infiniment voisins de M que l'on 
fait correspondre l'un à l'autre en exprimant leurs coordonnées 
en fonction d'un paramètre a. Les coordonnées de même nom de 
ces deux points ne différeront que d'un infiniment petit du second 
ordre par rapport à a. Mais ces mêmes coordonnées servent aussi 
à définir sur le complexe mixte les droites (H) et (H') qui cor- 
respondent respectivement aux deux points N et N'. Si l'on coupe 
tout le système par un plan quelconque rencontrant (G), (H) 
et (H') respectivement en D, G et C, la distance CC sera du 
second ordre, tandis que DC et DC seront du premier, d'où il 
suit que l'angle CDC est infiniment petit, ce qui prouve que les 
deux surfaces réglées ont le même plan tangent en D. Puisque 
D est un point quelconque de (G) les deux surfaces réglées sont 
circonscrites tout le long de la génératrice (G). 

La proposition corrélative que l'on peut établir soit d'une 
manière analogue, soit par transformation dualistique est que : 
si un plan se déplace à partir d'une position initiale de deux 
manières différentes, la droite du complexe mixte qui lui corres- 
pond décrit deux surfaces réglées avant une génératrice commune; 
mais si les deux développables enveloppées par le plan mobile sont 
tangentes, ou, ce qui revient au même, si la caractéristique 
du plan mobile est la même dans les deux déplacements, les 
deux surfaces réglées sont circonscrites le long de la génératrice 
commune. 

Cela posé, remarquons qu'aux deux droites qu'on peut mener 
par le point M dans le plan(P) correspondent deux quadriques qui 
doivent contenir la génératrice M'A, clément-point correspondant 
au point M et la génératrice M'B, élément-plan correspondant au 



— m — 

plan (P). Toutes ces quadriques font donc partie d'un même 
faisceau et ont au point M' le même plan tangent M'AB. Si 
maintenant le point M se déplace sur la surface (S), il décrira une 
ligne tangente à l'une des droites précédentes, et la droite M'A 
qui lui correspond décrira une surface réglée circonscrite le long 
de la génératrice M'A à l'une des quadriques du faisceau, et par 
conséquent tangente en M' au plan M'AB. Le point M' se dépla- 
cera sur cette surface et sa trajectoire sera tangente au plan M'AB. 
Comme il en sera de même quelle que soit la trajectoire du 
point M' sur la surface (S'), il faut bien que cette surface soit 
tangente en M' au plan M'AB. 

['2. La transformation de Lie fait correspondre aux lignes 
assyniptotiques dune surface les lignes de courbure dune 
autre surface. — Supposons que le point M décrive une ligue 
asjmplotique (Z) de la surface (S). La droite correspondante 
décrira une surface réglée circonscrite à la quadrique (Q) corres- 
pondant à la tangente à (Z) le long de sa position initiale M'A. 
D'autre part, le plan (P) tangent à (S) admet pour caractéristique 
cette même tangente à (Z). Donc la droite qui lui correspond 
décrira une surface réglée circonscrite le long de M'B à cette 
même quadrique (Q). Cela veut dire que les positions infiuimeut 
voisines de M'A et MB ne diffèrent que par des infiniment petits 
du second ordre de deux génératrices de la quadrique (Q) infiniment 
voisines respectivement de M'A et de M'B. Donc, on peut dire que 
le plan infiniment voisin de M'AB ne diffère que par des infiniment 
petits du second ordre d'un plan tangent à (Q) infiniment voisin 
de M'AB. Mais la tangente à la trajectoire d'un point et la carac- 
téristique d'un plan mobile ne dépendent que des infiniment 
petits du premier ordre. Donc la tangente à la trajectoire de M' et la 
caractéristique du plan M'AB sont conjuguées sur la quadrique (Q). 
Elles le sont évidemment aussi sur la surface (S'), lieu du 
point M'^ par le fait seul que la transformation est de contact. 

Si alors on considère la transformation de Lie, la quadrique (Q) 
est une sphère et les directions conjuguées sont rectangulaires, 
d'où il suit immédiatement que la trajectoii^e de M' et la caracté- 
ristique du plan M'AB sont tangentes aux deux lignes de courbure 
de la surface (S'). Puisqu'il en est ainsi pour toute position de M', 



— S3 — 

on voil que, quand le point M décrit une ligne asymptotique de 
la surface (S), le point M' qui lui correspond décrit une ligne de 
courbure de la surface transformée (S'). 

Pour être complet je rappellerai la remarque bien connue que 
dans la transformation inverse, à la surface (S') correspondent deux 
surfaces (S) parce que chaque plan tangentà la surface (S') déter- 
mine deux droites du complexe mixte dont chacune peut être prise 
pour un élément-point, l'autre étant un élément-plan. On obtient 
ainsi pour chaque point M' deux éléments de contact M (P) et M, (P,). 
Le plan (Pi) est l'homologue du point M dans la transformation 
dualistique, et le plan (P) l'homologue du point (M). Il en résulte 
que les deux surfaces (S) et (Sj) se correspondentpoint par point 
de manière que le plan tangent en un point de l'une passe par le 
point correspondant de l'autre, et inversement, de sorte que les 
deux plans tangents qui se correspondent passent par la droite 
qui joint leurs points de contact. En somme, les deux surfaces 
sont conjuguées par rapport au complexe linéaire, et les lignes 
asjmptotiques de l'une sont conjuguées des lignes asjraptotiques 
de l'autre. 



SUR LES EXPRESSIONS QUI S'ÉCARTENT LE MOINS DE ZÉRO 
DANS UN INTERVALLE; 

Par m. de Là Vallée Poussin. 



Considérons une suite de n -{- i puissances 3?°*», x'^', ..., x^- 
dont les exposants sont des nombres positifs donnés 

dont le premier peut être nul. Donnons-nous le coefficient A/f de 
l'une des puissances précédentes (A^p^^oj. Désignons par P(iK') 
l'expression (réelle) 

(i) p (x ) = ^0 37*0-1- a,a:^*i-(-. . .-i- A^a;-*»-!-. . .H- anX^"-, 

contenant le terme assigné A^a?^*, qui peut être le premier sous la 
condition de ne pas se réduire à une constante (a^^ o), et où les 



— 54 — 

coefficienls non donnés a sont choisis de manière que P s'écarte 
le moins possible de zéro dans l'intervalle (o, i). Le polynôme P, 
qui est déterminé ainsi d'une manière univoque, est \e polynôme 
cV approximation de zéro relatif à la suite des exposants ao, 
a, , . . . , y-n et au coefficient A^. Le maximum L de | P | est Vécart 
correspondant et cet écart est atteint n 4- i fois avec alternance de 
signes dans l'intervalle (o, i). Ces conclusions exigent une 
condition que nous supposerons réalisée : le terme assigné dans P 
ne se réduit pas à une constante; il diffère donc du premier 
si ao= o ('). 

On conçoit que laissant invariable le terme A^a?*»^, on modifie les 
autres exposants de la suite. Alors le polynôme d'approximation 
change et l'écart correspondant varie. Les théorèmes suivant» pré- 
cisent le sens de cette variation : 

Théorème. — Si Von majore un exposant a,> a^, Vécart 
augmente (2). 

Nous désignerons par ^ > a/ la nouvelle valeur de a,, par Q le 
nouveau polynôme d'approximation, et parM l'écart correspondant. 
Il faut prouver que M est supérieur à L. 

On sait qu'une expression Ix n -\- \ termes de la forme (i) admet 
au plus n racines positives, et que le nombre de ces racines ne 
peut surpasser celui des variations de signes des coefficients (^). 

Considérons le polynôme initial d'approximation 

Il admet exactement n racines positives dans l'intervalle (o, i) 
puisqu'il atteint l'écart L avec alternance de signes en /i + i points 
consécutifs de cet intervalle. Ses coefficients sont donc difTérents 
de zéro et de signes alternés. Si, pour fixer les idées, nous suppo- 



(') Voir S. BERNsiriN, Sur l'ordre de la meilleure approximation des 
fonctions continues (Ac. des Se. de Belgique : Mémoires, in-4°, 2' série, t. IV, 
1912). 

(') M. Bernslein a démontré ce théorème par un raisonnement plus détourné 
dans le cas particulier où l'on assigne x comme premier terme de P {Mémoire 
cité, théorème 36). 

(') Mémoire cité, lemme 27. 



- 55 - 

sons A/^>»o, nous voyons que le signe du premier coefficienl a^ 
est celui de ( — i)*Aa, donc ( — i)'''. 

Considérons maintenant le nouveau polynôme 

Q = b^x^^^, . .+ A/,a'*i + . . .-h bx^^. . . ; 

le signe de ^o sera le même que celui de «o pour la même raison. 
Formons la ditTérence ( [^ >- a,-, par hypothèse) 

P — Q = (ao— bo)x^^-i-. . .-^ aiX^i— bx? + ...; 

le terme en x'^)' en a disparu. 

Je vais d'abord prouver que M est fL. A cet effet, je supposerai 
les écarts inégaux et j'en conclurai M >- L. 

Le polynôme P — Q a /i -f- i termes comme P (un terme en x^ 
remplace celui en x^ii); donc P— Q a /? racines positives au plus. 
Je dis qu'il en a ?i exactement. Soient, en effet, .r^, Xt, . . .^ Xn 
les n -\- I points où le plus grand des deux écarts est atteint par 
le polynôme correspondant; P — Q change de signe et admet 
une racine positive dans chaque intervalle de ces points et il n'y 
en a pas d'autre. 

Il suit de là que les coefficients de P — Q sont difiérents de 
zéro et de signes alternés. Les deux polynômes Pet P — Q ont un 
terme commun aiX^>; mais, avant lui, il y a un terme (A^a?^^) en 
plus dans P que dans P — Q. Donc les premiers termes de P et 
de P — Q sont de signes contraires, et le signe du premier terme 
de P — Q est (— i)^+'. 

Ce signe est celui de P — Q pour x infiniment petit, donc aussi, 
au point Xo, car (au cas où Xq^ o) il n'y a pas de racine entre o 
et Xo- Il vient donc 

signe[P(aro) — Q(.ro)] — signe (— O'^'+i. 

Ceci exige M > L, car, si M << L, Xq serait le premier 
point où P atteint l'écart L, donc avec le signe initial [ — ij^ qui 
est celui de «o- Ce signe serait celui du premier membre de l'équa- 
tion précédente, car | Q | est <! L; donc les deux membres de cette 
relation seraient de signes contraires. 

Je vais maintenant, pour achever la démonstration, prouver que 
les deux écarts M et L ne jieuvent pas être égaux. 

Supposons, par impossible, M= L. D'après ce qu'on vient de de- 



— 56 — 

montrer, cette égalité subsistera si l'on donne à ^ une suite de valeurs 
décroissantes tendant vers ay. Dans ce cas, Q tend vers P (sinon 
Pue sei'ail pas unique) ('). Supposons [j infinimenl voisin de ao ; les 
points ûCoi ^1 1 • ■ • 1 ^n ou P alleinl Técarl el ceux ^q, }',, . . . , y^ 
où Q atteint le uicnie écart respectivement avec le uième signe 
seront deux à deux infiniment voisins (ou confondus j. Alors P — Q 
a une racine dans chaque intervalle Xi, yi (ou confondue avec ces 
deux points), cela fait n — i racines. 

C'est impossible si ao> o, car alors Xq^ y^ et ces n -\- i racines 
seraient positives. C'est encore impossible si iCy, y^ et la première 
racine sont nuls (ce qui exige ao=oj, car cela entraine 
aQ=6o = ±Ij, de sorte que P — Q perd son premier terme el 
ne peut plus avoir que n — i racines positives : la contradiction 
subsiste. 

Théorème. — Si Von remplace un exposant (Xi<iy-k par un 
autre plus petit |j, l'écart augmente. 

Dans ce cas, on a 

P — Q = ( ao — bii) 37*0 -+-..._èa7P4-...-i- UiX^i + . . . . 

Le terme aiX'^i, commun à P et à P — Q est précédé d'un terme 
de plus (en x^) dans P — Qque dans P. Les premiers termes de P 
et de P — Q sont donc de signes contraires et la démonstration 
se fait comme dans le cas précédent. 

On est ainsi conduit à la conclusion suivante : 

Théouèaie. — Si Von considère le polyTiome cVapproximation 
de zéro relatif à la suite des exposants ao <C «i • . • -< «« ef con- 
tenant le terme assigné A^^r"*, V écart dépend du choix des 
autres exposants, mais il augmente si Von fait croître les 
exposants plus grands que a^ et décroître ceux qui sont plus 
petits. 

(') De In suite des Q, on pourrait extraire une suite convergeant vers P' t^ P. 



- 57 - 



LA DÉFORMATION DES HYPERSURFACES 
DANS L'ESPACE CONFORME RÉEL A /<1j DIMENSIONS; 

Par m, E. Cartan. 



J'ai étudié, dans un Mémoire précédent ('), le problème de la 
déformation des hjpersurfaces an — i dimensions dans l'espace 
euclidien à n dimensions; j'ai montré qu'en général deux hy[)er- 
surfaces applicables l'une sur l'autre (avec conservation des lon- 
gueurs d'arcs) sont égales ou symétriques, ce qui revient' à dire 
qu'une lijpersurface est en général indéformable dans un espace 
euclidien à plus de trois dimensions ; j'ai indiqué également les 
catégories d'hypersurfaces qui font exception à la règle, c'est- 
à-dire qui sont clef or niables. 

Un problème analogue se pose dans l'espace conforme : à la 
notion de deux hypersurfaces applicables se substitue alors la 
notion de deux hypersurfaces admettant une représentation con- 
forme l'une sur l'autre (avec conservation des angles) : la notion 
d'angle subsiste en eifet dans la géométrie conforme, à la diffé- 
rence de la notion de longueur qui disparaît. Une hypersurface 
déformable dans l'espace conforme est alors une hypersur- 
face admettant une représentation conforme si;r une'autre hyper- 
surface qui ne se déduise pas de la première par une transfor- 
mation conforme^ de même qu'une hypersurface déformable dans 
l'espace euclidien est une hypersurface applicable sur une autre 
hypersurface qui ne se déduise pas de la première par un 
déplacement de l'espace euclidien. 

Dans l'espace à trois dimensions, deux surlaces ^quelconques 
admettent, comme on sait, une représentation conforme l'une 
sur l'autre; dans l'espace conforme à trois dimensions, toute sur- 
face est donc déformable et peut se déformer suivant toute autre 



( ' ) La déformation des hypersurfaces dans l'espace euclidien a n dimen- 
sions (Bulletin de la Société mathématique de France, t. XLIV, igiT», 
p. 65-99). 



- o8 — 
surface. Tl en est aulrenieul dans l'espace coafoniie à quatre ou 
j)lus (Je quatre dimensions. 

Je m'occupe dans le présent Mémoire du cas de n > \ dimen- 
sions qui correspond, pour resj)ace euclidien, à /i>>3 dimensions. 
Dans l'espace conforme à « >> \ dimensions, une hypersurface est 
en général indéformable, de même que dans res|)ace euclidien 
à n > 3 dimensions une hypersurface est en général indéformable. 
Les cas d'exception sont les suivants : 

a. Les Jiypersur/aces enveloppes d'une Jiypersp/ière dépen- 
dant d'un paramètre^ qui admettent une représentation con- 
forme sur riivpersphère. 

b. Les hypersui faces dont V équation peut être ramenée^en 
coordonnées {n -ha) — sphériques^ à la forme 

¥{xi, Xi, xz, x^) = o, 

F étant homogène; l 'hypersurface la plus générale résultant de 
la déformation d'une telle hypersurface dépend de deux fonctions 
arbitraires d'un arguuient. 

c. Les liypersurfaces lieux d'une variété sphérique à n — 2 
dimensions dépendant d'un paramètre. Les hjpersurlaces 
applicables dépendent d'une fonction arbitraire d'un argument. 

d. Les hypersurfaces em'eloppes d'une hypersphère à deux 
paramètres u et r lorsque les coordonnées (/î + aj — sphériques 
(a, a,, . . ., a„^, ) de cette hypersphère, 

a(arf H-. . .-^ X^) — II^Xi — . . .— ■J.^nXn-^ '■'■n+X = o, 

satisfont à une même équation de Laplace de la forme 

et que la forme 

af -I-.. . -1-2,2 _ aa„^i 

est la différence U — V entre une fonction de u et une fonc- 
tion de V. Les hypersurfaces déformées dépendent essentielle- 
ment d'un paramètre ; elles sont de la même catégorie, avec la 
même équation de Laplace, mais les fonctions U et V ont subi 



— 59 — 

une même transformation liomographique à coefficients cons- 
tants. 

e. II existe de plus, pour n =: 5, des hypers iir faces appartenant 
à la catégorie b et qui admettent une représentation conforme sur 
d'autres hjpersurfaces que celles qui résultent de leur déformation 
continue dans l'espace conforme. Le ds- d'une telle hypersurface 
est, à un facteur fini pi'ès, la somme d'un ds- à deux variables à 
courbure totale constante et d'un autre ds- à deux variables dis- 
tinctes des premières et également à courbure totale constante. 

f. Il peut exister enfin, pour n = 5, des bypersurfàces ne ren- 
trant dans aucune des catégories précédentes et susceptibles 
d'admettre une déformation continue avec conservation des lignes 
de courbure. Sur ces bypersurfàces les lignes de courbure de trois 
quelconques des quatre familles s'assemblent en bypersurfàces' à 
trois dimensions dépendant d'un paramètre, comme cela a lieu 
par exemple pour les quadriques. Ces bypersurfàces seront 
étudiées dans un Mémoire ultérieur. 

Le cas de l'espace conforme à quatre dimensions mérite une 
étude à part. Je ne l'ai traité incidemment que pour les bypersur- 
fàces admettant une représentation conforme sur l'byperspbère. 
Les enveloppes d'byperspiières à un paiwmètre ne sont pas les 
seules bypersurfàces jouissant de cette propriété; les bypersur- 
fàces les plus générales sont les solutions d'un système d'équa- 
tions aux dérivées partielles admettant six familles de caractéris- 
tiques à deux dimensions; elles dépendent de six fonctions 
arbitraires d'un argument. Ces bypersurfàces peuvent être carac- 
térisées par une propriété géométrique simple. A cbaque point M 
d'une bypersurface quelconque de l'espace à quatre dimensions 
on peut faire correspondre une surface (à deux dimensions) du 
second ordre, située dans l'iiyperplan tangent et qui est Vindica- 
trice de l'hypersurface. Les six plans (à deux dimensions) de 
sections cycliques de cette iadicatrice peuvent être appelés les 
plans tangents ombilicaux en M à l'hypersurface. Pour qu'une 
bypersurface admette une représentation conforme sur l'byper- 
spbère, il faut et il suffit qu'il existe sur cette bypersurface six 
familles de surfaces (ù deux dimensions) telles qu'il en passe une 



- GO - 

et une seule de chaque famille par chaque point M de Thyper- 
surface et que ces six surfaces soient respectivement tangentes 
en M aux six plans tangents ombilicaux relatifs à ce point. Ces 
six familles de surfaces sont les six familles de caractéristiques 
dont il est question plus haut. 

Les n°^ \ à 18 sont consacrés à une étude préalable de la Géo- 
métrie conforme et de quelques métriques remarquables qui 
trouvent leur application dans la suite du Mémoire. Ce n'est qu'à 
partir du n" 19 que la question de la déformation des hjpersur- 
faces dans l'espace conforme est abordée. 



ESPACES NON EUCLIDIENS ET ESPACE CONFORME. 

1. Considérons dans un espace à n diuiensions la quadrique 
représentée, en coordonnées bomogènes, par l'équation 

OÙ la forme quadratique O est réductible à une somme de n ->r \ 
cari'és positifs, ou à une somme de n carrés positifs et un carré 
négatif. 

Dans le premier cas l'espace, où l'on a distingué la qua- 
drique (i), est ce qu'on appelle un espace elliptique. Dans le 
second cas, la portion de l'espace intérieure à la quadrique (i) 
(c'est-à-dire celle qui rend <ï> négatif) constitue ce qu'on appelle 
un espace hyperbolique; les points de l'espace projectif exté- 
rieurs à la quadrique absolue sont appelés j9oz"/??5 idéaux de l'es- 
pace hyperbolique. 

Le groupe des transformations projectives qui laissent inva- 
riante l'équation (i), ou, ce qui ne restreint pas la généralité, 
laissent invariante la forme 4>, est le groupe des dépincements 

de l'espace elliptique ou hyperbolique : il est à para- 
mètres. Etant donnés deux points INI et INI' de l'espace elliptique 
ou hyperbolique, le rapport anharmonique de ces points et des 
deux points d'intersection A, B de la droite MM' avec la qua- 
drique absolue constitue un invariant pour le groupe des dépla- 
cements. 



— 61 - 

Si l'on désigne par k une constante donne'e. positive dans le 
cas de l'espace elliptique, négative dans le cas de l'espace hyper- 
bolique, on définit une métrique de courbure k de cet espace en 
appelant distance {cayleyenne) des deux points M, M', le produit 

par — du logarithme du rapport anharmonique 

2 /— A- 

M'A . AIA 
iVpB ' MB' 

cette distance est essentiellement réelle. A ce point de vue, les 
points de la quadrique absolue sont les points à V infini de l'espace 
(hyperbolique). 

2. On peut calculer facilement la distance (cayleyenne) des 
deux points M, M', ainsi que l'élément d'arc ds^ en se servant 
d'une notation symbolique simple. Désignons par une lettre 
majuscule M l'ensemble de /? -}- i coordonnées (iC,, oc 2-, •••■, •ï'^+i), 
un point géométrique étant ainsi représenté aussi bien par M que 
par «M, où a est un coefficient numéricjue quelconque. Posons 

M j M =^{Xi, ..., Xn + \)\ 

L expression M|M' {produit géométrique des deux points M, M') 
est Invariante vis-à-vis de toute substitution linéaire conser- 
vant <I>, c'est-à-dire vis-à-vis du groupe des déplacements de 
l'espace, elliptique ou hyperbolique. Dans le cas de l'espace ellip- 
tique, le carré géométrique M | M est essentiellement positif; dans 
le cas de l'espace hyperbolique, il est négatif si M est un point 
réel de l'espace, positif si c'est un point idéal, nul si c'est un 
point à 1 "infini. 

On peut toujours supposer choisies les coordonnées d'un point 
réel M de l'espace, elliptique ou hyperbolique, de manière à 
avoir 

(2) M|M=^ 

on peut aussi supposer, dans le cas de l'espace hyperbolique, que 
les coordonnées des points réels sont choisies de manière à avoir, 



— 62 - 
quels que soient les points réels M et M', 

M|M'<o. 

Cela posé, si A et B sont les deux points à l'infini de la 
droite MM' (réels si l'espace est hyperbolique, imaginaires con- 
jugués si l'espace est elliptique), on peut poser 



M = XA-4- kB, M'= )'Ah-|jl'B 



avec, d'après (2), 
On a alors 



M1M' = (Xa'-f- [jiÀ') A |B. 
Or, par définition, étant la dislance cajlejenne MM', on a 



Xu' 



jO y' — k e~^ ^ — * 



Î^A' 



= v/À|-iX>', 



d'où 

(3) 



Ml M'= i ch (ov/-A) (/.■<o), 
= -tCOs (0 /Â) (A->o), 



d'où enfin, plus généralement, si l'on ne suppose plus la rela- 
tion (2) vérifiée. 



(3') 



cosi^i/a) = , (espace elliptique); 

v/A1|M.M'|M' 



c\x(^^—k) 



AI I M' 



\/M|M.M'|M' 



(espace hyperbolique). 



Dans le cas de l'espace ellipti(|ue, la longueur totale dune droite 

indéfinie est -^ • 

^k 

3. Supposons maintenant M' infiniment voisin de M et la rela- 
tion (2) vérifiée; nous aurons 



M 



,,^rf.M+i#,M+...)=^(,_:Ac= + ... ; 



or de (2) on déduit 



M 1 rfM = o, 



- 63 - 

puis 

M\dm =—dM\dM; 
il en résulte 

(4) 52=^52= rfI\l|c/M, 

relation qui n'est vi-aie que si l'on suppose le point variable ^I 

choisi de manière que son carré géométrique soit égal à t» Plus 

généralement, si l'on suppose ce carré géométrique constant, on 
aura 

~ A-M|M ' 

telle est l'expression d'un ds- elliptique ou hyperbolique de 
courbure k. 

4. On définil de même l'angle caylejen de deux droites issues 
d'un point réel M ; soient P et Q les deux points d'intersection 
(idéaux si l'espace est hyperbolique) de ces droites avec l'hyper- 
plan polaire de M par rapport à la quadrique (i); on peut supposer 
choisies leurs coordonnées de manière à avoir 

P|P = ,, QlO = i; 

l'angle œ des deux droites, qui peut se définir par le logarithme 
d'un rapport anliarmonique, satisfait à la relation 

coscp = P| Q. 

5. Passons maintenant à la notion d'espace conforme. Considé- 
rons un espace euclidien à n dimensions rapporté à un système de 
coordonnées rectangulaires ; l'équation de toute hypcrsphère est 
de la forme 

(5) rt„4_i(x| -H r| -(-. . .-t- X,' )— 2«i a^i — . . . — 2<ï„ j:-„-h a„+2 = o, 

chaque hypersphère étant définie par un système de n -\- 2. coor- 
données homogènes («,,«2^ • • •> «^"f/i+a)- La condition pour que 
l'hypersphère soit de rayon nul est 

Q(ai, . .., a„+2) = a]-h al-h. ..-h af, — a„H-i«„+2 = «• 



— 64 — 

L'hypersphère est réelle si la forme quadratique Q est positive, 
elle est'imaginaire^si la forme quadratique fi est néojative. 

A une iijpersphère de rajon nul correspond en général un point 
bien déterminé, qui est son centre, et réciproquement; mais nous 
étendrons la notion dhjpersplière de rayon nul à tous les cas où 
les /i*H- 2 coordonnées a,, 'non toutes nulles, annulent fi, par 
exemple à l'hypersphère (o, ..., o, i) (point à l'infini). 

L'espace conforme est formé de toutes les hypersphères de 
rayon nul. 

Le groupe conjorme est formé de toutes les transformations 
linéaires effectuées sur les variable a,, ..., ««4.3, et laissant inva- 
riante l'équation fi = o ou, ce qui ne restreint pas la généralité, 
laissant invariante la forme quadratique fi. C'est un groupe ponc- 
tuel transformant'les hypersphères en hypersphères. 

Si l'on désigne par une. lettre majuscule A une hypersphère ou 
plutôt l'ensemble de /i + 2] coordonnées («,, a^^ ..., ««+2)? on 
définit les symboles A | A et A | A' par les égalités 

A I A = !.2(ai, rt,, . . ., a,i+i), 
' 2 \ (^rti da-2 ôan+îj 



L'équation 



A|A'^ 



exprime que les deux hypersphères A et A' sont orthogonales. 
Les hypersphères réelles sont caractérisées par un carré géomé- 
trique positif, les hypersphères imaginaires par uu carré géomé- 
trique négatif. Si es est l'angle de deux hypersphères réelles sé- 
cantes A, A', on a 

A I A' 



coso = 



v/A| A.A'I A' 

6. 11 y a une correspondance remarquable entre un espace con- 
forme E à /i dimensions et un espace hyperbolique C à n -\- \ 
dimensions. Si en effet on regarde (rt), . . .', an+2) comme des 
coordonnées homogènes d'un espace à «+ i dimensions, l'équation 

Qf'ai, . . ., a„+2) = o 
détînit une quadrique de cet espace et les points intérieurs à cette 



— 63 - 

quadrique constituent un espace hyperbolique C. A une hyper- 
sphère réelle de E correspond un point idéal de £, à une hyper- 
sphère imaginaire de E correspond un point réel de C. à une 
hypersphère de rayon nul ou hypersphère-point de E correspond 
un point à l'infini de C : les points de l'espace conforme E sont 
donc représentés d'une manière uni-univoque par les points k 
l'infini de C. Enfin au groupe conforme correspond le groupe des 
déplacements de c. 

A une hypersphère A correspond dans C un point a; mais on 
peut regarder A comme un lieu de points M; les hypersphères- 
points M admettant ces points M pour centres sont caractérisées 
par la condition d'être orthogonales à A : 

A I M = o : 

elles sont donc représentées dans C par les points de la quadrique 
absolue qui sont dans Thyperplan polaire de a par rapport à cette 
quadrique. 

De même, une variété sphérique (S) k n — p dimensions de E 
peut être envisagée à deux points de vue : en premier lieu comme 
intersection d'hypersphères A|, ..., A^ ou base d'un faisceau 
linéaire d'hypersphères, et alors il lui correspond dans C une 
variété linéaire 7:^_i h p — i dimensions, celle qui est déterminée 
par les points a,, .... a^ qui correspondent à A,, ..., A^; en 
second lieu (S) peut être regardée comme un lieu de points, 
centres d'hypersphères de rayon nul, et alors il lui correspond 
dans il l'intersection de li quadrique absolue avec la variété 
linéaire ~^_,,+ , conjuguée ce 7:^_, par rapport à la quadrique 
absolue. 

En particulier à une circonférence de E correspondent d'abord 
une variété linéaire ~,i_2 à n — 2 dimensions, ensuite l'intersec- 
tion de la quadrique absolue avec une variété linéaire à deux 
dimensions; cette intersection est une conique et il est bien évi- 
dent que le ra|)port anharm )niquc de quatre points de la circon- 
férence de E est égal au rapnort arli irmonicjuc des quatre points 
correspondants de la conique de C. Comme ce dernier est invariant 
vis-à-vis du groupe des dépl cerne j de <C, le premier est invariant 
vis-à-vis du groupe conforn.o de E. 

xi.v. 5 



- 66 - 

Le rapport anharmonique de quatre points d'une circonfé- 
rence se conserve donc par le groupe conforme. 

7. Il n'v a pas de métrique dans l'esj)ace conforme. A la vérité 
rexjiression <iM | c/M se reproduit par les transformalicjns du 
«groupe cont'orine, mais dans les coordonnt'es de lliypersplière- 
poinl -M il Teste un facteur indéleriiiiui'. (ju'il n'y a aucune raison 
de choisir d'une manière plutôt que d'une autre; si l'on choisit 
aii+\ = I , <iM I c/M est le ds- euclidien. Du reste dans l'espace C 
deux points de la quadrique absolue n'ont aucun invariant vis-à- 
\ i> (hi i;roupe des déplacements hyperboliques. 

11 n'en est plus de même si l'on fait choix dans l'espace conforme 
d'une hypersphère A, qu'on appellera Vhypersplière absolue. A 
cette hypersphère correspond dans v!^" un pctint a : soit t. Ihyper- 
plan polaire de a par rapporta la quadric[ue absolue. A toutpoini u 
de la quadrique absolue on peut faire correspondre sa projec- 
tion V faite du point a sur l'hvperplan -; réciproquement, à tout 
point V de t: correspondent deux points de la quadrique absolue, 
à savoir les points d'intersection de cette quadrique avec la 
droite av. Il v a donc une correspondance bi-univoque entre les 
points de la quadrique absolue et les points de l'hyperplan tî. 
Mais cet h vperplan - peut être regardé comme un espace à n dimen- 
sions, elliptique s'il ne coupe pas la quadrique absolue de C, c'est- 
à-dire si a est un point réel de €, hyperbolique s'il coupe la qua- 
drique absolue de C, c'est-à-dire si a est un point idéal de C. 

En définitive, fious avons donc établi une correspondance 
bi-univoque entre les points de l'espace conforme Edans lequel 
on a choisi une hypersphère absolue A, et les points d'un 
espace à n dimensions -, elliptique si A est imaginaire., hyper- 
bolique si A est réelle. A un hyperplan à /i — i dimensions de - 
correspondent dans C les points d'intersection de la quadrique 
absolue avec un hyperplan à n dimensions passant par a, c'est- 
à-dire dans E les points d'une hypersphère orthogonale à A, et 
l'éciproqueuient. \ une droite de — correspond donc une circon- 
férence de E orthogonale à l'hypcrsphère absolue; aux deux 
points à l'infini de cette droite corres[)ondent les deux points 
d'intersection de cette circonférence avec Ihypersphère A. 

Soient M, M' deux points de l'espace conforme E; C et D les 



— 67 - 

points d'intersection de A avec la circonférence qui lui est ortho- 
gonale et qui passe par M et M'. Soient maintenant [a, jj.', y, o les 
points de la quadrique absolue de C qui correspondent k M, M', 
C, D ; ces quatre points sont sur une même conique. Soient enfin 
V, v', y, les projections de [j., |jl', y, ô faites du point a surThyper- 
plan 7z (espace e). 

Il existe une relation simple entre le rapport anharmonique des 
quatre points en ligne droite v, v', y, ô et le rapport anharmonique 
des quatre points de la conique a, [Ji.',y , ù (c'est-à-dire le rapport 
anharmonique des quatre points de la circonférence M, M', C, D). 
En effet si ijl parcourt la conique, on peut poser 

en exprimant que a est sur la quadrique absolue de C on obtient 
o = a| a-+-2r^Y I 3, 

et par suite le produit a^y reste constant; les coordonnées de a 
s'expriment donc en fonctions rationnelles du paramètre y dont 
les valeurs pour y et o sont respectivement o et oo; par suite le 
rapport anharmonique des points [ji, jjl', y, o est 

z'. 

r' 

d'autre part le rapport anharmonique des points v, v', y, o est 

2L • z = fzl = ^.y'-^'y ^ y- . 

x' ' X x' y x'y.xy y"^ ' 

cest donc le carré du précédent. Ce théorème peut d'ailleurs se 
démontrer géométriquement sans difficulté. 

8. Si l'on déluilt dans l'espace elliptique ou hyperbolique - une 
métrique de courbure Â", comme il a été dit plus haut, on définira 
par cela même une métrique dans l'espace E où l'on a fait choix 
d'une hjpersphère absolue A, la distance de deux points INF, M 
de E étant par définition la distance des deux points correspon- 
dants V, v' de -. On voit d'après le théorème précédent que la 
dislance des deux points M, M' devra être définie comme l 



— G8 — 
produit par ■ du logarithme du rapport aiihannonique 

des deux points M et JM' a<^ec les deux points d' intersection de 
V hypersphère A aK-ec la circonférence gui lui est orthogonale 
et qui passe par M et M'. 

L'espace conforme Y,, oii Von a fait choix de l hypersphère 
absolue A et oii Von a défini la distance de deux points comme 
il vient d'être dit, est ce qu'on appelle un « espace sphérique » 
{si A est imaginaire) ou « pseudo-sphérique » (si A est réelle) 
de courbure k. H j a une correspondance bi-univoque entre les 
points dun espace sphérique et ceux d'un espace elliptique, entre 
les points d'un espace pseudo-sphérique et ceux d'un espace 
hjperbolicjue. A une circonférence orthogonale à l'hypersphère 
absolue d'un espace sphérique ou pseudo-sphérique correspond 
une droite de l'espace elliptique ou hyperbolique; la longueur 
totale d' une circonférence d' un espace sphérique de courbure A 

est -^, celle de la droite de l'espace elliptique de même cour- 
bure k est -^- 

9. Le ds- d'un espace sphérique ou pseudo-sphérique se calcule 
facilement. Choisissons les coordonnées de A de manière à avoir 

A|A = -i; 

toute hjpersphère-point M peut se mettre sous la forme 

M = A + N, 

N étant une hypersphère orthogonale à A (celle qui a pour image 
le point v) ; M | M étant nul, on en déduit 

Le ds''^ de l'espace tî est par suite [formule (3)] 

Le ds^ de V espace sphérique ou pseudo-sphérique de 
courbure k est donc représenté par le carré géométrique 



- 69 — 

clM\dM, où les coordonnées de Vhypersplière-point ^l sont 
choisies de manière que M — A soit orthogotiale à A, le 

carré A I A étant éocil à — r- 

On a aussi la formule générale 

AI A.. /M If/M 

et le second membre est indépendant du clioix des coordonnées 
de \ et de M. 

10. Nous avons supposé jusqu'à présent Ihypersphère A de 
rayon non nul. SI A|A:=o, on peut définir une métrique de 
l'espace conforme en choisissant les coordonnées de l'hypersphère- 
point M de manière que M | A soit égal à une constante donnée et 
poser 

rfs2= d\\ \cm. 

Le ds'^ obtenu est celui d'un espace euclidien cà n dimensions. 
Choisissons en elFet n hypersphères réelles A,, ..., A„ passant 
par A et orthogonales entre elles 

A,|Ay=o, A,|A, = i. 

et soit B le point d'intersection autre que A de ces n hypersphères, 
riiypersphère-point B ayant ses coordonnées choisies de manière 
à satisfaire à A | B ^ i . Si alors 

on aura 

M I M =J>-J-t-J'2 -f-. . — ^2 ^ 2J'„+,7„+2 = o 

et 

M|A=jK„+,. 

Si donc on choisit j)'„^2 constant, on aura 

d\\ I (/M = dy\ ^ drl^...^dyl. 

A un hyperplan de l'espace euclidien à n dimensions, délini par 
une équation 

«iri-<-«2j2 — ■• .-i-««^'«-i- 6 = O, 



— 70 - 
correspond l'Iiypcrsplièi^e 

lieu <les points M dont les coordonnées yi satisfont à la même 
relation. C'est une hypersplière passant par A. 

Tout ce qui précède devient du reste évident si par une invei'- 
sion on rejette le point A à l'infini. 

Le sous-groupe conforme qui laisse invariante l'hypersphère 
absolue A correspond au gi'oupe des déplacements et des homo- 
théties de l'espace euclidien : le ds^ est ici un invariant relatifs 
cet invariant pouvant se reproduire multiplié par une constante. 

11. Considérons maintenant dans l'espace hyperbolique C deux 
variétés linéaires conjuguées .par rapporta la quadrique absolue, 
l'une (a) à p dimensions, l'autre ([^) à n — p dimensions. l*ar tout 
point ]j. de c, et en particulier par tout point [x de la quadrique 
absolue, passe une droite et une seule rencontrant (a) en un 
point (7 et (p) en un point t. Supposons que (a) ne rencontre 
pas la quadrique absolue, alors ([iJ) la rencontre. On peut choisir 
les coordonnées de pi. de manière à avoir 



avec 

et par suite 

Cela permet de définir sur la quadri(jue absolue une métrique par 

l'équation 

ds- = d[x I d\i. ■= d<3 I r/cr 4- d- | dx ; 

le ds'^ est ainsi la somme d'un ds- de courbure /. et d'un ds^ de 

courbure — /. . 

Si l'on passe de 1 espace C à l'espace conforme E, le point a 

coi'respond à un point M de l'espace conforme, le point a à une 

hjpersphère réelle S et le point - à une hypersphère imaginaire T 

et l'on a 

dm c?M = afS| rfS-+-^T|^T. 



- 71 - 

L'hypersphère S fait partie d'un faisceau linéaire p fois infini 
d'Iijpersphères, admettant pour base une variété spliérique réelle 
il n — p — 1 dimensions (A) [celle qui correspond à (a)]; l'iiyper- 
splière T fait partie d'un faisceau linéaire u — p fois infini 
d'hjpersphères, orthogonal au premier, admettant pour base une 
variété spliérique imaginaire Ix p — i dimensions (B). Si l'hyper- 
splière T reste fixe, l'hypersphère S variant, le point M := S + T 
se trouve sur toutes les hypersphères du second faisceau ortliogo- 
nales à T et par suite décrit leur intersection qui est une variété 
spliérique à p dimensions passant par (B), et dans cette variété 
spliérique on a distingué le lieu des points qui se trouvent sur T, 
c'est-à-dire l'hypersphère (B) qui joue le rôle d'hypersphère 
absolue; on voit donc bien que le premier ds- partiel, à savoir 
c/S I f/S, est le ds- qu'on obtient en faisant varier jM sur une hyper- 
sphère à p dimensions passant par (B) considérée comme espace 
spliérique de courbure Â, dont l'hypersphère absolue serait (B). 
De même le second ds- partiel dT | dT est le ds- qu'on obtient en 
faisant varier M sur une hypersphère à n — p dimensions passant 
|)ar (A), considérée comme espace pseudo-sphérique de cour- 
bure — /•", dont l'hypersphère absolue serait (A). 

La décomposition de l'espace conforme au moyen de ces deux 
réseaux orthogonaux de variétés sphériques, considérées les unes 
comme espaces sphériques à p dimensions de courbure /. , les 
autres comme espaces pseudo-sphériques l\. n — y> dimensions de 
courbure — /. , définit ainsi une métrique de l'espace conforme. 
La transformation conforme la plus générale qui laisse invariante 
cette métrique est le produit d'une ti-ansformation laissant inva- 
riante chaque variété du premier réseau et transformant entre eux 
les points de cette variété comme un déplacement de l'espace 
spliérique (i p dimensions, par une transformation laissant inva- 
riante chaque variété du second réseau et transformant entre eux 
les points de cette variété comme un déplacement de l'espace 
pseu(lo-sphéri(jue à // — p dimensions. Toutes ces transformaliiuis 

lornicnt iiu i:r.tM|te >eiiii-snnpk' a — ' ' ' 



2 2 

paramètres. 

Par exemple, dans l'espace à trois dimensiiuis, le faisceau des 
plans qui passent par O ; et le réseau orthogonal des circonférences 



- 72 - 

d'axe O:; conduit au (h- suivant : 

dr'--T- dz- 
di>-^= -; h diyi, 

OÙ -, — — est le f/s- d'un ])lan pseudo-sphérique tle courl)uie — i 

avec l'axe des z- comme absolu, et où f/0- est le <Js- d'une circon- 
tc'rcnce considéi'c'e comme espace splicrique à une dimension de 
courbure i, l'absolu étant l'ensemble de deux points cycliques à 
l'infini. Les coordonnées /", c, 9 sont les coordonnées cylindriques 
ordinaires. 

i2. Nous avons supposé implicitement que la variété linéaire (a) 
n'était pas tangente à la quadrique absolue. Si elle est tangente à 
la quadrique absolue, il en est de même de la variété conjuguée (P) 
et ces deux variétés ont un point commun, le point de contact. Les 
deux faisceaux linéaires d'iijpersphères S et T ont alors en com- 
mun une hjpersphère-point A ; soient alors 

le premier faisceau, 

u A -H ;jii C 1 + . . . -+- !-»./)-/j C„ _ p 

le second faisceau et soit enfin D le point d'intersection autre 
que A des ii lijperspiières B/ et Cy, clioisi de manière à avoir 

A |D = I. 

Si l'on choisit les coordonnées dune liypersphère-point M de 
manière que Mj A soit égal à une constante donnée, on aura 

i = l> i = n-p 

i=l 7=1 

et 



dM\dM=^dxf^ y dyi. 



i=\ i=\ 



On a ainsi une métrique pour laquelle le ds- est la somme de 
deux ds' il courbure nulle^ l'un à p dimensions, l'autre an — p 
dimensions. Le premier ds"^ partiel est celui qu'on obtient lorsque 



- 73 - 

le point M décrit la variété sphérique intersection des hyper- 
sphères G) — J'iA, ..., C,i_p — j'„_j,A, considérée comme espace 
euclidien h p dimensions, le point à l'infini étant A; le second c/s- 
partiel est celui qu'on obtient lorsque le point M décrit la variété 
sphérique intersection des hypersphères B, — a?j A, .. ., B^ — oCpX, 
considérée comme espace euclidien à ?i — p dimensions, le point 
à l'infini étant A. Si par une inversion on rejette A à l'infini, 
l'espace conforme est décomposé suivant deux réseaux orthogonaux 
de variétés planes parallèles h p et 7i — p dimensions. 

Les transformations conformes qui laissent cette décomposition 
de l'espace invariante s'obtiennent en multipliant une transfor- 
mation par déplacement et homothétie d'un espace euclidien à 
p dimensions par une transformation par déplacement et homo- 
thétie d'un espace euclidien à 71 — p dimensions, mais cette géné- 
ration n'est pas unique; le groupe considéi'é est à 

p( P -h i) (fi — p ) [ n — p — i) 
— h hi paramètres. 



LES SYSTÈMES DE RÉFÉRENCE MOBILES DANS LES ESPACES ELLIPTIQUE 
ET HYPERBOLIQUE, CONFORME, SPHÉIUQUE ET PSEUDO-SPHÉRIQUE. 

i3. Prenons dans un espace elliptique ou hyperbolique un 
système de référence mobile formé de « + i points M, M,, ..., M„ 
satisfaisant à 

(5) M|M=i, M,|M, = i, M|\I,= .M,|M, = o, (/^y). 

T T 1 V I ' I 1 " ( '* -t- ' ) > O • I ' I » 

Un tel système dépend de ■ paramètres, bi 1 on donne a 

ces paramètres une variation infiniment petite, on aura des for- 
mules de la forme suivante : 



(6) 



dM = TOoo M + riToi IMi -4- . . . 4- w^n Mn, 
dMi = Wu) 1\1 -(- 73ii Ml -^ . . .-f- tiî|„ M„, 

f/M„ — CT„o M -+- 7TT„, M, H- . . 4- ra„„ M„, 



où les rn,y sont des expressions linéaires par rapport aux dilVéren- 
tielles des paramètres (expressions de Pfaflj. Si l'on exprime que 



— 74 - 

les relations (5) sont vérifiées idenliqneinent. on «jhlient par 
dilTérentiation 

HTiio = o, jn,i = o ( / = 1 , 2, . . . . n ), 

ra/u = — km,i). V3,j = — mji ( ' ?^ J ', ', / — i , . . ., n), 

ce qui permet d'écrire 

dW = oj, .M| -+- (Oj AIj — . . .-}- (o„ .M„, 

f/.M,, = — A(.j„ Al -t- 7î7„, M,-i-. . .^ TO„,„-i M«_i, 



(6') 



où rrT/y= — ra//. H ne reste donc que ■_ expressions de PfafF 

comme djeflicients dans les seconds membres. 

Le ds- de l'espace, considéré comme à courbure /. , est alors 

ds- = <:/M I (/M = »o j -(- 0J7, + . . . -T- 10/, . 

Si l'on exprime que les équations ((>') sont complètement 
intégrables, c'est-à-dire que les covariants bilinéaires des seconds 
membres sont identiquement nuls, on obtient les relations 

I (■->; = [wi'îîi/] + [w'^i/] -i-- • --i- ["j/,^„/], 

( m'ij = — / [ 03, Mj ] -1- [ TTT/, ra,y ] -4- [ 73,5 Woy ] -f- . . . ^- [ CT,„ m„j ] ; 

ce sont les fontiules de straclure dn i;roupe des déplacenients 
de respace, elliptique ou liyperboli<iue. cofisidrrr. 

Les formules (6') et (- ) s'applicjuent aussi à l'espace euclidien, 
en y faisant /,• = o et en supposant que M,, ..., M„ désignent 
71 vecteurs unités rectangulaires, M étant un point. 

14. Les formules (-) permettent de reconnaître à quelles con- 
ditions une forme quadratique définie positive des dillerentielles 
de n variables u,, ..., u^ (les coefficients étant des fonctions de 
ces variables j est le ds- d'un espace de courbure constante /". 
Cette forme quadratique peut toujours en effet être mise sous la 
forme oi'-^ ~\- ...-{- m^ . Les co\ariants bilinaires oj', , ...,io',j, s'an- 
nulant nécessairement en même temps que co,, ..., o>„, peuvent 



— 75 — 
toujours être mis sous la forme 

(8) co', = V[copr^p,J, 

p=i 

OÙ les TSij sont n- nouvelles expressions de Pfaff convenablement 
choisies. On peut du reste, sans changer les formules (8), rem- 
placer V3ij par 

où les Ji^ coefficients a/y^ satisfont à 

2£///, = a/y/. 

On voit sans difficulté qu'on peut disposer de ces coefficients, 
d'une manière et d'une seule, de façon à avoir 

mu — o , mjj -+- trjji = o (^i zjé j : i^ J — i^ ...,«). 

Gela posé, pour que l'expression Sw/- soit le ds- d'un espace de 
courbure /r, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer, en fonc- 
tion des n variables w,, ..., iin, les coordonnées d'un point 
variable M de l'espace, de manière à avoir 

(9) M|.M = -i, ^M|f/.M = oif — oj|^... + oj^,. 

On pourra alors toujours poser 

dM = w 1 M 1 -f- . . . -(- M,i M „ , 

où M/ sont des points convenablement choisis et les conditions (y) 

donnent 

M|M/ = o, .M,iM, = i, M,|My = o. 

On a donc ainsi un système de référence mobile et par suite, 
d'après {& ), des formules telles que 

dMi = — /cto, M — TT^i M 1 -t-. . . -1- TO,„ M„ ; 
les formules (->) et (8) montrent alors que les nj/y ne sont autres 



- 76 — 
que les ni/y, d'où l'on déduit, d'après (j), 

(fo) m',-/ =— / ['.j,o)yJ -+- |t7t,, T7t|yJ 4-. . .+ [Tn/„7n„yJ (i,j=i, ....ri). 

Les relations (lo) fournissent les conditions nécessaires pour 
que le ds- donné soit de courbure /»'. Ces conditions sont suffi- 
santes, car si elles sont vérifiées le syslènie de Pfa[r(G')est com- 
plètement inlégrahle, puis(jue les covariants bilinéaires des deux 
membres de ses équations sont, d'après (S) et (lo), égaux en 
tenant compte de ces équations elles-mêmes. 

En définitive, Vexpressioii lo'^ H-. . . + w,^^ esL lui ds^ de cour- 
bure k si les expressio?is r3ij= — ray/ définies par (8) satisfont 
à (lo). 

lo. Passons à l'espace conforme. Choisissons comme système 
de référence mobile une hjpersplière-point M, puis n hjpersplières 
l'éelles orthogonales entre elles A,, . . . , A,,, enfin l'hypersphère- 
point N dont le centre est le deuxième point d'intersection de ces 
71 hjpersphères. Nous pouvons de plus supposer qu'on a 

(II) A/|A,= i. M|N = i, 

en même temps que 

(l'i) M|M = o, N|N = o, M|\,-o, N|A/==o, A, | A, = o. 

Un tel système de reterence dépend de -; paramètres 

et, en tenant compte des relations (i i) et (12), on voit qu'on peut 

poser 

dM = ÔM -I- m, Al -f- 0)2 A9-1-. . .-I- oj„ A„, 

o?A 1 = — -/j M — wi N -H nji 2 A2 -f- . . . -1- rai « A„ , 

(i3) / , 

dXn = — '/.//M — w„N -1- TTT„i A| + . . .-4-î;7„,„_i A„_i, 
dN =— 6N+~^iAi+ X2A2-+-. . .-h 7^„A„, 



avec 



Tiv !• ••! I 1 1 ( n -{- \) ( n + 1) 
Il s introduit ainsi dans les second membres ■ 

expressions de Pfall'B, w,, y/, ro/y. En prenant les covariants bili- 
néaires des deux membres de (i3) on arrive aux formules de struC' 



ture du groupe conforme 

/ 0' =— [Wl/.l]— [W2/_21 — . . .— [w,^/_„], 



('4; 



to'„ = [^w„] + [winji,j] — . . .-1- [to„_ira„_,,„], 



16. Prenons maintenant un espace sphérique ou pseudo-sphé- 
rique de courbure k\, au moyen d'une hypersplière absolue. Le 
point M étant un point mobile quelconque, choisissons les hjper- 
sphères A,, ..., X,, passant par M, orthogonales entre elles et 
orthogonales à 1 hvpersphère absolue; soit IS le deuxième point 
d'intersection de ces hvpersphères. L'hvpersphère absolue est de 
la forme A = «M -f- TiN; choisissons-la et choisissons M et JN de 
manière à avoir, comme il a été dit au n" 9, 



et 



il vient 



A 1 A = AI I A = - i 



M I N = I 



A=iM-y\=-;(N--MV 
2 k le \ '^ I 



Si alors nous exprimons que 1 hypersplière àN M reste fixe, 



2 



nous obtenons, d'après (i3), 

- ('n + I m) -+-//_,_ ^ m, ^ A, + ... + i^,n - \ co„) A„ = o, 



= o, y, = -Mi (i = I, . . ., n). 



Par suite, les formules qui donnent le déplacement infiniment 
petit du système de référence dans l'espace sphérique ou pseudo- 



- 78 — 
spKérique de courbure k sont 

f/.M = O), \i + OJo Âo-+-. . .H- w„ A„, 



(i5) 



1 rfAi = — w, / N -f- - INI j -t- ra,., A2-4-. . .+ cji,, A„. 

C/A,, = tO„ ( N -+- - iM ) -1- Tn„i Al -H . . . -H ^n,n-\ A/i-l; 

I \ 2 / 

I c/N = — ( toi Al + (0.) Ao -H . . . -I- oj„ A„ ), 

et les formules de structure (i4) devieunent » 

\ w;= [w,nîi/] +...-+- [oj„TO,„J, 

identiques aux formules de structure (7) de l'espace elliptique ou 
hyperbolique de même courl)ure. 

Si A" = o, c'est l'hypersphère JN qui est l'hjpersphère absolue. 
Si Ton exprime que le point N (et non pas simplement l'hyper- 
sphère-point i\) reste fixe, on obtient 

yi = o (i — i. . .., n) 
et les formules (i3) deviennent 



(•7) 



avec 



dM — G M -i-'«,Ai -t-. . .-(- w„ A„, 
dX 1 = — w 1 JN + CT 1 2 A 2 + • . • -f- cTi „ A „ , 

1 ' 

dkn = — t.j„N + t;t„iAi -H. . .-T- m„,„-i A„_i, 

^N = — ON, 



(18) ', oj; = [60J/] + [oj,TO,/] -H. ..-t- [{..„îTi,„], 

( TT^]j = \m,ivj,j] -+-...+ [M,„m„/]: 

ces dernières formules sont identiques aux formules de struc- 
ture du groupe des déplacements et bomotbéties de l'espace 
euclidien. 

L'expression 8 ayant son covariant bilinéaire nul est une diffé- 
rentielle exacte — ; rby|)ersplière-poiut «N est fixe, et le ds- de 



- 70 ^ 
l'espace euclidien est, à un facteur constant près^ 

17. Considérons maintenant la métrique obtenue en décompo- 
sant l'espace conforme par deux réseaux orthogonaux de variétés 
spliéri(jues, considérées les unes comme espaces sphériques à 
p dimensions de courbure A", les autres comme espaces pseudo- 
s[)hériques à n — p dimensions de courbure — k. Etant donnée 
une hjpersphère-point M, désignons par A,, . . . , A^, des hjper- 
sphères orthogonales entre elles et déterminant par leur intersection 
la variété du preuîier réseau qui passe par M; par Ay,^,, . . ., A„ 
des hypersphères orthogonales entre elles et déterminant par leur 
intersection la variété du second réseau qui passe par M; soit 
enfin Ai le deuxième point d'intersection des hypersphères A<. La 
Jjase tlu premier réseau ^sl définie par les hypersphères 

A,, ..., A/„ M — /îN, 

la base du second réseau par les hypersphères 

A/,+,, ..., A„, iM-t-/tN; 
on a 

M = - ( iM - A \ ) + - (M + /? N ) = S + T, 

■2 2 

et Ton choisit M et jN de manière à avoir 



a ou 



Si, dans les fornuiles (i3), on exprime que la base intersection 
(le A,, . . , , Kp^ JN -f- -M, est fixe, c'est-à-dire que la différentielle 
d'une quelconque de ces lijpersphères est une combinaison 
linéaire de ces hypersphères, on obtient 

= 0, 

( / = I , . . . , /J : ■x = j> + i, . . ., Il), 
('■=',••.,/'), 

(a =/>-t-i, ..., n). 



t75,a — 


(t 




7j = 






/.a =- 


— 


1 , 

- A 0J5 



- 80 — 
On a donc 



/ = /; a = /! 



.o> 



dki — — oj,^ N -+- - M j -+- 7 vj,j \j (i = 1, . 



P)' 



(19) 






û?A,^= — a)3(^N — -iMJ -4- 2 '^apAp (a =/? + 1, ..., rt), 

i=p a=ra 

avec les formules 

"a = [w/;^inJ/,+ i,a] -r- . . . -^ [oj„C7„al, 



(20)- 



Ces formules montrent bien que le ds- de l'espace est la somme 
d'un ds"^ à p dimensions a)J+ . . . + to^^ de courbure /", à savoir 
le ds^ de l'espace elliptique [A^^, . . . A„] dont l'absolu est 

formé des points situés sur IN M, et d'un t/5-à fi — p dimensions 

^p+i + . . . + uil de courbure — k , à savoir le ds^ de l'espace 
hyperbolique [A, ... A^] dont l'absolu est formé des points situés 

sur N H M. Ces formules (20) sont les formules de structure du 

sous-groupe conforme qui laisse invariants les deux réseaux 
orthogonaux. 

18. Prenons enfin le cas particulier où les deux réseaux ortho- 
gonaux ont en commun une hypersphère de rayon nul; avec les 
notations du numéro précédent, ce sera N. Si l'on exprime que le 
faisceau d'hypersphères défini par A|, ..., A^, N est fixe, on 
obtient, d'après (i3), 

V.i =0 {i =1, ...,/)), 

TO/a =0 (t= I ,...,/): oc =/> -r- I ,...,« )• 



- 81 — 
Oa a donc 



(•21) 



/ = l a = p+i 

dXi = — W/N + \^ TO/y Ay, 
/ = 1 

<:/Aa = — WotN-f- ^ ^apAp, 

rf^ =_eN, 



avec 



(22) I ^/ = [ra/iTOiyJ -1-. . .+ [ra/^,TIT/,y], 

L'expression de PfalTO est une dilFérentielle exacte — ; le ds- 
de l'espace est, à un facteur constant près, 

^ ( w? 4- . . . +W/' ) + ;;! <^ '"/'+' + • • • ^- '^« ) î 

et chacun des deux termes est un ds- de courbure nulle. 



LES HYPEIISURFACES DE L ESPACE CONFORME 
ET LEUR DÉFORMATION. 

19. Soit une lijpersurface (S) k n — ^ i dimensions de l'espace 
conforme à n dimensions. Faisons correspondre, à chaque point M 
de celte hjpersurface, un système de référence comme au n° o, 
mais arec la teslriction que Vliypersphère A„ soit tangente à 
Vhypersurface. Pour tout déplaceuient de ce système de réfé- 
rence, on a manifestement 



car riiypersj)lière dM est constamment normale à (S j. Faisons un 
.\LV, 6 



(23) 



— 82 — 
changement de notation en posant 

A„=A, ra/„ =■];,, /.« = X («■ = I, . . ., n — i); 

les formules (i3) et (i4) tleviennent 

p = n—l 

dm = OM + y WpAp, 

p = n — 1 

^A, = - x*M — co,N -t- 2 ^<pAp+ i}//A, 

p=:n — 1 

rfA=-xM - 2 l-pAp' 

p=l 

p = n — 1 

rfN=-fiN + 2 7.pAp+7.A 
P = i 
et 

p=n — 1 

p=l 

p = n — 1 

w; = [eov]+ 2 [t^p^p/] (i = i, ..., n — i). 

p=i 

p = n — l 

p=i 
p=/i— 1 

p = l 

p = n — 1 

■/; =1//']+ 2 f^-^'^^i' 
p=i 

p = n — 1 

p = i 

p = n— 1 

i};; = — [a.r/]-f- ^ fJ^pï^p/j (i = i, ..., n—i). 

p=l 

20. L'expression (o^ + • • • + wj^ étant, à un ("acteur (ini près, le 
ds- de l'hjpersurface (S), les expressions lOi^ . . ., w,i_, sont des 



— 83 — 

combinaisons linéaires (indépendantes) des difierentielles des 
n — I paramètres dont dépend la position d'un point sur (S). 
L'égalité, extraite de (24), 

[tO, <\fy] + [Mi'lfi] -t-. ..-4- [tO„_, J>„_,] = O 

montre qu'il en est de même de d»( , . . ., 'In-i • 
L'expression 

dk I dM = — (toiJ;! -f- W2'^2 +. . .+ w„_ii,i_i) 

est donc une (orme quadratique en o), , . . . , a),j_, . Cette forme dépend 
du choix du système de référence associé au point M. Si l'on 
change ce système, on doit remplacer M par aM et A par A -\- JiM ; 
la forme quadratique devient alors 

( dX + 8 dm-hd^M)\{x dM + (/a M ) = a d\ \ dM -+- «[î dM | f/M. 
Par suite, le faisceau de formes quadratiques 

X(tL»,'J;i -(- M-i'^i-^ . . .-(-(0„_,t];,i_i; -h [i.(coj -H Wj -H. . .-H 0J;,_, ) 

est indépendant du choix du système de référence associé au 
point M. 

Des propriétés classiques montrent qu'on peut effectuer sur 
(0|, ..., (0,,^, une substitution orthogonale, c'est-à-dire choisir les 
hjpersphères A,, . . ., A„_,, de manière à avoir l'identité 

c'est-à-dIre de manière à avoir 

(•2J) ']//=<?/(.)/ (/ = I, 2, . . ., /i — 1). 

Les coefficients ai peuvent en outre être remphicés par Art/ -h [J'- 
en choisissant conveuahlcment les hjpersphères M et A. 

Lorsque le choix des hjpersphèi'es A,, ..., A„_, est lait de hi 
manière précédente, les lignes de courbure de l'hypersurface (S) 
sont définies par les systèmes 

OJ2 := W3 = . . . = 10„_, — O, 
O)) := (O3 ^ . . . =: (0„_ 1 = 0, 

toi = (0) = . . . = m„ ■■> = o ; 



— Si- 
en efTet, r/iypersphère A -h a, M tangente à l'hypersur/ace 
Jouit de la propriété d'être tangente à V hypersphère infini- 
ment voisine li)rsqu'on se déplace de manière à annuler ojj, 
1U3, . . ., a)„_, ; car on a dans ces conditions 

d{K -+-a,M) = (f/ai-+-rt,6 — /)AI; 

cette hypersphère A + «, INI est de plus la première hypersphère 
de courbure de (S) au point M. 

21. Si l'hjpersurface (S) est l'enveloppe d'une hypersphère 
dépendant Ae pS,n — 2 paramètres, et si l'on choisit cette hyper- 
sphère pour hypersphère A, les expressions 

qui entrent dans dK sont aiinomhre de p linéairement indépen- 
dantes ; par suite, p au plus des coefficients «,, a^, • • -, ««_i sont 
différents de zéro. 

Montrons que si p'Sn — 3 des coefficients ai sont différents de 
zéro, les autres étant nuls, l'expression 7 est une combinaison 
linéaire des (L,-, et que par suite l'hypersphère A dépend de p para- 
mètres. Si, en effet, 

Up^l = Clp+i = . , . = an- 1 = 0, 

on a, d'après (2), 

9 = r 



[w/^+i/J -^^a^i^p'^ç^P+x] = o, 



p = i 



9 = P 



— [w/;-i/.] -+-^ap[ojpCTp,„_i] = o; 
p = i 

la |)reinière de ces formules montre que y est une combinaison 
linéaire des w/, mais ne contient aucun terme en w^^.jî ■ • -i ^n-t 5 
la deuxième formule montre ensuite qu'elle ne contient aucun 
terme en co^,^, . 

Si donc n — i — /> = 2 des coefficients a, sont nuls, l'hyper- 
sur/ace (S) peut être regardée comme Venveloppe d'une hyper- 
sphère dépendant de p paramètres, à savoir l'hypersphère A. 



— 8o - 

Si n — I — p ^ 2 des coejfficienls ai sont égaux entre eux et si a 
est leur valeur commune^ Vhypersurface (S) peut être regardée 
comme l'enveloppe d'une hypersphère dépendant de p para- 
mètres, à savoir Vhypersphère A + aM. 

Remarquons que les ai ne sont pas autre chose que les racines 
de l'équation en S de la forme quadratique 

w,'l;i-4- u)2 'l'a -1- • . • + w„_i J^„_i. 

En particulier, si ces racines sont toutes e'gales, (S) est une 
hypersphère; si n — 2 d'entre elles sont égales, la (/^ — 1)'*°® étant 
diflférente, (S) est l'enveloppe d'une famille d'Iiypersphères dépen- 
dant d'un paramètre. 

22. Considérons une hjpersurface (S) admettant une représen- 
tation conforme sur l'hypersurface (S) ou, comme on peut encore 
dire, résultant de la déformation de (S) dans l'espace conforme. 
A chaque point P de (S) on peut faire correspondre un système de 
référence formé de deuxhypersphères-polnts P, Q etde /i hyper- 
sphères-unités B,, B2, . . ., B„_i, B, de manière à avoir 

(26) ii, = tO,, Q2 = OJ2, ..., Q„_, = w„_,, 

les grandes lettres se rapportant à (S) et les petites à (S). Lorsque 
le système de référence associé au point M de (S) est fixé, le sys- 
tème de référence associé au point P de (S) est jusqu'à un certain 
point indéterminé, car on peut, sans nuire aux conditions (2G), 

remplacer 

Bi, B2, ..., B„_,, B, Q, 
par 

B, + a,P, B2-^a2P, ..., B„_,^-a„_,P, B + aP, 

Q - SapBp- i (a? + . . .+ a«^, +a*) P. 



Les expressions 

sont alors remplacées par 



e, D/y, Wi 



p = n — 1 

V 



2^ «p wp , Wjj ■+- a, u)y — (Xj to, , ^r, — aw, . 



— 86 — 

D'après cela les ('qualioiis (:'J)). (jiiand ou éj;al(' les covarianls 
bilinéaires de leurs deux uieiuhrcs, eutr.iîueul les équalions 

p = « — I 
[(e — Oja);]+ V [ojp(llp, — rvTp,)] = o (i =\, >.,.... n — i); 

p = 1 

ces équations elles-mcuies uionlrent que B — et U/j — TO/y soûl 
de la loruie 

B — 6 = ai oj, -}-...-!- 3;„_, u)„_,, 

ilij — TSij — oij(')i — a,ojy (i, y = 1 , a, . . . , n — i). 

On peut donc, d'après la remarque faite plus haut, supposer choi- 
sies les hjpersphères B,, Bo, • • -, B„_, de manière qu'on ait, non 
seulement les équations (2(3), mais encore les suivantes : 

( 27 ) e = 6, ll,y = 7*,7 ( ?, y == I , 2, . . . , /« — 1 ). 

On pourra encore, sans nuire aux é(|ualions (2G) et (2"), rem- 
placer l'hvpersphère B par toute aulre hypersphère tangente 

à (S). 



LES HYPERSURFACES ADMETTANT UNE REPRESENTATION CONFORME 

SUR l'hypersphè:re. 

23. Cela posé, cherchons dans quel cas l'hjpersurface (S) admet 
une représentation conforme sur une hypersphère fou un hyper- 
plan qui, au point de vue conforme, n'est qu'une hypersphère par- 
ticulière). 11 suffit pour cela de prendre pour (S) une hypersurface 
inconnue, d'associer à chacun P de ses points le système de réfé- 
rence le plus général et de voir si le système de Pfalf 

û, = CO,, . . ., iin-l— w„_,, 

û„ :^ o, H = 0. 

( 28 ) { U,j = Tn,7 ( ?, y = I , -h ■■■, 'i — O, 

^t'i =0, .... W„ 1 = o, 
X =0 

admet une solution. Dans ce système, les variables indé|)cndantes 
sont celles dont dépend la position d'un point M sur (S); les fonc- 



— 87 - 

lions inconnues sont les paramètres dont de'pend le système de 
référence le plus général associé à un point P de (S). Les équa- 
tions ^28) expriment, les unes que (2) admet une représentation 
conforme sur (S), les autres (les n dernières) que (2) est une 
hjpersphère (l'hjpersplière B). 

Prenons les covariants bilinéaires des deux membres des équa- 
tions (28); nous obtenons, en tenant compte de ces équations (28) 
elles-mêmes, 

Q'i — o)^- == o ( t = I , -2, . . . , ra — i), 

()' = o 

p = n — l 

P=I 

t; ^ o, 

X'=o. 

Supposons, ce qui est toujours possible, que l'hjpersurface (S) 
ait été rapportée à ses lignes de courbure, ou, d'une manière plus 
précise, qu'on ait 

'^,- = a, ro/ ( i = f , 2, . . . , n — l). 

L'expression trouvée pour 0' — G' montre qu'on doit avoir 

p = H — 1 
X , — ■/ , = 2^ bjçiMr, (b,j = bji ) , 

p=i 

puis l'expression de W- — rrr^ montre qu'où doit avoir 

bij= o ■ (i^ /; i,j = i, . . . , n — i), 
de plus 

bi,-+- bjj = aiaj. 

2i. Supposons d abord /i ^ 5, et soient «, y, k, I quatre des 
indices i , . . . , n — i . Les équations 

bii -^ b/j^ = ai a/,, 
bji M- b,, = aiai, 
bjj-^ bkk= (Ijaii, 
bjj-^ bit = ajai 



- 88 — 
conduisent à la relation 

{ai— aj) ( «/, — ai) — o . 

Il en résulte que les «/ sont tous égaux entre eux, à l'exception 
(l'un au plus. Si, en elFet, par exemple a, était différent à la fois 
de «2 et de «3, les égalités 

(a, — a.) («3— tti) = o, 
(«1 — «s) («2 — «/; = o 

montreraient que tous les autres a/ sont égaux à a-, et à «3, tous 
les ai autres que a, seraient donc égaux. 

Par suite ou bien l'hypersurlace (S) est une hypers|)lière, ou 
bien on peut supposer «2= «3= . . .= a,i_, ='0, c'est-à-dire (n"21) 
que V hyper sur face (S) est l'enveloppe d^une famille d' hyper- 
sphères dépendant d\in pciramètre. 

Réciproquement si (S) est l'enveloppe d'une famille d'bjper- 
spbères dépendant d'un paramètre, on peut supposer 

ao := «3 = . . . ^^ a,i 1 = o, 

tous les bij sont nuls et il faut ajouter aux équations {'-iS ) les 
équations nouvelles 

(28') Xi=y, (i=i,i,...,n — I). 

Si l'on égale alors les covarianls bilinéaires des deux uiemljres 
des équations (28') en tenaut compte des équations (28) et (28'), 
on trouve 

par suite le système de Pfaff formé des équations (28) et (28') 
eslcomplètement intégrahle ei il existe donc une infinité d'hyper- 
sphères résultant de la déformation de (S) dans l'espace conforme. 

Les hypersurfaces enveloppes d'une famille d' hypersphères 
dépendant d'un paramètre adm.ettent une représentation 
conforme sur l'hypersphère; ce sont les seules hypersurfaces 
jouissant de cette propriété^ si n est supérieur à \. 

2o. Reste, le cas n =1 /\^ les trois coefficients ^i, rto, «3 étant 
distincts. Les différences X,- — 7/ ne sont plus alors nulles néces- 



— 89 — 
sairement et l'on a 






(28") ' Xo — /•> = - (ût>a3 -H a-irti — «^«1 )uj2, 



On est ramené à étudier le système des équations de Pfafr(28) 
et (28"), et à voir s'il est compatible. Il faut et il suffit pour cela que 
les covarianls bilinéaires des deux membres des équations (28") 
soient éj^aiix en tenant compte des équations (28) et (28"). 

Avant de faire le calcul, remarquons que les trois équations 

1^, = a, 10, a — 1, 2, 3) 

conduisent, en prenant les covariants bilinéaires des deux membres, 
aux formules 

[(rfa, + a,6 — /)oj| ] + («1 — <72) [TTT12OJ2J -t- («1 — aj) [raijw.tj = o, 
[(c^aj-l- «2^ — /. )"'2] + («2 — «3) [''T23W3] -1- («2 — «1) [^2i'i>i] = 0, 
[(c^aj-i- agO — /Joja] -H- («3— ai) [nT3,oji] -i-(a3 — a^) [ctjîWj] = o. 

Ces formules uiontrent que nT2.i, ^^31, hî,,, dn.iAr ai^ — y sont 
des couibinaisons linéaires de w,, Wo, W3, et Ton trouve sans diffi- 
culté qu'on peut poser 

^ u /• 

7^23 =: OJi + /?3 10.7 -\- rt.) W3, 

«2 — «3 

/' /' 

77^3, = /«s W,H CO2-I- «1W3, 

«3— (7, 

(^^) \ ra|2 = /(2OJ1 -I- /(', (02 ' .. • 



a, — a2 

(/ai -t- rt, f) — /_ = /,i 10, -4- («1 — «2)/' 2^2+ io.-i — (i\)h\ 0J3, 

da^-^ «06 — y = (rti — «2)/?', ojj -I- A2W2-+- (a2 — 03)7130)3, 

^ â?a3-+- «aO — 7 = («3— ai) /il 0)1-1- (a2 — a3)/i2 Wo -+- A-3W3. 

Cela pos('', si Ton égale les covariants bilinéaires des deux membres 
des é(juations (28") en tenant couiptc de (28) et (a8") et en 
appelant pour abréger hi les coefficients de u/ dans les seconds 



- 90 - 
membres, on obtient 

[(rf^i-f- 26,6 — a,7)iO|] + (6, — 6,) ItoioWîI -f- ((^i — l>:i)[mi3U)3] = o, 
[(dh.2-\- 2626 — a-2X)w2] -I- (62 — fji) \mi:iOJ:i ] -^ (O-y— bi) [njiicoi] = o, 
[{db3-+- 2636 — aj/Jws] H- (63— è,)[TO3iw,] + (63— 62)[a)32W2] = o, 

ou, en lenaut compte des formules (3o)^ 



(«2— «3) A [(0, 103] -1- - 1 ( (7i — «3) («2— «.)) (/'3-^ /? 3 ) -t- («1 — a,) A-3 ! f W3 Wl 

+ - J(<r,— rt2)(«.i — Or2)(/'2-(-/'2) + («Î3— «l)/>2! [lOi"J2 

(«3— rti)/( [103 to,] -t- - I ( 03— «1) (a2— a,) (/<i 4- /«i ) + («2— <'3)/>i I [wi 0J2 

-t-- !(«2— «3)(«1— «.i)(/'.t-t-/'3) + '«l— «2)/>:ii [H)2W3 

(a,— a2)/t[WlC02]^- - |(ai— rt2)(«3— '^2)|/'2-H/'2) + («3— «l)/'2! [W2(.)3 
-H 7 !(«3— «l)(a2— 'Tîl)(/'! + /''l)-+-(«2— «3)^1 ; [«03(0, 



Par suite les conditions nt'cessaires et suj/isantes pour que 
l'hyper sur face (S) admette une représentation conforme sur 
Vhypersphère sont exprimées par les quatre relations 

h = o, 

ff/î— «3)^1— («3— «l)(«l— «2)(/'l-l- /î'i) = o, 

(3i) \ 

(as— ai)A-2— («1— a^) («2 — ^3) (^2-+- ^i) = o, 

(ai — «2)^-3 — («2— a3)(«3— «i)(/i3-l-^3) = o- 



26. Les formules (3o) et par suite les conditions (3i) peuvent 
être un peu simplifiées en profitant de lindétermination relative 
des bjpersphères A,, A^, A3, qui permet d'ajouter (n° 22) aux 
expressions rsij les quantités ajtoy — ^j^i] on peut alors supposer 
le choix de A|, Aj, A3 fait de manière à avoir 

h\ = /,i, h\^1u. fl'3 = h3. 



- 91 - 
Les conditions cherchées s'écrivent alors 

I h ^ o, 

\ 'M = ''- 1 7. "l' 

(3-') ' ..M ^■...^.. .... , 





«2— «3 




(a, 


— a,,) ' «•> — 


(7.3 ) 




«3— «1 




(a. 


— «3) («3 — 


a,) 



La condition h ^ o s'interprète facilement. On a en efFet 



a-2 — «3 



((ij— <'i)(rti— rtj) 



/([ojjcoa] -(- [Ocfj, ] -h /i.,[wi w,] — /J3[wi W3] ; 



par suite, pour que l'équation to, = o soit complètement intégrable, 
il faut et il suffit que l'on ait h = o. Dire que l'équation w, =:: o 
est complètement intégrable, c'est dire d'ailleurs que les lignes 
de courbure de la deuxième et de la troisième famille s'assem- 
blent en variétés à deux dimensions dépendant d^un paramètre . 
C'est une condition nécessaire pour que l'hjpersurface admette 
une représentation conforme sur l'hjpersphère ; si elle est réalisée^ 
les lignes de courbure de deux quelconques des trois familles 
s'assemblent aussi en variétés à deux dimensions dépendant 
dun paramètre. 

27. Les conditions ( )i') sont susceptibles d'une interprétation 
géouiéirique siuiple. Appelons plan tangent ombilical en un 
point M de rhj[)ersurface un plan (à deux dimensions) tangent à 
l'hjpersurface et coupant la quadrique indicatrice suivant un 
cercle. En tout point M il y a six plans tangents ombilicaux, deux 
réels et quatre imaginaires. Les équations (3i') expriment qu'il 
existe six familles de surfaces (à deux dimensions) tracées 
sur r/iypcrsurface et tangentes en chacun de leurs points à 
l'un des plans tangents ombilicaux correspondant à ce point. 

Les plans tangents ombilicaux s'obtiennent en ellet en expri- 
mant que la forme quadratique 

«1 (o"{ 4- a-ii<>\ -^ a^ii}\ — S( ojj -+- cor, -+- co', ) 
est décomposable en un produit de deux facteurs linéaires en o), , 



- 92 - 

txj.,^ hij ; chacun do ces taclcurs lincuires, cj^alc à zcru, (Joniic l'cqua- 
tion de Pfaffde l'une des familles de surfaces cherchées. 
Prenons, par exemple, le plan lunf;enl ombilical 

y/ai — a2 Wi — v «2 — (^s'^s = o. 

Si l'on exprime que l'équation précédente est complètement inté- 
grable, on trouve la condition 

-(ai — as) A, -H (ai — ao ) (a2 — cti)h^-\- \/a\ — a-i y/ao — «3 'i = o. 
L'intégrabilité complète de l'équation 



y/a, — a-i tO] 4- s/a-^— a-^ 0)3 = o 
conduit de même à la condition 

-(a, — a3)A-2-+-(a, — a2)(a2— 03)11.2— v'«i— ^2 \^o-2— a^ h — 0. 

Ces conditions, comparées aux équations (3i'), démontrent le 
théorème. 

Les six plans tangents ombilicaux se distribuent en trois couples 
de deux, les plans tangents ombilicaux d'un même couple se 
coupant suivant un axe de la quadrique indicatrice. Il suffît qu'il 
existe quatre familles de surfaces ombilicales, les quatre plans 
tangents ombilicaux correspondants appartenant à trois couples 
différents, pour que les deux autres familles existent. 

28. Cherchons en particulier toutes les hjpersurfaces admet- 
tant une représentation conforme sur l'hypersphère et telles que 
l'une des familles réelles de surfaces ombilicales soit formée de 
sphères. Choisissons le système de référence de manière que la 
sphère correspondant à un point M de Thypersurface soit l'inter- 
section de l'hypersphère A et de l'hypersphère A3, et de plus 
qu'on ait 

(0,'},4- '02-^2-+- W31I3 = W3(2W,-|- m (03). 

On aura 

tl/, = t03, '|2=0, l^^s = Wi + moij. 

Ecrivons que, si l'on fait (03 = 0, la sphère [AA3], intersection 
des hypersphères A et A3, reste fixe; nous en déduisons que y, 



- 93 — 

y 3) ^13 et ^23 ne dépendent que de 0)3. On peut alors choisir A, 
et Ao de manière à avoir 

puis 

y = MW3, ■/3= M3W3. 

Les équations des plans tangents ombilicaux sont 
0)3 = 0, -iwi+mcos^o, 

où S) et S2 sont les deux racines de l'équation 

S' — mS — 1 =: o. 

Si nous exprimons que l'équation 

W3 = S/, (U)i -I- i(JLl.2 ) 

est complètement intégrable, nous obtenons 

[(dS/;— iS/i-TIT,,) (Wi4- i 0)2)0)3]= o, 



d'où 






En exprimant S| 82 = — i, on obtient 

^A= HLA-= o, ^12= Jtu3, c?/?i = m'o>3. 

Enfin, en exprimant que l'équation 

2 0)] -4- /» 0)3 = o 

est complètement intégrable, on obtient t = o. 
Finalement on a 

TÏT12 = TUij = 7323 = O, 

J^l = 0)3, 1^/2 ^ f'î '\'3^= ^l-^ ffl^Zi 

y = «W3. /3 = i/3 0)3. 

On en déduit, en exprimant ro, ., = c^'^j =: Tn.',^ = o, 
I I I 



■2 



La condition -i/', = o donne ensuite 



)iiis on a 




On il donc 






f/M = 




1 




'2 




d\, = -- 



— u — 

= o. 

OJi Aj -+- (<J.2A2+ tOj A3, 
— 0> 1 .M tu I N -f- tO;j A , 

M —0)2», 

M — 0)3 N H- ( (I) 1 + /?î 0)3 ) A , 

dA = — W3A1 — (oji -(- m tivj) A3. 

rfiN = - o> 1 A 1 (ij.> A •> H — 0)3 A 3 . 

avec 

Pourdéfinir les lijpersurfaces ainsi ohlonnes, remarquons d'abord 
que les deux hjpersphères A, A:, dont l'intersection constitue la 
sphère ombilicale, font partie d'un réseau linéaire d'bypersplières 

A, A3, A,, -M + N, 

qui est lixe, et qui admet pour base deux points fixes réels 
M — aNdiaAo. Considérons maintenant les deux hypersplières- 
points AdzfA.-, qui passent par la spbère ombilicale; l'byper- 
sphère A + tAs par exemple tait partie d un laisceau linéaire 
fixe d 'hjpersphères points 

A 4- t'As, A, H- i ( - M -+- N 



l'autre bjpersphère-point A — t'Ai fait partie <bi faisceau conju- 
gué qui est également fixe. 

La sphère, intersection des hjpersphères A et A3, est complè- 
tement déterminée par le point imaginaire A -|- iAs, qui décrit 
une droite isotrope fixe et Ion peut dire que c'est la sphère réelle 
associée au point imaginaire A + f A3. Ou obtient ainsi la géné- 
ration sui\ante de l'hjpersurface : 

On considère une droite isotrope sans point réel; les points 
de cette droite isotrope dépendent de deux paramètres réels. 
On établit entre ces deux paramètres une relation arbitraire; 



— 93 — 

riiypei surface cherchée est engendrée par la sphère réelle 
variable associée au point imaginaire variable ainsi obtenu. 

Si l'on transpoite à l'infini l'un des points de base du réseau 
linéaire d'hjpersphères /A, A3, A,, -M-f-N], l'équation de 
l'hjpersurface est de la forme 

¥{xiXi^ x-iXi,, .r,a7; — x-iX^, x\ -h .t|) = o, 
F étant liomogène. 

GÉNÉRALITÉS SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME DANS l'eSPACE 
A /î ^ 5 DIMENSIONS. 

29. Reprenons le problème général de la recherche des hjper- 
surfaces (S) admettant une représentation conforme sur une hjper- 
surface donnée (S). Comme nous l'avons déjà vu, ce problème 
revient à l'intégration du système de Pfall 

iO, = W, (i = I, ■?., ..., rt — I), 

Q,j = o, 
' 
e =e, 
n,7=Tn,y («,y = i, 2, ..., n — i). 

Si l'on égale les covariants bilinéaires des deux membres de ces 
équations, en tenant compte de ces équations elles-uiêmes, on 
trouve, d'iij3rès (a4), 

(33) ) '^'" ^ f ""''^'1 ^ f'"''^''^ ^' • •+ ['^"-l'I'"-']' 

je' -0' 3E^-[io,(X,-x,)]-[w2(X2-7.,)j-...-[tu„_,(X„_, -/„_,)], 

( n;, -Ti,',^\ O), ( X, - y ,) ] - [ w, ( X, -/.,)]-[ Wi yvj ] + [^, .]>, j . 
La valeur de ù^^ conduit à poser 

(34) '^'i= Vix^Y^ Vriixii-\-. ..-\- Vi^n-\'^n-l ( i = l , i, . . . , H — \) 

avec 

<'/y = i'ji ; 

la valeur de W' — 0' conduit à |K)ser 

(35) Xi= ■/,+ «,iOJi+ «,2^2-+-- • --(-«/.«-iWw-i (J = i,2, ..., n — i) 



- 96 — 

avec 

Uij ■= Uji ; 

enfin la valeur de 11)^ — tu^ conduit, en tenant compte de (2:5), aux 
relations suivantes : 

f u,;-\- Ujj= i'fi—i'uVjj-haiaj, 
(36) } Uij =ViuVj,-—VijVkk {i^j^k), 

( O = ViJ,Vjl— i'iiVjl, {i ^ j :^ k ^ l). 

Gela posé, nous avons trois cas à distinguer : 

a. Deux au moins des coefficients r/y (i y^j) sont différents de 
zéro ; 

b. Un seul de ces coefficients est différent de zéro; 

c. Tous ces coefficients sont nuls. 

30. Dans le cas «, on peut supposer que »',2 et r,3 par exemple 
ne sont pas nuls. Si, par exemple, les deux coefficients différents 
de zéro n'avaient aucun indice commun, comme (').> et t'34, la for- 
mule 

l'lî<'34= t'13 1'24 

montre que i'is ou ('04 serait différent de zéro. 
Soit donc (',2ï'i3^ o. Les formules 

i'iiVij = Vij v^i (i, j =i, .. ., n — i) 


permettent de poser 

v-,i ~ bvi ( i = 3, . . . , n — I ), 

en désignant par a et b deux coefficients dont le rapport seul, 

b_ _ vji 

est déterminé. On a alors 

comme le produit ab peut être remplacé par abk'-^ on peut 
choisir /: de manière que v^ soit égal à ::hab. En posant alors 



— 97 — 

a = r,, ^ = <'2, on a 

Vij =tVil>j ( J, / = I , 2, . . . , « — l) 

avec 

Les formules (3(3; doniieut alors 

"/y= t-/ t'y ( l^ l — £ t'Ai ), 

croù 

l'i Vj [ i'|. — ï t'A A — ( ^'J — £ t'// ) ] = O ; 

en faisant successivement i = \ , / = 2, 1= 3, puis t ^ i , y := o, 
^ = 2, on voit que les /< — i expressions v^k — ^^'l sont toutes 
égales enlre elles. Comme d'autre part on peut choisir l'hyper- 
sphèreB de manière à augmenter tous les v^ d'une même quantité, 
on voit qu'on peut poser 

Mais alors l'expression 

devient un carré parfait, et par suite riijpersurface(S) est l'enve- 
loppe d'une famille d'iijpersphères dépendant d'un paramètre. 
L'hjpersurface (S) admet donc une représentation conforme sur 
l'hypersphère, cas que nous avons déjà traité. 

31. Supposons-nous maintenant dans le cas h où p,2, par 
exemple, est le seul coefficient t',y qui ne soit pas nul. Les ior- 
mules {ii^) donnent alors 

uxi= — v^^Vii (i — 3, . .., « — i), 

ce qui montre que les ccjefficients ^33, i^^, ..., ^'n-\n~\ sont tous 
égaux entre eux et par suite, par un choix convenable de l'hjper- 
sphère B, peuvent être su[)posés nuls. 11 reste donc les trois coetli- 
cients r,,, ^'-i-i-, ^'12 qi'i 11e soient pas nécessairement nuls; par 
suite, la torme quadratique 

10,^1 -H OJ2T2 4-. . .-t- (O^-i^-",,-! 

est l'éduclible à une somme de deux carrés et i hypersurface (S) 
est Venveloppe d'une Jcunille criiypersplières dépendant de 
deux paramètres. 

xtv. 7 



- 98 — 
En contiiiiianl à iippliqiier les foniniles (■)<)), on trouve 
"/7 = o (<Vy= I, ..., A^ — I), 

»,,-[- lli, = «!«/, 

«22+ "/Y = «2«/, 

j/,Y -4- Ujj= aiaj- 

Supposons dahord «,^^«2' 1-'^ furnnile 

«11 — 11-2.2 = (a^ — a-2)ai 

montre que les coefficients «73, ..., «n_i sont égaux entre eux, et 
par suite peuvent être supposés nuls par un choix convenable 
de riiypersplière A ; alors w,,, «22 et tous les m,, sont nuls et Ton a 

Lliypeisitrjace (S; est elle aussi l'enveloppe cV une famille 
d'hypersphères dépendant de deux paramètres et de plus les 
caractéristiques des hypersplières sont conservées par la défor- 
mation dans Vespace conforme. 

Dans ce cas, la recherche des liApersurfaces (S) revient à l'in- 
tégration d'un système de Plair obtenu en adjoignar)t aux équa- 
tions (32) les suivantes : 

i *IV=o (/-3, 4, ..., «--I), 

( \/=// (/ = I, V, ..., rt— I). 

Avant d'examiner ce nouveau système, plaçons-nous dans le cas 
laissé de côté où an^=ia-i\ on peut supposer ^^, = «2=0; par 
suite, 

u, 1 = U21 = — Un = - ( f T 2 — f 1 1 1'22 ) = ataj ( j , y = 3 , . . . , /J — 1) . 

Si l'un des a/ (^ = 3j est nul, ils sont tous nuls, à l'exception 
d'un au plus; par suite, l'hypersurface (S) est une hypersphère 
ou l'enveloppe d'une famille d'hypersphères dépendant d'un para- 
mètre, cas déjà traité. Si aucun des a/(/^3j n'est nul, et si /2^6, 
ces ai sont tous égaux entre eux; on peut les supposer nuls, a^a^. 
n^étant plus nul; on retombe sur la même conclusion que 
poura<^a2. Si enfin aucun des «/ n'est nul, n étant égal à 5, 



— 99- 

Vhypersurface (S) est^ ainsi que rhypersurface (S), Venve- 
loppe cV a ne famille tVhypersphères dépendant de deux para- 
mètres^ mais les caractéristiques de ces hypersp/ières ne se 
correspondent pas dans la représentation conjorme ; on a 

4/1 =0, 4'2=0, '^3=«3W3, '^4=«iWv, 

lï!", = (',, OJ1-+- (',2 102, IF., = (>i2tO, -H t-ostU^, y^3=0, ^'■;=0, 

-^1 — y 1 = «3«4 «*Jl, A3— /3 = - «3«i W3, 

A., 7-5 = «3 «4 W.>, \; /i^ = - as «4 104, 

'•" 2 " 2 

«^111^22— t'i:' = «3«4- 

En résumé, dans le cas 6, abstraction faite du cas des liyper- 
surfaces admettant une représentation conforme sur l'iiypersphère, 
chacune des lijpersurfaces (S) et (S) est l'enveloppe d'une famille 
d'hjpersphères dépendant de deux paramètres, les caractéris- 
tiques de ces hjpersphères se correspondant par la représentation 
conforme. Exception possible dans le cas n = 5, où les caracté- 
ristiques peuvent ne pas se correspondre. 

32. Supposons enfin qu'on soit dans le cas c, où les v/j (^i ^j) 
sont tous nuls. Dans ce cas, les lignes de courbure se corres- 
pondent par la représentation conjorme; on a de plus, 
d'après (36), 

u,,-+- iijj= ajUj— VijVjj. 

De là on tire, t, /, /. , / étant quatre indices dilïérents quel- 
conques, 

( Vu — Vjj ){vi,i,— \>ti) = {ai— aj){ai,— ai). 

Gherclions d'abord si à deux coefficients «/ é^aux peuvent cor- 
respondre deux coefficients »',, ilistincls ; supposons 

a, = «2, ^\>9^^'-ii\ 

on aurait alors 

''33 = t^iV = . • • = ^'/i-I , ii-\ 

et la valeur commune de ces coefficients pourrait être supposée 
nulle; on peut, d'autre part, supposer a, = a2 = o; on aurait 



— 100 — 

alors 

I I 

«11 = «22 = — Uii= fil 1^22 = «/«y 

'1 1 

et l'on retomberait sur la discussion faite clans le cas b. 

Supposons donc qu'à deux coefficients «<■ égaux correspondent 
deux coefficients r„ égaux. Supposons d'abord que les n — i coef- 
ficients ai ne soient pas tous distincts, que par exemple 

«1 = «2 = - • •= «/^, 

«p+i, •••, f'/i-i étant tous dillerents de rt| ] ^'i p = ji — 2, Thyper- 
surface (S) admet une représentation conforme sur rbypersplière. 
Si/> = « — 3, elle est l'enveloppe d'une famille d'Iijpersplières 
dépendant de deux paramètres; il en est de même de (S) et les 
caraclérlsli({ues des hjpersplières se correspondent. Si enfin 
p <^n — 3, on peut supposer 



,= «/, =0, 
= Vuu = o: 



par suite 



Un -+- Ujj = o, 

Un 4- J/aa = « ( i , 7 = i , 2 , ...,/>: a =/?-+- 1 , . . . , n — 1), 

«yy-t- «a3(= o; 

donc tous les w,,, i/^a sont nuls et 

d'où enfin 

Vii=tai (£2=i) (t = i,'2, ...,« — 1). 

Dans ce cas en changeant au besoin B en — B, on peut sup- 
poser £ = 1 ; on a donc 

Wi='\i, ^i=/j (t = 1, 2, ..., n — i), 

d'où l'on déduit 

[a.,(X--/J] = o 
et enfin 

les deux Jiypersurfaces (S) et (2) résultent donc l'une de 
Vautre par une transformatio/i conforme ; ce sont, à notre 
point de vue, des hjpersurfaces identiques. 



— 101 — 

Reste le cas où les coefficients ai sont tous distincts, ainsi que 
les coefficients r,,; les formules 

( Va — Vjj ) {vkk— vn) — {cii— aj) {ak— ai) 

entraînent comme conséquence que le rapport anharmonique de 
quatre quelconques des ai est égal à celui des quatre (-'„ correspon- 
dants ; on a donc 

• '" = 7^-r3 (' = 1,2, ...,«-,) 

et 

(%o — Py)2 = (Ya,-i- 0) (Y«y-i- ^) (t«/1+ o)(Ya/H- o). 

Si n — I > 4? il ei^ résulte que les expressions yaj-|-8 sont 
toutes égales entre elles, et que par suite y est nul; on a donc 

Vu— aa,-^ ^ 

et l'on peut, en choisissant B convenablement, supposer ^=o; 

on a de plus a- = i , d'où 

Vu =tar, 

on retombe sur la conclusion précédente. 

Le dernier cas qui reste à examiner est donc celui où /i = 5, 

avec 

a a,- -h 3 

Vu = — ^ ' 

Y ai -f- 

(ao — ?y)"= <'Y«i-+- ^)''y«2-i- oKy«3-+- oji'Yai-f- o) (-[ ^ o). 

Dans ce cas, que je me réserve d'étudier dans un autre mémoire, 
la déformation de l'hypersurface (S) se fait avec conservation des 
lignes de courbure. Il est facile de vérifier que chacune des équa- 
tions 

10. = o ( î = I ,2,3,4) 

est complètement intégrable, c'est-à-dire qu'o/î peut exprimer 
paramétriquement les coordonnées dun point de C hypersur- 
face de manière que les lignes de courbure de chaque famille 
s^ obtiennent en laissant fixes trois des paramètres et en faisant 
varier le quatrième. 

En dehors des hypersurfaces précédentes, les seules hyper- 
surfaces (S) qui, dans un espace à n^rt dimensions, admettent 
une représentation conforme sur une hypersurface (-) qui ne 



102 - 



resuite pas de (S) par une Iransjorinalion conjorine, sont les 
hypersplières et les enveloppes cVhypersphères à an ou deux 
paramètres. Dans ce dernier cas, il y a conservation des 
caractéristiques, sauf exception possible pour /i = 5. 



LES HYPERSURFACES EINVELOPPFS I) HYPERSPHERES 
DÉPENDANT DE DEUX PARAMETRES. 

33. Soil (S) nue lijpersurface enveloppe d'iijpersplières 
(lépeudaiil (le deux paramètres. Nous pouvons choisir pour A 
riiypersphère dont (S) est l'enveloppe et supposer en même temps 
choisies A| et A 2 de manière à avoir 

\ •>,= o (j = 3, ..., n-i), 

(37) i 

Les expressions 'hi et 62 seront des combinaisons linéaires indé- 
pendantes de to, et 0J2; c'est tout ce que nous supposons provisoi- 
rement. Les équations (3-) entraînent comme conséquence, en 
prenant les covariants bilinéaires, 

[nju'i'i] -h[T3T.2,tl;2] = (1 = 3,..., n — i), 

ce qui permet d'écrire 

nj,/= Y,a)i -H o,fo., (t = 3, . . ., n — i). 

(38) { " o 
/_, = awi ■+- ^(0,, 

-/ j> = ytO] -t- 00)2- 

D'après les résultats du n''30, la recherche des hypersurfaces (S) 

admettant une représentation conforme sur (S) revient, sauf 

exception sur laquelle nous reviendrons plus loin, à l'intégration 

du système 

Ht = w,- (i = I, -2, . .., n — I), 

9.n =0, 

0=6. 

I n,y = m,j (i, j =1, 1, . . ., n — i), 

I X,- =yj (f = 1, 2, ..., // — 1), 

I ^'^ • = o (i = 3 , . . ., n — 1 ) , 



- 103 - 
auquel il faut ajouter l'équation 
(39') X = o, 

car on a, en tenant compte de (3c)), 

ce qui montre que, pour toute solution de (Sg), 1 équation (Sg') 
est vérifiée. 

Pour étudier le système de PfatT (3()), (Sg'), égalons les cova- 
riants bilinéaires des deux membres de ces équations en tenant 
compte de ces équations elles-mêmes, Nous obtenons 

/ i>; — W;- = O ( f = I , '2, . . . , 71 — l), 

0' -0' =0, 

ri;, — Tn',,= o (i = 3, ..., n - i), 

(4o) < „, , , . ., 

Il,, — nT,,-^^ o, (i = i, . . ., n — i), 

H// — Tniy = o, 

X'( — / ',• = o ( ? = I , 2, . . . , « — 1 ), 

^l". ^_[rTT,,T,] — [ths^To] r,:=3, ..., n-i), 

\ X' ^ [/.l 'I'l]-[/.2^-2]. 

Cela posé il y a plusieurs cas à distinguer suivant le nombre de 
ceux des seconds membres qui sont linéairement indépendants. Les 
formules (38) montrent que ce nombre est au plus 5, et même 4| 
car s'il était égal à 5, on devrait avoir, pour toute solution du sys- 
tème, 

ce qui donnerait 

T, = ir, = o, 

conséquence absurde. 

S'il y a quatre seconds membres linéairement indépendants, 
pour toute solution du système Wt et W.2 sont des combinaisons 
linéaires de (o,, (o^ dont les coefficients sont déterminés, au signe 
près ; [)ar suite on a 

ir,=.e'i.,, M'2=£^2 (£=±0 



- 10 i — 

et, en changeanl au besoin le sij^ne de lî, on vcirail que le 
déplacement instantané du système de référence a les mêmes 
composantes relatives pour (S) et (S), [)ar suite les deux liyper- 
sLirJaces résultent Cune de Vautre par une transformation 
conforme. 

Reste donc à examiner deux cas : 

1° Celui où tous les mineurs à deux lignes et deux colonnes 
du Tableau 

I O O I 

^3 p3 '\Z O3 

«—1 Pn-I Y«— 1 '^/(— 1 

? Y 

sont nuls (hypersurfaces de la première catégorie); 

2° Celui où tous les mineurs d'ordre 1 ne sont pas nuls, tous 
les mineurs d'ordre 3 étant nuls (hypersurfaces de la seconde et 
de la troisième catégorie). 



LES HYPERSURFACES DE LA PREMIERE CATEGORIE. 



34. Dans le premier cas on a 



2/ = 0,-, 
a = 0, 



^ = '( = o. 



(t = 3, 



<), 



Par un choix convenable de A3, ..., A„ , on peut retrancher 
de Wfi et T^2i respectivement a,a), et a/Wo; on aura donc 



(38') 



TSii = Wni ^ O 
7.2 



(i := 3, . . . , n — i), 



2 



Si maintenant on remplace l'hypersphère-point M par XM, w/ est 

remplacé par Ato/ et y/ par r y,-. Si donc k n'est pas nul, on peut 

le supposer égal à ± i, ou du moins à une constante dont le signe 
est déterminé d'avance; si k est nul. l'hypersphère-point n'est 
pas complètement déterminée. 



— 103 — 

De (38') on déduit, au moyen des formules (24), 

/_, = ^cû; (i = 3, . . ., n — i); 

A-[0co2] = o, 
A-e = o, 



d'où 

(40 

puis 

d'où 

(42) 



et enfin, si A = o, d'après (24), (38') et (4i)' 



3o. Les livpersurfaces (S) qui satisfont aux conditions précé- 
dentes sont faciles à déterminer géométriquement. Supposons 
d'abord A'^ o et partons des formules, déduites de (28), 



(43) 



dM = fU] Al -+- oj.i Ao-i- ^ WjA,-, 



c?A = — '^lA,— '^/jA,, 



rfAi = — oj, ( N H M ) H- TO|2 A2 -I- 'V, A, 



rfAo = — OJ, > ^ - .^ 



A-.\ 



^M) ^CTotAi-^'^jA, 



rfA, 



= -LOi (^S- -Mj -+- 2 ^'vAy, 

/ = « - 1 

a?N = — fu)! Al + Wo A2 ) ^ w/A/, 

2 2 -^ 

/= 3 



Comparées aux formules (19), elles montrent que 

i = n — l 

Ojf -1- lo| -H /^ (xjj 



- 106 - 

est le (Js- (le l'hypersurface dans la mclriquc correspondant à la 
dcconiposilion de l'espace conforme en deux réseaux orthogo- 
naux de variétés sphériques, le premier formé de variétés 
spliérlques k trois dimensions considérées comme des espaces 
('sphériques ou pseudo-sphériques) de courbui'e k; le second 
formé de variétés sphériques à n — 3 dimensions considérées 
comme des espaces (pseudo-sphériques ou sphériques) de cour- 
bure — /i . De plus chaque variété du second réseau appartient tout 
entière à l'hypersurface (S), chaque variété du premier réseau 
ayant en commun avec rhvpersurface une variété à deux dimen- 
sions, ou surface (.s); l'hypersurface (S) est engendrée par les 
variétés du second réseau (variétés génératrices) qui passent par 
les différents points de l'une de ces surfaces (sq). Toutes les sur- 
faces (s), considérées comme situées dans des espaces (sphériques 
ou pseudo-s]ihériques) à 3 dimensions, sont par cela même égales 
entre elles, den\ points lioinologues de deux surfaces (.v) et (s') 
étant sur la même variété spliérique génératrice. 

L'hypersurface (S) admet une génération an;ilogue avec deux 
réseaux orthogonaux de variétés sphériques de mêmes courbures / 
et — /, les variétés du premier réseau coupant (S) suivant une 
surface (a-). Pour Vapplicabililé, dans V espace conforme^ 
de (S) et (S), il faut que les deux surfaces {s) et (t), consi- 
dérées comme des surfaces d' un espace {spliérique ou pseudo- 
sphériqué) à 3 dimensions^ soient applicables V une sur V autre ^ 
et cela suffit . On aperçoit du reste immédiatement la représen- 
tation conforme la plus générale de fS) ou f-j : elle dépend de 

,. ,. . I / . ■ ,. . (n — 3)^« — 2) 
1 application de (5j suri^ j et en outre a un groupe a 

paramètres, celui qui laisse invariantes, dans l'espace conforme 
de (Sj, les variétés sphériques du second réseau (groupe des 
déplacements d'un espace pseudo-sphérique ou sphérique à 
n — 3 dimensions). 

Le ds"^ commun de (S) et de fS) est du reste la somme d'un ds- 
arbitraire à 2 variables et d'un ds- de courbure — A' h n — 3 va- 
riables. 

Remarquons enfin qu'on peut choisir les coordonnées (n + 2) — 
sphériques fixes de l'espace conforme, de manière que l'équation 
de la surface soit de la forme 

F(ari, Xi, X3, Xi) — o^ 



— 107 — 

le premier membre étant homogène : il suffit pour cela que les 
équations des variétés sphériques du second réseau soient 

Xx X-î X-i X:, 

Cl C2 C3 ~ Ci ' 

36. Passons maintenant au cas k = o. On a alors 

/ '="-• 

flfM = 6M + oji A,+ CO2A2+ V w,A,-, 

(iAi = — oj , N -H TTJi 2 A, •— 'i/ 1 A , 



^4) 



dX^ = — 102 N -(- 7TT21 A 1 -t- 'i/2 A, 



l = n-l 



dki= — oj,N-(- N w,j\j. 



^N =— BN. 



/ = •! 



Ces formules, comparées aux formules (21), montrent que, au 
besoin par une inversion, Ihvpersurface (S) est susceptible de la 
génération suivante. On considère deux réseaux orthogonaux de 
variétés planes parallèles, les unes à 3 dimensions, les autres à 
n — ?> dimensions. On prend dans l'une des variétés du premier 
réseau une surface (s); Ihypersurface (S) est engendrée par les 
variétés du second réseau qui passent par les différents points de 
cette surface. L'hjpersurface (S) admet une génération analogue. 

En posant 9= — ? on a vu que le ds- de Thypersurface (S) 

dans l'espace euclidien était, à un facteur constant pi'ès^ 



il en est de même pour (!'). Il en résulte que les deux surfaces (s) 
et (t), considérées comme des surfaces d'un espace euclidien à 
trois dimensions, oui {\es ds- dillérant seulement par un fadeur 
constant ; 1<l surface (o*) est donc applicable sur [s) ou sur une 
homot/iétir/ue de (s) : c'est la condition nécessaire et suffi- 
sante pour que (S) admette une représentation conforme 
sur (S). 

On ])eut choisir les coordonnées rectangulaires de l'espace 



— lOS — 

euclidien à n dimensions de manière que l'équalion de (S) soit 

de la forme 

F(a?i, Xi, Xz) = o, 

et le ds- de (S) est la somme d'un ds^ arbitraire à deux variables 
et d'un ds"^ de courbure nulle 'a n — 3 variables. 



LES HYPERSURFACES DE LA DEUXIEME CATEGORIE. 



37. Arrivons maintenant au cas où les mineurs du deuxième 
degré de la matrice 

^3 — "^î p3 "('3 



«n-1 '^«-1 p«-l Y;!- 

a — l'i Y 



sont tous nuls. Cela revient à dire que les équations homogènes et 
du second degré 



(45) 



( Wj CTo, — oj2C7i,= O fi = 3, . . . , n — i), 
I ojiy, —0)2-/, = o 



se réduisent à une seule, sans être toutes des identités. ISous 
allons supposer d'abord que le premier membre de cette équation 
unique est un carré parfait que nous pouvons supposer (o^. Nous 
aurons donc 



? = o, = a. 



(i 



n—i), 



Comme dans le premier cas on peut choisir A3, ..., A„_, de 
manière à annuler tous les coefficients a^. 11 restera donc 



(46) 






(f = 3, ..., n — i), 



Les formules (4o) montrent qu'on a alors 



- 109 - 



et, par suite, 






le coefficient a est donc un invariant, c'est-à-dire a la même valeur 
pour (S) et pour (2); autrement dit on peut ajouter aux équa- 
tions (39) et (39') la nouvelle équation 

(39") ^^^-l's. 

Si l'on calcule les covariants bilinéaires des deux membres des 
équations (39), (39') et (39") en tenant compte de ces équations 
elles-mêmes et si l'on néglige d'écrire les résultats quand ils sont 
identiques, on obtient 



(4o') 






Or prenons les covariants bilinéaires des deux membres des 
premières équations {46)i nous trouvons 



[(ato/-H yi-\- Y/7iTi2jaji] =: o, 



[(aw,-4-/, — Y,rai2)'û2j 



'(tXJj 



/, 7 p ra p , — -(i 6 — d-;i 



cette dernièi'e équation montre que les -', ne peuvent pas être tous 
nuls, sans quoi ■' serait nul aussi, contrairement à l'hvpotlièse; 
les deux équations montrent ensuite que at»)/-f- y/ et v/nj,2 ne 
dépendent que de w, et lUo. L'expression Tn,2 ne dépend donc que 
de CO) et too : 



(47) 



nTi2 ^= /ito] -(- /ituj. 



Si A" n'est pas nul, les formules (4o') montrent qu'on doit 
avoir 

par suite l'Iijpersuface (S) résulte de (S ) par une simple transfor- 
mation conforme. 

Considérons donc le cas /.= o. S'il en est ainsi les formules (4o') 



- IIJ - 

montrent qu'il existe une infinité d'hypersurfaces (S) admettant une 
représenlalioa conforme sur (S) sans en résulter par une transfor- 
mation conforme, et que ces hjpersurfaces dépendent d'une 
fonction arbitraire d'un argument. 

38. Il est facile de caractériser ces hjpersurfaces (S), que nous 
appellex'ons hypersurfaces de la seconde catégorie. Remarquons 
d'abord en elFet que ré([uation (o, = o est complètement intégrable, 
car on a, d'après ('>.^}, (l'J), (4~) e^ riiv|)ntbrse /.•=:o, 

(o'j = [ 9 w, ] -j- /( [ (<Ji ijj.j |. 

Cette équation dt-liuit donc sur (S) une famille de variétés à n — 2 
dimensions dépendant d'un paramètre. Il est facile de voir que ce5 
variétés sont spliériques. En ellet quand on se déplace sur une de 
ces variétés, cest-à-dire quand on lait co, =: o, on a 

la variété s[)liérique, intersection de A, et A, reste donc fixe. 

Réciprofjuement, si une Iiypersur/ace (S) est le lieu dUine 
variété sj)héri(jue à n — 2 dimensions dépendant d'un para- 
mètre, elle est de la seconde catégorie. En ellet toute hypersplière 
contenant cette variété est tangente. Si on la choisit pour hyper- 
sphère A, cette hypersphère ne dépend que de deux paramètres. 
Si alors on choisit pour A, Thypersphère orthogonale à A conte- 
nant la variété, il faut que l'intersection de A, et A ne dépende 
que d'un paramètre. Or 

t^[A,A]=-/.,[MAJ-<o,[NAJ-(- 2 nT,p[ApAJ~/.[MA,]-<},[AiA.2]; 

p = 2 

il faut donc que toutes les expressions lu,, y,, T7j,p. y, 'lo ne 
dépendent linéairement que d'une seule d'entre elles : 

y,= aw,, 
Toi, = 3t,(jj,, 

On peut déjà supposera nul en choisissant convenablement Aj, 



— 111 -- 

puis as, ...,a„_, nuls en clioisissant convenablement A3, ..., A„_,. 
Les formules 

[tU] '1*1 ] -h [lOo 'Lo] = O, 

conduisent alors facilement aux équations (4<j)j comme on a 
d'autre part Tn,2= c-aw,, le théorème est démontré. 

Les hypersurfaces lieux d'une variété sphérique à n — 2 di- 
mensions dépendcuit d'un paramètre admettent donc dans 
l'espace conforme une déformation dépendant d'une fonction 
arbitraire d'un argument; les variétés sphériques génératrices 
se conservent dans la déformation. 

Cliaque variété génératrice [A, A] a comme caractéristique une 
variété à n — 4 dimensions, formée des points qui lui sont 
communs à Ao et N-f-aM; cette caractéristique est une variété 
sphérique. Les choses se passent de la même manière pour (2), 
les caractéristiques dès variétés génératrices se correspondant 
dans la représentation conforme. 

On peut ajouter que les composantes du déplacement instan- 
tané du système de référence de (S) sont connues sans intégration; 
la seule inconnue est en efifel T, ; or W^ — 'i>, est de la forme Ato,, 
c'est-à-dire /( ^) ^^ en désignant par t le paramètre dont dépend 
la variété génératrice et par /(f) une fonction arbitraire de /. 

Au contraire il est impossible d'avoir sans signe d'intégration 
l'équation générale de (S), lors(ju'on se donne l'équation de (S). 

LES HYPERSURFACES DE LA TROISIEME CATÉGORIE. 

39. Arrivons enfin au cas où les équations (4^) ^e réduisent à 
une seule, dont le premier membre ne soit pas un carré parlait. 
Ce cas est celui où il existe deux familles de variétés sphériques 
[AjAoA] admettant une enveloppe, ou d'une manière plus pré- 
cise jouissant de la propriété que chaque variété de la famille ait 
avec la variété infiniment voisine une variété commune à n — 4 
dimensions. 

Si, en edet, on exprime que l'hypersphère-point 



— H"2 — 
appartient .lux hjpersphères </A,, (/Aj, </A, on obtient 



p = n — 1 

p = a 

pour que ces équations en x, se réduisent à une seule il faut que 
les équations (4^) se réduisent à une, et cette équation unique 
donne les valeurs qu'il faut attribuer au ra|)porl — pour que la 
propriété énoncée ait lieu. 

Supposons alors qu'on ait choisi les paramètres u et c, dont 
dépend l'iiypersphère A, de manière que les deux familles consi- 
dérées soient u = const. et c = const. Il est facile de voir que 
l'hypersphère A satisfera à une équation de Laplace de la forme 

à- A 'A ^ â\ 

(48) -4- hB-— + yA = o. 

^^ ^ du dv Ou ^ dv ' 

On peut du reste le vér' er par le calcul. 

Soit en ellet 

( co.> — /? w 1 ; ( Wo — ^ w I ) = o 

l'équation qui admet pour intégrales a = const., (' = consl.; on 
peut poser 

)[ = a du -t- b ch', 

).2 = pa du -+- qb dv, 



(49; 



(5o) 

On a enfin 

(5i) 



jsii = Oi du -+- bi dv, 
js-ii = p Uj du 4- qbi dv, 
'/i— «' du -+- b' dv, 
^2 = pa' du -{- gb' dv. 

i '% = — qni du — pn dv, 
I d/o = m du -4- n dv. 



Ajoutons qu'on peut toujours choisir l'hypersphère A, de manière 
qu'elle ne dépende que de u et de r; il en sera de même évidem- 
ment de Ao ; les coefficients de du. dv dans <^i et 'i/o ne dépendront 
alors que de m, i'; les quantités m, 7ij p, cj sont donc des fonctions 
de M et ^^ seulement; de plus les expressions de PfafT qui se pré- 



— 113 — 

sentent dins les expressions de t/A, et de <:/A2 sont des combinai- 
sons llné;iii*es de du et de dv. 

Cela posé on a, d'après ( 2.3), (49)i (5o), (5i j, 



(52) 






d'autre part les formules 

' </Ai = — (a' du -+- b' dv ) .M — (a du -\- b di' )'S h- tîJi2 A2 

i p=n-l 

\ -I- V (apdu-^ bpdi>)A.p— (qm du+pndv)\, 

(53) ' 

\ d\2 = — ipa' du-^ qb' dv)M — (/>a c/« + ^6 rfi^j.N — 1012 Aj 



-4- ^ ( parjdu -^ gbr)di>}Xrj-h {m du -h ndi>) A., 



montrent que 



dAa <)A, 

dv dv ■ 



aAo dA^ 

du au 



â'-X 



ne dépendent crue de A,, Ao, A, ou encore que est linéaire 

l 1 1 ; -7 7 '^ du dv 

dX dX . 
en-—, — -, A. 

du dv 

La réciproque est du reste évidente. 
Posons maintenant 

( 54 ) m 12= h du -t- A' dv ; 

on a, en dillerentiant les équations (52) et tenant compte de 

l'équation (4^)5 

Y — mn(i-+- pq ) = o, 

dm 

mua -i- mi -\- « j = o 

dv -' 

dimq) , . 

- ^ m A- -I- mqT. -i- n/> 3 = o, 

— nhp -1- mi -^ rt jî = o, 

-i.- /i/i -I- mqi -+■ np'p = o, 



(55) 



/ "^ 



du 

à( np } 



et ces équations déterminent a, ^, y- 

XLV. 



— 114 — 

iO. (hiaïul on passe de (S) à (S) les coefficients «, b, rt,, 6/, 
a', 6', />, q leslent les mêmes; les cttelTicienls tn. n sont remplacés 
par u, V et la formule 

devient 

;jLv = mn ; 

on peut donc poser 

I 

u = tm, V = - n 



t 



ou encore 



(39") 



^', = — qtm du — p - dv. 



1F2 = tm du -f- - n di', 



et les seconds membres des équations (4o) deviennent alors iden- 
tiquement nuls. Les hvpersurfaces (S) s'obtiennent donc en 
somme par l'intégration des équations (Sg), (39'), (3c)"), où t est 
une fonction inconnue nouvelle de u, v. 

Si maintenant on prend les covarlants bilinéaires des équa- 
tions (39), (39'), (39"), en tenant compte de ces équations elles- 
mêmes, les covariants des deux membres de chaque équation (39), 
(39') sont égaux d'eux-mêmes; en égalant ceux des deux membres 
des équations (39"), on obtient les valeur de 5- et — • 

Le calcul donne 

l ûv J L du 

[dm ,1 [On 

- -mk,\t-y - 

Ces équations, comparées aux équations (55), donnent 
/.^x àt ( \\ I ot 

ou encore, en posant f- = 6, 

(57) }. J1-. ^{^%du-^OLdv. 

41. Cela posé, plusieurs cas peuvent se présenter : 

ï° Cette équation aux différentielles totales (5^) n'admet pas 



, 1 I ôt \ dt 

nn — h ma \- nn~- — 

J / ^ Oi> ' t- ou 


= 


,1 dt i dt 

nhp — ^ m \~ n — -— 

^ J / dv t' du 


= 



— Ub — 

d'autre solution que ^ = i; alors l'hvpersurface (S) résulte de (S) 
par une transformation conforme; autrement dit rhjpersurface(S) 
est indéformable dans Tespace conforme; 

2° Cette équation admet une solution et une seule différente 
de 9 = I ; il existe une hjpersurface (2) sur laquelle (S) admet 
une représentation conforme, sans résulter de (S) par une trans- 
formation conforme; 

3° Cette équation est complètement intégrable. Alors (S) admet 
une déformation continue dans l'espace conforme, et cette défor- 
mation dépend d'un paramètre. L'hvpersurface (S) sera dite ap- 
partenir à la troisième catégorie. 

La condition pour qu'il en soit ainsi est donnée immédiatement 
par les équations 

^ ' du Ov ^ 

Les hypers urj aces (S) de la troisième catégorie s'obtiennent 
donc en prenant l'enveloppe d'une hypersphère unité \ à deux 
paramètres satisfaisant à ujie équation de Laplace de la 
forme 

•7 T (- a — H p r- Y A = O, 

du dv du '^ Cf ' 

où les coefficients y. et ^^ satisfont aux relations 

du dv ' 

On trouve immédiatement 



* - -^^ Ij — V ' ^ a U - V 

où U est une fonction de la variahle u seule et V une fonctiiin de 
la variable v seule. 

Si l'on considère maintenant l'hypersphère 



K = /U — VA, 

on trouve 

d'K \ I li'V /„ 

"' .• K = o. 



dudv {' 4 (U — V)M 



-- 110 — 

On peut rlonc encore dire que l' hypcisiirjdre (^) la plus f>;énè- 
rale de la troisième catégorie est Irmcloppe d'une hyper- 
sphère dépendant de deux paramètres a, r, les coordonnées 
{n -\- -2) — sphériques (ar,, ..., ^„, :r„^,, Xn^^) de cette hyper- 
sphère satisfaisant à une même équation de Laplace de la 
forme 

à\f 



Ou dv 



+ T'/=o 



et l'expression 



.^ a-r, — X 



n-i-l-^n h 2 



étant en même temps la différence entre une Jonction U de a 
et une Jonction V de c. 

Comme dans le problème de la déformation des liypersurfaces 
dans un espace euclidien, on démontre que Vhypersurjdce défor- 
mée (S) est donnée d'une 'manière analogue, l'équation de 
Laplace étant la tnême, mais les JonctionsV et \ subissa/it une 
même transformation homo graphique ci coefficients cons- 
tants. 



42. Un cas particulier intéressant est celui où les équations (45) 

se réduisent à 

tuf -i- ton = o. 

Dans ce cas p =: i^ ^ = — ^5 ^G'' hjpersphères ;t— et — - sont des 



hjpersphères-points ; l'équation 



du ôv 



dA 
du 



du 



conduit alors, en dérivant par rapport à (-', à 

/ dA -dA .\ 

dA 



dA 
du 



c'est-à-dire 



^ du 



df 



dA dA 



et comme les hjpersphères — > — ne peuvent pas être orthogo- 
nales, on a 



— 117 - 

et de même 

a = o ; 

par suite, les conditions (58) sont vérifiées et Ihjpersphère (S) 

est certainement de la troisième catégorie. 

Un autre cas particulier intéressant est celui où l'équation (48) 

se réduit à 

d'K _ 

ou dv 



SUR CERTAINES HYPERSURFACES DE L ESPACE A CINQ DIME>SIOI\S 
ENVELOPPES n HYPERSPHÈRES A DEUX PARA^fETRES. 

43. Ariivons maintenant au cas exceptionnel signalé n" 30 où 
les lijpersurfaces (S) et (2lj dans l'espace à cinq dimensions sont 
chacune enveloppe d'hjpersplières à deux paramètres sans que 
les caractéristiques se correspondent dans la représentation con- 
torme. 

L'hvpersurface (S) satisfait aux équations 

(59) •l'i = o, 'i'o^o, 

et l'on peut choisir les hypersphères A3 et A^ de manière à avoir 
en outre 

(60) Z = o- 

Les expressions de ■]>', et -y, donnent alors les relations 

[rai3'^3]-H [ran'^i] = o, 

qui montrent que m, 3, m, 4. ^23, ^24 ne dépendent que de -j/s et 
de '}4, c'est-à-dire de W3 et o),. 
D'autre part, les équations 

(61) '1-3 = 0, y'i = o, 
auxquelles satisfait l'hypersurface (!'), conduisent à 

( — [(03X] + [<î^nT,3]-4-[^*2nJ23] =0, 

(62) . 

( -[œ;X]-h[^^rnu]-f-l'r2ra2il=o, 
et ces relations montrent que TOij et roog ne dépendent que de 0J3, 



- 118 - 

^r, . ^P*o, c'est-à-dire de 0J3, co,, oio ; par suite Tn,3 et nî^g ne 
dépendent que de 103. Or on peut choisir les hjpersphères A, 
et Ao de manière que les coefficients de o>:, dans r7T,3 et »t523 soient 
nuls : on peut donc supposer 

(63) TÏJ13 = T323 = O. 

Les équations (62) montrent alors d'une part que X ne peut 
dépendre que de W3, d'autre part que X ne peut dépendre que de 
(1),, oj,, 0)2- On a donc 

(64) X = o; 

on voit enfin que ro,4 et Wi:, sont nuls aussi : 

Si Ton exprime que les covariants bilinéaires de rn,3, Tn2:i, ro^, 
GT24 sont nuls, on obtient : 

[(03X,] — [ojjXj] = o, 
[0^3X2] — [W2X3] = 0, 
[oj^X, J — [(ojXiJ = o, 

[OJ;/, J — [(Jjj/ï ] = O, [Wi X,] — [0J2XiJ = o, 

ce qui entraîne des relations de la lorine 
I 7.1= -m LOI, 

(66; ^ (67) 

i /z= moj3, 

! /_i= mwi, 

Enfin en exprimant que V\\., — rrr',.,, H'gj — cî'3, sont nuls, on 
obtient les relations 

(65) [T,Tj] = (m -[!) [10,102], 
(69) [ 'Iz •t': ] ={ni — \i) [oj3(ot]; 

et, en égalant les covarianls bilinéaires des deux membres des 



[,0, 


>■/.- 


] 


— 


[0., 


i/.3] 


= 


0, 


ho, 


i/J 


i] 


— 


l'o. 


.7.3] 


= 


"l 


\u., 


'/.< 


] 


— 


[,o, 


//.] 


= 


", 



x,= 


^i-^., 


X, = 


^jatOs, 


X3=- 


^!-lW3, 


Xv=- 


l 
1 ' 



— 119 - 
equalions (*)(3) et (<")"), on arrive aux équations 

(70) dm -\- 2ni(i = o, 

(71) du. -t- 2 jJiô = o. 

La formule (69) montre que m — y. n'est pas nul; d'autre 
part, si l'on change riiyperspluu-e M en aM, ce coefficient m — lu 
est divisé par A^ ; on peut donc le supposer égal ù une constante 
positive ou néiiative; on voit alors, d'après (jo) et (71), que l'on a 

d'où 

dm = da = o ; 

les coefficients ;?i et 'j. sont donc des constantes distinctes, dont 
l'une au plus peut être nulle. 

44. Cela posé il est facile de voir la nature géométrique de 
l'hjpersurface (S ). On a en elfet 

1 dM = (.0 1 A 1 -i- jjo Ao -i- oj^ A:j -V- 0)4 Ai , 



c^Ao = — co, /'m — - M ) + rao. A, , 
(7"^-) < ^A3 = — 103 (N — — Mj -t-TTTai Ai-i- 'l^jA. 

d\, = — 10, ("n - ^ M^ -^ T0i3 A3 + 'l/i A, 

(/A =- — -lysAs— 'K^i, 
1 d\ = - /y? (w, Al -r- w.> Al ) /»( 11J3 A3 -f- oji Ai ). 

Ces formules, comparées aux formules (19 j, montrent que (S) 
est une liypersurface de la première catégorie. On considère un 
premier ré^au de variétés sphériques à trois dimensions [A,A2] 
et un réseau orthogonal de variétés sphériques (splières) à deux 
dimensions [A3 A4 A]; les premières peuvent être considérées 
comme des espaces (sphériques ou pseudo-sphériques) de cour- 
bure — m, les autres comme des espaces f pseudo-sphériques ou 
sphériques) de courbure -f- m. On considère alors dans une des 
variétés à Irois dimensions du premier réseau (ici la vaiiélé 



— 120 — 

[A, A^]) une surface à deux (Iiiiiciiskui.s ( s ) pai' cliaque [toint de 
laquelle on lait passer la sphère du second l'éseau qui contient 
ce point. 

Ici la surface (s) n'est pas une surface arbitraire; son ds-, dans 
l'espace à trois dimensions de courhure — ni dans lequel elle est 
placée, est 

(oj -f- lu?-; 

Or on a 

par suite (n° 14) la courbure (absolue) (') de ce ds"^ est — a, 
c'est-à-dire constante. 

Quant à riiypersurface (ïj, les formules 

(f\* ;:= (Oi Bi -^ W2 Bo -h '-O3 B3-I- 10; B; , 

</B, = -wi ('q+ ^P^ ^nrioB.+ ^I', B, 

(73) { . ^ ' 

./B3 = -tojQ-^p') +7iy3iB;, 

montrent quelle est susceptible d'une f;énération analof^ue. On 
considère un premier réseau de variétés spliériques à deux dimen- 
sions [BjB^jB] et un réseau orthogonal de variétés spliériques à 
trois dimensions [B3B4]; les premières peuvent être considérées 
comme des espaces (sphériques ou pseudo-sphériquesj de cour- 
bure — u, les autres comme des espaces de courbure -t- ij.. On con- 
sidère alors, dans une des variétés à trois dimensions du second 
réseau, la variété [B3B4], une surface à deux dimensions (<tj par 
chaque point de laquelle on fait passer la sphère du premier 
réseau qui contient ce point. 

Ici la surface (7) n'est pas arbitraire, son f/\-, dans l'espace 



(') La courbure relative (produit des deux r;iyons de courljure principaux) 
serait m — \l. 



— 121 — 

à trois dimensions de courbure + [j. dans lequel elle est placée, 
est 

Oi'î ■+- m'^. 

Or on a 

io\ = [W2CT21], 
w', = [coiTrr,,], 

Cî'l , =: /)! [wi t02 J ; 

par suite (n" 14) la courbure [absolue ( ' )] de ce ds- est-\-m, 
cest-à-dire une constante. 

Réciproquement il est facile de voir que deux hypersur^ 
faces (S) et (S), engendrées comme il vient d'être dit. sont 
applicables l' une sur Vautre dans l'espace conforme^ car pour 
cbacunes d'elles le ds- est la somme d'un ds- à deux variables de 
courbure m et (ï ni\ ds- à deux variables de courbure — [J.. Dans 
la représentation conforme des deux liypersurfaces l'une sur 
l'autre, les sphères génératrices de fS) correspondent aux 
surfaces (•j) de (Sj et les surfaces (s) de (S) aux sphères 
génératrices de (S). 

Dans le cas particulier où m par exemple serait nul, l'iiyper- 
surface (S) pourrait, par une inversion, être engendrée au moyen 
de deux réseaux ortliogonaux de variétés planes parallèles, le pre- 
mier formé de plans à deux dimensions, le second tormé d'hjper- 
plans à trois dimensions, dont chacun coupe (S) suivant une 
surface de courbure totale constante — a. 



SUR L ABSCISSE DE CONVERGENCE DES SÉRIES DE DIRICHLET; 
Par m. Emili: Cotton. 

Les séries de la forme 
(i) aie-''.: -f- a-îC^'-^- -+-..,-!- a,j<?-^-= -+-..., 

où les a sont des nombres quelconques, les ). des nombres réels 

(') La coiiiliiire relalh'e serait, ici aussi, égale à m — ti. 

XLV. 9 



— 12-2 — 

positifs croissants avec l'indice /«, et où z désigne une variable 
complexe, sont appelées séries de Lejeune-Dirichlet. Elles ont 
fait l'objet de nombreux travaux, parmi lesquels nous citerons la 
Thèse de M. Caben (*). Si une telle série est convergente pour 
une valeur Zo de la variable, elle Test encore pour toute valeur 
de z dont la partie réelle R(;) surpasse celle R.(^o) ^^ ^o- ^e là 
résulte Texistence d'une abscisse de convergence, finie ou non, 
pour une série (i); soit a cette abscisse, (i) est convergente pour 
R(^)>>a, divergente pour R(::)<<a, le cas où R(c) = a étant 
réservé. 

M. Cahen, dans le Travail cité plus haut, a démontré que, si 
cette abscisse est positive^ son expression est 

{i) a= lim ■ r— log|ai-l- «2-1-. . •+ «ni ;, 

OÙ lim Sfi désigne, comme d'baljitude, la plus grande des limites 

de la suite .?« povir /i infini positif. 

Je me propose de compléter cette proposition en établissant 
que, si l'abscisse de convergence est négative^ on a de même 

<3) a= lim r- log| a„+ a„+, — . . . I- , 

expression analogue à la précédente, mais où les restes de la série 
remplacent les sommes des premiers termes. 
L'étude des intégrales 






<où la variable t est réelle, la fonction c2(/j et la variable z jiouvant 
<être complexes, présente avec celle des séries (i) une analogie 
manifeste. 

M. Pincherle a montré l'existence pour ces intégrales d'une 
abscisse de convergence a; M. Landau a donné une expression 
■de a analogue à celle de M. Caben, lorsque a^ o; enfin ]\L Pin- 
cherle a traité le cas de a << o dans un Mémoire (-) qui m'a con- 



(') Annales de l'École Normale supérieure^ ?>'■ série, t. XI, 1894, P-7J. 
(-) Acta mathematica, t. XXXVI, p. 269. 



— 123 — 

(luit à la proposition qui vient d'être énoncée et dont voici la 
démonstration. 

1. Lidentité appelée transforinalion d'AheL ({ui est, dans la 
théorie des dilTérences et des sommes définies, l'analogue de la 
formule d'intégration par parties, intervient fréquemment dans 
l'étude des séries ( i). Pour la démonstration qui va suivre, il nous 
sera commode de la présenter de la façon suivante : 

Soient deux suites indéfinies 



en supposant la série Ilr^ convergente, désignons par R^ le reste 

R„ = t^„+i + «^«+2 -^. . . ; 
nous avons R« , — • Pv.,, := f„, et, par suite, 

ou, avec la notation habituelle des ditrérences, 

C4) UnVn = R„ A?/„ — A( «,, R„_i). 

Cette identité nous montre que, si les séries -^'a-, -(R« ^Uu) sont 
conçergentes^ et si de plus anPi,i_i tend vers zéro avec -, la 
série I>u,ir„ est aussi convergente. 

2. L'abscisse de convergence de la série (i) étant supposée 
négative, cette série est convergente pour ; ^ o. Elle se réduit 
alors à -«„, nous prendrons r„ = «„, d'où 

Comme |Pt„| tend vers zéro avec -> log|R„| est négatif iiour les 
grandes valeurs de n^ et la plus grande des limites pour // iuliui 
(le ""' """' ^ ne peut surpasser zéro. Admettons qu'elle soil néga- 

tive et désignons-la j)ar — ^. Soit ; un nombre positif inférieur 
à ,3, on peut trou\ er un nombre v tel que l'inégalité n > v 
entraîne 



— 124 — 
ou encore 

(5) |U„„,l<e-UM\ 

Il nous suffit d't'tuclier la série (i) sur l'axe réel; désignons 
alors par x la variable, et montrons que la série 

(6) S«„e->"^ 
est converi;cnte pour 

(7) a'>-S-s. 

Appliquons pour cela la proposition du n" I. jNous avons pris 
déjà i'rt = rt„, nous ferons Un '=^ e~'«^. 
Les inégalités i o) et (j) montrent que 

tend vers zéro avec -• Pour établir la convergence de ^Pt^ Aw„, 
écrivons 

R„ A Un = R„ (e-"'"-.^ — e-'n-c > = R„ e->.„+,-' [i — <> /.„+,-X„ x] , 

Or I — e~^ est. |ii>ur / > o. inférit-ur à t; ceci montre que 
I R„ A M„ 1< I R;^ I e->"+.^ \x\ (X„+, — À„) 

et, à cause de fà). 

I R„ A «„ I < e-X,.+,;x+3-£ ( X„^i _ x„ ) I ^ I . 

M. Gahen a démontré [loc. cit., p. ()i ) q'ie la série de terme 

général 

(A„+, — À,jje->"+.« 

est convergenle pour u >> o. La convergence de la série ( (i) étant 
assurée dès que l'inégalité (7) est vérifiée, on a a^ — fi-r^, el, 
puisque £ est arbitrairement petit, 

C8) «i— 3. 

3. Supposons niainlenanl la série (()) convergenle pour une 
valeur négative de .r, et posons 



— 1-23 — 
d où 

et par suite • 

Soit H un nombre supérieur à [/"/(^il. \i'n\i |'"/(+i|' etc.; on a, 
puisque x <io^ 



c'est-à-dire 

ce qui s'écrit encore 






>wi lu 



On a donc, puisque jp est aussi voisin de a qu'on le veut, et que 
A„ devient infini avec /i, 

Le rapprochenicnt des inégalités (8) et (()) donne bien a= — |i. 
Terminons par une remarque facile à déduire de la démonstra- 
tion de M. Cahen et de celle qui précède. Quand l'abscisse de 
convergence est nulle, la formule (2) de M. Cahen est encore 
exacte (sauf peut-être si la série Sa„ avait en même temps une 
somme nulle); mais l'inverse n'est pas vrai, car le second membre 
de la formule (2) est nul lorsque l'abscisse de convergence est 
négative et (^««^ o). La formule Ç\) est exacte, même pour a ^ o, 
dès que le second membre a un sens, c'est-à-dire dès que la 
série Sa,j est convergente. 



DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE DU THÉORÈME DE M. BOREL 
SUR LES NOMBRES ABSOLUMENT NORMAUX ET DÉTERMINATION 
EFFECTIVE D'UN TEL NOMBRE; 

Pau m. W. Sieri'inski. 

On a[)pelle, d'après ^L Borel, simplement normal par rapport 
à la base q {^) tout nombre réel x dont la partie fractionnaire 

(') E. UoHEL, Leçons sur la t/tcorie des fonctions, p. 11J7, Paris, i|)ii- 



12G — 



donne un ch-veloppcnicnt 



1 



dans lequel les bk sont des entiers inférieurs à <y, tels que cj"', 
c" . ..., c\"Li désii;nant les nombres rcspcclifs de fois que figurent 

les rliilTres o, I, 2, . . . , <y — i parnu les lennes />,. b-, b„. 

chacun des rapports 



,.(«) 
"/-i 



a i)our liiiiile — lorsque /i au^iiienle indéfiniment. 
I ^ 1 f- 

Lorsqu'un nond)re donné est simplement normal par r<q)port à 
toutes les bases possibles (qz=>., ,'), j' •••'•• il est dit absolu- 
ment no?' mal. 

Le but de cette Note est de donner une démonstration élémen- 
taire (sans faire appel aux théorèmes de la théorie des ensembles) 
d'une proposition remarquable de M. Borel. d'après laquelle 
presque tous les nombres réels sont absolument normaux. 
jNotre démonstration nous donnera en même temps y\n moven 
de déterminer effectivement un nombre absolument normal. 

Désignons [tour tout système de nombres naturels donnés q. 



m. n, et pour loul nombre p de la suite «i 
Tensemble de tous les intervalles 



q — I i)a 



(2) 



(b. _^ 



7" 



'/" 



r 



77t r- 



où bi, bni ■ ■ ., bn sont des nombres de la suite o, i, •>, 
satisfaisant à l'inéualité 



H) 



C,,(l>i, h., . . ., bn) 



rp(bi, Z>o, ..., b„) désignant le nombre de fois que ligure le 
nombre p parmi les termes 6), b-,- ■ ■ -, b,,. 

Posons ensviile, z étant un nond)re |)ositif donné quelconque. 



(4) 






— 127 — 
et 



'/-' 



ce sera évidemment un ensemble bien déterminé (dénombrable) 
d'intervalles, ne dépendant que de s. Nous démontrerons que la 
somme des longueurs des intervalles formant l'ensemble A(£) 
est < s et que tout nombre x de l'intervalle (o, i) qui n'est inté- 
rieur à aucun des intervalles de l'ensemble A ('s) est absolument 
normal. 

Calculons d'abord la somme S„^ „^, des longueurs de tous les 
intervalles de l'ensemble (i), où q, m et ii sont des nombres 
naturels donnés iq^ i), et p est un nombre donné de la suite o^ 
}, 2, ..., q — - 1 . Ld longueur de tout intervalle (2) est évidem- 

ment — : pour calculer la somme S,, ,„,,„, il suffira donc de cal- 

ciller combien d'intervalles (2) appartiennent à l'ensemble (i),. 
c'est-à-dire combien de systèmes 

a;) ^^1, b. b„ 

de fi entiers non négatifs ^q — i satisfont à la condition (3). 

Divisons les systèmes (6) en classes, en rangeant dans la 
/.leme ^lassc ( A" = o, I, 2, ..., 7i) tous Ics sjstèmcs (6) pour 
lesquels 

(7) Cp(bi, bo, . . ., b„) = /.. 

Pour qu'un système (6) satisfasse à la condition (-), il faut el 
il suffît que, parmi les 7i termes de la suite (6), /,• soient égaux au 
nombre p, chacun des n ■ — k autres termes de la suite (6) pouvant 
prendre une des q — i valeurs o, i, .... /, - i , A- -f- i , .... q. Il 
s'ensuit sans peine qu'il v a 

/.j ( 7 — •)"-''■ 

systèmes (6) satisfaisant à la condition (-). 

Désignons par 8(A:) le nombre i ou o, suivant que l'inégalité 

(8) ^-i ^^ 

n q m 



— 12S 



est remplie on non. Le nombre de systèmes (()) salislaisunt à la 
Condition (.5) est donc évidemment ('gai k la somme 



!."('■■>(:) 



/, = o 

Nous avons donc 



(9) §,,„,,„,, = Jn^ ''^'^) (2) ' ^/ - 0"-'' 



/ =0 



D'après la définition du syndjole 0(/.) et d'après (cS ) nous avons 
pour /i= o, I, . . ., ji 

(,o) „a)i,n^(i-yy, 

puisque pour 0(7.) = o l'inégalité (lo) subsiste évidemment et 
que pour h(k) = i elle résulte de l'inégalité (8). 
La formule (9) donne donc, d'après (10) ('), 

n 

(11) §,,,,„,„,,, 1 777^2 (/•) ^-y/' -'0"<>/ -I ;"-'•-. 

/.=0 

Pour calculer la dernière somme, posons 

(12) f(x) = (x--^c/ — i)"x-"; 
nous aurons évidemment 

(i3) /' ^-j =2 (/ ) ^'^ -')"-/■ .r'//.w,. 

Posons ensuite 
(i4) a^f'(x)=f,(x), xf\(x) = M.T), xf',{x)==Ux), xf'./x)=f,{xy, 
d'après (1.)) et (il,) nous aui-ons é\ ideminent 

(i5) f■^^)=^y^(",)i'J'^-n)•<(q-^y^-'^^ 



(') Cf. F. HausdokI'T, Gruiulziige cler Mengenlehre, p. 4 ?o, Leipzig, iyi4- 
M. Hausdorir ne considère d'ailleurs que le cas «7 = i. 



— 129 — 
or, d'après (12) et (14)5 nous trouvons, en efll'ectuant le calcul, 

/4(l) = n{q —\)q"['i( q — ï ) n ^ rf- — &{q — l)]\ 

donc, pour ^^2, n naturel, 
(16) /t(i)<4«^fy"+^. 

Nous avons donc, d'après (i4) et (16), 

n 

et Finégalité (11) donne 

D'après (5) nous concluons sans peine que la somme S (s) des 
longueurs de tous les intervalles formant l'ensemble A(£) ne sur- 
passe pas la somme 

q = i iit — l « = «,„,(£ /j = o 

donc, d'après {i~)i nous trouvons 
Pour tout /i' naturel nous avons 



n = Â + 1 « = A -t- 1 

, , 7-, i'\in^q''- ^ ■?4'>i''q- ]• • / /\ 
donc, pour A" = b ;— ^ h 1 >> j— ^, d a[)res ( ]), 






(') Cette iné;;alilc pourrait rtre cvideniiiient démontiée sans faire appel au 
calcul dillerentiei. 



130 



cl l'incj;alilc (i.S) tienne 



q = -> 



Or, d'après (i»)), nous iroiivons sans peine 



2^ 



et 






2; 



l'inégalité (yo) donne donc 



S(£)<£. 



Nous aAons donc démontré que la somme des longueurs de tous 
les intervalles formant l'ensemble A(e) est inférieure à t. 

Désignons maintenant par £(2) l'ensemble de tous les 
nombres x de l'intervalle (o, i) qui ne sont intérieurs à aucun 
des intervalles appartenant à l'ensemble A (s) : il est bien évident 
que E(£) est un ensemble bien déterminé, ne dépendant que de s, 
et qu'il existe toujours pour s^i. Je dis que tout nombre x de 
l'ensemble E(£) est un nombre absolument normal. 

Soient, en elfet, x un nombre donné de l'ensemble E(£), q un 
nombre naturel clonné ^2, et 



(9A) 



le développenu'nt du nombre x en fi^action à base q. 

Soit, ensuite, p un nombre donné de la suite o, 1,2, ..., q — 1. 
Désignons mainlenanl par m un nombre naturel quelconque et 
posons 

(■>--i) [J. = — -+- 2. 

s 

Je dis que nous aurons l'inégalité 

c,,(b,, bi, . . ., b,i) 



Cxi) 



< 



pour /i ^> [X. 



Sup[)osons, en effet, que pour un indice « > [a l'inégalité (ao) 
ne subsiste ])as. Nous aurons pour cet indice « l'inégalité (3), 
qui prouve que l'intervalle (2) appartient à l'ensemble (i), donc, 



- 131 - 

à plus forte raison, à l'ensemble (5), puisque, d'après (22) et (4) 
(n étant un nombre naturel > a), nous avons 

Donc l'intervalle (2) appartient à l'ensemble A(s). Or, de (21), 
nous concluons sans peine que le nombre x est intérieur à l'inter- 
valle (2). Le nombre x serait donc intérieur à un intervalle de 
l'ensemble ^(s), ce qui est impossible, puisque a? appartient à 
l'ensemble E(£). 

Nous avons ainsi démontré que pour tout nombre naturel ni 
existe un nombre correspondant a, pour lequel subsiste (23), ce 
qui prouve que 

(24) luil -i = -T • 

,y = « n q 

La formule (24) étant vraie pour p = o, i, 2. ..., q — 1, nous 
en concluons que le nombre x est simplement normal par rappori 
à la base q. 

Le nombre x est donc simplement normal par rapport à toute 
base g = 2, 3, 4) • • • • c'est donc un nombre absolument normal. 

Nous avons ainsi démontré que tout nombre de l'ensemble E(s) 
est absolument normal. Il s'ensuit que tous les nombres de 
l'intervalle (o^ i) qui ne sont pas absolument normaux peuvent 
être enfermés dans une infinité dénombrable d'intervalles dont la 
somme des longueurs est inférieure à s, et cela pour tout t positif, 
<iouné arbitrairement a priori. En d'autres termes, ^ensemble 
de tons les nombres de r intervalle (o, 1) qui ne sont pas abso- 
lument normaux est de mesure nulle, ce qui constitue le théo- 
rème de iNL Borel. 

Nous allons maintenant déterminer elTectivement un nombre 
absolument normal. Considérons l'ensemble E(i) : ce sera évi- 
demment un ensemjjle bien déterminé de nombres de l'inter- 
valle (o, i), non vide [puisque les ensembles E(s) existent 
pour £^ il. Désignons par ; la borne inférieure de l'ensemble E(i); 
; sera donc un nondjrc réel bi(m déterniiiu'. Il suit sans ^icinc 
(le la Jélînilion de la borne iniV'rieurc et de la définilion de 
l'ensemble 3(1), que ç ne peut être intérieur à aucun intervalle 
appartenant à l'ensemble A(i). Il en résulte que z, appartient à 
l'ensemble t{i) '• c'est donc un nombre absolument normal. 



— 13-2 — 

Nous axons donc dcleiininé efleclivenienl un nonihie absolu- 
nienl nonual. 



SUR CERTAINES DÉMONSTRATIONS D'EXISTENCE; 
Par m. h. Lebesgue. 

Dans une lettre, adressée à M. Borel, et qui accompagnait l'en- 
voi de l'article précédent, M. Sierpinski se demandait si cet article 
(Jevait être publié, s'il ne ferait pas double emploi avec une démons- 
tration que j'avais indiquée à M. Borel et que celui-ci a signalée 
dans la deuxième édition de ses Leçons sur la théorie des fonc- 
tions (p. i()8V 

Comme on va le voir, les deux articles, loin de laii-e double 
emploi, se complètent : ce qui est traité un peu trop ra|)idement 
dans l'un est complètement traité dans l'autre et inversement. 

Le présent article avait été écrit en 1909, à la demande de 
M. Borel, pour être mis en note d'un de ses Ouvrages. M. Borel 
n'a pu le pidjlier à l'époque. Je le donne ici sans changement, 
mais, comme je ne l'écrirais pas actuellement tout à fait de même, 
je crois devoir ajouter quelques explications. 

C'était l'époque des discussions sur le raisonnement célèbre de 
M. Zerinelo; j'avais précisé le débat en demandant : Peut-on 
démontrer l'existence d'un être mathématique sans le déiinir? (') 
et, en même temps, j'avais appelé l'attention sur certaines 
démonstrations d'existence d'ensembles qui ne semblaient pas 
permettre de définir un de ces ensembles. 

Je venais d'examiner ces définitions dans un Mémoire qui paiiit 
peu de temps après (-); ma conclusion était que, à celles de ces 
définitions qui ne sont pas illusoires, 11 est possible d'apporter 
des précisions qui conduisent à la définition d'un des ensembles 
dont on démontre l'existence. 

Le présent article est consacré au cas [)lus simple de quelques 
modes de démonstrations d'existence de nojnbres. Bien (jue les 

{') Bulletin de la Société mathématique de France, décembre i!)o'i. 
('-) Journal de Mathématiques, igoS. 



— 133 — 

indications qu'il contient paraîtront maintenant banales, il m'avait 
semble nécessaire de l'écrire après avoir In les lignes suivantes dans 
un travail de M. Borel : « Dans l'état actuel de la Science, la 
détermination effective d'un nombre absolument normal pai\iit un 
problème des plus difficiles : il serait intéressant, soit de le 
résoudre en construisant un nombre absolument normal, ou en 
montrant qu'un nombre irrationnel connu est absolument normal, 
soit de démontrer que^ parmi les nombres pouvant être réel- 
lement définis, aucun nest absolument normal; si paradoxal 
que paraisse cet énoncé , il n'est nullement incompatible avec 
le fait que la » mesure des nombres absolument normaux 
compris entre o et i est égale à i ('). 

Or, voici ma thèse : si l'on a pu démontrer que le complémen- 
taire B, [B^fo, i) — ,\] d'un ensemble A. formé de nombres 
compris entre o et i , est de mesure inférieure à i , de la démons- 
tration même on peut déduire la définition d'un nombre de A. 

Bien entendu la démonstration ne saurait résulter de l'écriture 
des lettres A et B, il faut connaître sur A autre chose que son nom, 
A; mais si A est donné par ses propriétés caractéristiques et si, 
de ces propriétés, on a déduit logiquement la preuve que la mesure 
de B est inférieure à i , on est dans le cas que je considère. 

C'est la légitimation de cette affirmation générale, qui est la 
partie principale de ma INote. Je l'applique ensuite aux nombres 
absolument normaux, mais sans préciser aussi nettement que 
M. Sierpinski la preuve que la mesure de Tenseiiible de ces 
nombres est égale à i . J'avais cependant repris cette démonstration, 
parce que le raisonnement de M. Borel prêtait à quelques objec- 
tions à cause de l'emploi de probabilités dont l'indépendance n'est 
pas évidente (2). et surtout pour avoir une fois de plus, et dans 
un cas un peu plus compliqué, l'occasion d'appliquer les procédés 
qui m'avaient déjà servi dans mes Leçons sur V intégration et 
dans mon Mémoire du Journal de Mathématiques^ pour prouver 



(') Reiidiconli ciel Circo/o rnateinatico di l'alermo, i" semestre 1909. 

Les Ualifjues sont de moi. Jai moililié la forme de la fin de la phrase p'^iir ne 
pas avoir à définir le mol probabilité. 

(-) C'csl à l'occasion d'observatinns analogues (Bkhxstein, Malh. Ann., IJand 71: 
liouEL, Malh. Ann., tJund 7'2) que cet article a été recherché dans les papiers de 
M. Borel. 



— 134 - 

que certains ensembles sont mesurables JJ. Ces procédés, bien 
connus aujourd'hui, étaient encore nouveaux alors. Il con\ient de 
rappeler que la seule fois où, dans ses Leçons sur la tliroiie des 
fonctions^ M. Borel rencontre l'occasion d'appliquer ses idées sur 
la mesure èi la solution d une qucsl ion de la tliéorie des tondions, 
il ne peut affirmer que l'ensemble (Jtudié est bien mesurable B('). 
C'est dans une ^ote de 1904 et dans mon Mémoire de i()o5 que 
j'ai fixé la portée, tout à fait insoupçonnée alors, de la notion 
d'enseiuble mesurable B. 



1. Quand on veut prouver l'existence de nombres vérifiant une 
certaine condition, on emploie souvent un raisonnement par 
l'absurde consistant à démontrer sur l'ensemble des nombres ne 
vérifiant pas la condition imposée une propriété qui n'appartient 
pas à l'ensemble de tous les nombres. L'exemple classique de ce 
mode de raisonnement est la démonstration, par G. Canlor, de 
l'existence des nombres transcendants. La démonstration utilise 
ces propriétés : les nombres non transcendants forment un 
ensemble dénombrable et l'ensemble de tous les nombres n'est 
pas dénombrable. 

On pourra utiliser un raisonnement analogue toutes les fois 
qu'on saura que l'ensemble des nombres ne vérifiant pas la condi- 
tion imposée : (a) est dénombrable, ou (6) est partout non dense, 
ou (c) est de première catégorie (-), ou encore [d) si l'on sait que 
l'ensemble des nombres ne vérifiant pas la condition imposée et 
compris dans un intervalle (a, [3) est de mesure plus petite 
que ^ — a. 

On se sent forcé d'admettre que ce mode de raisonnement prouve 
l'existence d'un ensemble de nombres satisfaisant à la condition 
considérée, mais on peut prétendre qu'il ne fournit pas la preuve 
de ïcxislence d'un nombre satisfaisant à cette condition, car il ne 
fournit aucun moyen de distinguer des autres un des nombres de 
l'ensemble dont il prouve l'existence, c'est-à-dire de nommer 
u?i nombre satisfaisant à la condition imposée. 

( ') l'âge i)- (note 1). 

(') La notion d'ensemble de première catégorie est due à M. R. Baire {coir sa 
Thèse, Annali cli Matliem., 1899). 



— 135 — 

Celte difficulté n'est pas sérieuse ici. Supposons que Ton ne 
s'occupe que de nombres compris entre o et i et admettons d'abord 
qu'on est dans le cas (a). 

Désignons les nombres ne vérifiant pas la condition considérée 
par Ut, i/o, ...; le nombre x, défini par la condition d'avoir 
pourp'^™^ chiffre décimal i ou 2 suivant que \e p'^'"" chiffre de iip 
est différent de i ou lui est égal ('), répond à la question. C'est en 
somme le raisonnement même de Cantor. 

Admettons maintenant qu'on soit dans le cas (c) qui contient 
comme cas particulier (6) [et aussi le cas (a)] puisqu'un ensemble 
est dit de première catégorie s'il est la somme d'une infinité 
dénombrable d'ensembles partout non denses U), Lo, • • • • Consi- 
dérons la suite d'intervalles (S) 

\ \ 10 ' \io 10/ \ïo / \ 100/ 

(S) ' , \ / V / 

■' (-i-,-i^): ■■■: (^. .): (o.^l; .... 

I \ioo 100/ \ioo / \ 1000/ 

Soit T, le premier de ces intervalles ne contenaiU à son intérieur 
aucun nombre de Un- Ne conservons dans la suite que ceux des 
intervalles qui sont entièrement, c'est-à-dire extrémités com- 
prises, intérieurs à I, et soit L le premier de ceux-là ne contenant 
à son intérieur aucun nombre de Uo, etc. Le nombre commun à 1 , , 
f2, ... satisfait à la condition imposée. C'est le raisonnement 
même de M. Baire, pi'écisé seulement quant au choix des T,, L 

2. C'est à cause de cette précision, puérile tant elle est immé- 
diate, que l'on peut dire avoir nommé un nombre répondant à la 
question. Il est certain que toutes les propriétés de ce nombre 
sont des conséquences logiques de sa définition; mais cela est 
illusoire en pratique, car, dans la plupart des cas, on ne saura pas 
tenir compte de ce que 1|, lo, ... sont ïe^i premiers intervalles 
jouissant de certaines propriétés. Doit-on. à cause de cela, consi- 
dérer cette définirion d'un nombre comme illusoire et. adoptant à 



(') On fait telle convention que l'on veut relativement à la façon d'écrire dans 
le système décimal ceux des u qui sont des fractions décimales exactes. 



— 130 — 

peu i)iès le point de vue de Kroneeker, exiger une définition 
fournissant vxn procédé de calcul du nombre défini? 

Une telle exigence me paraîtrait tout à fait exagérée. Si l'on 
sait faire le choix des Ii, lo, . . . , on sait obtenir les décimales 
successives du nombre défini; mais, pour choisir I,, il faut con- 
naître U|, Uo". •••• Si l'on sait démontrer que l'ensemble des 
nombres ne répondant pas à la question est de première catégorie 
on sait aussi, le plus souvent, nommer les ensembles U|, Uo, .... 
Aommer Uj, c'est nommer une propriété de ses points; si l'on sait 
démontrer que U| est partout non dense, on sait aussi, le plus sou- 
vent, déterminer les intervalles ai , ao, ... contigus à cet ensemble et 
alors, par un nombre fini d'équations, on trouvera, T,. Les inter- 
valles I2, I3 se détermineront de même. 

Sans doute il n'y a pas là l'indication d'un procédé opératoire 
régulier; mais, dans la plupart des cas se présentant pratique- 
ment, on voit comment, à partir de la définition de l'ensemble 
de première catégorie, on doit opérer pour calculer un nombre ne 
faisant pas partie de l'ensemble ('); à mesure que l'on connaît 
mieux l'ensemble de première catégorie donné, à mesure qu'il 
est donné plus simplement, le procédé de calcul apparaît mieux et 
se précise d'avantage. 

Il me sendjle que c'est là tout ce qu'on peut demander; 
demander j)lus ce serait vouloir que de cette seule hypothèse " on 
a énoncé une propriété caractérisant les nombres d'un ensemble 
de première catégorie » on déduise un procédé de calcul appli- 
cable quelque bizarre que soit la propriété énoncée; on voudrait 
une réponse plus précise que l'énoncé; à une question idéaliste on 
exigerait une réponse empiriste. 

A ce compte, ne devrait-on pas dire que la définition classique 
de l'intégrale des fonctions continues est illusoire puisqu'elle ne 
fijurnit pas de procédé de calcul pour 

/ 3-[ lim lim (cos/n! TrG)2«] ^a", 



(') Il nest peut-cire pas inutile de faire observer que c'est la /oi du calcul, 
c'est-à-dire Tenscinhle des mots définissant le nombre, qui est seule intéressante 
ici et non pas les premiers résultats du calcul, les premiers chiffres décimaux du 
nombre à définir, puisque ce nombre est choisi dans un ensemble partout dense 
et qu'on peut par suite se donner arbitrairement ses premiers chiffres. 



- 137 - 

quand G est la constante dEuler? ou encore que la l'ègle d'addition 
des fractions par la réduction au même dénominateur est illusoire 
parce que ce ne serait pas celle qu'on pourrait employer si l'on avait 
besoin de la somme des nombres de BernouUi Bjoo^.ouo, B^ooo^oo (')? 

En résumé, il me semble qu'on doit exl»;er de la démonstration 
de l'existence dune catégorie d'êtres mathématiques qu'elle con- 
tienne l'énoncé des caractéristiques logiques d'un de ces êtres, 
mais cela seulement. Il est souhaitable que cet énoncé conduise 
au moins dans les cas plus simples à un procédé de construction 
effective de l'être défini et que ce procédé soit d'autant plus régu- 
lier et précis que les données sont plus particulières. 

Comme exemple d'une démonstration d'existence ne remplissant 
aucune de ces conditions je citerai la preuve, donnée par M. Zer- 
melo, du théorème suivant : Un ensemble quelconque M étant 
donné^ il existe un ensemble bien ordonné M, correspondant 
à M, élément à élément^ d'une façon univoque et réciproque (^). 

M. Zermelo indique en effet comment on construirait M| si 
l'on avait choisi une correspondance enti^e chaque sous-ensemble 
de M et un des éléments de ce sous-ensemble; mais il considère 
comme évidente l'existence de telles correspondances sans 
chercher aucunement à caractériser l'une d'elles. De plus le pro- 
cédé de construction de M( semble ne pouvoir même pas servir 
dans des cas particuliers, car les seuls cas particuliers où l'on a pu 
jusqu'ici nommer une corrrespondance de la nature de celles que 
M. Zermelo utilise sont ceux où l'on connai't à l'avance M, et 
même c'est le plus souvent en utilisant cet ensemble M, qu'cm 
nomme la correspondance (^). 

3. Plaçons-nous mtiinlenanl dans le cas (d) (^). On suppose 
donc donné un ensemble de mesure inférieure à i et il s'at;it de 



(') Il inc semlile que si l'on prend pour critère de la bonté d'une définition la 
possibilité d'effectuer un calcul numérique, les difficultés que l'on rencontre 
dans ces deux exemples doivent être considérées lomme aussi graves l'une que 
l'autre. 

(^) Math. Annalen, Band '>'.), ign», p. 5i (-ôiG. 

(') Voir une Note de M. E. Uorel dans les Math, Annalen, tîand 60, igoô, 
p. 194-195- 

(*) Le cas {cl) ne contient pas le cas (c), car un ensemble peut être de pre- 
mière catégorie et avoir pour complémentaire un ensemble de mesure nulle. 

XLV. 10 



- 13S — 

jiionlrcr qii il evisLo dans (o, i ) des [xiints ne l'iii>anl [)a.s nailie de 
l'cnseml)le. En d'autres lerines : un enseinhle de mesure non 
nulle contient des points, et par suite, une infinité non dénom- 
brable de points. C'est la propriété'' que M. E. Borel utilise surtout 
dans ses Leçons sur la throrie des fonctions et c'est en vue de 
cette utilisalion fpi il a inlroduit la notion d'ensemhics mesu- 
rables et en particulier celle d'ensemble de mesure non nulle. 

Si l'on se rappelle le procédé que j'emploie pour définir la 
mesure, on peut énoncer le théorème à démontrer sous la forme 
suivante : Etant donné un ensemble dénombrable d intervalles 
dont la longueur totale est inférieure à i, il existe des points 
de (o, i) ne faisant partie d'aucun de ces intervalles. Sous 
cette forme la proposition avait été utilisée par M. Borel dans sa 
Thèse ('). 

Soient L I . U^. . . . les intervalles donnés; la longueur de U^, 
sei^a y.p ou un nombre plus petit, mais les a^ sont tels que la 

série 2^'^-p ^^^ convergente et de somme plus petite que i. Pour 
éviter une petite difficulté accessoire, je supposerai qu'aux inter- 
valles donnés on en a ajouté de nouveaux de façon que l'on soil 
certain que les extrémités des inter\alles donnés primitivement 
sont toutes intérieures à un autre; c'est cet ensemble total d'inter- 
valles qui est désigné par U», Uo, .... Il suffira qu'un pt)int soit 
extérieur à Ui, Ua- • . • ou extrémité de certains d'entre eux sans 
être intérieur à aucun autre pour qu'il réponde à la (piestion. 

Considérons les j3( premiers intervalles U,, Ua, • • -, U^; soient 
A'P', 5^', . . . , 5^' la longueur totale des parties de ces intervalles 
qui sont comprises respectivement dans le premier, dans le 
deuxième, etc., dans le dixième inter\alle de la suite S du n" 1. 

Posons 

« /. 

r„ = .V — s.,, r = i — s. 



^/'=2'^'" 



sP' 4- s'.''—. . .-^ si'' 



■J ^"PO 



s =^-^/,. 
On a 
d'où 

''^u'+ '■/'.) -^''^'i'-^ '■/'.'' -*-■••-'- («(I'-^- '7'.,' ^/',^-'o'>,= s -+-9 '■/'.■• 

(') Loc. cit. 



- 139 — 

donc, quand p^ aura éL(- clioisi assez grand, cette somme ser.i 
inférieure à r et Tune au moins des quantités 5^'-!- /• sera au plus 

égale à ■— —, donc inférieure à Quand p, sera choisi, on 

donnera à / la plus petite valeur possible satisfaisant aux condi- 
lions imposées; soit i^ cette valeur. 

On partagera alors l'intervalle (— ? — — ] en lo parties égales- 

et par la considération de ces lo parties et des p., premiers inter- 
valles U ( pa'^pt) on formera les sommes (jP^-, . . ., o-'J- analogues 
aux V''. On aura 

= (*/'*-^ '■/'. - '■/■..' -^ •«'>.= <',4'' -^ '■/'>) ^ 9'>.= 7^' * ^ 90'.) ^ 9'>.- 
Si donc/», et po >ont assez grands pour que 

•^ -^ 9 '■/'. — 90 0'^ 

soit plus petit que i. l'une des quantités "^'l' -\- r .,, sera au pluv 

1 , 5 -T- q/'/), -f- Q0 7',, , , . ' /-\ 1 

égale a 2_iJ z — u, cIduc plus i>etite que (Juand /), et />•> 

100 ' ^ ^ 100 ^ 11' 

seront choisis, i.^ désignera le plus petil indice i tel qu'il «mi soit 

ainsi. 

Continuant de même (Ui arrivera à déterminer un nomhrc i-^ et îs 
écrire la condition 

••'" ~ 9 '>. -^ 90 '■/'. -^ 900 /■/,, < I , 
et ainsi de suite. 

Toutes les conditions seront remplies si la série 

s — <J '■/., -4- <)0 /'y, . -1- <)()0 Z"^, , — <JOOO t'p^ -T- . . . 

<'st convergente et de somme au plus égale à i . ^ious pouvons don(r 
convenir de prendre pour/>i le premier entier tel qu'on ail 

'■'■•=78 

et, pour / ]> I . (If |>icudre pour /-»a le premier entier supérlcui 

•* pk-\ et tel qu'on ait 

r 

r,,,- 



l'I^^ ;/. 



■A'- .9. lO'' 



— UO — 

Les enl'iev^ p/i étant ainsi définis, les entiers i/( sont déterminés 
et le nombre qui, dans le système décimal, est représenté par le 
développement o, /,/o/3... répond évidemment à la question. 
On voit que pour obtenir les A premières décimales il suffit de se 
servir des j)/, premiers intervalles, le nombre p/,- étant d'ailleurs 

déterminé à l'avance par la seule étude de la série ^a^- Quant 

à celle série elle se présente en général d'elle-même, si en elTet on 
a pu vérifier par le calcul qu'un ensemble dénombrable d'inter- 
valles donné numériquement a une mesure inf<''rieure à i, c'est 
qu'on a pu trouver, pour la série des longueurs des intervalles, 
une série majorante dont on sait calculer la somme inférieure 
à I . 

4. Il faudrait indiquer 'maintenant un procédé permettant, un. 
ensemble mesurcible étant donné, de l'enfermer dans une infinité 
dénondjr.dilc d'intervalles dont la mesure dilFère aussi peu que 
l'on veut de l'ensemble donné. Il est manifestement impossible de 
nommer un procédé régulier si l'on ne précise pas la façon dont 
est donné l'ensemble mesurable; tout ce que l'on peut faire c'est 
indiquer des exemples qui, pour d'autres cas analogues, suggére- 
ront peut-être des artifices utilisables. 

Pour tous les ensembles que l on a démontré être mesurables, 
la démonstration a consisté à prouver que ces ensembles pouvaient 
être enfermés dans des ensembles construits à partir d'intervalle 
par les opérations suivantes : 

I. Faire la somme d'une infinité dénombi'aljle d'enseud)les pré- 
cédemment définis; 

II. Prendre la partie commune à nue infinité dénombrables 
d'ensembles précédemment définis; 

III. Passer d'nn ensemble à son complémentaire. 

Cette troisième opération j>ermel d'ailleurs de supprimer lune 
des opérations 1 ou IF. 

Il est évident que, si l'on connaît la loi de formation d'un 
ensemble à l'aide des opérations I, II, III à partir d'intervalles 
donnés, il est facile de l'enfermer dans des intervalles satisfaisant 
à la condition indiquée. 



— 141 — 

Tout revient donc à trouver cette loi Je formation et les inter- 
valles primitifs. Jai dit ailleurs comment on avait cette loi pour 
des ensembles définis par des égalite's ou inégalités entre des 
fonctions dont on connaît une représentation analytique ('). Je 
me contenterai ici de donner un exemple où cette loi s'obtient 
très simplement parce que l'ensemble est défini par une propriété 
des cliillres des nombres de l'ensembles (-). 

Proposons-nous de nommer un nombre absolument normal, 
M. Borel (•'') appelle ainsi un nombre normal par rapport à toutes les 
bases de nujuération possible. Il dit qu'un nombre est normal par 
rapport à la base q si, ce nombre étant exprimé dans le système 
de base q et un groupement quelconque dep cbifïVes consécutifs 
étant considéré, le nombre de fois c« que se rencontre ce groupe- 
ment dans les n premiers chiffres après la virgule satisfait à la 
relation 

..Cl T 

lun — = — , 

n = ^ 'i q'' 

quel que soit 1 entier y> et le groupement ojnsidéré. 

M. Borel démontre que Tensemble des nombres absolument 
normaux compris entre o et i a une mesure égale à i ; en utilisant 
ce qui précède, pour nouimer un nombre absolument normal de 
(o, i), il suffit donc d'indiquer un moven d'enfermer le complé- 
mentaire dans des intervalles de longueur totale au plus égale à 
un nombre î, donné, intérieur à i . 

Pour qu'un nombre A soit aljsolument normal, il faut et il suffit 
évidemment que, quels que soient les entiers j9, ^, /', /->!>o,^^o, 
^ >> r >> o, le nombre />''A étant écrit dans le système de base/J^, 
si l'on désigne par Cq, fi. ..., Cp7_ , les nombres de fois que 
ligureut les cliillres o, i, .... p'i — i dans les n premiers chiffres 
après la virgule, les rapp »rls 



(') Journal de Mathématiques, i<jo5. 

(^) Voir un exemple analogue, mais plus sinipli-, tUms mes Leçons sur l'inté- 
gration, p. 109. 

(■') Rend, del Cirolo math, di Palcrnio, t. XW'Il. lo'xj, p. 247--7'« 



- 142 — 

Iciident vers la mémo limite. — > qiuuul // iiii^incnle incl('linimeiil. 

p'i 1 

Appelous \ijp^q^, 1 ensemble des nomhies |>oiir le>qiiels la coiidi- 
liou précédente est remplie pour les val(Mirs y>, ^y, r des entiers 
•considérés. Soient l'ensemble Edes nombres absolument normaux 
<lc fo, i), G son Complémentaire, Cp.q,i le complémentaire deE„_,,. 
On a évidemuient 

/' '/ '• 

Si donc on clioisit des nombres positils î,,,,, ,. tels que 






-/-','/.'•! 



il suffit d'enfermer chaque C , ,. dans i\es intervalles dtuit la lon- 
4iueur totale est t„„,. au plus. 

Pour simplifier le langas^e je prends le cas p = .5. q = t:= \ et 
je pose 

E3,l.l='î-! G3j^i=0, î:j,i,i=î^. 

•i^ est la partie commune à tous les ensendjles vL'o. ^t formés des 
nojnbres pour lesquels les rapports—? — tendent respectivement 
vers -; aucfuel cas — tend enraiement vers -• 

C'est donc la somme des deux ensembles Cq, G, complémentaires 
•de Cq, C, et il suffit d'enfermer chacun d'eux dans des intervalles 
•de longueur totale au plus égale à e. Prenons Go, par exemple. 

*l"o est la partie commune à tous les ensembles Cq,»' pour toutes 
les valeurs entières de a; Co,oi. est formé des nombres pour lesquels 
-on a toujours, povir n assez grand, 

I I Cfl I I 

J a /i 3 a 

do est donc la somme des Go,a? compléiuentaires des (î^o.a? et il 
suffit d'enfermer Co,oL(y-^= i, 2, . . .) dans des intervalles de lon- 

i;ueur totale — 

"^o.a.p étant l'ensemble des noinbres pour lesquels la double 
inégalité précédente est vérifiée dès que « est au moins égal à p; 



— 143 — 

•^o.a 6St la somme des <l."o,a,35 h prenant les valeurs i, 2 

Mais Co,a,p étant évidemment contenu dans Co,'jl,^+\j '"^ peut ne 
donner à ,3 qu'une infinité arbitrairement choisie de valeurs 
entières croissantes. 0^,^ est donc la partie commune à une infi- 
nité quelconque des C^,^,^, complémentaires des Co,a,^^ et il suffit 
de montrer comment, pour une valeur assez grande de ,3, on peut 

enfermer Co,^,^ dans des intervalles de longueur totale — au plvis. 

Or Co,a,^ est la somme des ensembles Co,a,^,y (T = ^' *' ^' •••)" 
Go,a,p,y étant formé des nombres pour lesquels la double iné- 
galité précédente n'est pas vérifiée ]iour 71 = '^^ -r- '(■ H suffit donc, 
pour arriver à la détermination de ^, de montrer que la série 

7 mesure [Co,a,i,y] est convergente et de trouver combien de 

Y 

termes on d(jit négliger au rnnimencement pour que la somme de 

e 
ceux qui restent ne surpasse pas — • 

Or Go,5£,,,y est formé d'un certain nondjre d'intervalles de la 

forme i— — , ) • Tous ces Intervalles sont ('-"aux et la somme 



totale de leurs mesures est 1, donc la mesure de Go,a,i,y est la 
probabilité pour qu'en choisissant *' -h i fois l'un des chiffres o, 
I, 2, le chiffre o ne se présente pas un nondn-e de fois compris 

entre (ï+Jjf^— ^^ ^T'^'H^^a)' ^''^^^^ -''»-<^liï'^ ^1"'^^ 
très peu près ( ') la :nesure de C(,,2(,,.v est 



•2 r' 



d( 



ou, en posant e '' = u, 
I z"' du ^ I 






ly-M. 



;y— Il 



y— loga_ 



n'-<Y^') 



Ceci est le tenue général de rang v d'une série convergente; on 



(1) Pour èlic rigoureux il faudrait évidcmniciil tenir compte de l'erreur cum- 
inise dans celte approximation, il nous suffira ici d'être certain qu'elle ne modi- 
fiera pas la conclusion, ce qui résulte du fait que l'erreur relative tend vers zéro. 
(On pourrait aussi imiter les calculs de M. Sierpinski.) 



— lii — 

pourrait donc indiquer un procédé régulier pour clioisir |^ en 
t'onclion de a et alors les Co.a.^.y (y = o) couvriraient Co.a,^ donc 
Go,a comme nous le voulons. 

Il n'y aurait donc aucune difficulté à nouiuier un nombre abso- 
lument normal; nous avons en passant démontré à nouveau que 
l'ensemble des nombres absolument normaux est de mesure égale 
à I . 



LES CLASSES DE NOYAUX SYMÉTRISABLES; 
Par m. t. Lalisco. 

1. Définitions. -^ Nous dirons qu'un nojau ^[xy) (') est 
symétrisable s'il peut être rendu symétrique par la composition 
avec un noyau symétrique G[xy). 

Gomme il existe deux catégories de novaux symétriques 
définies par la relation 

(i) S.{xy) = zk(yx) {z = ±\), 

il faut distinguer quatre catégories de noyaux symétrisables, 
suivant la nature du facteur composant et celle du noyau com- 
posé. 

Convenons d'employer la notation suivante : 

On peut caractériser chaque catégorie de noyaux symétriques 
par le ; qui figui^e dans l'équation (i) définissant sa symétrie. 
Nous dirons alors qu'un noyau symétrique G(j'j') est i\y\ ty[)e (s). 

D'une manière analogue, nous dirons qu'un noyau symétri- 
sable N(ir>-) est du type (s, s'), si (e) est le type du facteur com- 
posant et (;') celui du noyau composé. 

Il lésulte ainsi les quatre types de noyaux symétrisables sui- 
vants : 1° (i, i); 2° (i, — i); 3° (— I, i), et 4° (— i , — i). Nous 
verrons dans la suite qu'ils se réduisent à trois types distincts. 



(') Dans tout cet article, nous avons écrit d'une façon générale N {xy) à la 
place de N {x.y)., pour simplifier l'écriture. 



— iib — 

2. Exemples : 

i" Tout noyau composé de deux noyaux symétriques est un 
noyau symétrisable. 

Prenons deux noyaux Gixy) et Y{[xy) de types (s) et (z') res- 
pectivement. Le produit 



/ \{{x.<( } G( sy) ds 



est symétrisable et de type (s, t'). 
2" Les noyaux de la forme 

.K(x)G(xy)B{y), 

où i'i(^xy) est un noyau symétrique du type (î), sont des noyaux 
symétrisables du type (s, i). 

Ces noyaux, qui se présentent fréquemment dans les applica- 
calions, sont désignés sous le nom de noyaux polaires. 

3" Tout noyau itéré d'un noyau symétrisable est aussi 
symétrisable. 

Soit ^(xy) un noyau symétrisable du type (î, z' ) dont la 
symétrie est définie par la relation 

/ G{xs)'S( sy) ds ^ \\{xy}. 
On a 

fG{xs)^^_{sy)ds= fG(xs)N{ st )S(ty)dsdt 
= z rG{ts)N(sx)7i{ty)dsdt 
= zz' jG ( st ) N (SX > \ ( ty) ds dl. 

Sous cette tonne, on voit que l'écbange des x et )' entre eux 
revient à clianger Cj(st) en i\[ts). 

Le noyau / (j{xs)^2{^sy)ds est donc symétrique et du même 

type que G(:r)). 



— 14fi — 
D'une faroii analogue, on a 

CG(.vs)^^'3^{sy)ds= foixsj^ist) Mti/)l^(uy) ds dt 
= / K{xt)^{tii)'S{uy)dtdu 

— tij \\{tii)^(tx)l^{uy)dtda, 

ce qui inonlre que le noyau / O [x s) ^^'■^'^ [s y) ds est syini-trique 

et du type (e'). 

La règle est générale : 

Tout noyau itéré d'ordre pair (Viin noyau symèlrisahle 
(c, s') est aussi symétrisahle et du type (s, e); tout noyau 
itéré d^ordre impair et symétrisahle, est du type (s, s'). 

En eilet, pour un noyau itéré d'ordre ay^, on a 

fG(xs)'^^^-p^(sy)ds = fG(xs)'^,,(st)N,,(ty)dsdl 
= ± JGlstjN,, (sx) N/, ( ty ) ds dt, 

et, pour un noyau d'ordre 2p -{- i, 

fG{xs)^^"-i>+i^(sy)ds= fG(xs)N{st)Npitu)^p(uy){stu) 
=: ±1 I K(tu)Np{tx)'N;,(uy ) du dl. 

On peut réunir ces deux résultats, dans l'énoncé suivant : 
7\)ut noyau itéré est symétrisahle et du type 

/.■ ('tant l'ordre du noyau. 

3. F^es facteurs composants. — Ln noyau sym<'trisahle 
alinet une infinité de facteurs composants. 

En edet, si G{xy) est un facteur composant, nous venons de 
v.)ir que les noyaux symétriques 

\\,,{xy) = 1 G(xs) N'/^'(sj) ds 



— 147 — 
le sont aussi, car on a 



f^' 



(xs) ^(sy) ds = I G(xs) ?i''P+^^{sy) ds. 



Il y a dès lors lieu de considérer, dans la famille des fadeurs 
composants, le noyau de puissance minimum, ou l'un d'eux s'il y 
en a plusieurs; nous dirons que c'est un facteur composant pri- 
mitif et nous le désignerons par la notation A(xy). 

4. Le genre d'un noyau symétrisable. — La composition 
avec le facteur composant peut se faire à droite ou à gauche. 
Ainsi, par exemple, le produit des noyaux symétriques G[xy) 
et Yl[xy) est symétrisable à gauche par le facteur Yi{xy) et à 
droite par G{xy). 

De même, les noyaux polaires, définis précédemment, sont 
symétrisables à gauche par ^{x)Ci(^xy)là{y) et à droite par 
\{x)Q{xy)X{y). 

Une question se pose dès lors : Un noyau qui est symélrisaljle 
d'un coté, l'est-il aussi de l'autre côté? 

Il en est certainement ainsi pour une catégorie étendue de 
noyaux symétrisables. 

Nous définirons pour cela une notion nouvelle, celle du genre 
d'un noyau symétrisable. 

Considérons l'équation intégrale 

(2) Ws){xy)= Cbîxs) k(sy)ds, 

où A(^r-) désigne un facteur composant à gauche cl |)riuiitii 
de ^{xy) et i\^5")(.r)') le noyau itéré de puissance g-. Il peut 
arriver qu'à partir d'une certaine valeur de g cette équation soit 
résoluble; la valeur minimum de g\ à partir de laquelle l'équa- 
tion (2) est résoluble diminuée d'une unlt('', sera appelée le 
genre du noyau symétrisable considéré. 

Dans la pratique, lorscpie le novau "Si^xy) et le facteui- compt»- 
sant sont donnés, il est facile de déterminer le genre ou en IduI 
cas une limite supérieure, soit par des remarques directes, soit en 
appliquant le théorèuie de Picard. 

Ainsi, par exemple, les noyaux symétrisables, produits com- 



— 148 — 

posés de deux noyaux symétriques, sont de genre zéro. En efiet 
pour un pareil no\au 

N{xj I = I U(xs)G(sy) ds, 

dont G(jf)') esl lui facteur coiuj)osant, on voit que ^-=1, par la 
définition même du nojau. 

Les noyaux polaires sont de genre au plus égal à i, car 

N,{xj)= Ca(x}G(xs) B(s)\(s)G{sj)B(y)ds 
=J\(x) G(xs) X(s) B{s)G{sj) B{y) ds. 

Or nous avons vu que B( j") G(a:r) B( r) est, pourN(a?K), un 
facteur composant à gauche. Donc g'^'i- 

Enfin, il est évident que les noyaux itérés d'un noyau symé- 
trisable, ont un genre plus petit ou au plus égal au genre du 
noyau considéré. 

o. Facteurs composants associes. — ■ On a le théorème sui- 
vant : 

l^oiit noyau syniétrisable fermé et de genre fini est symê- 
trisable des deux côtés, à gauche et à droite. 

jNous montrerons pour cela que : 

i" Le noyau \^(xy) est symétrique. — En elVet, on a 

I A.{xs) Ni^'(5 y) ds = 1 A{.rs) Bi si) ci{fy) ds. 
Or le noyau du premier membre est symétrique, et du type 

£(ee')^. 

Il résulte alors que l'on aura 

i\{xs)[B(st) — z{c.t'yB{ts)]\{ty)dsdt = o. 

J)onc, [)uisque N(xy) esl un noyau fermé, on aura 

Bixy) = E{t'JyB(yx), 



— 149 — 

2° Le noyau Ys.[xy)r= j '^(^xs)'B[sy) ds est symétrique. — 
En effet, on a 

Ws+^\x)= f'N{a;s)B(st)\(ty)dsdt. 
Donc 

I A(xs) N's'+i' (sy) ds — j k(xs) K(st) k{sy) ds; 

on en déduit que K(;rj)') est symétrique et du type s(s£')» + '. 

Il résulte donc bien que JN (^>') est symétrisable à droite par 
B{xy) et du tjpe 

Nous dirons que B{xy) est le facteur composant associé 

deK{xy). 

6. Les classes de noyaux sym'Hrisables. — Les développe- 
ments précédents ont montré qu'il n'existe en réalité que trois 
classes distinctes de noyaux symétrisables. 

En effet, les classes (s, s') et (ô', s) sont identiques, car, les 
facteurs composants / X[x s)^^'^ (^sy) ds sont alternativement du 
type z et s' et les noyaux composés résultants sont du tvpe t' et î. 

On voit en même temps que la symétrisation à droite n'altère 
pas le caractère de symétrie du novau considéré. 

Il reste maintenant à établir que les trois classes restantes 
(i, i), (i, — i) et ( — I, — i) sont réelleuient distinctes. Ceci 
résultera ultérieurement de leurs propriétés spéciales. 

Ptemarquons enfin que le résultat précédent peut encore 
s'énoncer de la façon suivante : On peut inlervertir l'ordre des î, 
dans la lîclie d'un noyau svjnétrisable. 

Ces résultats suggèrent une classificition systématique des 
noyaux, en considérant successivement les classes formées par 
noyaux composés de plusieurs noy.uix symétriques, ou plus géné- 
ralement les noyaux symétrisables de classe /f, dont les facteurs 
composants soient des noyaux symétrisables de classes k — i. Les 
noyaux symétriques des deux j>remières classes seraient : i" les 
noyaux symétriques pri^prement dits (première classe), et 2° les 
noyaux symétrisables que nous venons do considérer (seconde 
classe). 



— loO 



SUR DES POLYNOMES 
SE RATTACHANT A L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE /'= (ij2+ :r ; 

l* V K M . P A L J. A P P E J^ I. . 



I. On coniiail les belles recherches de M. Painlevé ( ' ) el de ses 
disciples (■-) sur les équations dilTérenlielles à points critiques 
lixes. Dans rintéj;ralion par séries de la plus simple d'entre elles, 

(i) r"=^6y'-^T, 

interviennent d'une façon particulière les multiples de 5, comme 
l'a montré M. Boutroux (') en étudiant deux solutions particulières 
remarquables. 

II. M. Painlev»' a étudié le premier ^^ /oc. cit. : Bulletin de la 
Société mathéwaliquey une solution de la forme 

où Xii est une constante quelconque; il a montré que le coeffi- 
cient h est arljitraire. Les coefficients suivants sont des polynômes 
en j?o et A, sur lesquels je voudrais présenter quelques remarques. 
Je me borne ici au cas où X(^=^ o, laissant le cas général pour une 
autre étude. Il s'agit alors d'une solution de la forme 

(3) y =i —-^ — x'^{a\ — a'tX -^ a.iX'- -^ . . .-r- c/„j""-i-f-. . .). 

La substitution dans l'équalion donne les premiers coefficients^ 
a-i étant arbitraire (V<2= /' )• D'une façon générale, on a la formule 



('; Bulletin de la Société mathématiifiie de France, t. WVIII. i|/"o. p. 201- 
261,. et Acta mathematica, t. XXV, 1902, p. i-8ô. 

(-) Nous renverrons pour la bibliograptiie à l'intéressante Thèse de M. Garnier 
Sur des équations différentielles de troisième ordre .... Paris, Gauthier- Vilîars: 
1911. 

(^) Recherches sur les transcendantes de M. Painle^t {Annales de l'École 
Normale supérieure, 3' série, t. \X\. ipi>, p. 33(j-34o). 



loi 



récurrente 

(4) (n — 1)1 n -h 5)an— 6[.2ai««_5-t- 2 «2 ««-.; — • • ■]• 

où le dernier ternie entre crochets est 2a„_3«„_;j quand /i est 
impair et a^_; quand n est pair. 

L'application répétée de la formule (4) fournit les coefficients 
successifs; nous donnons ci-dessous le Tableau des premiers 
d'entre entre eux, rangés en cinq colonnes verticales; dans la pre- 
mière figurent les coefficients rt„ pour lesquels ?i ^ 1 (mod5); 
dans la deuxième les coefficients pour lesquels n^2 (mod5), etc., 
dans la cinquième les coefficients pour lesquels /i=o (modo). 



.5A-H1. 



2'. J. 1 I 
I 




■2- . j . j* . I I 
9 



n = 3k -^ ■ 

//2 



«13 = 



«18 = 



ih^- 



5 . 1 1 . 1 3 

ph- 




li' 



au 



«19 



ib.19 

9" 



n = ô/. 



ÎA 



«20 = 



"».* 



Les coefticients «.. ,. «22- «23? ^^2^5 ^^25 s<jnt de même des cons- 
tantes numériques multipliées respectivement par /i°, A, h'-. Ii'^ . /i^. 
En général le coefficient a,i est un polynôme en h. Si 



/i ^s/x mofl 5 ) 



/> = I. 2, 3, 4, 5, 



le coefficient a,t contient uniquement des puissances de h de la 
forme //'*+/'' (/.- =r o, 1 . •>.. .'). . . .): cin peut donc s'écrire 



^') 



rt„= A^-iP„(/<3j, 



Prt(/i') désignant un polynôme contenant uniquement des puis- 
sances de //* et ayant tous ses coefficients du signe de ( — 11^. 

On (W'-montre celle proposition en montrant que, si la propriélé 
est vraie pour a,,^:,. <in^\y^- <'«-i5- •••• ^^e Test aussi pour /-/„. 
Gomme elle e>t vraie, d'après le Tableau. |)our les premiers cocl- 
licients, elle le sera alors pour tous. 



— 152 — 

Dans la fonnule l'éciirrenle (4), en supposant n^p (mocIS), 
«tn voit que tous les termes du second membre «, a,j_, 3, ciiCtn-c-, ••• 
sont de lu forme A/'"' P(/i') d'api'ès la formule (5) supposée vraie 
pour «( et cin-ii CI2 et ««^c? «3 et a„_7, ... ; celte forme est donc 
vraie pour On- 

Soit ti) une racine cinqulèuie de l'unité : si l'on remplace x 
par MX et // par w//, j^ est remplacée j)ar w'y. On peut vérifier 
directement, sur l'équaliou dillerentielle, que le cliangement de x 
en (oa?, et (\e y en iù^y n'altère pas l'équation. 

Si l'on donne à It la valeur zéro^ /i = o, le développement devient 
{^voir BouTROux, loc. cit.) 

V ' ' ! , ' 

-».2 <t oA-î 



a.-2 o 264 19008 7683984 

OÙ ne figurent que des puissances de x de la forme 5Â" — a. 

On peut aussi calculer directement les coefficients de Y, en 
cherchant une solution de la forme 

Y = -^ + ^^9(^^); 

puis les premiers coefficients a,i pour lesquels // = 5/i 4- 2, en 
remarquant que la fonction Y, :i= ijf) ^ détermination de -y pour 
h ^= o, vérifie l'équation 

Y'i = 12 YY,. 

Le cas où Xq est différent de zéro, se traite de la même façon 
en faisant d'abord x — Xo= t^ ce qui donne 

les dérivées étant prises par rapport à t. 
m. La seconde équation de M. Painlevé 

conduit à des résultats de même nalure, le nombre 3 jouant un rôle 
analogue à celui du nombre 5 pour l'équation ( i ). C'est ce qu'on 
voit a priori en i^emarquant que, si w est une racine cubique de 
l'unité, l'équation (6) ne change pas si l'on remplacer? par tojc 
ely par oï-y. 



— lo3 — 

On voit, en particulier, que l'équation (()) adaieL une solution 
lie la forme 

F(x'') étant une série entière en x^ : 

Un calcul facile donne, en substituant dans (6) et réduisant, la 
relation 

Ç)X^F"{X^) -+• 18^3 F' (-p3) 

= ^F (x^ ) -h 6 x-^ F- ( x^) -{- %x^F^(x^) -^- x^F(x^) -{- i -h a, 

qui, en posant x^=z, permet de calculer les coefficients de la 
série F(:;). 



SUR LES CHEMINS DE DÉTERMINATION DES FONCTIONS ENTIÈRES; 
Par m. g. Valiron. 

On sait qu'étant donnés une fonction entière J{z) et un 
chemin G qui s'éloigne indéfiniment, les valeurs de f{z) sur la 
courbe G n'ont pas en général de limite lorsque z croit indéfini- 
ment. Mais il peut exister des chemins G sur lesquels /(;) tend 
vers une limite rt, je les appellerai chemins de détermination a 
def{z); je dirai aussi que a est une valeur asymptotique on 
valeur limite de /{z). En particulier, M. Iversen a démontré 
dans sa Thèse qu'il existe toujours des chemins de détermination 
infinie (' ). 

L'étude des chemins de détermination finie joue un nWe iuipor- 
tant dans la théorie des fonctions inverses des fonctions entières; 
la connaissance de l'cnseml)le des valeurs limites de la fonction 
s'impose même dès le début. I^e théorème de INI. AA iman fournit 
un premier renseignement : pour les fonctions ilOrdre inférieur 



(') Recherches sur les fonctions inverses des fondions nicronior/i/ies, Uri- 
singfors, «gi^* 

XLV. t I 



— 134 — 

à - il nexisie pas de valeur asjin|)li)(i(|uc lime ('). Pour les 

autres fondions d'ordre Uni, jM. Denjoj a énoncé le résultat 
suivant : 

1 iii':oRi:ME I. — Le nombre des valeurs limites d une Jonc- 
tion d'ordre p est au plus égal à 20 (-). 

Cette importante proposition serait rendue vraisemblable, ajoute 
M. Denjoj, si Ton étai)llssait ce deuxième théorèuie : 

THÉoR^;^rE II. — Considérons une courbe G s'èloignant indé- 
finiment, faisons-la tourner d'un amrle éisal à — ^) a étant 

' ' •' •' -^ p + a 

un nombre positif quelconque, et soit C la courbe obtenue. 
Désignons par D le domaine compris entre C et C et intérieur 
à l'aire D| balayée par pendant la rotation. Si une fonc- 
tion d'ordre p admet des chemins de détermination intérieurs 
à D, les l'aleurs limites sur ces c hem i fis sont les mêmes. 

C'est ce deuxième théorème que je me pro[)ose de démontrer 
dans ce qui suit('') par une application fort sim[)le d'un théorème 
général de MM. Phraguièn et Lindelof (^). 

Ilconvientde faire tout d'abord une remarque presque évidente, 
mais iuiporlante, sur la nature des chemins de détermination (inie. 
On sait que la dérivée d'une fonction entière d'ordre p est aussi 
d'ordre 0; le logarithme du module de cette dérivée est donc, 
pour |:;| = r et à partir d'une certaine valeur de /', inférieur 
à /•P''*"^', [3 étant un nombre positif quelconque. Il résulte de là 
que, si l'on fait sur un chemin de détermination une transfor- 
mation z, z' avec log|G — ^'| <C — r^'^v', [i étant positif, on obtient 



(') Voir WiM.VN', Sur un théorème de .M. Hadainard ( Arkiv for Mateinatik, 
l. II, n' 19). 

(-) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, S juillel 1907. 

(^) M. Denjoy a démontré ce théorème lorsque la courbe C est une droite ou 
une spirale logarithmique. Voir également mon Mémoire Sur les fonctions 
entières d'ordre fini et d'ordre nul {Annales de la Faculté de Toulouse, lyiS, 
p. 202). 

C) Sur une extension d'un principe classique de l'analyse {Acta mathe- 
niatica, t. \X\I, 1907). 



- 153 - 

encore un chemin de même délermination. En particulier, on 
peut considérer que. dans l'énoncé du théorème II, les chemins de 
délermination el les contours C et C sont des lignes polygonales. 

Je rappellerai également l'énoncé du théorème de MM. Phrag- 
mèn et Lindelot smis la forme suivante qui sera seule utile dans 
la suite : 

Considérons une fonction J{z) analytique et régulière dans 
un domaine simplement connexe D et sur le contour G de ce 
domaine, sauf au point A du contour. Supposons que le module 
de _/(::) soit inférieur ou égal à un nombre fixe E en tout point 
du contour autre que A, et admettons qu'il existe une fonc- 
tion io(z) régulière el dillerenle de zéro à l'intérieur du domaine D, 
régulière et de module moindre que an sur la courbe C, saut 
peut-être en A, et telle que, si petit que soit le nombre £, on puisse 
trouver un cercle de centre A dans lequel on a 

|/(C)[C0^5|]^3|^K. 

Dans ces conditions, le module de /\;) reste inférieur à E en 
tout point intérieur à la courbe C. 

.l'aurai enlin à m'appuver sur Tine propriété de certaines tonc- 
lions entières d'ordre intérieur à - tlont la démon^tr.ilu)U est 
aisée ('). Soit la fijuction 

F(Z 1 = 1 r 1 — Z« ^'e'^'-J, 

1 

dans laquelle o, est inférieur à et to„ quelconque; pour toute 
valeur de :■ extérieure à un cercle de rayon R(y) indépendant 
des noudues o)„ et à l'extt'rieur îles cercles r„ ilélinis par les 
égalités 

I -1 I 

F(Z) vérilie les inégalités 

^L^^M-7)RP.<log|F(Z,)|<--j-^(i + Y)RP. (|Z| = R), 
dans les(pielles v est un nombre positif intérieur à itn. 
(') loir par exemple muii Mémoire «léjà cilé, p. i'ii. 



— 136 — 

Ces pr(i|)(>silii)as étiinl hclinises nous [(ouiions déinontror le 
leiniiic >iii\,iiil : 

Lknime. — Soil D un domaine dt'Jini comme au théorème II ; 
si la fonction /{z)^ d'ordre p, admet deux cliemi/is de déter- 
mination finie intérieurs au domaine, elle reste bornée entre 
ces chemins. 

Supposons dabord que la courbe C coupe en un seul point lout 
cercle ayant pour centre l'origine. Considérons les courbes G 
et C comme des coupures dans le |)lan des ; et taisons corres- 
])ondre à ^ intérieur au domaine D le point Z défini par l'éga- 
lité Z = z-^P'^^K Au domaine D correspond un domaine A cons- 
titué par le plan des Z muni d'une coupure V transformée des 

courbes C et C. Soil F(Z~) la. fonction entière d'ordre 3i= -; : 

définie comme il a été dit ci-dessus et dont les zéros sont situés 
sur la courlje T. Dans tout le domaine, exception faite de-; points 
intérieurs aux cercles d'équations 



1Z|=R et log|Z — np.e-'""|= — /i(log/0"S 

on aura l't'i^alih' 

loglF(Z; = //Rp. (/i>.M>o. 

Désignons par Ci{z) la transformée de b ( Z) par la transformation 
qui fait correspondre le domaine D à A, dans tout le domaine D 
nous aurons l'c^galité 

a 
log|G(s)| = /i/-;îp. ?+»'= /i/'"^^, 



sauf à riiili'iieiir du cercle |;| = R- ?^"^* et à l'intérieur des Courbes 
ajanl poui l'quations 



Iog|s2p+*'— n 2?+» e """1 — — n( logn)-'. 
Ces courbes sont entièrement intérieures aux cercles ajant pour 

a 

centres les points de C cl C de modules r„^= n^'^ï et pour loga- 



rilliiiies des rayons 

a 
— À/iflogn )-» = — /,'/•;, -I log /•„)-'. 

Soit D' le doinalue intérieur à D et extérieur à tous ces cercles. 
D'après une remarque faite plu-, haut, à t jut chemin de détermi- 
nation intérieur à D en correspond un autre, de jnèiue détermina- 
tion, intérieur à D', et sur tout chemin comprisenlre eux, yï^j a 
la même valeur limite. Pour ét^hlir le lemme on peut donc sup- 
poser que les deux chemins de détermination sont intérieurs 
à D', et la démonstration résulte alors immédiatement de l'appli- 
cation du théorème de M.M. Lindelol et Phra^^nèn dans lequel on 

prendra 

,u(z, = [G(z)]-K 

J'ai suppasé. pour siuijilifier l'exposé, que la courbe C coupe en 
un seul point tout cercle |c| = r. Il est clair que rien n'est chan^^é 
si l'on suppose que la propriété n"a lieu qu'à partir d'une cer- 
taine valeur de r. Mais il peut arriver que, quel que soit ;•, cette 
propriété ne soit pas vérifiée. Dans ce cas, on considérera l'aire Di 
balayée par la courbe Cet sa transformée A,, A, sera limitée par 
deux courbes F, et r\ correspondant aux frontières G, et G, de D, 
et tracées sur la surface de Riemann définie pur la transformation 
(r, étant considérée couime coupure). On prendra les zéros 
de ¥(X) sur F, par exenqile, avec cette restriction que. -«i pour 
une valeur |Z| = R on obtient un arc de F,, on exclut les points 
intérieurs à cet arc. Daas ces conditions, la fonction G(5) pourra 
avoir des zéros intérieurs au domaine D,, mais elle n'en aura pas 
à l'intérieur de D. et par suite li)Ut ce qui précède s'applique. Le 
lemme est donc coMq)lètement dénionlré. 

Pour passer à la démi)nslr<ition du théorème 11. il -iillil alors 
d'appliquer uu mode de raisonuement indupu- p;ir M. Lin- 
delof ( ' |. -Nous devons démontrer ([ue, pour deux chemins de 
détermination E et E' intérieurs à D, la valeur limite est la même. 
ÎNous supposerons que le domaine D est extérieur à un cercle 
Concentrique à l'origine. Iivputhèse lé<;itime d après ce qui pré- 



(') loi/- la ihèsc de M. Iversen el le Mémoire de .M. Liiideluf ISur certaines 
inégalités dans la théorie des fonctions... (Acta Societatis Scienliaruni Fen- 
nicœ, t. \\\V, n" 7)]. 



— I.")8 — 

cède. Faisons une inversion par rapport à ce cercle, nous obtien- 
drons un domaine <i dont le contour est formé d'une infinilé d'arcs 
(le cercles, et dans ce domaine existent deux clicmins e et e\ 
tendant vers l'ori^jine, sur lesquels la transtoruu-e »(-) dey (x?) a 
des limites; entre ces chemins csfr) est bornée. 

Faisons la repn'-sentatinii coiitornie du domaine d sur un cercle 
de rajon w/i, le point r = o de d corrcsp;)ndant au point :;' = i du 
cercle. Etant donnée la nature de la trontière du domaine d^ auv 
chemins e et e' correspondent deux chemins v et v' aboutissant au 
point ^'= ' (')' '''^'^ *^^^ chemins la transforuiée '}(^') de Ç5(^) tend 
respectivement vers des liuiites lorsrpie ;' tend vers un. et elle est 
bornée entre eux. 

Tout revient donc à démontrer fpie les liuiites de 6(r') sur y 
et v' sont les mêmes. ^lOus allons montrer quelles ne peuvent 
être dillérentes; supposons quelles le soient et désignons-les 
|)ar 'j. et 'j.'. La louct ion 

a ])our liuiite zéro surv et v' et est bornée entre ces courbes. On 
déduit de là, couiuie nous le verrons ci-dessous, que 0(^') tend 
uniformément vers zéro lorsque z' tend vers un dans le domaine 
fermé liuiité par v et v' et intérieur au cercle (circonférence com- 
prise). Il en résultera que, dans tout ce domaine, et par suite 

sur -' et v'. la fonction '\t{z') tend vers liiu des deux nombres 'jl 

Il I \ / t 

ou u.', ce qui est en contradiction avec Ihvpothèse faite; cette 
hypothèse est donc inadmissible et le théorème II est démontré. 

II reste à démontrer la propriété admise ci-dessus, savoir que, 
0(^') tendant vers zéro surv et v' et étant bornée entre ces courbes, 
cette fonction tend uniformément vers zéro dans le domaine terme 
limité par*' et v'. J'appliquerai ici encore le théorème de MM. Lin- 
delolFet Phraomèn. 

Désignons par M la boine de |^(^')| lorsque z est compris 
entre V et "'; s étant ar!)itraireuient petit, il existe un cercle d^ 



(') Voir Cai)\tiii;odorv. Ueber die gegeiiseitige Beziehung der Bande bei 
der konfornien Abbildung des Innerii einer Jovdanschen Kurve auf einen 
Kreis (Mat/i. Annalen, 15. 73, i!)i5). 



159 



(le centre :;' = i lei que, sur les portions dey et y' intérieures 
à ce cercle, |B(:::')| est inférieur à s. Considérons alors la fonction 



e(^')e ^[i-(z'-i)Mz ''d^'j 



pour les points du cercle d^ compris entre y et y' le module de 
cette fonction est inférieur à (tn, et sur le reste du contour du 
domaine limité par ce cercle et par les courbes y et y', il est infé- 

rieur à £", donc à u/> , enfin il est borné dans ce domaine. On peut 
donc appliquer le théorème de Lindelof et Pliragmèn en pre- 
nant to(^')= :;' — I, et l'on voit que, dans tout le domaine fermé 
limité par v, v' et le cercle cL, on a 



ir:;')|< ="| ,_(^'_,)M£ ''d7' \: 



en particulier, pour les points de ce domaine intérieurs au cercle 

de centre z' = i et de rayon c/j£"jM~', le module de &(;') reste 

inférieur à 2S', ce qui montre que ^(^') converge uniformément 
\ers zéro lorsque :;' tend vers un ('). 

On remarquera que, dans la démonstration précédente, la seule 
propriété du cercle qui soit intervenue est l'existence, à l'exté- 
térieur du cercle, d'une région dont tout point est à une distance 
du cercle supérieur à t/i:. On voit aisément qu'on peut appliquer 
directement la démonstration au domaine D lui-même lorsqu'il 
existe, à 1 extérieur de ce domaine, une suite de cercles C« dont 
les centres A,^ ont pour linnle l'infini et dont les rayons sont 

supérieurs à /. x OA,^, k étant (ixe. C'est ce qui a lieu lorsque la 
courbe Ca une équation polaire de la forme /•=y'(cp), la dérivée 
logarithmique de ,/ ('-s) restant siqx'rieure à un nond)re (ixe (-). 
Il résulte de là (pie le théorème II se démontrerait sans avoir 
à faire appel aux propriétés de la représentation conforme, si l'on 
('tablissait la propriété suivante qui constitue une généralisation 
tlu théorème de Al. \\ iman : pour toute fonction entière d'ordre 



(') M. I.indelof a tiijniié dans le Mtinioire cilé plus iiaiil iitic d(''iiHinslralii)n de 
celle propriété basée sur l'emploi de l'inlégrale de Poisson. 
(-) Voif mon Mémoire déjà cilé, p. :'.'i-. 



— Kîn — 

liiii :, il cxisle une ialiiiitc'; de courbes (eiim-es sans [)oiuts 
doubles î'h sur lesqufdles le inocbile de la fonction dépasse un 
nond)re donné quelconque AT, cliaque courbe l,i enlerni;»!!! à son 

inh'rieur un cercle de centre A,^ et de rayon /i(p)OA„. 

En terminant, je sij^nalerai encore une propriété <;én<''rale de 
lornie des chemins de détermination, qui se déduit des lln-orèmes 
de AI. Boutroux sur la dérivée lof;ariilimique ( '). 

Considérons une spirale d'équation r=f(o), J{'^) étml une 
fonction croissante de », si la fonction 



(') 



/(^ 



:-)—/( -s,) 



Ji'f) 



,'/(?) 



tend vers zéro lorsque o croît indéfiniment, une fonction entière 
d'ordre fini non entier ne peut rester jjornée sur cette spirale. 

En effet, étant donnée une fonction /{'■), d'ordre non entier, 
il existe une fonction •];(;■) satisfaisant à la condition dj croissance 



lim ■'—— = I 

= 00 •H'-) 



et telle qu'on a : 

i" vSur une infinité de droites issues de l'origine 



(■>■) 



/'(2) 



/(2) 



<A^ 



2" Dans une infinité de couronnes dont le rayon moyen croit 
indéfiniment 

(3) \ogM(r)>\i<l(r), 

M(r) désignant le maximum du module de la fonction pour | ; | ^ y. 

Supposons que sur la spirale /(:;) reste boi'xié et considérons une 
droite D sur laquelle on a l'inégalité (2), et un cercle de rayon /■ 
sur lequel on a l'égalité (3). Soient A, et Ao les points d'inter- 
.^ection de la droite D et de la portion de la spirale extérieure à C 
qui sont les plus proches de l'origine; dans la région limitée par 



(') Boutroux, Sur quelques propriétés des fondions entières {Acta mathe- 
ffialica, 1903 ). 



— 161 — 

la s[)ire qui va de A, à A2 et par le segment de droite A, Ao, le 
maximum du module de f{z) a lieu sur le contour et est supé- 
rieur à e'^vt'» [inégalité (3)]. Ce maximum est donc atteint sur le 
segment de droite, mais il résulte alors de l'inégalité (2) et de la 
condition (i) que f\z-) sera supérieur à e"''"'' aux points A, et Ao, 
ce qui est en contradiction avec l'hypothèse. La proposition est 
donc étahlie. 

Il semble probable que la propriété précédente peut s'étendre 
et qu'on peut supprimer, dans (1), le terme en log_/(c5); elle se 
démontre d'ailleurs facilement dans le cas de la spirale logarith- 
mique, mais par une méthode qui ne semble pas pouvoir être 
généralisée (' ). 



(') Voir le Mémoire de M. Lixdeluf, loc. cit.. p. 388, et la Note de M. Oenjoy 
déjà citée. 



FI.\ DU TOME XLV. 



/p 



TABLE DES MATIERES 

DU TOME XLV. 



(Les lellres et numéros qui précèdent les titres indiquent les classifications 
du Répertoire bibliographique des Sciences mathématiques, nouvelle 
édition, 1908.) 

Pages. 

[H3c] Appell (P.)- — Sar des poljnomes se rattachant à l'équalion 

différentielle y" = 6_y'+ x i5o 

[Qla] Cartan (E.)- — La déformation des hypersurfaces dans l'espace 

à /2 ^ ô dimensions 07 

[D2b] Cotton (E.)- — Sur l'abscisse de convergence des séries de 

Dirichlet , 121 

[P'6d] Fouché (M.)- — Sur la transformation de Lie 87 

[J5a] Fréchet (M.)- — Le théorème de Borel dans la théorie des 

ensembles abstraits 1 

[R8c] Globa-Mikhaïlenko (B). — Sur le mouvement d'une bille de 

billard i5 

[Hlla] Lalesco (T.).— Les classes de noyaux symétrisables i44 

[ I25b] Lebesgue (H.)- — Sur certaines démonstrations d'existence i32 

[I19b] Maillet (E.)- — Sur l'équalion indéterminée a'"+6'"=c"' en 
nombres entiers différents de zéro, quand m est fractionnaire 
et sur une équation analogue plus générale 26 

[I25b] Sierpinski (W.)- — Démonstration élémentaire du théorème de 
M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination 
effective d'un tel nombre '25 

[0'5cJ Turrière (E.)- — Sur la détermination des surfaces par une rela- 
tion entre des segments de normales ^ 

[D4a] Valiron (G.)- — Sur les chemins de détermination des fonctions 

en lier es ' '^-^ 

[DlbJ Vallée Poussin (Ch. de la). — Sur les expressions qui s'écartent 

le moins de zéro dans un intervalle ^3 



FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME XLV. 



iL^^ 



PARIS. - IMI'HIMERJE G AUTH I K R- M LLA US ET C'% 
58034 Quai des Grands-Augustins, 55. 



COMPTES RENDUS DES SÉAiNCES 



DE L'ANNÉE 1917. 



PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER -VILLAHS ET O' 

58698 Quai des Grands-Auguslins, 55. 



^ 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE. 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES 



DE L'ANNEE 1917, 



PARIS, 
GAUTHIER-VILLARS ET (>, ÉDITEURS 

LIBRAIURS OE l/ÉCOLK l'OKYrECIlMQUE, llU Ht'REAll DRS LONUITUDES, 
Quai des Giamls Augustins, 5J. 

1 i» 1 S 



Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptiition 
réservés pour tous pays. 



N" 1. 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FKANCE. 



ÉTAT 

DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DÉ l'KAKCIÎ 

Ali COMMENCEMENT DE L'ANNÉE 1917 ('). 



MM. 



Membres honoraires du Bureau . 



APPELL. 

DARBOUX. 

DEMOLLL\. 

DERLYTS. 

HADAMARD. 

HATON DE LA GOIJPILLIÉRE. 

HUMBERT. 

JORDAN. 

LECORNU. 

MITTAG-LEFFLRR. 

NEUBERG. 

PAINLEVÉ. 

PICARD. 

VALLÉE POUSSIN' (de la). 

VOLTERRA. 

ZELTHEN'. 



Président MM. GUICHARD. 

I DRACH. 

) FONTENÉ. 

V.ce-Pres.dents LEBESGUE. 

( MAILLET. 

^ P. LÉVY. 

Secrétaires j MONTEE. 

^ FATOU. 

Vice-Secrétaires i TRESSÉ. 

Archiviste • CAHÉN. 

Trésorier SERVANT. 

HLrTEL, 1919. 

ROULANCiER, 1919. 

BRICARD, 1918. 

CARTAN, 1919. 

CARVALLO. 1920. 

,,.,„.,,,, , FOyCHÉ, 19Î0. 

Membres du Conseil ( ' ) { GOURS\T 19''0 

GRÉVY, 1918. 
KOENIGS, 1918. 
OCAGNE(d'), 1918. 
THYBAUT, 1920. 
VESSIOT, 1918. 



(•) MM. les Membres de la Société sont instamment priés d'adresser au Secrétariat 
les rectifications qu'il y aurait lieu de faire à cette liste. 

(') La date qui suit le nom d'un membre du Conseil indique lannee au com- 
mencement de laquelle expire le mandat de ce membre. 

S. iM. — Comptes rendus. « 



En raison <lo l'état de guerre actuel, le Conseil de la Société mathémalique de France a 
décidé de s'ispendre les rel liions de la Société avec ceux de ses membres qui appartiennent 
aui nations ennemies; en conséquence, les noms de ces membres ne figurent pas sur la liste 
ci-dessous : 

Date 

de 

l'admission. 

1872 ACIliRD, ancien directeur de la Compagnie jd'assurances sur i;i vie I.a Foncière, 

rue de la Terrasse, 6 his, à Paris (17' ). 
lOOÇ. ADHÉMAU (vicomte Robert d' ), professeur à la Faculté libre des Sciences, place de 

Genevières, i^, à Lille (Nord). 
1896. A\I)!)YE11, professeur à la Faculté des Sciences, membre du Hureau des Longitudes, 

rue du Val-de-Gràce, 11, à Paris (5'). 
1894. AXDltlDE, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Villars, 3, à Besançon. 
1879. API'KLL, membre de l'Institut, doyen de la Faculté des Sciences et professeur à l'École 

Centrale des Arts et Manufactures, rue du Bac, 82, à Paris (7'). 
1910. AUCllIBALD ( II. -C), professeur à Brown-Université, Providence, Rhode Island( États-Unis). 
1900. AIRIC, ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue du Val-de-Grâce, 2, à Paris (5'). 
1900. BAIRE, professeur à la Faculté des Sciences, i!\, rue Audra. à Dijon. 
1896. BAKER, professeur- à l'Universifé de Toronto (Canada). 
1917. BARRAI) (J.-A.), professeur à l'Université, à Groningen (Hollande). 
1905. BARRE, capitaine du génie, docteur es sciences mathématiques, rue Lhomond, 10, 

à Paris (ô'). 
1891. BERTRA\D DE F0\TV10LA\T, professeur à l'École Centrale des Arts et Manufactures, 

avenue de AVagram, 167, à Paris (17'). S. P. ('). 
1910. BERTRAND (G.), rue de la Vieille-Église, 2, à Versailles. 

1913. BILIMIVITCII, privat-dozent à l'Université de Kiev^', rue Stanislas, i4, à Paris (6°). 
1888. BIOCUE, professeur au lycée Louis-le-Grand, rue Notre-Dame-des-Champs, 56, à 

Paris (6'). S. P. 

1891. BLUTEL, inspecteur général de l'Instruction publique, rue Deuferl-Rochereau, iio, 

à Paris ( i4'). 
190'2. BOBERIL (comte Roger du), rue d'Antibes, ii^, à Cannes (Alpes-Maritimes). S. P. 
1907. ROITEL DE DlEiWAI., ancien élève de l'École Polytechnique, au château de Valsery, à 

Cœuvres (Aisne). S. P. 

1892. BO.VAl'ARTE (prince), membre de l'Institut, avenue d'Iéna, 10, à Paris (16'). 

1895. BOREL ( Emile \ professeur à la Faculté des Sciences, sous-directeur de l'École 

Normale, rue d'Ulm, 45, à Paris (5*). S. P. 
1913. BORTOLOTTI (E.), professeur à l'Luiversité de Modène, via Maggiore, iS, à Bologne 

(Italie). 
1909. BOILAD (F.), ingénieur au service des ponts des chemins de fer de l'État égyptien, 

au Caire (Egypte). 

1896. BOLLA.VGER, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, répétiteur et examina- 

teur d'admission à l'École Polytechnique, rue Louis-Hervé, i5, à Versailles (Seine-et- 

Oise). 
1913. BOILIGAN'D, docteur es sciences, professeur au lycée de Rennes (Ile-et-Vilaine). 
1896. BftURCET (H.), directeur de l'Observatoire, à Marseille. 

1903. BOUTI.V, rue Lavieuville, 26, à Paris (i8'). 

1904. BSUTROl'X (P.), professeur à la Faculté des Sciences de Poitiers. S. P. 
1900. BREirLI\G, proviseur du lycée Buffbn, boulevard Pasteur. 16, à Paris ( i4')- 

(') Les initiales S. P. indiquent les Sociétaires perpétuels 



- 3 — 

Date 

de 

TadinUsion. 

1911. BUATU, professeur, stradela Goliei, 8, à Jassy (Roumanie ). 

1897. BRICARO, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, répétiteur à l'École Poly- 
technique, rue Denfert-Rochereau, io8, à Paris ( i^'). 

1873. BROCARD, lieutenant-colonel du génie territorial, rue des Ducs-de-Bar, 76, à Bar- 
le-Duc. S. P. 

1912. BRO\V.\E, Grange Mockler, à Carrick-ou-Suir (comté de Tipperary, Irlande). 
1901. BUHL, professeur à la Faculté des Sciences, rue des Coffres, 11, à Toulouse. 
1894. CADE\, rue Cortambert, 46, à Paris (i6«). 

1893. C4LDARERA, ancien professeur à l'Université de Palerme, via Umberto I, 65, à C.atania 

(Italie). 
1885. CARO\, chef honoraire des travaux graphiques à la Sorbonne, rue Claude-Bernard, 71, 

à Paris ( )«). 
1892. CAROWET, docteur es sciences mathématiques, avenue Mel, i5, à Paris (17*). 
1896. CARTAX, professeur à la Faculté des Sciences, avenue de Montespan, 4, au Chcsnay 

(Seiiie-et-Oise). 
1887. CARVALIiO, directeur des études à l'Ecole Polytechnique, rue Descartes, 21, à Paris 

{j'). S. P. 
1911. CHAIiORV, professeur au lycée Carnot, avenue de Montespan, 4, a" Chesnay (Seine- 

et-Oise). 
1896. CIIARVE, doyen honoraire de la Faculté des Sciences, villa Gambie, 2.3, rue Va-à-la- 

Mer, à Marseille. 
1911. CIIATELET, maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue du Japon, 12, à 

Toulouse. 
1907. CIIAZV, maître de conférences à la Faculté des Sciences, à Lille. 

1913. COBLYN, capitaine du génie, rue des Vignes, 34, à Paris (16'). 
1915. CO\SrA\TI.\IDtS, professeur au gymnase de Phodos (Grèce). 
1896. COSSERAT (E.), directeur de l'Observatoire, à Toulouse. 

1900. COTTON (Emile), professeur à la Faculté des Sciences, à Grenoble. S. P. 

1914. CRELIER, professeur à l'Université de Berne, à Bienne (Suisse). 

1904. CURTISS, professeur a l'Université Northwestern, Milburn Street, 720, à Evauston 

(Illinois. États-Unis). 
1885. DAUniEYILLE, doyen de la Faculté des Sciences, cours Gambetta, 27 6(,f, à Montpellier. 

1901. DELASSUS, professeur de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences, rue 

de Brach, 92, à Bordeaux. 
1895. DELAUXAY (N. ), professeur à l'Institut Empereur Alexandre II, à Kiew (Russie). 
1913. DELYILLE (L.), ingénieur aux forges et aciéries de Huta-B inkowa, à Oorabrowa 

( Pologne, Russie). 
1885 DEMARTRES, doyen de la Faculté des Sciences, avenue Saint-Maur, à la Madeleine- 

lès-Lille (Nord). 
1892. DEMOILIX ( Vlph. ), professeur à l'Université, rue Joseph-Plateau, 10, à Gand (Belgique). 
1905. DE\JOY, professeur à l'Université d'Ulrecht (Hollande). 

1883. DERUYTS, professeur à l'Université, rue des Augustins, 35, à Liège (Belgique). 
1894. DESAI\T, docteur es sciences, boulevard Gouvion-Sainl-Cyr, 47, à Paris (17'). 
1900. DICKSTEIN, Marszatkowska, 117, à Varsovie. 
1914. I)0M)ER (J. de), rue Forestière, 11, à Bruxelles (Belgique). 
1899. DBACII, chargé de cours à la Faculté des Sciences, rue Geoffroy-Saint-Hilaire, 53, 

k Paris (5"). 
1909. DRURY, bibliothécaire de l'Université, Universiiy Station, Urbana ( Illinois, Étals-Unis). 



— 4 - 

Diile 

<lc 

l'admission . 

1907. DCLAC, professeur à la Faculté des Sciences, quai des Brotteaux, '^, à Lyon. 

189G. BtlMVS (G.), docteur de l'Université de Paris, professeur à l'L'niversilé, Cabriéres, 

avenue Mont-Charmant, à Rélhusy-I.ausarine (Suisse). 
1S97. IHIMO\T, professeur au lycée, avenue Bouvard, 6, à Annecy (Haute-Savoie). 
1902 EGOilDFF (Diniitry), professeur à l'Univorsite, l'ovarskaya, Borissoglebsky per., n" 8, 

h ^Moscou ( Russie). 

1915. ESCLAMiOX, astronome à l'Observatoire de Fioirac (Gironde). 

1912. EISEiVUAUDT (L.-P.), professeur à l'Université de Princeton, Alexander Street, 27, 
à Princeton (New-Jersey, États-Unis). 

1916. ELCUS, banquier, rue du Colisée, 36, à Paris (8-). S. P. 

1903. ESP.WET, ingénieur civil, Brazil Kaiiway Company, rue Louis-le-Grand, f), h Paris. 
1900. ESTA\AVE, docteur es sciences, secrétaire de la Faculté des Sciences de Marseille. 

1907. ETZEL, professeur de mathématiques et d'astronomie au Collège de Saint-Thomas, à 

Saint-Paul (Minnesota, États-Unis). 

1896. EUVKKTE, ancien élève de l'École Polytechnique, ancien capitaine d'ai-lillerie, rue 

du Pré-aux-Clercs, i8, à Paris (7'). 

1888. I''AIIUV, professeur à la Faculté des Sciences, rue Chaptal, 17, à Montpellier. 
1906. FAK/VGGI, professeur, galerie Sarlande, i, à Alger. 

1904. FATOl], docteur es sciences, astronome-adjoint à l'Observatoire, boulevard du Mont- 

parnasse, 172, il Paris (i4')- 

1891. 1 AL(»lE.«UEllGDE, professeur au lycée, à Mont-de-Marsan. 

1892. l'EIIR ( Henri), professeur à l'Université, route de F'iorissant, iio, à Genève ( Suisse ). 
1885. l'IELDS (J.), professeur à l'Université, Toronto (Ontario, Canada). 

1881 . l''liOQUET, doyen de la Faculté des Sciences, rue de la Commanderie, 21, à Nancy. 
1872. l'I.YE SAI\TE-MAUIE, chef d'escadron d'artillerie en retraite, ancien i-épétiteur à l'École 
Polytechnique, place Royer-Collard, à Vitry-Ie-François (Marne). 

1897. l'"0\TEi\É, inspecteur de l'Académie de Paris, rue Le Goff, 7, à Paris (5'). 

1903. FOUI) ( \\"alter B.), professeur de mathématiques à l'Université de Michigan, à Ann 
.\rbor (Michigan, États-Unis). 

1889. FOliCliE, répétiteur à l'École Polytechnique, rue Soul'llot, 5, à Paris (5"). 

1905. FOUlil', professeur à l'Institut catholique, rue Le Verrier, 17, à Paris (6"). 

1872. FOUUET, ancien examinateur d'admission à l'École Polytechnique, avenue Cainot,4, 

à Paris (17'). S. P. 
1903. FUAISSE, inspecteur des études au Prytanée, à La Flèche (Sarthe). 
1911. FIIECIIET, professeur a. la Faculté des Sciences, à Poitiers. 
1903. FUEl'EIt, ancien président de la Société mathémaliqiie suisse, ancien professeur à 

l'Université de Bàle, professeur à l'Université, Friedrichsplafz, 9'", à Karlsruho 

(Allemagne ). 
1911. GALBUIX, docteur es sciences, avenue Émile-Deschanel, i4, à Paris (7'). 
190U. CAl,ltEA\0 (Z.-G. de), correspondant des Académies royales des Sciences de Madrid et 

de Lisbonne, professeur à l'Université, Calle del Coso, gg, à Saragosse (Espagne). 

1906. GAItCAM DE MOXCETZ, licencié es sciences, à Étoile (Drôme). 

1672. GAKlEli, inspecteur général des ponts et chaussées en retraite, professeur honoraire 
à la P'aculté de Médecine, rue Édouard-Detaille, 6, à Paris (17"). 

1908. GAUMER. maître de conférences à la Faculté des Sciences, à Poitiers. 

1911. GAI), professeur à la Faculté des Sciences, cours Saint-André, 116, à Grenoble. 
1896. GAITUIEU-VILLAKS, ancien élève de l'École Polytechnique, éditeur, quai des Grands- 
Augustins, 5.5, à Paris (6*). 



— 5 — 

Date 

de 

l'admisslun. 

1890. GEBBIA, profi-sseur libre à l'Université, à Palerme (Italie). 

1906. GÉRARDIX, quai Claude-le-Lorrain, 32, à Nancy. 

1897. (iERRAîVS, professeur à Worcester Colleffe, Saint-Jolin street, an, à Oxfor^l (Graiule- 

Rretagiie). 
1913. GIRAID, agrégé de mathématiques, rue Le Verrier, ii,à Paris (6'). 
1917. GLOBA-MIkHAii.E\KO, docteur es sciences, avenue des Gobelins, lo bis, à Paris (5'). 

1913. GODEAIX, rue Victor-Cousin, 6, à Paris. 

1903. GODEV, ancien élève de l'École Polytechnique, rue du Rois- de-Boulogne, 7, à 
Paris (16'). 

1914. GOLOIBEFF (W.), agrégé de l'Université, rue Stanislas, i^, à Paris (G^). 

1907. GOT (Th.), docteur es sciences, section technique du génie, rue de Bellechasse, 3g, 

à Paris (7'). 
1881. GOORSAT, professeur à la Faculté des Sciences, répétiteur à lÉcoIe Polytechnique, 

rue de Navarre, 11 bis, à Paris (5'). S. P. 
1912. GRAMONT (A. de), licencié es sciences, rue de Ponthieu, G2, à Paris (8'). 
1896. GREVV, professeur au lycée Saint-Louis, rue Claude-Bernard, 71, à Paris (5'). 

1899. GUADET, ancien élève de l'École Polytechnique, rue de l'Université, tig, à Paris (7'). 

1906. GUERBY, professeur au collège Stanislas, rue d'Assas, 5o, à Paris (6°). S. P. 

1900. GlICHARD (C), professeur à la Faculté des Sciences, rue de la Fontaine, ly, 

à Paris (16°). 

1907. Gl'ICHARD (L.), professeur de mathématiques au collège de Barbezieux (Charente). 
1896. IIADAMARI), membre de l'Institut, professeur au Collège de France et à l'École 

Polytechnique, rue Humboldt, 25, à Paris (i4'')- S. P. 

1894. IIALSTED iG.-B.), Colorado State Teachere Collège, à Greeley (Colorado, États- 

Unis). S. P. 

1901. IIAXCOCK, professeur à l'Université de Cincinnati, Auburn Hofel (Ohio, États-Unis). 
1909. HA\SEX, privat-docent à l'Université, Strandboulevarden, 66, Copenhague (Danemark). 
1872. HATO\ DE LA GOUPII-LIÈUE, membre de l'Institut, inspecteur général des mines, direc- 
teur honoraire de l'École des Mines, rue de Vaugirard, 56, à Paris (6"). S. P. 

1905. IlEDRICK, professeur à l'Université, Hicks Avenue, 3o4, à Columbia (Missouri, 

États-Unis). 
1892. HERMAW, libraire-éditeur, rue de la Sorbonne, 8, à Paris (5'). 
1911. HIERHOliTZ, professeur, avenue de Belmont, 28, à Montreux (Suisse). 
1911. IIOLMGREM, professeur à l'Université d'Upsal, à l'Observatoire, à Upsal (Suède). 

1895. IIOTT (S.), professeur à l'École S"-Croix de Neuilly, boulevard Pereire, 218 bis, 

à Paris (i7«). S. P. 

1880. IIUllBERT, membre de l'Institut, ingénieur eu chef des mines, professeur à l'École 

Polytechnique, rue Bonaparte, 3o, à Paris (G*). 
1907. Ill'SSO\, professeur à la Faculté des Sciences, rue des Tiercelins, 60, à Nancy. 

1881. niBER, ancien directeur des études à l'École Centrale, ancien membre du Conseil de 

l'École Centrale, place Voltaire, 2, à Paris f 1 1° ). 

1896. JACQUEI' (E. ), professeur, au lycée Henri IV, rue Notre-Dame-des-Champs, 76, à 

Paris (6"). 

1914. JAGER (F.), licencié es sciences, avenue de la Grande-Armée, Gy, à Paris fiG'). 

1903. JEiNSEiV ( J.-L.-W.-V.), ingénieur en chef des téléphones, \micisvej, 16, à Copen- 
hague V. (Danemark). 

1872. JOKDAiV, membre de l'Institut, professeur honoraire à l'École Polytechnique et au 
Collège de France, rue de Varenne, .'jGi à Paris {-'/ S. P. 



— 6 — 

Date 

de 

l'admission. 

191G. KA.IIPE DE rKlUKT, docteur es sciences, Grand Hôtel de Bretagne, à Lorient (Mor- 
bihan ). 
1013. KAS\ER (K.), professeur à l'Université Coluinl)ia, à New-York (Étals-Unis). 
1910. KKUW.IIj, professeur au lycée Louis-le-Grand, avenue du Maine, ^6, à Paris (l'i"). 
1013. KiyELIOVITCll, licencié es sciences, rue Laromiguière, G, à Paris (5"). 

1892. iiOCII (H. von), professeur à l'Ecole Polytechnique, à Djursholiu-Slockholni 

(Suède). 
1880. KIEN'IGS, professeur à la Faculté des Sciences, examinateur d'admission à l'École 

Polytechnique, rue du Faubourg-Saint-Jacques, ^-j, à Paris(iî'). 
1913. KOSTITZIX (V.), avenue Villemin, 32, à Paris. 

1907. KRYIiOFF, ingénieur des Mines, professeur d'analyse à l'École supérieure des Mines 

de Petrograd, à Ouezd-Radornysl, Gitoniirska Chaussée, Station Nebylitza, village 

Kolganowka, gouvernement de Kiew (Russie). 
1897. LACAUCIIIE, ingénieur civil, rue Brochant, i8, à Paris ( 17'). 
1873. liAISANT, docteur es sciences, répétiteur et examinateur à l'École Polytechnique, 

rue du Conseil, 5, à Asnières (Seine). 
1906. LALESCO, maître de conférences à 'l'Université, str. Luteranh, Si, à Bucarest. 

1893. LA\CEIjI\, astronome adjoint à l'Observatoire, rue Boissonnade, 3, à Paris (i4*)- 
189G. LAROZE, ingénieur des télégraphes, rue Froidevaux, 8, à Paris (i4')- 

1908. LATTES, professeur à la Faculté des Sciences, rue de la Trinité, 10, à Toulouse. 
189G. liEAI', professeur au lycée Micheiet, rue Denfert-Rochereau, 83, à Paris (i4*). 
189G. LEBEIi, professeur au lycée, rue Pelletier-de-Chambrun, 12, à Dijon. 

1902. LEBESCUE, maitre de conférences à la Faculté des Sciences de Paris, rue Saint- 

Sabin, 35 bis, i» Paris (11°). 

1903. LEBEIIF, directeur de l'Observatoire, professeur d'astronomie à l'Université, à Besançon. 
1893. LECOR\U, membre de l'Institut, inspecteur général des mines, professeur à l'École 

Polytechnique, rue Gay-Lussac, 3, à Paris (3°). 

1895. LËMERAY, licencié es sciences mathématiques et physiques, ingénieur civil du génie 
maritime, villa Meissonier, à Antibes (Alpes-Maritimes). 

1895. liE ROLX, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Châteaudun, i3, à Rennes. 

1898. LE ROY, professeur au lycée Saint-Louis, rue Cassette, 27, à Paris (6'). 

1900. LEVI CIVITA (T.), professeur à l'Université, via Altinate, i4, à Padoue (Italie). 

1907. LESCOL'RGOES, professeur au lycée Henri IV, rue Jean-Bari, 4, à Paris (6«). 

1900. LEVY (Albert ), professeur au lycée Saint-Louis, rue de Rennes, 86, à Paris (6*). 

1907. LEVY (Paul), ingénieur des mines, répétiteur d'analyse à l'Ecole Polytechnique, 
rue Chernoviz, 9, à Paris (16"). S. P. 

1808. LIÎVDELOF (Ërnst), professeur à l'Université, Sandvikskajen, i5, à Helsingfors (Finlande). 

188G. LiriUVILLE, ingénieur en chef des poudres, examinateur des élèves à l'École Poly- 
technique, à Maure ( Ille-et-Yilaine ). 

1912. LOVETT (E.-O.), Riee Institute, à Houston (Texas, États-Unis). 
1902. LKCAS-iilRARDVlLLE, à la Manufacture de l'État, à Tonneins. 

1902. LUCAS DE l'ESLOLA.V, ancien élève de l'École Polytechnique, avenue Rapp, 4i, à Paris (7'). 

1913. LUSIV, professeur adjoint à l'Université de Moscou (Russie). 

1805. MAILLET, ingénieur en chef des ponts et chaussées, examinateur des élèves à l'École 

Polytechnique, rue de Fontenay, 11, à Bourg-la-Reine (Seine). S. P. 
1905. MALUSKI, proviseur du lycée de Marseille. 

1906., MARCLS, licencié es sciences, rue Frédéric-Passy, i5, à Neuilly (Seine). 
1004. MAROTTE, professeur au lycée Charlemagne, rue de Reuilly, 35 bis, à Paris (12*). 



_ 7 — 



Date 

de 

1 admission. 



1884. MARTI\ (Arlemas), Columbia Street i352, >.'. W., à \yashington D. C. (États-Unis). 
1889. ME\DIZ\B.\L TAMBOREL (de), membre de la Société de Géographie de Mexico, calle 

de Jésus, i3,à .Mexico (Mexique). S. P. 
ISSi. MEliCEUEAU, licencié es sciences, docteur en médecine, rue de l'Université, 191, 

à Paris (7«). S. P. 
1902 . MEliLlX (Emile), chargé des cours d'astronomie mathématique et de géodésie à 

l'Université, rue d'Ostende, 11, à Gand (Belgique). 
1904. METZLER, professeur à l'Université, à Syracuse (État de New-York). ' 

1909. MICHEL (Charles), professeur au lycée Saint-Louis, rue Sarrelte, 14, à Paris (i4*)- 
1893. MICHEÏj (François), ingénieur, licencié es sciences, chef du service des parcours de 

la Compagnie des chemins de fer du Nord, fauboiirg Saint-Denis, 2 10, à Paris ( 10*). 
1873. MlTTAG-liEFFLER, professeur à l'Université, à Djursholm-Slockholm (Suède). 
1907. .MOXTEL, chargé de conférences à la Faculté des Sciences, répétiteur d'analyse à 

l'Ecole Polytechnique, boulevard de Vaugirard, 07, à Paris (i5°). 
1898. MO.VTESSL'S DE BALLORE (vicomte Robert de), professeur à la Faculté libre des 

Sciences de Lille, rue Cassette, 32, à Paris (6'). 
1911. MOORE (CH.-X.), professeur assistant à l'Université de Cincinnati (États-Unis). 
1909. XEOVIL'S, ancien professeur à l'Université d'Helsingfors, Chr. Vinthersvei 3', à Co- 
penhague (Danemark). 
1885. XEl'BERG, professeur à l'Université, rue ScK'Ssin, 6, à Liège (Belgique). 
1897. MCOLLIEit, professeur, la Châtaigneraie, à Saint-Clarens (Vaud, Suisse). 

1900. \IEWE.\GLO\VSlil, docteur es sciences, inspecteur général de l'In'îtruction publique, 

rue de l'Arbalète, 35, à Paris (5° ). 
1882. OCACN'E (M. d'), ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à l'École 

Polytechnique et à l'Ecole des Ponts et Chaussées, rue La Boëtie, 3o, à 

Paris (8'). S. P. 
1905. OUIYET, rue de Seine, 5i, à Paris (6'). 
1873. OVIDIO (E. d'), sénateur, professeur à l'Université, via Sebastiano Valfré, i'|, à 

Turin (Italie). 

1901. PADÉ (H.), recteur de l'Académie de Dijon. 

1893. PAIMEVE, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à l'École 

Polytechnique, rue Séguier, 18, à Paris (6'). 
191"2. PAXGK (de), ancien élève de l'École Polytechnique, rue François T', 32, m Paris (8°). 

S. p. 

1888. PAPKLIER, professeur au lycée, rue Notre-Dame-de-Recouvrance, 29, à Orléans. 
1917. PASQDIER (du), professeur à l'Université, rue de la Côte, 106* , à Neufchàtel (Suisse). 
1881. PELliET, professeur à la Faculté des Sciences, boulevard Gergovia, 77, à Clermont- 

Ferrand. • 

1914. PERES, agrégé de l'Université, professeur au lycée de Montpellier. 
1881. PEROTT (Joseph), Université Clark, à Worcester (Massachusetts, États-Unis). S. P. 
189'2. PERllIX ( Élie), professeur de mathématiques, rue de la Convention, 116, à Paris (i5°). 
1896. l'ETROVITCll, professeur à l'Université, Kossantch-Venac, 2G, à Belgrade (Serbie). 
1902. PETROVITCII (S.), général major, professeur ordinaire à r.Académie d'artillerie 

Michel, Sergevska'ia, 42, log. 10, à Petrograde (Russie). 
1887. PEZZO (oel), professeur à l'Université, piaz/.a San Domenico Maggiore, 9, h Naples 

(Italie). 
1905. PFEIFFER, professeur à l'Université, SzaoudI XVladimirskaïa l'i. log II, à Kiew 

( Russie ). 



— 8 - 

Iiaie 

Ue 

l'admission. 

1879. IMCAKD (limile), membre de l'Institut, membre du Bureau des Longitudes, pro- 
fesseur à lu Faculté des Sciences et à l'École Centrale des. Arts ei Manufac- 
tures, rue Joseph-Bara, 4. à Paris (6"). 

187'2. PICQUKT, ciief de bataillon du génie en retraite, examinateur des élèves à l'École 
l'olytechni<|ue, rue Monsieur-le-Prince, 4» à Paiis (6"). 

1913. l'ODilAGlli:^E (N.), rue Stanislas, i4, à Paris (6"). 

1906. POPOVICI, professeur à la Faculté des Sciences de Jassy (Roumanie). 
1894. l'OTRON (M.), docteur es sciences, professeur aux Facultés catholiques de l'Ouest, 
rue Rabelais, 4G, à Angers (Maine-et-Loire). 

1914. l'OWALO-SCllWEIKOWSKI, licencié es sciences, rue Gazan, 5 bis, à Paris (i^"). 

1896- Ol'IQUI'-T. actuaire de la Compagnie la Nalionale, boulevard Saint-Germain, 92, à 

Paris (5'^). 
19U3. IlÈMOfiVDOS, professeur d'analyse supérieure à la Faculté des Sciences, rue Spyridion 

Tricoupis, b\, à ,\thèues (Grèce). 
1903. UICI1AI5I), docteur es sciences mathématiques, professeur au lycée, rue de Fonds, 100, 

à Ciiàteauroux. 
1908. RICHARD D'ABOXCOtRT (de), ancien élève de l'École Polytechnique, rue Nationale, 74, 

à Lille. 
1908. RISSER, actuaire au Ministère du Travail, rue Sédillot, 5, à Paris (7°). 
191G. ROBI\SO\ (L.-B), 23nd street 3o6 E, à Baltimore (Marylaiid, Élats-Unis). 
1903. ROCHE, agrégé de l'Université, docteur es sciences, rue d'Assas, 7G, à Paris (G*). 

1896. ROIGIER, piofesseur au Lycée et à l'École des ingénieurs, rue Sylvabelle, 84, 

à Marseille. 
1906. RDISIERS, professeur au collège Stanislas, boulevard du Montparnasse, 62, à 
Paris (1 4".) 

1911. UIIDMCKI, licencié es sciences, avenue Reiile, 28, à Paris (l'i')- 
190U. SALTYliOW, professeur à l'Université, à Kharkow (Russie). S. P. 

187'2. SAKTIAUX, ingénieur en chef des ponts et chaussées, chef de l'exploitation à la 

Compagnie du chemin de fer du Nord, à Paris. 
1885. SAUVAGE, professeur à la Faculté des Sciences de Marseille. 

1897. SCIIOl] (Erik), ingénieur, Thorvaldsinsi, igS, à Copenhague (Danemark). 
1901. SEE (Tlionias-J.-J.), Observatory Mare ïsland (Californie). 

1896. SËGIIER (J.-A. de), docteur es sciences, rue du Bac, ii4, à Paris (7*). 

1882. SÉLIVANOFF (Démelrius), professeur à l'Université, Fontanka, 116, log. 16, à Pétro- 

grade (Russie). S. P. 
1900. SERVANT, chargé de conférences à la Sorbonne, à Bourg-la-Reine (Seine). 

1908. SHAW (J.-B.), professeur à l'Université, West Califoi'tiia, 90:, Ave Urbana (Illinois, 

États-Unis). 

1912. SIR!'', maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Rennes. 
1916. SOULA, agrégé de l'Université, 4o° d'infanterie, S. P. i3o. 

1900. SPARRE (comte de), doyen de la Faculté catholique des Sciences, avenue de la 
Bibliothèque, 7, à Lyon. S. P. 

1909. SI'EISER (Andréas), membre de la Société mathématique suisse, privat-docent à 

l'Université, Stephansplan, 7, à Strasbourg (Allemagne). 
1912. STECKER (H. -F.), professeur de mathématiques, à Pensylvania State Collège, 

Miles St. 3o6 (Pensylvanie, États-Unis). 
1879. SrEPIIA\OS, professeur à l'Université, rue Solon, 20, à Athènes (Grèce). 

1898. SrOItllEIl, professeur a l'Université, Cort Adelers gade, 12, à Christiania (Norvège). 



9 — 



Date 

do 

l'admission. 



1904. SUDUIA, directeur de l'École préparatoire à l'École supérieure d'Électricité, rue de 

Staël, 26, à Paris (i4'')- 
1904. SIJNDM4X, maître de conférences à l'L'niversité, Fredriksgatan, 19, à Helsiiigfors 

( Finlande ). 
1875. SYLOW, professeur à rUiiiversité, M^jorstuveien, 16 III, à Christiania (Norvèjje). S. P. 
1913. iA)URKI\E, répétiteur à l'École impériale des Fonts et Chaussées, rue Liteinaia, 45, 

App. 33, à rétrograde (Russie). 
1899. niVllVUT, professeur au lycée Henri IV, boulevard St-Gerraain, 5o, à Paris (5'). 
1910. TIMOCIlEMiO, professeur à l'Institut Empereur Alexandre II, à Kiew (Russie). 
1913. TI\0 (O.), via Lagrange, 2, à Turin (Italie). 

1912. TOICHARD, ingénieur des Arts et Manufactures, boulevard Haussmann, i5o, à 

Paris (8'). 

1910. TKAVNAItD, professeur à la Faculté des Sciences de Besançon. 

187'2. TUESCA, ingénieur en clief des ponts et chaussées eu retraite, rue du Général- 

Henrion-Herthier, j, à Neuilly-sur-Seine (Seine). 
189(i. TRESSE, professeur au collège Rollin, rue Mizon, G, à Paris (i5'). 
1907. TRIPIER (H.), licencié es sciences, rue Matignon, 10, à Paris (8"). 

1911. TllRRIÈRE, docteur es sciences, boulevard Saint-Michel, 21, a Paris (5"). 

1913. VAliIROM, docteur es sciences, professeur au lycée du Parc, à Lyon (Rhône). 

1893. VALLÉI': l'OUSSI.\ (Ch.-J. de la), membre de l'Académie Royale des Sciences, des 
Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, professeur h l'Université de Louvain 
(Belgique), avenue Doi-ian, 2, à Paris (11°). 

1904. VA\I)EURE\, professeur à l'École militaire, avenue Macan, i(j, à Bruxelles. 

1905. VAX VLECK, professeur de mathématiques, University of Wisconsin, à Madison 

(Wisconsin, États-Unis). 
1897. VASSILAS-VITALIS (J.), professeur à l'Ecole militaire supérieure, rue Epicure, i3, 

à Athènes ( Grèce ). 
1913. VEBI,Ei\ (O.), professeur à l'Université de Princeton ( États-Unis). 
1901. VESSlOr, professeur à la Faculté des Sciences, avenue du Pelif-Chambord. 4 h ^ 

Bourg-la-Reine (Seine). 
1911. VILI.AT, maître de conférences à l'Université de Montpellier. 
1888. VOM'ERUA ( Vito), professeur à l'Université, via in Lucina, 17, à Rome. 
1900. VHIIîEItT, éditeur, boulevard Saint-Germain, 63, à Paris (5«). 
1880. \VA1,CUE\AER, inspecleur général en chef des mines, boulevard St-Germain, 218, 

à Paris ( 7° ). 
1879. WKII,!,, directeur honoraire du collège Chaptal, boulevard Delessert, 23, a Paris ( i(3«). 
190G. VVII,SO,\ (R.-B.), professeur a l'institut de Technologie, à Boston (Massachusetts, 

États-Unis). 
1911. WIXTER, avenue d'Iéna, 66, à Paris (16"). 
1909. WIIODS (F.-S.), pi-ofesseur à I Institut de Technologie, à Bostmi (Massachusetts, 

États-Unis ). 
1878. WOUMS DE KO.MILI.Y, inspecteur général des mines, en retraite, rue du Général-Lau- 

glois, 5, à Pai-is (i6*). 
191"2. Yl)L\(i ( W.-II.), membre de la Société Royale de Londres, professeur à PUniversité 

de Liverpool, villa Rodiinde, Épinettes, 22, à Lausanne (Suisse). 
18S2. AABOlIDSIil, membre du Comité d'.\rtillerie et pinfesseur il l'Académie il'Artilieiie 

Ziian)enskaïa, 22, a Pélrograde (Russie). 
1903. ZEIIVOS, professeur agrégé à l'Univei'sité, rue So/.opoleos, 88, i» Athènes (Gi'èce). 



— 10 - 



Date 

de 

l'admission. 



1881. ZEIITIIEX, professeur à l'Université, Forchliiimmers Vej. 12, h Copeiilia(;iie (Dane- 
mark ). 

1898. ZIWET, professeur de mathématiques à l'Université de Michigan, Soutli Iniialls 
Street, 6^^, à Ami Arhor ( Michi[;aii , Etats-Unis). 

1909. ZORETTI, professeur de mécanique à la Faculté des Sciences de Caen. 



Membres décédés en 1916 : MM DUXCAN, I.EADTE. 



- 11 — 



SOCIÉTAIRES PERPÉTUELS DÉCÉDÉS. 



BE.\01Sr. — RIE\AYME. — BISCHDFFSIIEni. — BDUCIUKOT. — BOIRLET. - C4\ET. 
CHASLES. - CLAIIDE-LAF0\TA11VE. — GAtTHIER-VILLARS. — HALPHEN. — HERMITE. 
iimsr. — LAFO\ DE r.ADÉBVr. - LÉALTÉ. — MA\i\HEIM. — PERRI\ (R). — 
l'OlXCARÉ. — RE POLIGXAC. — RAFFY. — TANXERY (PAU). — TCHEBICIIEF. — 
VIEM.ARD. 



LISTE 



PRÉSIDEXTS DE LA SOCIÉTÉ IIATIIÉMATIQIE DE FRANCE 



DEPUIS SA FONDATION. 





MM. 




MM. 


1873 


CHASLES. 


189G 


KŒXIGS. 


1874 


LAFO\ DE LADÉBAT. 


1897 


PICARD. 


1S75 


BIEIVAYMÉ. 


1898 


LECORXU. 


187G 


DE LA GOLR,\ERIE. 


1899 


GlYOC. 


1877 


MAWHEIM. 


1900 


POIXCARÉ. 


1878 


DAKBOLX. 


1901 


D'OCAGNE. 


1879 


0. BOXXET. 


1902 


RAFFY. 


1880 


JORDAIV. 


1903 


PAINLEVÉ. 


1881 


LAGUERRE. 


1904 


CARVALLO. 


1882 


HALPHEX. 


1905 


BOREL. 


1883 


ROICHÉ. 


190G 


ilADAMARD. 


1884 


PICARD. 


1907 


BLITEL. 


1885 


APPELL. 


1908 


PERRIX (R.). 


1880 


POLXCAKÉ. 


1909 


BIOCHE. 


1887 


FOIRET. 


1910 


BRICARD. 


1888 


LAISAXT. 


1911 


LÉVY (L.). 


188'J 


AXDRÉ (D.). 


1912 


AXDOVER. 


1890 


HATOX DE LA GOliPILLIÈRE. 


1913 


COSSERAT (F.) 


1891 


COLLIGVOX. 


1914 


VESSIOT. 


189-2 


VICAIRE. 


1915 


CARTAX. 


1893 


HUMBERT. 


191G 


FOICHÉ. 


1894 


PICQCET. 


1917 


GlICHARD. 


1895 


GOLRSAT. 







- 12 - 

Liste des Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesquels 
la Société mathématique de France échange son Bulletin. 



Ainstenliiiii . 
Amslerdam . 
Ainsterihim . 

Bâle 

Ballimorp. . 

Berlin 

Kerliii 

Berlin 

Bologne. . . . 
Bordeaux. . . 
Biiixelles . . 

Bruxelles. . . 
Calcutta . . . . 
Cambridge . 
Christiania. 
Coïmhre. . . 

CopeniKigue 
Copenhague 

Cr-acovie. . . . 

Deift 

Edimbourg. 
Edimbourg. 

Gand 

Gôttingen . . 

Halirax 

Hambourg. . 

Harlem 

Helsiugfors. 

Kansas 

Kasan 

K.harkow . . . 
Kharkow . . . 

Leipzig 

Leipzig 

Leipzig 

Liège.. . , . . . 
Livourne . . . 
Londres. . . . 
Londres. . . . 



Académie Boyale des Sciences d'Amsterdam. 

Société mathématique d'Amsterdam. 

Refiie semetlrielle des pahlicnlions mathénin- 

i'iques. 
Naturforschende Gesellscliaft. 
American Journal of Mathematics. 
Académie des Sciences de Berlin. 
Jahrbuch iiber die ForCsc/irittc der Mtillie- 

matik. 
Journal fi'ir die reine und aii^ewaitdle Ma- 

thematik . 
Académie des Sciences de Bologne. 
Société des Sciences physiques et naturelles. 
Académie Royale des Sciences, des Lettres et 

des Be.uix-Arls de Belgique. 
Société scientifique de Bruxelles. 
Calcutta mathematical Society. 
Cambridge philosophical Society. 
Arcliiv for Matiiematik og Naturvidensltub. 
Annaes scienlijicos da Academia Polytecli- 

nica do Porto. 
NyC Tidsskrift for MiithentattL 
Det Kongelii^e danske l'idenskabernes sels- 

kabs Skrifler. 
Académie des Sciences de Ciacovie. 
Académie technique. 
Société Royale d'Edimbourg. 
Société mathématique d'Edimbourg. 
Miichesis. 

Société Royale des Sciences de Gôttingen. 
Nova Scotiaii Institute of Science. 
Société mathématique de Hambourg. 
Société hollandaise des Sciences. 
Société des Sciences de Finlande. 
Université de Kansas. 
Société physico-mathématique . 
Annales de l'Université. 
Société mathématique de Kharkow. 
Société Royale des Sciences de Saxe. 
31atheniatisclie Aiinalen. 
Archiv der Malhemalik und Plijrsik. 
Société Royale des Sciences. 
Periodico di Mateniatica . 
Société astronomique de Londres. 
Société mathématique de Londres. 



Pays-Bas. 
F'ays-Bas. 

Pays-Bas. 

Suisse. 
États-Unis. 
Allemagne. 



Ali 



emagne. 



A liemaguc. 
Italie. 
I''i'ance. 

Belgi(jne. 

Belgique. 

Inde anglaise. 

Grande-Bretagne. 

[Norvège. 

Portugal . 
Danemark . 

Danemark. 

Autriche. 

Pays-Bas. 

Grande-I'relague. 

Grande-Bretagne. 

Belgi(iue. 

Allemagne. 

N "'-Ecosse (Canada) 

Allemagne. 

Hollande . 

l'inlande. 

États-Unis. 

Russie. 

Russie. 

Russie. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne. 

l'.elgique. 

Italie. 

Grande-Bretagne . 

Grande-Bretagne. 



- 13 



Londies 

Luxetnhoiirg. . . , 

Marseille 

Mexico 

Vlilan 

Moscou 

.Vluiiicli 

Napies 

New-Haven 

New- York 

Odessa 

Palerme 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Pétrograde 

Pise 

Pise 

Pise 

Prague 

Prague 

Prague 

Princeton 

Kennes 

Rome 

Rome 

Rome 

Sophia 

Stockholm 

Stockholm 

Stockholm 

Tokyo 

Toulouse 

Turin 

Upsal 

Varsovie 

Venise 

Vienne 

Vienne 

Washington . . . . 
Zagreb ( Agram ) 
Zurich 



Société Royale de Londres, 
liislitul grand ducal de Luxembourg. 
Annales de la Faculté des Sciences. 
Sociedad cientifîca Antonio Alzate. 
Institut Royal lombard des Sciences et 

Lettres. 
Société niiithoniatique de Moscou. ' 

Académie des Sciences de Munich. 
Académie Royale des Sciences physiques et 

mathématiques de Napies. 
Académie des Sciences et A rtsdn Conneclicut. 
American mathematical Society. 
Société des naturalistes de la Nouvelle-Russie. 
Rendiconti del Circolo malematico. 
Académie des Sciences de Paris. 
Association française pour l'avancement des 

Sciences. 
Société philomathiqiie de Paris. 
Bulletin des Sciences inathéinaciqnes. 
Journal de l'Ecole Polytechnique. 
Institut des Actuaires français. 
Intermcdiaire des Mathématiciens. 
Académie Impériale des Sciences, 
ilicole lioyale Normale supérieure de Pise. 
Université Royale de Pise. 
// Nuovo Ciinento. 
Académie des Sciences de Bohème. 
Casopis pio péstovâni niathematikj a f) siky . 
Société mathématique de Bohème. 
Annals of Matheniatics. 
Travaux de VUniversité. 
Académie Royale des Lincei. 
Società italiana délie Scienze. 
Società per il progresso délie Scien/.e. 
Annuaire de VUniversité de Sophia. 
Acta mathernatica. 
Archiv for Matheniaiih. 
Bihhotheca niathetnatica. 
Mathematico-physical Society. 
Annales de la Vacuité des Sciences. 
Académie des Sciences. 
Société Royale des Sciences d'Upsal. 
Prace Matematyczno Fizyczne. 
Institut Royal des Sciences, Lettres et Arts. 
Académie Impériale des Sciences de Vienne. 
Monatshefte filr Mathematik und Physih. 
iNationul Aeademy of Sciences. 
Académie Sud-Slave des Sciences et Beaux- Arts 
Naturforschende Gesellschaft. 



Grande-Bretagne. 

Luxembourg . 

France. 

Mexique. 

Italie. 

Russie. 

.Bavière. 

Italie. 
Etats-Unis. 
Etats-Unis. 

Russie. 

Italie. 

France. 

France. 

France. 

France. 

France. 

France. 

France. 

Russie. 

Italie. 

Italie. 

Italie. 

Autriche . 

Autriche. 

Autriche. 

i\'ew-Jeisey, Étals-Uiits. 

France. 

Italie . 

Italie. 

Italie, 

Bulgarie. 

Suède. 

Suède. 

Suéde. 

Japon. 

France. 

Italie. 

Suède. 

Russie. 

Italie. 

Autriche. 

Autriche. 

États-Unis. 

Autriche-Hongrie. 

Suisse. 



— u - 



IlOMPTES REjNDUS DES SEANCES. 



SÉANCE DU 14 JANVIER 1917. 
Présidence de .M. FouciiÉ. 

La Société, réunie en Assemblée générale, procède au renouvelle- 
ment de son Bureau et d'une partie du Conseil. 

Élections : 

Sont élus, à l'unanimité, membres de la Société, M. Globa-Mikaï- 
enko, présenté par iMM. Vessiot et Montel, et M. Barrau, présenté 
par MM. Appell et Bioche. 



SÉANCE DU U FÉVRIER 1917. 
Présidence de M. Fouché. 



SEANCE DU 11 MARS 1917. 

Présidence de M. Fouché. 
Communication : 

M. Fouclié : Sur une généralisation des propriétés de la droite 
de Simson. 



SEANCE DU 22 AVRIL 1917. 

Présidence de M. Guichard. 
Communications : 

M. Kiveliovilclii : Sur les points singuliers du problème des trois 
corps. 



— IS 



M. Foiiclié : Sur les quadrilatères de Poncelet inscriptibles dans 
un cercle ou dont les côtés opposés sont rectangulaires. 



SEANCE DU 13 MAI 191". 

Présidence de M. Fouché. 
Communication : 

M. Fouché : Sur les systèmes de coniques admettant des triangles 
ou des quadrilatères inscrits à la première et circonscrits à la 
seconde et d'autres inscrits à la seconde et circonscrits à la pre- 
mière. 



SÉANCE DU 10 JUIN 1917. 

Présidence de M. Cahen. 

Communication : 

M. Fouché : Sur les cyclides du troisième ordre. 



SEANCE DU 11 NOVEMBRE 1917. 
Présidence de M. Giiciiard. 



Election 



Est élu, à l'unanimilé, membre de la Sociélé, M. du Pasquier, pré- 
sentée par MM. Hadamard et Vessiot, 

Communication : 

M. Hioche : Sur les plans tangents aux surfaces algébriques. 

\. Si une surface algébrique contient une droite D, le plan tangent 
en un point de cette droite a, lorsque le point de contact décrit D, 
une loi de variation facile à établir. 

L'équation de la surface, quand on prend la droite D pour axe des z, 

peut s'écrire 

Y<f(X,Y,Z,T) = X/(X,Y,Z,Tj, 



- 16 - 

© et y étant des polynômes de degré n — i. Le plan tangent en un 
point (o, o, c, l) a pour équation 

Y 'iCo, o. ;;, /) = \ f(o, o. z, t ). 

La condition nécessaire est suffisante pour que la surface ait un 
point double sur OZ est que les équations 



'f (o, 0, z, t) 



o, 



/( o, o, ^, /) = o 



soient vérifiées en même temps, ou, autrement dit, que les polynômes 
qui figurent aux premiers membres aient un facteur commun. 
D'autre part, le plan P, ayant pour équation 

Y — /?? X = o, 

coupe celte surface suivant OZ et suivant une courbe d'ordre n — i. 
Celle-ci coupe O z aux points donnés par 

m f{o, o, 'z. f)—/(o, n, z, t) = o, 

et ces points sont des points de contact du plan tangent à la surface, 
qui varient avec m. si ce ne sont pas des points multiples. 

Kn particulier, on voit que, sur une surface cubique, les couples 
de points où un plan mené par une droite D ne contenant pas de points 
doubles est tangent à la surface, sont les couples d'une involution. 

2. Si les polynômes o et / ont un facteur commun d'ordre p la 
courbe d'ordre n — i, située dans le plan P, coupe 0« en p points 
fixes; il y a sur O:; p points doubles, distincts ou confondus, et m 
s'exprime par une fraction dont les termes sont de degré n — p — i en 
z et /. 

Il est facile de voir qu'un point multiple d'ordre A correspond à un 
facteur commun d'ordre k — i. donc compte pour k — i points 
doubles. Mais la coïncidence de k — i points doubles ne produit pas 
toujours un point multiple d'ordre k. 

Si /? = /i — I, comme cela arrive pour les cônes, ni est constant. 
Ce fait se produit pour les droites des surfaces cubiques qui con- 
tiennent deux points doubles, ou pour les droites des surfaces desmi- 
ques du quatrième ordre, ces droites contenant trois points doubles. 

Si p = /i — 2, ce qui arrive pour les surfaces gauches, la relation 

entre m et - est homographique et l'on retrouve la loi de Cliasles. 

Celle-ci s'applique donc au cas des droites des surfaces cubiques qui 
contiennent un point double. 



— 17 — 

3. Si l'on prend pour plan X = o la position limite que prend un 
plan passant par O^ lorsque son point de contact s'éloigne indéfi- 
niment, t est en facteur dans o (o, o. ^, t); ce polynôme ne contient 
donc plus z qu'au degré n — p — 2, après suppression des facteurs com- 
muns à o elf. Si le plan langent n'est pas le même en tous les points 
de Os, on peut faire un changement d'origine en posant 



Zi étant le z d'un point de contact de Y = o. Alors m s'exprime en 
fonction de /" par une fraction rationnelle qu'on peut écrire 

/('■) 
m = /■ •— — , 

?('■) 
f et o étant des polynômes de degré /i — p — 2. Pour les surfaces 

réglées, ' se réduit à une constante, paramètre de distribution 

o\r) 

des plans tangents. La loi obtenue s'applique aux surfaces réglées 
non algébriques parce que la loi est la même pour une pareille sur- 
face et pour la quadrique passant par trois génératrices infiniment 
voisines. Mais la loi générale ne s'applique pas aux surfaces non algé- 
briques; par exemple, si l'on considère la surface 

Y = Xe^ 

le coefficient angulaire du plan tangent en un point de 0-3, qui est 
une directrice de la surface et non une génératrice, est donné par 



SÉANCE DU 9 DÉCEMBRE 1917. 
Présidence de M. Maillet. 
Communications : 
M. Maillet : Sur l'équation indéterminée a'" -h b"^ =: c'". 

L'auteur résume une N^ote sur l'équation indéterminée a'" -\- 6'"=: c'" 

en nombres entiers naturels positifs a, b, c, où m est fractionnaire. 

Cette équation est vraisemblablement équivalente à l'équation 

a" + b" -=z c'^ (A^ entier positif) qui fait l'objet du théorème de Fermai. 

S- -M. — Comptes rendus. 2 



— 18 - 

L'auteur a pu l'établir dans divers cas, par exemple quand «j > i . La 
démonstration utilise les débuts de la théorie des nombres algébri- 
ques sans intervention des idéaux. Il y a un théorème analogue pour 
les éfiualions a"'>-[- b"''r= c'"' (/?i,, /«j, /«s rationnels >o), a, h, c 
étant premiers entre eux deux à deux ('). 

M. Laisant : Sur les triangles liéroniens. 

Soient M N P Q quatre termes consécutifs d'une suite de Fibonacci, 
où P = M-i-N, Q — N + P. 

Si l'on pose a = MQ, Z^ = 2TN, c = P^ + N^= PQ — MN, a, h, c 
sont les trois côtés d'un triangle rectangle, qui seront entiers si les 
nombres M, N le sont. 

Si M est impair et premier avec N, le triangle sera primitif, c'est-à- 
dire quert, b,c seront premiers entre eux. 

En appelant /le rayon du cercle inscrit et /> le demi-périmètre du 
triangle, on a les relations 

/■=MN, /?=PQ, /) — « = NQ, 
p — c = MF, p— c = MiN = r. 

On peut écrire aussi les longueurs des côtés sous la forme suivante : 

a = 2l\IN-i-I\IS 6 = 2MN-|-2N2, C=: 2MN-^M2-4-2Nî, 

M-= (3 = a — 2/' et aN^^ a rz: 6 — 2r sont ce qu'on peut appeler les 
Aen\ pointes du triangle rectangle, et l'on voit que le produit des 
deux pointes est 2/-. 

On a aussi 

p — rt=:r-r-a. p — 6 = /--+- p. 

Ces considérations sont pour ainsi dire évidentes géométriquement. 
Dans un triangle quelconque, on a 

a = 2 /• -+- p + Yi /> = 2 /• H- Y + a, r = 2 r -+- a -h [B ; 

p — a = r -4- a, p — 6 = /• -f- ^, p — c = /• -r- y. 

Si l'angle C est obtus, la pointe y est négative; ce qui caractérise 

un triangle rectangle en C, c'est la condition y = o. 

La suite M N I^ Q ayant donné le triangle de côtés a, b, c, si l'on 

pose 

M'=Q, N'=P. - P' = Q^P, 0'=Q + 2P, 



(') Voir la Noie dans le Bulletin, l. NLV, 11)17, p. 2(j-3G. 



- 19 — 

on obliendia un triangle A.' B' C dans lequel a' — 6'= b — a. Celte 
remarque permet de former une suite indéfinie de triangles dans les- 
quels ladifTérence des deux côtés de Tangle droit aura même valeur 
absolue. En supposant a — ^ == zb i , le tableau ci-dessous permet 
de s'en assurer. H est utile de remarquer que a — b e.st toujours de la 
forme ± (M^— 2N^) 



M. 


N. 


P. 


0. 


a. 


b. 


c. 


I 


I 


2 


3 


3 


4 


5 


3 


2 


5 


7 


21 


3o 


29 


7 


5 


I?. 


17 


•19 


120 


169 


17 


12 


29 


41 


697 


696 


985 


41 


29 


70 


99 


4 059 


4060 


5741 



On peut remarquer que les M. N, P, Q successifs forment des séries 
récurrentes dont l'éclielle commune est 



Un+I— 2a„+i-l- Un 

et qu'il en est de même pour les a., 6, c, avec l'échelle 



dJ> 



TABLE DES MATIÈRES. 



Pages. 

Etat de la Société au début de 1917 '. i 

Liste des périodiques reçus 12 

Comptes rendus des séances i4 

Connmunications : ftlM. Bioche : Sur les plans tangents aux surfaces algé- 
briques „ i5 

Fouché : Sur la droite de Simson i4 

— Sur les quadrilatères de Poncelet i5 

— Sur certains systèmes' de coniques i5 

— Sur les cyclides du troisième ordre i5 

Kiveliovitchi : Sur les points singuliers du problème des trois corps i4 

Luisant : Sur les triangles liéroniens 18 

Maillet : Sur l'équation indéterminée a"" -i- O"* — c"' • 17 



FIN DE LA TABLE DES MATIEHES. 



58098 Paris. — Imp. Gauthier-Villars e» C'*, quai des Grands-Augustins. 5â. 



BULLETIN 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE 



DE FRANCE. 



» 



PARIS. — IMPRIMERIE G AUTHI ER- VI LLA R S ET C", 
59150 Quai des Grands-Augustins, 55. 



/ 
BULLETIN 

DE LA 

SOCIÉTÉ 3IATHÉMATÏQUE 

DE FRANCE 



PAli LES SECHEÏAIHES. 



TOME QUARANTE-SIXIÈME. - ANNÉE 1918. 






PARIS, 

AU SlÉ(iE DE LA SOCIÉTÉ, 



A LA SORBONNE. 



1918 



BULLETIN 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE. 



SUR CERTAINS TYPES DE FRACTIONS CONTINUES ARITHMÉTIQUES; 
Par jM. Edmond Maillet. 

I. Soit une suite de nombres positifs absolument quelconques 
donnée a priori 

(l) ^j, Xi, .... Xn, .... 

.le me propose d'étudier ici la représentation d'un nombre jN 
positif quelconque sous la forme dune fraction continue c<ji>- 

vergente 

.\ = dy ./•] -^ I : d-2Xo-T- . . .-^i : daX,,-^ . . ., 

(^1 = 0? ^2 > o, • ■ 1 d,i'> o, . . ., les di étant entiers). 

Pour que tout nombre N positif >o admette une représentation 
de cette forme, il est nécessaire et suffisant que 



' n '^ n+\ =z ' 



{n ==i, -i, ...). 



J'indiquerai en outre quelques propriétés de ces représentations, 
et je dirai un mot du cas où 

XuX„+i> I (n = 1, 9., .. .). 

Une partie des idées essentielles contenues dans la présente 
Note se trouve déjà dans mon Introduction à la théorie des 
nombres transcendants (Paris, Gauthier-Villars, iç)o6, Cluip. IV: 
notamment p. oy-Go et p. S2-89). Elles sont toutefois présentées 
ici, à certains égards, d'une manière plus générale et plus simple. 

II. Pour faciliter les écritures, je définirai Xq par la condition 
iCoj?,= 1, et je supposerai jN^:r,, ce qu'on peut toujours réaliser 

XLVI. I 



— 2 — 

eu ajoutant :c, à jN, écrivaul .N , := N + X) , et raisonnant sur]\, 
dont on efface l'indice. 

Soit 

N = £o = dia-i-h ei\ 

£, = (/., .r* — £2 ' ' 
(2) I 



OÙ les di el ti sont positifs, avec di entier ^ 1 ('). Pour que toul 
nombre N puisse donner Heu à une suite d'opérations de ce genre. 
nous allons montrer qu'il est nécessaire et suffisant qu'on ait 

(S) jr„a7„_Higi (n =0, I, 2, ...). 



En etfet, je dis que cette condition est nécessaire. Soit, 
' = )/,3-„— T,„, A„ entier > o, o < 7)„ga;„; 



pour /i ^ I , 



on a 

. ' . ^ . 



'Il -^ n 'in 



on peut toujours choisir N de façon que r^„ soit arbitrairement 
petit, en sorte que 

\„d,i+irnT„^i^f, d'où x„x,i+i%i (n = i, '1, . . .). 

Cette dernière condition (3) étant supposée remplie, je dis 
qu'elle est suffisante. En effet, on prendra sjstéuiatiquement 
pour d,i+i = E(î„ j;~ij) le plus g^rand entier contenu dans 

dn+\JCn+{ étant alors, par définition, le plus grand multiple 
de Xn+t qui ne surpasse pas Zu- Gela est possible puisque 

Dès lors, on aura ainsi sans ambiguïté, pour chaque nombre 



(') On peut avoir évenluellenient :„' =0; dans ce cas on n'a pas à considérer 
les égalités ( 2 ) qui suivent la n''"', ni les quantités rf„^.,, c^„^;. • • • , '„+t» -n-rj' • • • ' 



N^X), sous les condilions 



\ } 



f4) < [> (« =1, 2, ...), 

le développement, qu'on peut appeler canonique [en ce qui con- 
cerne la suite (i)], 

d-i Xi-^ . . . 

ou, avec nos notations habituelles, 

{ 5 ) N = <ii j^i -4- I : c^2 ^2 -i- - . • -T- 1 : c?„ a;„ -h . . . ; 

c'est le résultat annoncé au n" I, si l'on vérifie maintenant que 
cette fraction est convergente ; on le fait en se rappelant la con- 
dition nécessaire çt suffisante de convergence de la fraction con- 
tinue 

a, -4- I : aj-f-. . .-1- i : a,i.-^ . ^. 

à quotients «/ positifs ; cette condition est que la série de ternie 
général «/ soit divergente (*); il en est bien ainsi, puisque^ 
d'après (4), d,iX,i'>' ; sur deux quotients consécutifs diXi, 

dij^\Xij^^^ l'un est > - > car XiXij^x'^x montre que xi ou Xij^^ 
est ^ 1 . 

III. Considérons maintenant un développement de la forme (5),. 
mais où les dn sont des entiers donnés a prioi'i ^o, sans qu'où 
se préoccupe des conditions (2) et (4), de façon toutefois que ce 
<léveloppeinent soit convergent, les inégalités (3) subsistant aussi. 
On peut montrer que ce développement n'est pas forcément cano- 
nique SI Ton n'a j)as 

— = f/i -f- 1 : f/2 -i- ■ • • -i- I : d/i-h . . ., 

Xx 

1 , 

X'>,= > ^oj-t-I =^ ^l ( f = I , '4, . . . 1. 



(1) Stern (/. fier Math., l. XXWII); Stieltjes (Ann. Fac. Toul., t. VIII^ 
189^, J,, p. 3i). 



En cHcl, posons 

£„_i = dnXn-^ t~^ = d„x,i-{- I : d„+ix,t+i -+■..., 

£«-! et t,i étant définis par ces égalités; si l'on veut que (4) ait 
lieu, il faut 

"/ni ^/i -1-1 ^/i-l 



quand on n'a pas XnXn.-\ = i, <:/„ doit être > i dès que dnj^\ dépasse 
une certaine limite : dans une fraction canonique, dn et f/«+) ne 
sont pas entièrement indépendants, ni, par suite, arbitraii'es, 
lorsque x,iX,i-{ < '5 i^ J a alors pour <i«= i ou assez petit, une 
infinité de valeurs de d,ijf.\ donnant lieu à un développement non 
canonique, d'ailleurs convergent si la suite dn+21 ^n+si ••• 
satisfait à des conditions convenables, par exemple si 



'•«-t-2-' «-I-2 " 



I '■ d„ + 3X,i+3 



est un développement canonique pour la suite Xn+2t ^^«+37 •••• 
Il n'y a d'excej)tion à ces conclusions que si l'on a constam- 
ment XuXn-K = I, c'est-à-dire quand on a 

^1 
alors 

— = dx-~\ : <3?2 -r- • . • -t- • : dn-h. . . 

est une fraction continue ordinaire; les seules fractions non cano- 
niques sont celles ayant un nombre limité de quotients et dont le 
dernier <i«+i est égal à i ; le développement canonique corres- 
pondant s'en déduit en remplaçant //„ + -^ — par f/^^ = f/„ + i. 

Il V a là éventuclleuient une cause de supériorité dans l'emploi 
<les fractions continues ordinaires classiques. 

I\ . Ceci conduit à se poser diverses questions intéressantes, 
au sujet de la suite (i) satisfaisant aux conditions (3). 

1° Un nombre N donné possède-t-il un nombre fini ou infini de 



représentations 

(5 bis) N = rfia^i -1- I : d^Xi-h . . .-hi : d,iXn-^ ■ . , 

(les di entiers > o) ? 

2° Y a-t-il des nombres N qui ne possèdent d'autre représen- 
tation (5 bis) que la représentation canonique ? 

Envisageons d'abord la représentation canonique d'un nombre 
N > o, avec 

SiNa une représentation non canonique, il existera une valeur 
de /i ^ I pour laquelle on pourra écrire 

'Il \ ^^= 'j/iXit -r- r,„ , o <C. o„ <^ a„. r,^_.T,j^.j, 

8« étant entier; cette condition nécessaire est aussi suffisante, car 
la représentation canonique de t^h donnera une représentation 
correspondante non canonique de ^i. 
Il faudra et il suffira dès lors qu'on ait 

( 6 ) r, „ = — ^— — ^ ,r„_j 1 , <^„ > o„ > o, 

ou 

(7) '~n[^ — X,tXn + l{da^'^Jn)]l^n^\-, û?„ > 0„ > O. 

On reuiarquera d'abord que o„ satisfait à l'inégalité 

1 — X„Xn^^{d,i— -^/i ,)~o, 

qui est possible ici, puisque, d'après (3), Xn^ii+\S. ' • Si x,iX,iJ^\ = i? 
on a 

dn — '^n = I , ï,, = O, r,„ = — = .r„^_, ; 

:r„ 

mais la représentation obtenue, non canonicpie, se ramène \\ vue 
à la représentation canonique. Quand a:«a:„^,<i, il faudra et 
il suffira, pour qu'il y ait une représentation non canonique 
(correspondant à dn — o„= 1, et alors évidemment convergente), 

(8) £„^ "^^^^ , d„^i, n^i. 

1 X,iX ,i-^-\ 

Dans les applications, il y aura de plus à tenir compte des coii- 



— 6 — 

<liti<»iis nécessaires et suffisanles pour que le dc-veloppement (5 bis) 
soit canonique, 

Cette dernière condition entraîne la condition nécessaire 

< £«-i<(««— l)^n, 

^«—1 



et la conilitimi 5.ut"iisante d„x„~^ ' qu'on peut grouper ainsi 

(,...., il 
l condition nécessaire «„-;- 1 > i 

y Xfi^n—ï f 

i\o) ' > (/i = 2, 3, . . .). 

I condition suffisante d,i >• 1 

On déduit aussi bien de (9) une série de conditions nécessaires 
ou suffisantes, qui pourront être plus avantaiieuses, mais seront 
plus compliquées, par exemple la condition nécessaire 

\ ^« — 1 = ^n -^ Il ~i~ "j 
^'n—l "/î + 1 ^n^l 

déjà Utilisée au n° III. 

On voit aussitôt qu'il y a une infinité de nombres X satisfaisant 
à toutes les conditions (8) et (9) pour chaque suite (1) et chaque 
valeur de Ji, lorsque x,iX„^i <i 1 • 

Les conditions (8) peuvent d'ailleurs subir une transformation 
analogue à celle que nous avons opérée sur les formules (9). La 
représentation (5 bis) étant supposée canonique, d'après (8) 
et (9) on a les conditions 

I nécessaires rf„^ 2, d,i+i-\-\ 



1 — X„X„^\ 



1 I — XnXn^i 

I suffisantes rf^^a, dn+i = 



I — XnX 



n-^ «+1 



pour l'existence de la représentation non canonique précitée. 
Voici quelques conséquences : 



V, i" Soit une fraction continue (5 bis) satisfaisant à la con- 
dition suffisante (lo) quel que soit /i^a; elle donnera naissance, 
pour chaque valeur de n^\ satisfaisant aux conditions suffi- 
santes (i i), à au moins une autre fraction (;5 bis) non canonique 
avant la même valeur jN. Ces diverses fractions différeront soit 
par la valeur du quotient </„a?« ou o„a7„ correspondant au même 
indice /i, soit par l'indice Ji auquel s'applique le procédé pré- 
cité du n" IV. 

Exemples. — i" Soit, pour une valeur de n ^a, à la fois 

une représentation canonique (5 bis) du nombre JN satisfait à la 
condition nécessaire (lo), c'est-k-dire à 



rf«-hi> ?; i, d"où dn--x\ 



(lus. 



en sorte que la condition suffisante (i i) a lieu. Dès lors, à cette 
représentation canonique (5 bis) correspond, pour cette valeur 
de /z, par le procédé précité, une représentation non canonique 
de jN. En particulier, quand les inégalités (12) ont lieu pour une 
infinité de valeurs de n^ \ a une infinité de représentations non 
canoniques. 

Notons encore que, même si (12) n'a pas lieu, la deuxième 
condition (9), £«> — ? entraîne la première condition (8) lorsque 

^ OU -y.XnXn^x - I ; 

X ,1 I X,iX,i-f-i 

alors j\ a une représentation non canonique correspondante si 
l'on a d„^2. 
2" Je suppose 

(i3) I > Xf ^iF„ar„+i^ X^, X, X, donnés < I ( n = i , 1, . . .). 



D'après (10), les conditions 
I ^ I 

X„X,i — l A- 



(i4) — = Yi=dn, — — — <rf«, d„l7. (n = 2, 3, ...j 



sont suffisanles pour que (5 bis) soit canonique : nous les sup- 
poserons remplies. U'a|)rrs (i i), on a, puisque \ ^ x„X||^^^ pour 
l'exislence d'une représentation non canonique correspondant à 
l'indice ii, les conditions 



(!') 



À2 

"«+1 > ^^ necessaue, 

dn-vs ^ ;— , suffi«anle. 



Lorsque, /) etpt étant entiers ou non, 

les conditions (i i) se réduisent à 

d,,^ 2 ( n = 2, 3, . . .); 

les conditions nécessaire ou suffisante (i5) exigent respective- 
ment c?„^, >>jO ou (ln+t^p{-+- ï: il en résulte que, si l'onap^:^, 
il n'y a pas de représentation non canonique de (j bis) corres- 
pondant à l'indice n, sauf dans l'un des cas suivants : 

a. /-> -< <i«4.) <C/^i + I (peut-être): 

b. <-/„_,., ^ /;, 4- I (sûrement). 

D'après cela, par exemple, si p etpt sont entiers ^a, les frac- 
tions continues illimitées (5 bis) où les nombres dn{n = 2, 3, .,.) 
n'ont qu'une des valeurs 2, 3, ...,p, possèdent une représenta- 
tion unique de la forme (5 bis)^ laquelle est forcéjnent cano- 
nique; celles où les nombi^es <i„ (« = 3, 3, . . .) sont tous >2, 
certains d'entre eux étant ^j9, + i , ont au moins autant de repré- 
sentations non canoniques distinctes qu'il j a de nombres dn^s 
dépassant /), . 

\l. On pourrait étudier aussi, au uK'-me poini de vue, les 
suites (i) qui ne satisfont pas aux conditions (3). Une représen- 
tation canonique est encore convergente, comme on le voit de 
suite. Nous indiquerons seulement un résultat, en supposant 

(r6) x„Xn+\>i (n = i, ■?., ...). 



— 9 — 

On sait qu'alors il* y a des nombres N >> o qui n'ont pas de 
représentation (5 bis); mais, toute repi'ésentation (5 bis) donnée 
est forcément canonique, d'après (6) et (7). 

Premier exemple. — Si a7„r=2 quel que soit /i. le nombre 

N = '2 rfi -f- I : 2 flfq -î- • • • -i- ' : ■! dii-^- ■ . 

est développé en une fraction continue ordinaire dont tous les 
quotients incomplets sont pairs. On peut les caractériser aussi 

, . P 

comme étant les nombres positifs dont les réduites -^ ont la pro- 
se 'i 

priété suivante : V,i et Q„ étant de parités forcément différentes, 
les nouibies 

l'o= «o(si N = «0-^ I : «1 -;-..•-+- 1 : «„-!-.. .)i Pi j P2, ■ • • 

sont alternativement pairs ou impairs, le premier étant pair, et, 
par suite, les nombres Q„— ;i, Q,, Qo, ... sont aussi alterna- 
tivement pairs ou impairs, le premier étant impair. 

Deuxième exemple. — Si la suite (1) est formée de nombres 
entiers et satisfait, pour une infinité de valeurs /? , de Ji à la con- 
dition 

où '^(/i) est une fonction de n croissant assez vite avec «, les 

nombres 

N = c?i o^'i -T- 1 : diX-2-^ . . .-^ i : d,iXn-^- ■ • 

à développement illimiti^ sont des nombres transcendants de 
Liouville. 

D'après cela, on voit que la considération de suites (i) satis- 
faisant à (iG) permet, quand on n'envisage que les nombres N 
représentables sous la forme (5 bis)., d'isoler dans l'ensemble des 
nombres positifs un ensemble de nombres qui peut éventuelle- 
ment jouir de propriétés aritbmétiques intéressantes. Ce serait 
peut-ctre là une question à étudier d'une manière plus compb'te. 



10 — 



SUR LE DÉVELOPPEMENT EN FRACTION CONTINUE 
DUNE IRRATIONNELLE QUADRATIQUE; 



Par m. Amsler. 



De la MKDiATiOiV. — Soient a \ b eV c '. d (leii\ fractions à 

termes entiers aux dénominateurs de même si^ne. -, ; s'appelle 

leur médian te. iSotons les égalités 

(i) ad — hr = a{b -^ d) — 6(a -i- c) = (a -+- c) rf — i b -\- d)c. 

Elles montrent que -. -, est comijriso entre a \ h et c : d. 

* o -\~ d • ' 

Au cas où ad — ^c = riz i , appelons co/i<f,|?aë.ç les deux pre- 
mières fractions; chacune d'elles est contiguë à la médiante 
d'après les égalités ( i ). 

Approximation d'une irrationnelle par médiatiojis succes- 
sives. — Soit o) un nombre positif donné. Partons de i ; o et o ; i 
<'l formons une suite de fractions y, , /o, ....//,, .... J^^ ... par 
la règle suivante : /a>i est la médiante entre /^ et /^, /a étant la 
fraction d'indice inférieur à / la plus récemment écrite telle 
(|ue /;t etf/i soient approchés de w en sens contraires. 

Les fractions se partagent en groupes de fractions approchées 
de (O par excès et en groupes de fractions approchées par défaut. 
^>ous a^ipelierons pri/icipales celles qui terminent les groupes en 
question. 

A chaque fraction par excès faisons correspondre le symbole £, 
à chaque fraction par défaut le symbole Tj. La suite des nombres £, r, 
correspondant aux diverses fractions et l'angés dans Pordre de for- 
mation s'appelle la caractéristique de to. 

Comme i ; o et o ; i sont contiguës, toute fraction de la suite 
est contiguë à la précédente et à la fraction principale la plus 
récente écrite avant cette dernière. 

Interprétation des fractions principales. — Les fractions 



— 11 — 

principales coïncident avec les réduites du développement de w 
en fraction continue. 

Si £T,^s?-/;'£^r/ . . . est la caractéristique de to, son développement 
en fraction continue a p — i pour partie entière, les premiers 
quotients incomplets étant q, r, s, t, .... 

Le théorème est évident pour les deux premières réduites p — i 

et -^ Un 1 établit aisément en le supposant vrai jusqu a 

un certain rang des réduites et des fractions principales et formantr 
à l'aide de la caractéristique la fraction principale du rang suivant. 
Réciproquement, si une irrationnelle positive oj est comprise 
entre deux fractions contiguës, ce sont deux fractions de la suite 
formée pour calculer to par médiations successives, celle dont les 
termes sont les plus petits étant une fraction principale. 

Soient r et -, deux fractions à termes "> o et entiers comprenant 

b a ^ ' 

entre elles to et telles que | ad — ^c | = i . 
En supposant a << c, on en déduit h <id. 
Divisons c par a et d par b 

c =; aq -4- /• (yV <i a), 

d = bq' ^ r' {r'<_b). 

Un raisonnement connu dit que q =z q' el que 

ad — bc = ar' — br. 
On forme les fractions 

a a -f- /• xa — /■ qa -^ r 



b b -\- r ib -^ i' qh — /' 

la dernière étant du l'esle -^ elle-même; à partir de la Iroisièuie 

fraction, cliaque fraction est la médiante entre la précédente et j-- 
On aurait en classant par ordre de grandeur (croissante ou décrois- 
sante) 

(I qa -+- r ? a -h r 



b' qb -\- /•' 


■ xb- 


— /•' 


Mettons à leur place w et - 
1 r 






a qa -+- r 


•xa-^ r 


a -^ r 


b iib -f- r 


■> b -i- r' 


b-hr 



— 12 - 

— est approché de w coimne -.i mais avec une iiioius Ijoane 

Cl I' \ c • • ■■ 

appiDMiiialion. et ^j — sont deux tractions contigues comprenant 

ratin; elles to ; on di\ise a par /'. d'où le reste p; a' par /'', d'où le 

reste o'. 
I 

On est ramené au raisonnement déjà fait sur y et ->• On con- 

tinue jusqu'à ('puisement des termes successifs «, r, p, ..., 
c/, r'. z' . ... et le eaieul est résumé dans l'un des Tableaux : 

<) V ne r I 

- » • • • 1 ^ ■> • • • . 7- > oj , —, 5 • • • 1 —.1 • • • } — ; 
I p o a r o 

I p lie r o 

o p bar 1 

En lisant ces Talileaux à rebours on voit cjuct et -. résultent de 
quelques médiations faites à partir de - et - pour approcher de (o, 
j précédant un changement de sens de l'approximation. 

c. Q. F. T). 

On déduirait de là le thf'oi'ème de Serret : 

Si deux nombres positifs 03 et co' sont équivalents , c'est- 
à-dire liés par la relation m' = -^ i-, oii p^ q^ p\ q sont des 

entiers tels que \pq' — qp'\ = 1; ils ont en commun un quotient 
complet. 

On moulrer.iit qu'à partir d'un certain rang, les caractéris- 
tiques de (O et oj' coïncident. 

Approximation d'une 'irrationnelle quadraticjue. — Soit à 
(h'velopper en fraction continue une racine d'une équation du 
second degré. 

En amorçant le calcul par la méthode de Lagrange, on pourra 

toujours ramener le cas d'une équation à deux racines de même 

signe à celui de l'é-qnai ion aux racines de signes contraires. 

Soit alors 

az--^ a6z -4- c = o 

luie équation où a. b, c sont des entiers premiers entre eux, 



— 13 - 

a et c élaiit de signes contraires. Nous lui ferons correspondre 
une forme quadratique indéfinie a x^ -h ^ b xy + cy- que nous 
appellerons réduite, voulant rappeler, par là, que ac < o. 

Traitons l'exemple 

352+8- — 7 = 0. 

Nous calculerons la racine co > o à partir de - et - et nous rein- 

^ o I 

placerons z par les fractions successives dans 3z--\- Hz- — - pour 
connaître à chaque instant le sens de l'approximation. Plus com- 
modément, nous formerons les valeurs de 3x- + 8xy — -y- 
quand x el y sont les termes des fractions successives : 

(0 3 -7 4 -9 

.1 01 I 

(2) _ _ _ „ 

o I I 2 

La caractéristique de la racine to est 

d'où 

I 

0) = I — I H 



3 


1 I 


12 


7 


-4 


1 


3 


5 


7 


9 


3 


4 


7 


10 


i3 



Appelons index successifs les termes de la suite (1). 
On peut les calculer directement à partir de 3 — - -1-4, sans 
passer par la suite (:i), donc sans faille de substitutions dans 

3a72-H8:rx — 772, 

comme nous le montrerons bientôt. 

Appelons index coiitigus deux à deux les index fournis par 
une fraction de la suite, la fraction principale antérieure la plus 
récente et par leur médiante qui, précisément sont trois fractions 
contiguës deux à deux. 

Etablissons une relation du second degré entre trois index 
contigus. 

Relations entre trois index continus. — Soient —,—,, -^ 

trois fractions contiguës empruntées à la suite, /•, /•', /■" les index 
correspondants, /• et /•' étant nécessairouient de signes contraires. 



— 14 — 

On a 

ap^ -!- 2 bpq -k- cq- = /■, 

ap''--r- ibp' q' -J- cq- = /', 

ap"- -i- 2 6/)" </" -H c^"- = r", 
avec 

p" = p-^p\ q"=q-^q'. 

Dans la fonne /'= a.a7-+ 2 6a:j' -h cj-, faisons la substitution 

a* = />X -f- />' Y, 

Il vient 

f( p\^ p'\, q\-^q'Y) = rX2 ^ ÀX V ^ r' Y^, 

A étant un entier; faisons X = \ =: i . il vient 

r" = /■ -^ X -r- /■', 
A = r"— r — r'. 

Mais 0- — ac «si un invai^iant pour toute substitution linéaire 
faite dans f; comme \pq' — r/p'\ = i . on a 

X^ — 4 rr' — 4 ( b- — ac ) 
ou encore 

(t) (r"—r— /•')2— 47r'= ^(b'^ — ac), 

il) r-~ r'--r- r"^ — 2 /•' /•"' — a /•" /• — ■:>. rr' = 4(6- — «c ). 

C'est la relation annoncée (on en déduirait qu'un index quel- 
conque est inférieur à A en valeur absolue). Elle est symétrique 
par rapport à /■, /', r". 

Bernai que. — 11 est clair que la forme réduite 
rX2-f-(/-"— /• — /•')XY-f-/-'Y2, 

où d'ailleurs /' — /■ — /■' est pair d'après (i), donne précisément 
pour premiers index r, ;"', /" quand on fait usai;e des frac- 

1 o I 

lions -, - et -• 

o I I 



Défixitioa GK^iÉKALK DES i^DEX. — ■ Couime on la dit plus haut, 
les index relatifs à la racine to de J{z, i) = o sont les résultats 
de la substitution dans la forme des termes des fractions qui 



— 13 - 

convergent vers le nombre > o : oj, au tïir et ù mesure que le 
nombre des médiations augmente. 

Pour une forme g non réduite^ on pourra attribuer une suite 
d'index à chaque racine positive de l'équation g{z^ i)=:o; on 
les obtiendra en substituant dans g(x, y) les termes des iné- 
diantes successives et commençant chaque suite à la première 
variation de signe accusée par les résultats de substitution. 

Si dans g[^x^ y) deux certaines fractions contiguës t et -^ tour- 

nissent deux résultats de signes contraires, la plvis simple d'entre 
elles est une réduite du développement d'une racine de^(^^, i)=o 
en fraction continue. 

Récurrence linéaire des index. — Etant donné un groupe de 
trois index contigus, former le suivant : 

Soient /', r', /'" trois index contigus, où d'ailleurs r et r' pré- 
sentent une variation. Nous distinguerons deux cas : 

1° i\ r\ r" présentent deux variations. 

-H — -4- _ 

Par exemple i\ r', r". Si /■'" est le suivant de r", il est contigu 
à r' et /•", donc l'équation 

( X — /■' — /■" )2 = 4 '"' f'" -T- U b' — '^^c ) 
admet comme racines r et r'", dOù 

/■ — /•' — /•" -1- /•"' — /•' — /•" = o, 

/• -1- /-■" = 2(/''-i- r" ). 

2° j\ r', /•" présentent une variation. 

-t- — — 
Elle est entre /■ et r' et l'on aura, par exemple. /', /', r". 

Si r" est le suivant de /'", il sera contigu à r et /'" et l'équation 
(x — r — i-")^= 4r/-"-4-4(/>2_ac) 
aura pour racines r' et /■", d'où 

r' — r — r" -^ /• " — r — /■" = o, 

r' -r- r'" =:i{r -\- r"). 

Concilions les cas i" et 2° dans une règle unique. 



- 10 — 



Règle de récurrence. — On écrit les quatre index ;•, /', /•", /•'" 
dans un ordre tel que les trois premiers présentent deux varia- 
lions, en permutant au besoin les deux premiers. La somme 
des extrêmes est alors le double de celle des moyens. 

Application. — Si dans un grouj)e de trois index contigus, on 
échange les deux premiers, les index postérieurs ne sont pas 
altérés. 

A remarquer que, dans un groupe d'index contigus, l'index 
seul de son signe n'occupe jamais la dernière place, car il n'j a 
jamais lieu de prendre la médiante entre deux fractions approchées 
de (i) dans le même sens. 

Reprenons l'exemple donné plus haut et partons du groupe 



-^3 



7 


4 


-9 


4 


—9 


-3 


4 


- 3 


II 


—3 


1 1 


12 



9 = 2( 



7)-3, 



■12 I 



— 3 = 2(— 9-t-4)-+-7, 



•i.{ 12 — 3 j II, 



jNous construisons la suite des index et il en résulte immédia- 
tement la caractéristiqvie de w. 

On voit immédiatement que si r, r', r" sont trois entiers de 
somme paire, /• et /•' étant de signes contraires, on peut engendrer 
une suite d'index à partir de r, r', r", qui l'égira le calcul de la 
racine ^ o de l'équation 



Rétrorécurreaxe nEs i:\DEx. — Si r et r' sont de signes con- 
traires et r-^-r' -\-r" pair, on peut se demander si le groupe (r, ;■', r" ) 
représente toujours un groupe d'index contigus de rang au moins 
égal à deux, relatif au calcul d'une certaine irrationnelle quadra- 
tique. La réponse est affirmative. 



I. /■ et r' seraient consécutifs. — Soit p l'index principal le 



— 17 — 



plus voisin de r quand on remonte la suite supposée. On auiM pur 

exemple 

— + — 

p. . , . , r, /•', /•". 

La règle de récurrence donne 

p = 2 /■ ^ -2 /•' — r". 

II. r et r' ne seraient pas consécutifs. — Soit t l'index qui 
dans la suite supposée précède immédiatement /*'; ;■ est l'index 
principal le plus voisin de /' quand on remonte la suite et l'on a 
par exemple 

7; ..., â, ?, r". 

Appliquons la règle de récurrence 

^< '■", '■', ' " ; 
1 -f- /•"= 2( /• -4- r' ), 



Dans la suite supposée, le groupe d'index contlgus qui en- 
gendre (/'. 7'. / ') serait donc 

(ir-^-'ir — /•", /•, /•' ) ou bien (r, o.z-i-ir — r", r'): 

encore taut-il, pi»ur que ce groupe soit acceptable, que /• et 
■2r -\- ir' — /■' soient de signes contnilres. 

Si cette condition est remplie, (/•, r', / ") sera au moins le 
second d une certaine suite de groupes d'index contigus; nous 
dirons qu'tV admet un précédent. 

Si cette condition n'est pas remplie, (/•. /'. / ") n'aura pas de 
précédent, mais par contre (/', /•, r'' ) aur.i un précédent, puisque, 
dès lors, /•' et 2/ + 2/' — / " seront de signes contraires. 

Donc on peut, par n'-lrorécurrence, constituer une suite de 
groupes d'index contlgus où ('/■, /', / "). ou, peut-être, ( /■'. /•, /•"'» 
occupe un rang arbitraire et cela d'une seule manière. 

Exemple. — Donnons-nous 

— 2 -f-2(') -i-3o. 
XLVI. 2 



En principe^ prenons pour précédeni de (r, /', ;") le groupe 
(2/' + 2/'' — /'", /•, /■') quitte à niodilier l'ordre des deux premiers 
pour engendrer un deuxième précédent, 



— 4 +52 — 3o, — 2, -i-26 



—> -f->6. 



Le précédeni de -+- 18 — 2 +26 serait () 18 — 2 qui est à rejeter; 

il faut donc écrire — 2 18 26 et prendre le précédent 6 — 2 18, 

On lira le Tableau de bas en haut : 



6 

18 



-2 18 26 
— 2 26 3o 



Remarque. — Supposons qu'en calculant une suite d'index, on 
constate que le signe des index est à un moment donné stabilisé 
pour une durée assez longue, ce qui correspond pour w à un 
quotient incomplet élevé; on pourra accéléz'er le calcul par le 
moyen d'un Tableau de différences. 

Si |rt — h — c\ engendre un grand nomlire d'index négatifs, 
on verrait qu'ils se calculent ])ar le Tableau suivant : 

A'. 







Index. 


A. 






^b 


— 




n -H I 


la -^ b — ic 


— 


n 


)a ^ nb — (n-\-\)c 


— 



ia 
ia 



On ira jusqu'au premier nombre >> o qu'on rencontrera dans la 
première colonne et l'on reprendra la règle de récurrence ordi- 
naire. 



Périodicité des groupes d'iindex contigus. — Pour une forme 
réduite où h- — ac = à, les groupes d'index contigus/o/?/ partie 
des solutions en entiers non tous du même signe de l'équation 



ou encore 



,•2 _|_ j-'2 _|_ f.'1-i _ .2 /•' /•" — 2 /•" /• — 2 /•/■' = 4 A 
(r"—r—ry- — \rr'= 4 A. 



— 19 — 

Soient r l'index seul de son sii;ne ; R, R', R" les valeurs absolues 
de 7", ;•', /■". On aura 

(R"-+- R— R')''+4RR'=4A, 

équation qu'il faut résoudre en entiers positifs. En suppo- 
sant R">R', on posera 

R"^- R — R'= i\, 

RR'= A — Â^ 

X étant un entier positif dont le carré soit inférieur à A; R"^R' en- 
traîne R^2A, ce qui conduit à rejeter la valeur X = o. 11 y aura 
un nombre Jini de solutions, puisque À-<:;A, et, a fortiori^ la 
forme ax- + ibxj' -^ cy- ne pourra engendrer qu'un nombre 
fini de groupes d'index contigus. 
Appliquons à l'exemple 

Zx--i-%xy — -y''- ou A = i6 -I- 21 = Sj ; 
RR'=37-X2 (o<X2<37), 

R"=iX<R'— R (RlaX). 

On peut former le Tableau suivant : 

X. RR'. 

1 36 

2 33 

3... u8 



V. 1 



5. 



G 



R. 


R'. 


R". 


I 


36 


37 


■2 


18 


IS 


I 


33 


36 


3 


II 


19. 


I 


28 


33 


2 


i4 


iS 


4 


7 


9 


1 


•Il 


28 


3 


7 


12 


7 


3 


4 


1 


12 


•Il 


•>. 


6 


14 


3 


4 


1 1 


4 


3 


9 


6 


•i. 


G 



— 20 — 

Nous soulignons les groupes qui ligurent dans iii suite i-eiiilive 
à 3 j?2 _u 8icy — 7.T''- 

Soit p le nouihre des groupes K, Pi', 1\" relatifs à la toruie 

ax^-^ ibxy -\- cy-. 

Au gri)U|ie W.\\'ïy' peuvent corresj)on(lre les huit groupes suivants : 

R-R — R", R-R"— R', — R' R — R', — R"-h R — R', 

— R R' R", ^R R" R', R'-R R", R"— R R', 

[)uisque l'index seul de son signe n'est jamais le dernier du groupe. 
Il faut même supprimer la moitié de ces groupes eomme n'ajant 
pas de précédents. A l'instant où l'on écrira le groupe d'index 
contigus d'ordre ^p-\-^^ au plus tard.) il v aura dans la suite 
deux groupes identiques. 

La règle de récurrence uu>ntre qu à partir du groupe qui s'est 
reproduit le preuiier, il y a périodicité des groupes et [)ar suite 
des index de la suite. 

.le dis que le premier groupe récrit est le groupe de tète, 
al)straction faite de l'ordre des deux premiers index. 

Supposons qu'il n'en soit pas ainsi; nous entrons en contr.idic- 
tion avec la propriété signalée plus haut, au sujet de la rétroré- 
currence d'après laquelle tous les précédents d'un groupe sont 
déterminés d'une manière unique. c. q. r. d. 

Pkiuouiiitk dks ixdex. — Si le premier groupe d'index contigus 
admet un précédent, pour parler comme plus haut, il se repro- 
duira tel quel. Sinon il se reproduira avec inversion des deux 
premiers index. 

Dans le preiuier cas, la suite des index sera périodique au 
moins à partir du deuxièuie; dans le second cas, elle sera jx'-rio- 
dique seulement à partir du troisième. 

Remarque. — 11 arrive souvent, et c'est le cas pour 
3^5+ 8xy— 77^ 

([ue le groupe de tête se reproduit au signe près avant de se repro- 
duire exactement. Dans ce cas la j)ériode d'index se décompose en 
deuTi. antipériodes de juème longueur ne difterant que par un chan- 



- 21 — 



i;einenl de signe général 
3\ — 7 4 — 9 — 3 II \>./ir 



i 9 ^ 



i9.\ — 7 4 —9 —> Il i'^ /. 



Cycles de groupes d'index contigus. — • Si à partir d'un 
groupe (r, ;■', r") de trois index contigus qui admet un précédent 
on construit une suite d'index, le groupe de tête se reproduira tel 
quel et l'on aura une chaîne sans fin parfaitement périodique de 
groupes d'index contigus qu'on pourra reconstituer par récur- 
rence ou rétrorécurrence à partir d'un seul de ces groupes. 

Nous appellerons cycle une telle chaîne. 

Exemple : 3 — ■■ 4 engendre un cycle. 

7 — 3 4 n'engendrerait qu'un cycle impaifait ; il deviendrait 
parfait par suppression du groupe initial. 

Formes réduites rattachées à un cycle. — Engendrons un 
cjcle à partir de (/", r', /") et soit (p, p', p") un groupe du cycle. 

La forme 

372-4- (p'—p'— p)a-K +p>- 

sera rattachée au cycle. Elle est réduite puisque pp' < o. 

Toutes les formes rattachées à un cycle sont équivalentes 
proprement ou improprement. Il suffit de raisonner sur deux 
formes consécutives, la première résultant du groupe (o, p', p"). 

i" (p, p', p" ) ont deux i:ariations., d'où 

?'"— 2(?'+ ?") — ?. 
On vérifie aisément que les deux formes 

piF2-t-(p"— p'— p)a-K-h p>' et p'\2-i-(p"'— p"— p')XYm- p"Y--i 

sont liées par la suhstitulion 



Y, 

X + Y 



() I 

I I 



2" (p, p', p") o/it une variation, d'où 

p"'= 2( p"-t- p ) — p'. 

Les deux formes 

p a^î -4- ( p" — o' — p)xy -^ p>2 el p X^ -t- ( p'" — p" _ p ) \Y -j- p" Y'-^ 



22 — 

soiiL lices par la subsliliilion 

X = \ -h \ , 

avec 



I I 



Cyclks coNJUGi es. — Soient un cvcle el les formes réduites y 
rattachées. 

A toute forme tU; la suite, faisons correspondre une aulre forme 

par la Iranformation 

.r = V, jK = — X, 

si la première correspond à un «groupe d'index à deux variations; 

par la transformation 

x = X, r = - Y, 

si le groupe en question ne présente qu'une variation. 

Si l'on range les nouvelles formes en sens inverse de l'ordre de 
formation, elles sont rattachées à un certain cycle. Pour le démon- 
trer, considérons deux formes consécutives : y',, J], rattachées au 
cycle donné, les formes nouvelles g_f et g_2 qui leur corres- 
pondent. 

Il v a lieu de distinguer quatre cas, suivant les nombres de 
variations que comportent les groupes d'index qui engendrent J\ 
et /s. 

Traitons le cas uù /,, /o sont engendrées par deux groupes à 
deux variations, 

-t- — + 
/, -> /■ /•' /•", f^z=rx-^ -+- ( /■" —r—r)xy^ r' y"- ; 

J\-> r' /•" '17'' -\- xr" — /% fi=^ )•' x--^ {r' -^ r" — r)xy-\-r"y^. 

A y, correspond 

g -■^ = r'\- — {r" — r — r' ) X Y -l- /• Y^ ; 

Ay^ correspond 

^_2=/-"X2 — (r' + r"- /•)XY^-^'Y2. 

Prouvons que ,i,'_o, ^_i sont deux formes consécutives rattachées 
a un môme cycle. 



— 23 — 
Dans g_2 faisons 

( .r = I , I a" = o, i ce = i , 

i y = o; i JK = I ; \ y = i. 

Il vient 

+ — + 
r" r' r. 

Faisons les mêmes substitutions dans ,g_f ; il vient 

' — -+- 

/•' r 2 /• -f- 2 /•' — r". 

Le signe 2/'+ 2/''^ — ;•" n'est du reste pas douteux; puisque 
(/', /'', / ' ) admet un précédent, c'est que 2r+27'' — r" est du 

signe — . On voit que \r" , /■', r) et \^7'', r, 27'+ 2/'' — ■ r" ) sont 
deux groupes dont le premier engendre le second en appliquant 
la rèole de récurrence. c. o. f. d. 

(Démonstration analogue dans les trois autres cas.) 

On lira donc les g- dans l'ordre des indices croissants et elles 
seront rattachées à un cycle. 

Ce cycle sera dit conjugué du premier. 

En observant les quatre formes/,, ^"_4, /o, ,^-2 dans les quatre 
cas possibles, on trouve que/, et ^_f, d'une part, et/a et g_-i de 
l'autre, sont engendrés par des groupes d'index ayant le même 
nombre de variations. 

Gomme la transformation 

k, 7; -'^^i — Y| ou |j-, jk;Y, — X| 

devient dès lors réversible, on voit que deux cycles conjugués sont 
réciproques. 

Signification du cycle conjugué d'un cycle donné. — Cal- 
culons la racine positive de' 

/•Z2-i-(r" — r r')Z-hr'=o: 

le calcul est régi par le cycle issu de /•, /', r" . 

Dans l'hypothèse où /', r' , r" présentent deux variations, 

posons X = — yf il vient 

r' Z^ — ( r"— r — r')Z-i-r = o. 



— 24 - 

|y,i racine positive de cette équation se calcule au moyen du cycle 
conjugué du pro])osé. 

Donc si un cycle r(''<j;it le calcul dune racine > o de 

/■ Z- -+- ( /•" — /• — /•' ) Z -H /•' = o, 

le conjugué régit le calcul de la deuxième racine ou peut-être de 
son inverse, suivant que /•, /•'. /• présentent une ou deux varia- 
tions. 

Thkohkmk. — Les suites d'index relatives à deux cycles con- 
jugués présenLent la même succession de signe -\- et — , à con- 
dition quon renverse le sens de lecture pour Vune d'elles. 

Dans les quatre cas distingués plus haut, comparons les signes 
de deux groupes de trois index consécutifs r\ r", ;'" et son ana- 
logue; en respectant le sens de lecture propre à chaque cycle; on 

trouve : 

Cycle donné. Cycle conjugué. 



Il — -t- -+- -I- -H — 

ni - - - - - 

IV ^ — + + - - 

La propriété est visible. 

Remarque. — Toutes les formes rattachées à deux cycles con- 
jugués sont évidemment équivalentes [proprement ou impro- 
prement). 

THÉORi-;ME nie Lagra:nge. — Nous avons ramené le cas d'une 
forme indéfinie quelconque à celui d'une forme réduite. 

La suite des index étant périodique au moins à partir du troi- 
sième, la fraction continue qui développe une irrationnelle qua- 
dratique quelconque /(f«t7yjar être périodique. 

D'après les propriétés des cycles conjugués, la période des quo- 
tients incomplets relatifs à l'une des racines d'une équation du 
deuxième degré est celle des quotients incomplets de l'autre lue 
en sens inverse. 

Traitons 

fi z--^ ibz + c = o., avec ac < o. 



— 23 — 

En changeant au besoin z- en -, on pourra toujours faire en sorte 
que le groupe d'index contigus (a, c, a + 2b -\- c) admette un 
précédent. Il v aura lieu de distinguer quatre cas, suivant que ce 
groupe initial (a, c, o + 26 + c) présente une ou deux variations 
et que, lors de sa première réapparition, a et c sont ou ne sont pas 
consécutifs dans la suite. 

Traitons l'un de ces quatre cas; celui où (a, c, a+ 26 -h c), 
qui admet un précédent, ne présente qu'une variation, a et c étant 
consécutifs dans la suite lors de la première réapparition du 
groupe. 

Ecrivons la suite d'index et au-dessous la caractéristique 



26-i-c a c a-h'ib-hr 

r,* z? r,Y ... £>• r/ =.? 



Cf. étant au moins égal à 2 ; [ii, y, . . ., A au moins égaux à i . 

L'irrationnelle a pour partie entière a — i, la période des quo- 
tients incomplets étant ^, y, . . .X, a; de même, dans les autres cas; 
on observe les résultats suivants : 

i" Si l'équation a entre — 1 et 4- i un nombre pair (o ou 2) 
de racines, ces deux racines s'expriment par des fractions conti- 
nues périodiques, la partie non périodique couiprenanl un quo- 
tient incomplet. 

2° Si elle a entre — ^ i et + 1 une seule racine, on trouve deux 
fractions continues inimédiatemeut périodiques. 

On en déduit aisément que : 

Si une équation quelconque du deuxième degré a une racine 
développable en fraction continue immédiatement périodique, 
elle a une seule de ses racines entre — i et -f- i , l'autre étant du 
signe contraire, plus grande que i en valeur absolue et [)ourvue 
d'un développement immédiatement périodique. 

Irrationnelles rattachées à un cycle. — Ce sont les racines 
positives des équations successives 

p z^-h (p"— p — p')z -\- p' = o. 
Deux irrationnelles consécutives sont liées par Tune des rela- 



- 23 - 

\ 

u = , 

t ^ « 

u= ^ -+- I, 

suivant le noinhre pair ou impair do variations du groupe 
(p, p', p") qui en<;endre u. 

Lu partie non périodique de l'irrationnelle engendrée [)ar 
(p, p', p") est égale au nombre des index qui suivent p' et sont du 
même signe que lui. On formera la période en lisant au delà. 

L ne irrationnelle rattacliée à iiti cycle est en même temps 
plus petite que i et immédiatement périodique , en même temps 
plus grande que i et affectée d'un quotient incomplet non 
périodique. 

Tiikoiù;me. — Si deux' formes réduites sont liées par une 
substitution unimodulaire^ et que l'une d'elles soit rattachée 
et un cycle, ce cycle est contenu dans le cycle parfait ou 
imparfait engendré par Vautre. 

Soit 

o{x. y ) = rx--h-{r" — /■ — r')xy -^ r'y- 

une forme rattacliée à un cycle. 

So'ilf(x.,y) une autre forme réduite telle que l'identité sui- 
vante ait lieu : 

(') /''/'^-H^'^, /''-^-+-5''Y) = o(X, Y), avec \pq'—qp'\ = i, 

p. q. p\ q' étant quati'e entiers. 

]\ous distinguerons deux cas, suivant que p' et q' sont de même 
signe ou de signes contraires. 

i" p' et q' sont de même sigjie. — L'égalité \pq' — qp'\ = i 
montre que p et q sont aussi de même signe, ainsi que les deux 



^,et^ 
P 9 
Dans l'identité (\) faisons successivement 



tractions — , et -^- Ces deux fractions ont pour médiante , , 

P q ^ p ^q 



jX = i, (X-o, fX = i, 

(Y = o; |y = .; ÎY=i. 



Il vient 

f{p,p') = '•, 
f{q, q ) = r\ 

f{p-^p\ q — q') = r". 

Puisque /v'^o, il y a une racine de l'équalion y (^, i) = o 

comprise entre les deux fractions de même siç^ne continues —, 
1 ^ ^ p 

et^. 

q 

C'est dire (jue. si ^ et -^ sont positives, (/•, /'. /') sont un groupe 
d'index contlgus du cycle parfait ou imparfait engendré par la 

forme f{x. y)\ si — et — , sont négatives, ( t\ r' . r" ) fait partie du 

" ■ p q '■' ^ 

cycle conjugué de celui qu'engendre /'(.r, y). 

2" p et p' sont de signes contraires. — L'égalité \pq' — qp'\ =: i 
montre que p et q sont de signes contraires et que les fractions —, 
et — ^7 sont de même signe, leur mediaute étant 



q " /' — «y 

Dans l'identité (i) faisons successivement 

^ X = i, ^ X = o, , X = i. 

( V = o ; ( Y = — I ; ) \ =-,; 

il vient 

f(p, P')^r, 

f{—q, ~q')-=r\ 

f^P~q^P' — q') = -y-r" ^ ir' — r". 

Réglons l'ordre de ;• et r' par la condition qiu^ le groupe des 
trois nombres admette un précédent. 

En somme, nous venons de former un groupe enqjrunté au 
cycle conjugué du cycle F auquel cp se rattache. 

Si —, et — —, sont positives, le cycle conjugué de F fait partie du 

cycle engendré par /. 

Si —, et — '- sont négatives, le cycle conjugué de F fait partie 

du cvcle conjugué de celui qu'engendre / ; plus simplement I' iait 
l^artie du cycle engendré ])ar y, puisque deux cycles conjugués 
sont réciproques. c. q. k. d. 



_ 28 — 

Théouême. — La condition nécessaire et sujfisante pour que 
deux formes réduites diffèrent par une substitution unimodu- 
laire est que les deux cycles qu'elles engendrent^ lendus par- 
Jaits, S'il y a lieu, par suppression du groupe de tête, soient 
identiques ou conjugués. 

Les deux parties de ce théorème ont été démoulrées plus haul. 

Applications. - — I. La subslltution aiilonior|)he la plus simple 
relative à une forme n'-duiley est le [)r.)diilt des subsliiiiticms ('-lé- 
mentaires de module 



1 

1 I 


on 


t I 

o I 



elFectuées au cours du cycle entre deux appositions consécutives 
de la forme /. 

Quand il y a deux anti|>ériodes d'index, on trou\e. en plus, des 
substitutions qui restituent la forme au signe près. 

II. Décomposer une substitution unimodulaire en ses élé- 
ments. — Soit la substitution 



] K = 7X-+-6Y, 



6 5 



Appliquons-la à la forme réduite /.x- — ui->'-, où A et u sont 
deux entiers >> o. Il vient la forme 



qui sera réduite si 



/,M3X -^5Y)2— ;jl(7X -i-6Y)2, 



(36/ — 49 y.) (25 À — m\x) < o. 



T» < • '• I - 1- 4q 36 , 85 

Prenons pour traction - la mediante entre ^ et — r> donc -r-* 
^ |ji 36 20 6i 

Nous aurons la forme 85^?^ — 6i )'- et la transformée 
7.X2-24XY-71Y2, 

aux deux termes exti'êmes de laquelle figurent des coellicients 
opposés, d'après une propriété connue de la médianle. 



— 29 — 
Le groupe 71 — ■- 1 — 24 n'admet pas de précédent, car 

2 ( 7 1 — 7 1 ) -+- 24 = 24 
est du signe de 7 1 . 

Dans le cycle issu de 85a?2 — ^\y^ identique d'ailleurs à son 
propre conjugué, vu l'absence du terme rectangle de la forme, il 
faut nous attendre à trouver le gi'oupe — 71 71 — 24 et non pas 
71 —71 —24. 

Carrélativement, il s'introduit une forme 

— 71X2— 24X Y'^7iY^ 
71X2 — 24XY — 71 Y2, 



et non pas 



comme transformée de 85 J7- — 6ij'-. 
Calculons les index consécutifs à — 61 



6r 



24 



—61 
24 



24 —109 
i59 —209 



— ijg -> 
—209 -> 



Index. 


S 




— 159 


~ 


5o 


— 209 


— 


2 


— 21 1 


-+- 


46 


— 165 


-h 


94 


— 71 


-^ 


4-2 


^ 7' 







A^ 


-48 


-+-48 


-^48 


+48 



-24 



-71 -4-71 

-71 — 24 



—24 



D'après les nombres de variations des groupes d'index conligu> 
nous posons 



0:4 = a-5 -f- y 

74 = rs ; 



X-, = .T-G -^ ro 
j5 = jK6; 



jî = JK3 ; 

^R= Y', 



yz = ri ; 
I -'*^'= V, 



v«=X'-^ Y'; j Y'==X. 
Telles sont les substitutions élémentaires chercbées. 



111. Toutes les formes réduites ou non pour lesquelles 

6- ^ ac = A, 

où A est un entier positif donné, non carré parfait, se rauiènent par- 
une substitution unimodnlaire à un nombre fini de formes réduites. 
On le \erra en uti lisant l'équation 

y:(/-2— 2/''r") = 4 A. 



— 3() — 

Par exemple, le Tableau donné plus haut pour A = 3^. conduit 
à former trois cycles distincts dont le ])r('iuicr coïncide avec son 
conjugué, les deux derniers étant conjui^iiés lun de l'autre. 

Toute forme de l'ordre propre on 1 = Zj se ramène j)ar une; 
substitution unimodulaire à l'une des deux formes 

X- — 'àyj^, 3x--T-8xr — -y-. 

Relations entre les fractions qui correspondeitt à deux 
périodes consécutives d'index. — Appelons fractions liomo- 
logues deux fractions qui sont séparées par m — i autres frac- 
tions, jn étant le nombre d'index de la période. 

En renversant au besoin toutes les fractions de la suite, on 
pourra supposer que le groupe initial de trois index contigus 
admet un précédent, donc que la suite des index est périodique 
au moins dès le deuxième. Reprenons la forme 

3 3?2 -t- 8 xy — 7 >'2 . 

Elle conduit aux deux suites : 

3 — 7 4 — 9 — > II ''^ 7—4 9 3 —II —IV . —7 -\-\ . . . , 

période des index. 

I o I I ,1 3 5 7 9 i6 25 34 59 84 109 

o I I 2 3 4 7 10 i3 23 3() 49 85 121 iSj 



Soit - une fraction quelconque de la suite, on j^eut l'écrire 

—, mettant ainsi en évidence le résultat des médiations 

ox -\- ly 

effectuées de proche en proche à partir des deux fractions ini- 

. , I o 
tiales - et -• 

o I 

.X ... X ■ ■ 

Si Y 6st la première fraction homologue de - qui lui est posté- 

rieure, il faudra la noter — —, à cause de la périodicité des 

00 a" — 121 j' '- 

index, et l'on aura 

(i) 



\ = T-Sx -I- 84 J', 

Y = 36 a: -r- 121 y. 



Le déterminant 



25 84 
36 121 



est égal à + 1 , car — est approché 



— ai- 
de la racine cherchée comme -, l'est comme - et l'on a 

O 121 I 

ixi — oxo=-i-i. 

On forme donc aisément la récurrence entre deux fractions 
homologues consécutives en observant la première réapparition 
du groupe initial d'index conjugués. 

— et TT fournissant le même index, on a l'égalité suivante pour 

une infinité de couples de valeurs de x, v : 

3x^-i- Sxf — y y- = 3{i5x -i- 84^)^ 

H- 8 (-2537 -f- 84^) (36a: -hiiiy) — j{36a; -i- i2iy)^. 

C'est donc une identité, de telle sorte que les formules (i) four- 
nissent la substitution automorphe la plus simple de la forme 
considérée. 

Relations entre les fractions qui correspondent à deux anti- 
périodes consécutives d'index. — Un raisonnement analogue 
conduirait à former, dans le cas de deux antipériodes, une frac- 
tion quelconque à l'aide de celle dont le rang est moindre d'un 
nombre égal à celui des index d'une antipériode. Dans l'exemple 
choisi, on aura 

^-' \ Y, = -^x^ioy. 



l.e déterminant 



est égal à — i , car au classement - >> - 



7 
10 
correspond, à cause du signe contraire des index, le classe- 

2 7 
ment ^ < -^' 

3 10 

Les formules (^ 2 ) fournissent une substitiilutn, qui restitue la 
forme au signe près, la plus simple de toutes. 

Le produit de deux substitutions telles que fa) redonne la 
substitution I ' )• 

Récurrence entre les trois fractions homologues de liais 
périodes consécutives. — Soit une suite de fractions où la récur- 
rence des fractions homologues de deux périodes consécutives 



— 32 — 



s exprime par 

(0 






P 7 



X" 



Prenons rhoniolojiiie imniédiatement suivante -ttjJ f*^ ^i 



X" = pX' -\- q Y', 
Y"=,X'-H5Y'. 



Des <'qiiatlons (I) nous tirons, puisque j95 — rjr=-\-ï, 

X=s\'-qV, 

X^X"=(p^s)X'. 



d'où par addition 
On aurait de même 



V-+- Y"=(/>H-*)Y'. 



On a donc la rt'ciirrence 

\ X"— (/? 4- s)X'-!- X — . o, 

\ Y" — (/?-+-5)\'-r- Y =0. 

Dans l'exemple choisi, on aura 

p -h s = 146. 

Récurrence entre les fractions relatives à trois antipériodes 

consécutives d index. — ■ Supposons qu'il y ait deux antipériodes 

XXX 

dans la période. Si les trois fractions -^j -^, ^ rencontrées dans 

cet ordre ont deux fractions homologues t? et ^ consécutives et 

X . 

la fraction -rr^ qui en est équidistante, on aurait 



X, = /?, \ -i-<7i Y, ( Xi, = /JiX,-f-<7,Y,, 

V V V V V V ^^'^^ Pi^i — gi'-i 



Pi s, <7, /•, = I, 



ti l'on en déduirait 



( \i — (pi'i-Si)Xi—X = o, 
i Vî — (>i + 5ijYi — Y = o. 



Djns l'exemple choisi, on aurait/), 4- 5, = 12; d'où 



X 2 — 1 2 X I — X = 0, 
V2 — 12 Y] — Y = o. 



— 33 — 

En multipliant l'échelle de récurrence u^ — 12a — i par 
li- H- I 2 a — I , on a 

qui correspond bien à la récurrence entre trois fractions homo- 
logues consécutives. 

D'une façon générale, on aurait 

Application à x- ■ — D)'-, où D >> o. — Soit, par exemple, 

Celte forme est réduite, puisque i et — - sont de signes con- 
traires. 

Le premier groupe d'index contigus est i — - — (), qui a un 
précédent, car 2(1 ^ — -) + 6 = — 6 qui est du signe contraire à i . 

Formons le cycle 



I 


— - 


-6 


1 


—G 


— 3 


1 


—3 


^■2 


— ;î 


•>. 


—3 


•i. 


— 3 


I 


— 1 


I 


—G 


' 


—(5 


7 


I 


— - 


—G 



—3 

— 3 
I 

— (■) 

—6 



v/7 = -2 ^ 



D'où les deux suite; 



-(■) — 3 2 — 3 I —G 
I s>. 3 5 8 1 3 
I II i. 3 j 



^7 — 6 — 3 2 — 3 I — G 
2 r 29 37 4'î 83 127 20Ç) 
8 II 14 17 3i 48 79 



Récurrence à deux périodes et substitution automorphe fonda- 
mentale 

( X'= 8X-f- 21Y, 
) Y'=3X + 8 Y. 



XI.VI. 



_ 31 — 
Récurrence à trois périodes 

\ X"— i6\'-f-A = o, 
'i V"— i6V'^ Y = o. 

Le premier index engendré j^ar a:- - D )- est toujcMirs — i. 
L'é'quation x- — \)y-z=z\ admet donc pour solutions tous les 

couples de \aleurs de x^ y formées à l'aide des liomologues de -» 

8 1-27 

3' "48"' •••• 

Prouvons qu'il n'y en a pas d'autres. Soit par exemple (a, h) 
une solution de x- — -y'= i. On en conclut 

a 1- ib r- 

Donc \J- est compris entre deux tractions -ri '—y Oontiguës 
y j \. h a ^ 

d'ailleurs, puisque axa — -6x6=-|-i. La plus simple des 
deux est donc une réduite du développement de yj. C'est j- 

(.. y. V. II. 

Remarque. — On aurait un résultat analogue dans le cas où 
la suite présente l'index — ■ i. 

Par exenple la plus petite solution de x- — J^j- = — i est 

X = io68, y = la") ; 
toutes les autres pi'oviennent des fractions homologues de — r-- 

*■ '12 3 

La première des solutions de x- — -3y'^^= -h i est 
a; = 2'28i 249, y =^ 267000. 



Bibliographie. — A. Hurwitz, Math. Ann.. t. \XX1X, 1892, p. 279; t. XLV, 
189 '1, p. 85; Matliematical Papers of the Chicago Congress, 1898, éd. New- 
York, 1896, p. 12.5. 

G. HuMBERT. Journal de Math. (7' série), t. II, Fasc. II, igifi, p. 104. 



35 - 



SUR LA VARIATION DE LA DISTRIBUTION DE L'ÉLECTRICITÉ 
SUR UN CONDUCTEUR DONT LA SURFACE SE DÉFORME ; 

Par m. F^aul Lévy. 

1. On sait les services que peut rendre, pour létude de cer- 
taines fonctions de lignes ou de surfaces, la détermination de 
leurs dérivées fonctionnelles. Cette méthode a été introduite dans, 
la Physique mathématique par M. Hadamard, qui a déterminé les. 
dérivées fonctionnelles des fonctions de Green, et en a déduit des- 
inégalités fort importantes pour l'étude de ces fonctions. 

L'objet du Chapitre I du présent Mémoire est d'appliquer la 
même méthode à l'étude de la distribution de l'électricité à lu 
surface d'un conducteur. Dans le Chapitre II nous étudierons le 
problème correspondant de géométrie plane, et dans le Chapitre II! 
nous étudierons au point de vue de leur intégrabilité les équations 
aux dérivées fonctionnelles formées dans le Chapitre II. 

CHAPITRE I. 

ÉTUDIÎ DL PROBLÈME DANS l'eSPACE. 

2. Bien que la solution du problème de la distribution de l'élec- 
tricité, lorsqu'on connaît la fonction de Green, soit bien connue, 
nous allons reprendre la question de manière à obtenir les for- 
mules fondamentales sous lu forme la plus commode pour la suilr. 

Nous considérerons le cas de deux conducteurs en présence^ 
limités par des surfaces S et S'. On n'ajouterait aucune circon- 
stance essentiellement nouvelle en augmentant le nondjre des- 
conducteurs. 

rSous désignerons par g^ la fonction de Green relative au pro- 
blème extérieur de Dirichlet, c'est-à-dire au problème de déter- 
miner une fonction liarmoniquey ( A) du point A, connaissant ses- 
valeurs sur les surfaces S et S', et saciiant qu'elle est régulière à 
l'extérieur de ces surfaces et s'annule à l'infini. Ce problème est 



- 3G — 
résolu par la formule 

l'intéf^rale étant prise sur l'ensemble des surfaces S et S', M dési- 
f^nant le point de ces surfaces correspondant à l'élément c?S, et le 
sens positif sur la normale à chacune de ces surfaces étant dirigé 
vers l'extérieur. 

ijorsque les surfaces S et S' se déforment, le déplacement de 
chaque point M, compté normalement à ces surfaces, étant désigné 
par o/i, et les points A et B étant des points fixes extérieurs à ces 
surfaces, la variation de g^ est donnée par la formule connue 

l'intégrale étant étendue à l'ensendjle des surfaces S et S', ou 
bien seulement, ce qui revient au même, aux portions de ces sur- 
faces qui se déforment eflfectivement. 

3. Ceci posé, soit à résoudre le problème de la distribution de 
l'électricité sur les surfaces S et S'. 

Supposons en premier lieu que le potentiel soit égal à i sur la 
surface S et à zéro sur la surface S'. La formule (i) nous montre 
qu'en un point quelconque A extérieur à ces deux surfaces, il a la 
valeur 

En appelant x une des coordonnées du point A, on obtient par 
dérivation de l'expression précédente la composante X de la force 
électrique dans le sens de l'axe des .r, 

La fonction g^^^ et par suite sa dérivée par rapport à Xy étant 
une fonction harmonique de B, on ne change pas la valeur de 
l'intégrale en remplaçant la surface S par une surface "^ entourant S 
et extérieure à S'. Cela est vrai, même si l'on ne peut pas amener S 
sur S par une déformation continue sans qu'à un certain moment 



— 37 — 

la surface considérée contienne le point A. En efTel, oj^ est la 

somme de - et d'une fonction régulière, sauf lorsque A et B sont 

voisins d'un même point des surfaces S ou S'. Il en résulte que 
l'intégrale analogue à l'inlégrale (3), mais prise sur la surface S, 
est discontinue, quand A traverse la surface S, à la manière d'un 
|)0tentiel de double couche de densité constante, et par suite que 
toutes ses dérivées sont continues. Donc le fait que, pendant la 
déformation de 2, le point A vienne à traverser cette surface^ 
n'empêche pas que l'intégrale analogue à l'expression (4), mais 
prise sur S, reste constante. 

Cette remarque permet d'appliquer la formule (4), non seule- 
ment pour avoir la force électrique en un point de S', mais même, 
à condition de remplacer S par S, en un point de S, et d'avoir en 
particulier, par un choix convenable de la direction de l'axe des x^ 
la force électrique noruiale à la surface; il s'agit, bien entendu, 
non de la force à laquelle sont soumises les masses électriques 
situées sur cette surface, mais de la force à laquelle serait soumise 
une masse électrique extérieure au moment où elle atteindrait un 
point P de cette surface. On sait d'autre part que cette force a la 
valeur 4'^^p5 '^v désignant la densité électrique en P. On a donc, 
que P soit sur S ou sur S', 

r d- "^' 

(5) ^i' = --7^ / -7-y^dZ, 

ib~' J^,- an dn\> 

-r- et -; — désignant respectivement les dériv(;es normales à ï en M 

(in anp ^ ^ 

et à S ou S' en P ('). Si P est sur S', on peut prendre pour 1' la 
sui-face 5. Si P est sur S, il faut que S entoure P. 

Par une nouvelle intégration, on en déduit les quantités totales 
d'électricité I et J situées respectivement sur S et sur S'. On a 
ainsi 

(6) I=_ / / -^-dSd-2, 



(') Nous désignerons de même par -; — ou -;— , des dérivées normales en des 
" dUi an 

points appelés Mj ou M'; et nous écrirons dans la suite t sans indice au lieu 

de au; cela simplifiera les formules, la lettre M étant celle qui y reviendrait li' 

plus souvent. 



— 38 — 
ou, par une nouvelle application des mêmes remarques, 

<7) \=-^- \ \ -r^d^ldZ,. 

ih-- J\-J\- an (In^ 

S et S, désignant deux surfoces entourant S, extérieures à S', sans 
point commun entre elles, décrites respectivement par les points 
M et M,. De mèiue on a 

I r f «^Vîi- 

16-- JvJ^' dn dn' '^ " ' 

S' étant une surface entourant S' et extérieure à ^1 décrite par le 
|>oint M'. Dans cette formule, on peut remplacer 2 par S et 

r par S'. 

4. Le potentiel Ua, défini 'par les valeurs 1 sur S et zéro sur S' 
•et à l'infini, est partout, à l'extérieur de S et S', compris entre o 
«t I. 

11 en résulte que, pour un point partant de la surface S, il com- 
mence par décroître. Donc la force électrique normale est positive 
en chaque point de cette surface, et par suite la densité o-p et la 
charge électrique totale I sont positives. 

On voit de même qu'en chaque point de la surface S' la den- 
sité o-p est négative, et que la charge électrique totale J située sur 
cette surface est négative. Cela résulte aussi des formules (5) 
■et (8), en prenant S et S' comme surfaces d'intégration. 

Pour un point s'éloignant à l'infini, le potentiel est positif et 
tend vers zéro; il doit donc en moyenne décroître, ce qui conduit 
à penser que le flux de force sortant d'une sphère de rajon très 
grand est positif. On peut l'établir rigoureusement. Ce flux a la 
valeur 

47:(I-t-J)=— R2 r^^/oj. 
^/ d/i 

l'intégrale (;tant prise à la surface de la sphère considérée, et dio 
désignant l'angle solide sous lequel chaque élément de cette sur- 
face est vu du centre de la sphère. Considérant une série de 
sphères concentriques, entourant toutes S et S', et dont les rayons 
varient de R| à R^; multiplions les deux membres de l'égalité 



— 39 — 
précédente par— et intégrons de R, à Ro. Il vient 

U( et U2 désignant les valeurs du potentiel sur les deux sphères 
considérées en des points situés sur un même rayon. 

Ri restant fixe, faisons croître indéfiniment Ro. U2 tend unifor- 
mément vers zéro, et l'on a à la limite 



4^(I-J) 
Ri 



= f\Ji' 



ce qui montre bien que I + J est positif. En d'autres termes, J est 
en valeur absolue inférieur à I. 

o. On étudie de même le cas où le potentiel est égal à zéro sur S 
et à I sur S'. Il suffit, dans les résultats précédents, de permuter 
le rôle des surfaces S et S'. On trouve ainsi que la densité élec- 
trique a la valeur 

I r d^^^ 

s' étant une surface entourant S', qui peut se confondre avec S' 
dans le cas où P est sur S. Cette densité est positive sur S' et 
négative sur S. 

La charge électrique totale sur S a la valeur J obtenue dans le 
cas précédent pour la charge sur S', tandis que la charge sur S' a 
la valeur 

(10) \' = --^l / ^-ds-dl\ 

ih-- J Jv' an anp 

M et P décrivant respectivement les surfaces ï' et S'; la surface S' 
peut être remplacée dans cette intégrale par une surface ï, coui- 
prise entre S' et ^'. 

L'intégrale 1' est, comme I, positive et supérieure à J tii valein- 
absolue. 

G. Si enfin on suppose le potentiel égal à U sur la surface S et 
à U' sur la surface S' (U et U' étant des constantes), on dcduil de 



— 40 — 

la forme linéaire de toules les opérations qui permettenl de passer 
(lu potentiel à la distribution de l'électricité par la niéthodf* 
ilu n° 3, que les cliarges électriques Q et (^' des surfaces S et S' 
ont les valeurs 

i Q = IL" ^ J l ', 

^ ' I Q' = ju-+-ru'. 

Le déteriiiiuaut 

de ces équations est positif, puisque I et T sont positifs et supé- 
rieurs à J en valeur absolue. On peut donc les résoudre par rap- 
port à U et L ', 



(11) 

en posant 






i,= 



A 






i- 


V 


— 


1' 


T7 ' 


A 






w 


T 


^^ 


J 




A 






J2 


T 




r 


~ T 



(i3) ' J, 

f r. 



Il en résulte que la méthode employée au n" 3 permet de con- 
naître la distribution de l'électricité, non seulement lorsqu'on s(» 
donne U et U', mais aussi lorsqu'on se donne Q et Q'; il suffit, 
dans ce cas, de commencer par en déduire U et U' par les for- 
mules (i3). 

Dans le cas d un conducteur isolé, on appelle capacité le rap- 
port de la charge électrique au potentiel. Dans le cas qui nous 
occupe, on voit que la notion de capacité a besoin d'être précisée, 
ce rapport n'étant pas constant; il y a lieu de mettre en évidence 
soit les coefficients I, J, F des relations (\ i), soit les coefficients 
1,, J,, r, des relations (12). Nous considérerons surtout les pre- 
miers, qui sont plus simples, et appellerons les coefficients I et V 
capacité ôcs surfaces S et S', et J coefficient d' influence mutuelle 
de ces deux surfaces. 



— 41 



Variation des intégrales I, I' et J. 

7. En raison du rôle symétrique joué dans ce qui précède par 
les surfaces S et S', il suffit de considérer le cas d'une déformation 
(le la surface S. Comme nous l'avons indiqué à propos de la for- 
mule (2), nous supposerons cette déformation définie en chaque 
point par la donnée du déplacement normal on. 

Considérons d'abord l'intégrale I, que nous prendrons sous la 
forme (7), les surfaces S et ]S, étant supposées fixes pendant que 
la surface S se déforme. La variation de I ne provient alors que de 
ce que la fonction de Green varie, sa variation étant donnée par la 
formule (2); en appliquant cette formule, la lettre M figurant déjà 
dans la formule (7), nous appellerons P au lieu de M le point qui 
décrit la surface S. Il vient ainsi 

? __L_ f f f jHfL '''*^'. ^ 

6'j-^Jvjv J^ dn drif dnydn\^^ " "' 

ou, en tenant compte de la formule (5) et écrivant de nouveau ^I 
au lieu de P, 

(14) ol = 4- / 7- In dS. 

On obtient de même les variations de J et de l' : 

(i5) oJ = 4- / j7o/tf/S, 

•- s 

(lO) oI'= 4- f n'-^ r.ndS. 

Les mêmes formules s'appliquent lorsque les surfaces S et S' se 
déforment toutes les deux, les intégrales qui y figurent devant 
seulement être étendues à l'^-nsemble des deux surfaces. 

Inégalités résultant des formules précédentes. 

8. Considérons une déformation des surfaces S et S' pour 
laquelle an ne soit nulle part négatif, c'est-à-dire pour laquelle 



— 4-2 — 
cliaciinc des surfaces déforinécs entoure la surface primitive cor- 
respondante. Il résulte des formules (14)5 (l'O ^l (i'>)5 <'t des 
remarques des n"* 4 et o sur les signes des quantités t, 7' et J, que; 

(17) o[ > o, or>o, oJ '' o, ^ I •' I O- 

JJouc les capacités électriques des surfaces S et S' et leur 
coefficient cV influence mutuelle augmentent en valeur absolue 
si l'une ou l'autre de ces surfaces se déforme de manière que 
la surface déformée entoure la surface primitive. 

11 résulte en outre, des formules du n" 7 et des inégalités de 
Schwarz, que 

{18) ÔISI— 0J2 O. 

La variation de A s'écrit 

oA== 131'+ l'ol — -iJoJ. 

Le produit J AJ est inférieur à la moyenne géométrique des deux 
premiers termes [en raison de l'inégalité (18} et du fait que J soit 
inférieur en valeur absolue à I et I']; il l'est donc a fortiori à 
leur moyenne arithmétique, et ces deux termes déterminent le 
signe de ôA, qui est donc positif : 

(19) oA>o. 

Des foiiiuiles (i3) résulte que 



SI', = 



I'2 

12 SI'— 9.1 J 5J -^ J^ol 
P 



Les numérateurs de ces expressions sont des polynômes du 
second degré en J à racines imaginaires, d'après l'inégalité (18), 
et coefficients extrêmes positifs. On a donc 

(20) oIi> o, ol'j > o. 

Variation de - et n'. 
9. Calculons d'abord la variation de la densité 






cta = TT-:; f -j J- d\ 

ctrix dni> 



— 43 — 

(le point P décrivant la sm-face -) en un point A de la surface S', 
pendant une déformation n'altérant que la surface S. Tenant 
compte de la formule (2), il vient 



647:^^Vt/<; diidrif, dndn\> 

ondS, 



^P d^ 



64 ~^ Ja dn dnx Js^ dn dn\> 
ou, en tenant compte de la formule (5), 
(22) oaA = — 7^ / 



^JL^ondS. 



"^^.y s dn dn\ 

Ce calcul s'applique encore, et par suite la formule finale reste 
exacte, pour un point A d'une quelconque des surfaces S et S' et 
pour une déformation de ces surfaces n'altéra/it pas la région 
voisine de P, l'intégration devant seulement être étendue à 
l'ensemble des surfaces S et S'. 

10. Si cette condition n'est pas remplie, le calcul devient plus 
compliqué. Supposons d'abord que A soit sur S et que cette sur- 
face se déforme seule. 

1° Il faut tenir compte de ce que A varie quand la surface S se 
déforme; nous définirons parfaitement le déplacement de ce |)oini 
en le supposant normal à la surface; il a alors la valeur 0//^ (\aleur 
de on quand M vient en A). 

Il en résulte dans la variation de t^ le terme 



Je d^ g'" 
V dn-j^ dny> 



Or, du fait que ^ '' soit une tonction de A harniouiqiic et 
dny 

s'annulant sur la surface S, résulte que, Kj^ désignant la courbure 
moyenne de la surface en A, 

^3 p-A ffl o-A 

^ ^v = Ka —11—, 
dn'i drif dn\dn\> 



— 44 — 
J^e terme considéré s'écril donc 

(•23) r^-rl'^A o/«A / -} — -7— d)L = KaJa''-'«a. 

ibz- ^/v ««A ««P 



m" Il f;uil tenir compte de ce que la direction de la normale à la 

d 
dns. 



siirlace en \, ([ui intervient dans le symbole -^ — > varie. La 



fonction -r— ^' s'annulant quand A vient sur la surface S, on voit 
dn\> *■ 

aisément que cette circonstance, qui parait devoir intervenir, est 
eu réalité- sans influence sur la variation de z ^. 

,)" La variation de forme de la fonction -j j — ( indépendam- 

d/ixdnp ^ '■ 

ment de la variation des arguments de cette fonction) n'est donnée 
par la formule (2) dérivée que pour un point A extérieur aux sur- 
faces S et S', ou pour un' point de ces surfaces dans le voisinage 
duquel S/< soit nul. Si A est sur la surface S et que on n'y soit 
pas nul, la fonction intégrée dans la formule (23) est infiniment 
grande du troisième ordre quand M vient en A (la distance AM 
étant prise comme infiniment petit du premier ordre); l'intégrale 
considérée est donc dépourvue de sens. 

[*our avoir la variation cherchée, il faut remplacer A [)ar un 
point B de la normale en A extérieur à la surface, former la varia- 
tion de " '' » puis faire tendre B vers A (*). Tenant compte du 
dfixdnp 

terme calculé ci-dessus [formule (2?))], il vient 

72 ^it 

* M 



(•^i) 



r d' "" 

O^A = l'"1 / -7 — 7 0« rfS -^ IVA^A^rtA- 
^TT K-^A X dridrix 



Cette expression se réduit à l'expi'ession (22) lorsque S/i s'annule 
en A ainsi que ses dérivées premières; dans ce cas en effet les 
fonctions intégrées dans les différentes formules écrites ne sont 
plus que des infiniment grands du premier ordre, et cela n'em- 
pêche pas les intégrales de surfaces considérées d'être absolument 



(') Nous écrivons (hix et non drie pour indiquer que la direclion considérée, 
bien qu'il sagisse d'une fonction du point B, est celle de la normale à la sur- 
face en A. 



— 4S - 

et iiniforiiiément convergentes, de sorte qu'il n'y a aucune difli- 
cultë sur la légimité des calculs. 

Dans le cas général, nous pourrons trouver une expression plus 
commode de 07j^. Remplaçons d'abord ^on par 

L'intégrale obtenue en considérant le premier terme se calcule 
sans difficulté. En nous reportant à la formule (4), dans laquelle 
nous pouvons supposer l'axe des x parallèle à la normale à la sur- 
face S en A, nous voyons que le coefficient de "^^orij^ n'est autre 
que la valeur de X en B. Quand B tend vers A il tend vers i~7^. 
Donc 

-: 7^ ('7 on — 7a on_K)dS -i- 4 ~ (^1 ^«a -I- Ka 7a ""«a- 

g dn dnx 

Introduisons maintenant la notion de valeur principale cru/ie 
intégrale. Divisons la surface S en deux régions, S( et So. cette 
dernière voisine de A et se projetant sur le plan tangent en A à 
l'intérieur d'un cercle de centre A et de rayon R, la première 
comprenant le reste de la surface. Si la fonction intégrée devient 
Infinie en A, nous appellerons « valeur principale d'une intégrab' 
prise sur la surface S » la limite, si elle existe, de l'intégrale prise 
.sur la région 84 lorsque R tend vers zéro. 

Il est facile d'établir que 

(26) / - — 7^ (7on — 7ao/<a)</S 

J^ dn dn ^ 

tend vers zéro avec R, et cela uniformément quel que soit le 
point B voisin de A sur la normale à la surface. Cela résulte de 
ce que la fonction intégrée, étant un infiniment grand d'ordre 2 au 
plus, prend en deux points dont les projections sur le plan tangent 
en A sont symétriques par rapport à V des valeurs égales et de 
signes contraires à un infiniment grand près d'ordre i. Lu somme 
de deux éléments correspondants de l'intégrale a donc une limite 
supérieure de la forme 

y ei z étant des coordonnées rectangulaires dans le plan langent 



— iC> — 

en .\, et G une constante positive. Cela conduit, pour l'inté- 
grale (2^)), il la limite supérieure "CR.. valable quel que soit le 
point B sur la normale en A. 

tin nous (lonnani une quantité très petite î, choisissons R de 
mauf»îère que 

'2 

Les régicos S) et S2 élant ainsi bien déterminées, il est évident 
que pour B assez près de A, la différence 

Jj. dn diix J^ tin dn^ 

est inférieure en valeur absolue à — • On a alors 

/■ d-^^i r ^-^\' 1 

et, par suite, 

I c '^'^i > . . r ^'^ï . 

lim I -; ; (ao/< UAO/tAJûfS / -; ;-^ (JÔ/I 7vÔ/ii)<iS 

|b->aJs andrix J^ diidii^ 

Cette différence, qui ne dépend plus de B, tend donc vers zéro 
avec R. Il en résulte que la formule (25) peut s'écrire 



-j -; (7 0« — 7^0/j \)d5 -t-4TC7T 0«A -+-1^ATA^"\- 

an an a 



Bien entendu, si la surface S' se déforme en même temps queS;. 
il faut ajouter à l'expression précédente le terme 



('27') ~ -;— i -j — -j^—'^ondS 

^Tz J^, dn dn\ 



11. On traiterait de même le cas où le point A est sur la sur- 
face S'. En supposant d'abord que la surface S' se déforme seule, 
il vient 

Jr d"- "^^i 
, V (7 0/;— 7A5/<A)ûfS 
^, dn dnx 

-!- 4 77 7a 7^^ 5/î A 4- Ka 7a Ô« i . 



— 47 — 

SI la surface S se déforme en même temps que S', ii Êrat ajouter 

à l'expression précédente le terme 

La variation de n'^ se déduit des formules précédentes en per- 
mutant le rôle des surfaces S et S'. 

Il est aisé de déduire de ces formules une nouvelle démonstra- 
tion des formules du n"^ 7. Pour l'intégrale I, par exemple, on a 

1 = / 7a t^Sa, 

^s 
d'où 

oI= / (offA ^Sa -f- taÔc?Sa)= / (oja— KA<ÏAOnA)0?SA. 

•-s «^s 

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'en remplaçant 
07a par sa valeur déduite des formules (27 et (27'), on retrouve 
bien la formule (i4)- 

Inégalités résultant de la formule (22;. 

12. La formule (22), qui donne la variation de n^ lorsque 0// 
s'annule au point A et dans son voisinage, peut être appliquée 
dans quatre cas distincts : 

i" La déformation portant sur une partie de la surface S et A 
étant sur le reste de la surface; 

2° La déformation portant sur tout ou partie de la surface S 
et A étant sur la surface S'; 

3° La déformation portant sur tout ou partie de la surface S' et A 
étant sur la surface S ; 

4° La déformation portant sur une partie de la surface S' et A 
('tant sur le reste de la surface. 

En supposant comme au n" 8 que o/? ne soit jamais négatif, il 
résulte immédiatement de la formule (22) et des résultats du n" i 
sur le signe de la densité 3-, que l'on a : 

Pour le premier cas : 

ûta < o, I 7a 1 < o ; 



— 48 — 
pour le deuxième cas : 

05.V <o, |7a| > o; 

pour le troisième cas : 

SïA > o, I Ta 1 > o ; 

pour le quatrième cas : 

OÎA > o, I Ta I < o. 

On aurait de mêuie des inégalités analogues pour la densité c'. 

On peut résumer ces inégalités en disant que toute déformation 
portant sur une des deux surfaces et la remplaçant par une surface 
déformée qui ne soit nulle part intérieure à la surface primitive, 
et pendant laquelle les quantités d'électricité réparties sur les sur- 
faces sont modifiées de manière à laisser le potentiel constant sur 
une des surfaces et constahiment nul sur l'autre, la densité élec- 
trique augmente partout en valeur absolue sur celle des surfaces 
qui ne se déforme pas et diminue partout en valeur absolue sur les 
parties de la surface déformée qui ne sont pas atteintes par la 
déformation. 

La dernière partie de cet énoncé s'applique en particulier au cas 
d'une surface unique. 

Dans ce cas, pour la déformation considérée pour laquelle 5/i 
est nul en certains points et positif en d'autres, mais n'est nulle 
part négatif, mais en nous plaçant maintenant dans l'hypothèse 
que la charge électrique soit égale à l'unité' et non plus le potentiel, 
il est intuitif, en raison de la propriété de l'électricité de se porter 
vers les parties saillantes des conducteurs, que l'électricité se 
porte vers les parties delà surface qui se déforment, et qu'en con- 
séquence sa densité diminue sur le reste de la surface. 

Gela revient à dire que sur ces parties 

o;x < o, 

en appelant [x la densité électrique dans cette nouvelle hypothèse. 

jNon seulement cette inégalité résulte d'une manière rigoureuse 
de ce qui précède, mais nous en déduisons même une inégalité 
d'où elle résultera a fortiori. 

En effet, on a évidemment 

ff — I |jt 



— 49 — 
el. |)-.ir suite, 



'J. I 07 I 

ir=T-T>T>"- 



puisque 5r. dans le cas considéré, est négatif, et que ol est positif. 



CHAPITRE II. 

ÉTLDE DL r'R03Li;ME DANS LE PLAN. 

Formules générales concernant la distribution sur une courbe 
fermée d'une simple couche donnant lieu à un potentiel 
constant à l'intérieur. 

13. On sait i'analoo^ie presque absolue qui existe entre les 
théories relatives au problème de FJiricblet intérieur dans le cas 
de l'espace et dans le cas du plan, à condition de remplacer, 

quand on pisse de l'espace au plan, le potentiel newtonien - 
par le potentir! loiiarillimique log-- 

Pour le prolilème de Dirichlet extérieur, l'analoiiie est grande 
ég.ilement. mais il y a une différence essentielle qu'il faut com- 
mencer par l'appeler : dans 1 espace, pour définir une tonction har- 
monique régulière à l'extérieur d'une surface S et à l'infini, il faut 
se donner ses valeurs sur la surface S et sa valeur à l'infini; dans 
le plan, au contraire, pour définir une fonction harmonique régu- 
lière à l'extérieur d'une courbe fermée C et à l'infini, il suffit de 
se donner ses \aleurs sur 1 1 courbe C : elle est ai(jrs définie par la 
formule 

g^^ désignant la fonction de (ireen relative au prol)lème considéré, 

^„A 

et a il l'infini une valeur bien dt'-leruiinée. la fonction -^ avant 

an 

aussi une liuiile bien déterminée quand, le point M restant fixe 

sur la courbe C. A s'éloigne à l'infini. 

La raison de cette dllFérence se comprend aisément quand 

on observe qu'à l'aide d'unt- transformation par in\ersion on 

XLVI. 4 



- n(t — 

jx'iit j)asser clf la solution du jirohlt'ine iiitérifiir a «elle du pro- 
hlruir evtr-rieiir. iJ'uiie niaiiière «générale, dans res|)ace à p di- 
mensions, une fonction lianiioniqne donne. a])rès iinersion. une 

fonction dont le produit par — j^^ est harmonique (/' désignant la 

distance au centre d'inversion O), c'est-à-dire que, A et A' étant 
les deux points qui se correspondent, et si l'on pose 

/(A') = ç;(A), 

les fonclion> /'(A') et -^— — — j'^fA) sont en mèuie tejups harmo- 
niques. 

A l'ensemble des f(jndions / (A') harmoniques et régulières à 
l'intérieur d'une courbe C, dans le cas du plan, correspond donc 
l'ensemble des fonctions C2(A) harmoniques et régulières à l'exté- 
rieur de la courbe inverse" G et à l'inlini. Au contraire, dans 
l'espace, à l'ensemble des fonctions y (A') liarmoniques et régu- 
lières à l'intérieur d'une surface S', correspond l'ensemble des 

fonctions pr—'Ji'A), hai-moniques et régulières à l'extérieur de la 

surface inverse $ et s^ annulant à Vinfini comme un potentiel. 
Cette différence explique bien la circonstance signalée plus haut. 
Rappelons encore que la formule (29), dans le cas où la fonc- 
tion /se réduit à une constante, donne la relation 

qu'on peut appliquer en particulier lorsque le point A est èi 
l'infini. Dans l'espace, l'intégrale correspondante ne serait pas 
constante, mais -«"annulerait à liiilini. 

11. Si nous abordons 1 étude des lon(tioii> repré?cntables à 
l'extérieur par un potentiel de simple couche, nous trouvons (à 
l'inverse de ce qui a lieu dans l'espace) que l'ensemble de ces 
fonctions ne coïncide pas avec celui des fonctions représentables 
par l'intégrale (29). 

En effet, une fonction (le\enant intiuie à 1 infini peut être 
représentable par un potentiel de simple couche, à condition que 
la difi'érence entre cette fonction et Cloi;- (G désignant une 



— ol — 

constante convenable et 7' la distance à un point lixe), non seu- 
lement reste finie, mais même s'annule à l'infini. 

Il en résulte que le potentiel résultant d'une couche qui donne 
à l'intérieur un jjotentiel constant ne peut être défini à l'extérieur 
par la formule (aq) et que la méthode du n" 3 ne s'applique 
pas ici. 

Nous désignerons par <7 la densité d'une pareille couche si le 
potentiel constant à l'intérieur est égal à l'unité, et nous la dési- 
gnerons par <j. si c'est la masse totale qui est égale à l'unité. Il est 
évident que, comme nous l'avons déjà écrit au n° 12 ])our le pro- 
blème de l'espace, 

(3i) ^=l!Jt, 

I désignant toujours la capacité (rapport de la masse au potentiel, 
rapport bien défini dans le cas, que nous considérerons surtout, 
d'une courbe fermée unique). 

Considérons deux courbes homothétiques C et C, et soit A" le 
rapport d'Iiomotliétie de la première à la seconde. Les valeurs 
de u.ds pour des «-léments correspondants de ces courbes sont les 
mêmes, et il en résulte aisément qu'il y a entre les potentiels à 
l'intérieur la relation 

Si donc on considère une famille de courbes liomothétiqut-s 
croissantes, la capacité, d'abord très petite, augmente et devient 
infinie pour une des courbes, puis prend des valeurs négatives, 
d'abord très grandes en valeur absolue, puis décroissant en valeur 
absolue pour tendre vers zéro quand A devient très grand. 

Pour la courbe à capacité infinie (par exemple pour la riicou- 
lé-rence de rayon i), il existe iine couche de densité nuu nulle 
donnant à l'intérieur un potentiel nul, et il n'existe aucuuc 
couche donnant à lintc'rieur un |)olentiel constant non nul. Pour 
cette courbe, dune manière gt'nf'rale, le problème de driterminer 
une couche donnant à l'intéiieur un potentiel égal à une tonctiou 
harmonique donnée est soumis à une condition de possibilité, et si 
cette condition est remplie la solution est indéterminée. 

lo. Montrons maintenant comment les quantités y., 7, 1 se 



— o2 — 
raltaclieut à la t'onclion i\c (Ircen par des forinulcs |)lu> simples 
que dans le cas de l'espace. 

Nous appellerons /• la distance AB cl c la dislance MB, M étant 
un point de la courbe C. 

Considérons la l'onction 

(3'i) / — ;— lo--rf5, 

nr.J^. an ' p 

qui, d'après la t'orniule ( aç)), est une fonction liarnioniqiu; du 
|)oint A, régulière à l'extérieur de C et à linlini. prenant sur (^ la 

valeur lo" • Pour distinguer nettement les cas où B est soit à 
' /■ 

l'extérieur, soit à l'intérieur de la courbe C, nous l'appellerons A^ 

dans le premier cas et H^ dans le second; le point A sera toujours 

extérieur à C ou à la limite sur cette courbe. 

On a, par définition même de la fonction de ("ireen. 

les propriétés de cette fonction sont bien connues. 
Posons de même 

(33) Gè = log-J--Hf,. 
La dillerence 

B et B' étant deux points intérieurs à C, est une fonction de A, 
liarmonique, régulière à l'extérieur de G et à l'infini, et nulle 
sur C. Elle est donc nulle, et nous pouvons écrire 

(34) G;^ = GiV = GrA), 

el par suite, en tenant compte de la formule (•^).^), 

Si le point A s'éloigne k l'infini, le second membre tend vers 
zéro. Donc H^, dont nous savons déjà qu'il tend vers une limite, 
tend vers une limite H indépendante de B. 

Jj'expression (02), le point A étant à rialini. et considérée 



comme tonction de B, est un potentiel de simple couche; d'après 
ce qui précède, il a à l'intérieur de C une valeur constante H, et 
d'après la formule (3o) la masse totale est égale à l'unité. Lu den- 
sité de cette couche est donc la densité jj. que nous nous propo- 
sions de déterminer, et l'on a 



- _1_ -121 
' ■} — dn 



<35) . \ l =-, 

H 



et le potentiel résultant de la couche de densité [j. a à l'extérieur 
la valeur Ii^ que nous écrirons plus simplement /i(B). 

Le problème posé est donc résolu; quelques remarques seront 
encore utiles. 

La tonction 

G(A)-i- 11 = log- — Hj^-4- il 

est une tonction liarmonique de A, égale sur G à H, et dont la 
différence avec log- est nulle à l'infini; elle nous donne donc 
une nouvelle expression du potealiel /'(A) 
(36) G(A) + H = A(A). 

En observant que la force normale en un point A, situé sur la 
normale en M, et tendant vers M, tend vers 2t:ia, on a 

dG(M) fiG'^ 

<'^^ ''"^'■ = --7û- = ~-djr' 

ce qui nous donne une nouvelle expression de a. 

Variation de 1. 

16. La courl»e fî se tl(' formant, nous appellerons G' la courbe 
d(''formée, et G' et H' b's fonctions analogues à G et H relatives 
à G', lia déforuiation de la courbe G seia définie par la donnée en 
chaque point du déplacement normal on. 



— 54 — 
D'après les fonmiles (3?)) et (M j^ '>" ii 

(38) oG(A)== G'(A) — G(A) = H,\ - H'^ = - oH,V 

Cette \arialion est évit-leiiiiiieiit une fduclioii liariuouique de \. 
régulière à Textérieur de G et à l'inlini, et prenant sur C la valeur 

_£/_G(M)^, 
dn 

La fdrniule (''.9) nous donne alors 



(39) 



û G(A) = — oII,, = — — / — j ; o/i ds. 

■:iT. J^. dn dn 



Supposant le point A à l'infini, et tenant compte des for- 
mules (35) et (3-), il vient 

(4<>) oH = — 2- / [j.- on ds 

et 

(4 



ol = 2- 1 7- r,n ds. 



On remarcpie l'analogie absolue de celte formule et de la for- 
mule (i4) obtenue dans le cas de l'espace, analogie que laissait 
peu prévoir la difierence entre les formules du n" 15 pour 
définir I et les formules du n° 3 obtenues dans le cas du plan. 

Il résulte aussi des différentes formules écrites que ui est positif 
et que, comme dans le cas du plan, 51 est positif si on est partout 
positif ou nul. Mais, à cause de la discontinuité de I, nous ne 
pouvons plus affirmer que I est plus grand pour la courbe enve- 
loppante que pour la courbe enveloppée; la quantité inverse H 
n'étant pas discontinue, ce que nous pouvons affirmer c'est que H 
est plus petit, algébriquement, pour la courbe enveloppante que 
pour la courbe enveloppée. 

Variation de ;j.. 

il. Cette variation résulte des fomiules (ô~) et (39). En 
supposant d'abord que A soit un point de la courbe C dans le 
voisinage duquel on soit nul, ou au moins où cette quantité soit 



infiniment petite du second ordre, il vient 



i ~ Jr "^ ""A «'i 

(4-2) o;j.A = / . ■ ;^ on ds. 

•iT. J(- an aiix 



ou encore 



Cette formule est analoii;ue à la formule (22). La formule qui 
donnerait la variation de 7, facile à déduire de celles qui donnent 
les variations de I et de 'x, serait un peu plus compliquée. 

On voit ainsi, malgré l'analogie des formules (i4) et (ii), que 
les formules analogues à celles qui donnent les variations de I et 
de 3- dans l'espace s'obtiennent, dans le cas du plan, non en con- 
sidérant les quantités I et a-, mais les quantités H et <j-. 

Cela n'est pas très surprenant si l'on constate que, des deux 
manières, en quelque sorte inverses, de poser le problème de la 
détermination dune couche donnant à l'intérieur un potentiel 
constant, soit en se donnant la valeur de ce potentiel, soit en se 
donnant la masse totale, c'est la première qui parait la plus 
simple dans le cas de l'espace, et c'est au contraire la seconde 
dans le cas du plan. 

Nous pouvons étendre la formule (42), comme nous l'avons 
fait pour la formule (22), au cas où on est quelconque. La seule 
différence essentielle provient de ce que l'intégrale 

./(. dn drix 

est nulle, à cause de la formule (3()); l'intégrale correspondante^ 
dans le cas de l'espace, prend la valeur 4~'a lorsque A lend vers 
un point de la surface S, et il en résultait dans les t'ormules (a^)) 
et (27) le terme ^\T.7lonx. Dans le plan le terme correspondant 
est nul. En fusant le cab-ul, on trouve successivement les for- 
mules 

" d- i?-" 
( 44 ) oijix = ^ „'"" / -, — 7^ [J- S« ds -+- /.A !-«-A ôaja 

et 

, r d^-ffit 

(4>) O'jiv = val. pr. / -5 — -, — ^iJLon— UA o«a)^5 — Aa.'-^a o/Ja. 

^ ' ' i- J(: dn dn\ 

/i\ désignant la courbure de la courbe Ci en V. 



— an — 

De celle expression, on peut, à lilre de vérilicallon. dikliure la 

/ [xds =: i, 



varialion de l'intégrale 



variation qui doit évidemment être nulle. En faisant le calcul, et 
en le comparant à celui qui a été indiqué à la fin du n° 11, on 
s'explique hieu pourcjuoi le terme 4-710/1^, qui figure dans la 
formule {'i']) et conduit dans l'intégration au seul terme non nul 
dans l'expression de ol, ne se retrouve pas dans la formule (4^), 
qui donne la variation de a, et non de t. 

Comme dans le cas de l'espace, si nous considérons une défor- 
mation pour laquelle o« soit partout positif ou nul, la formule (42) 
nous montre que ou est négatif dans les régions de la courbe 
oii on est nul. Mais nous ne pouvons pas affirmer, comme dans le 
cas de l'espace, que 07 soit négatif. Du moins cela ne paraît pas 
résulter simplement des formules écrites. 



CHAPITRE III. 

l'iNTÉGRABILITÉ des Î:QUATI0NS aux dérivées FOXCTlONMiLLES 
DU CHAPITRE M. 



Énoncé du problème traité. 

18. La variation de la fonction de (ireen est. comme on sait, 
donnée par la formule 

.^,.A ,„M 

(46) S» i{ = / —7- Y-o?ids. 

" 'J-^- Je du an 

Les équations ( '{(i), (44) et (4o) sont ce qu'on appelle tles eV/art- 
liojis aux dérivées JonctionneUes. Les fonctions g^^ jj,, et la 
quantité H, sont entièrement déterminées par ces équations, et 
par leurs valeurs pour un contour particulier C,,, puisque, le con- 
tour se déformant d'une manière continue, elles définissent à 
chaque instant les variations de ces quantités. 

Il peut être intéressant de chercher si ce système de trois équa- 
tions admet d'autres solutions, que nous désignerions par <I>ii, a 
et 3C, et si même il existe des solutions prenant pour le contour Cq 
des valeurs arbitrairement données. 



— 37 — 

Malgré l'analogie de ces équations et des équations dilTéren- 
tielles, cela n'est pas certain a priori, car les expressions de oOr, 
ou et 33C qui résultent de ces équations peuvent n'être pas des 
différentielles exactes , de sorte que les valeurs de ces fonctions 
trouvées pour un contour C peuvent dépendre du mode de défor- 
mation du contour entre Cj, et C. C'est même a priori la circons- 
tance qui parait le plus vraisemblable, et en général il n'existe pas 
de solution d'une équation aux dérivées fonctionnelles prenant 
pour un contour particulier une valeur quelconque. En d'autres 
termes, les équations pour lesquelles il existe des solutions pre- 
nant pour le contour Cq des valeurs arbitraii'ement données, 
équations qui sont dites complètement intégrables, sont une 
exception. 

Mais les problèmes de phvsique mathématique conduisent sou- 
vent à des équations complètement int<''grables, ce qui s'explique 
par le fait que le problème qui conduit à une «'"quation met sou- 
vent en évidence une infinité de solutions de cette équation, et 
souvent le degré de généralité des solutions ainsi obtenues est 
suffisant pour constituer l'intégrale générale d'une équation com- 
plètement inlégrable. 

Lesjstèmeque nous nous pi'oposons d'étudier se présente sous une 
forme particulièrement simple, l'équation (4^)) i^c contenant que 
la f(jnction de Green, l'équation (44) introduisant ensuite la fonc- 
tion UL et l'équation (4o) 1^ quantité H. 

Nous pouvons donc étudier successivement ces trois équations. 
En ce qui concerne l'équation (4^i)? nous l'avons déjà étudiée 
dans notre Thèse ('), et nous allons d'abord rappeler les résultats 
obtenus. 

Intégrabilité de l'équation (46). 

19. En remplaçante^ par la fonction inconnue <I>|{, cette équa- 
tion s'(''cril 

^^' ^ t.-J^. (lit dn 

Observons d'abord que cette équation est v<'Tifi(''e. Inr^ipic la 

(') Paris, if^ii, el Journal de l'École Polylec/miijue, nju {roir n"' 30 cl '.V2). 



coiirhe G se déforme, non seulement par la fonction de Green 
relative à toute la région du plan exlt'rifure à cette courbe, mais 
parla fonction de Green relative ;i la région extérieure à cette 
courbe et à une autre courbe iixe C. Cette solution présente un 
assez grand degn- de généralité. 

Quelle que soil la courbe (V, la solution considérée est une 
fonction haniiniiKjiir. s'aiinulaul lorsqu'un des points dont elle 
dépend vient sur la courbe G, et symétrique par rapport k ces 
deux points. La solution générale de l'équation (47) est beaucoup 
plus générale; mais cette équation n'est pas complètement inté- 
grable, et des conditions doivent êtres imposées à la valeur initiale 
de la fonction <Ï>b pour un contour particulier, pour qu'à cette 
valeur corresponde une solution de l'équation (47)- 

La forme de ces conditions dépend essentiellement des singu- 
larités de la fonction <ï> 15. Dans notre Thèse nous avons étudié deux 
cas ; 

1° Le cas d'une fonction sans singularité lorsque les deux points 
A et B sont dans le voisinage du contour C; 
2" Le cas d'une fouet ion de la lorme 

(48) *B = ^i'-?rV 

(prêtant une fonction sans singularité lorsque les deux points A 
et B sont dans le voisinage du contour (]. 

Dans le premier cas, la condition à imposer à la valeur initiale 
de la fonction «I'h- pour qu'à cette valeur corresponde une s(jlution 
de léquation ( i~ ), est que celte fonction soit : 

ou une fonction d'un seul des points A etB; 
ou une fonction de x H- iyetXf — îj^,, :r et j' désignant les coor- 
données d'un des points A et B, Xt et^^, celles de l'autre. 

Uans le deuxième cas, la condition à imposera la valeur initiale 
de la fonction <^n est que 



f49) '^^^M _ ^*A 



;zr=°' 



M désignanl un |)oint du (;ontour et s la valeur de la longueur 



— 59 — 

d'arc en ce point. Cela revient à dire que <Î>m et ^x i^e dépendent 
que de A, et non du point M du contour. 

Cette deuxième catégorie de solutions est évidemment plus 
intéressante au point de vue des relations entre l'équation {4~) 
et les problèmes de physique mathématique. Nous ne considérerons 
dans la suite que ces solutions, de sorte que <Ï>b sera une solution 
de l'équation (47)5 qui, pour un contour quelconque, sera de la 
forme (4'^) 5 6t vérifiera les conditions (49)- 

20. En remplaçant ^^ par «Z^u et 'j. par la fonction inconnue ti, 
Téquation (4'î) s'écrit 

• r "^'^M 

(5o) oaA = liiii / —r — ; — u n ds -\- k\u\, rin\.. 

■i - B -> A J(; "" "" A 

On remarque dans cette formule que la fonction 4> n'intervient 
que par les valeurs sur le contour de la dérivée normale 

(3l) '^ • 



dn dns. 



on le voit nettement en reuiai'quant que l'intégrale de la for- 
mule (5o) peut s'écrire 

Il m / - — - — w^juds-r- I — iionds- 

l{_^A^( cindrix J^- dndnx 

Dans ces condilion>, afin de ne pas faire intervenir dans l'étude de 
l'équation (5oj la fonctif^n (ï>i{, mais seulement l'expression ('^Oi 
il y a lieu d'examiner si, sans faire intervenir d'autres rensei- 
gnements concernant la fonction <I>b, on peut définir la variation 
de cette expression lorsque le contour se déforme. 

Distinguons dans ce but, lorsque M et V sont sur le contour, les 
variations 

. d■^'^^\ 

dn dn \ 
et 

> d- 'V . 



dn dn V 
la [)reuùèrc de ces notations titant relative au cas où l'on considère 



— (K) — 

que, la courlje C se déformant, les points A et M restent fixes et 
les directions f//i et dn-^ également, tandis que la seconde est rela- 
tive au cas où A et M restent sur la courbe il pendant que cette 
courl)e se ({('lorine, en décrivant une trajectoire orthogonale à 
cette courbe, et où du et dn^ désignent les éléments des normales 
en M cl A à la courbe déformée ('). 

Les relations ( \()) enlraùienl comme consc'quence que . ne 

varie pas j)()ur une rotation infiniment jielite, à partir de leur 
position initiale, des directions du et diix- Li^i différence entre les 
\ai"lalions o et o, est donc donnée ])arla formule 

r/2*\' d^<\^^l d^'V'^l ^/"î>\' 

(02) 0, - — ; — = - — - — ■ -+- 7— — T — on -T- — — — :, rjn\ • 

lin du \ diidn\ iln-dit\ dndii-^ 

Or de l'équation (47) il résulte iiniiK'dlatement que la variation 
est parfaitement définie par la donnée des valeurs initiales de 

-, — r— : cette équation donne en edet, en tenant compte aussi de 
diidnx * ' 

la formule ( ^8), 



(53) 



i '^"^^^ ^ i ^'^A _ 2_ 'i" r 1^ ^^^a' .^,^^, 

dndn\ diidn\ J.~ \> ^^yx .1^. diidii dii dn\ 

h III / -; 7—; -j-—, '''"■ "^ 

■>. T. j{ _^ ,^ Jr du du (lu dn \ 



d^'^^. d-i'^ 



/ / ^ / -7-r-} — '>« "-^^ , 

■JL— J^- dndii du dii\ 

et, g^ étant supposé connue, cela revient au même de se donner 



ou 



dndnx d/idn\ 

Dans le cas oij fI>B est une fonction harmonique des points A et lî. 



(') Nous aurions pu déjà introduire celte distinction dans les chapitres précé- 
dents et en particulier au n° 9. Mais cela n'était pas indispensable, car aucune ambi- 
guïté n'était à craindre. Il est bien évident que, lorsque nous parlions de la 
variation de sou de a, il ne pouvait s'agir que de la variation que nous désignons 
maintenant par le symbole 6,. 



— Gl - 
il résulte des conditions (49) q^e 

rf3<ï>Y d'-<i>\^ d^'P^} ^2*^ 

A , A A ■ 

A- -j -j ? -j -—7 = /lA 



dn'dnx dnd/i\ dnd/i-^ dndnx 

M et A étant sur le contour, et A et A"a désignant les valeurs delà 
courbure en ces deux points. La formule (02) s'écrit donc 

d-^<P^l rfî*^/ rf2,î,M 

' dndnx ^ dndnx dndnx 

Celte formule et la formule (53) montrent que, si l'on ajoute 

aux hypothèses faites au n" 19 sur la fonction $b celle d'être une 
fonction harmonique des deux j)olnts A et B, la connaissance des 

valeurs de -; — -— iJour un contour initial et lîour les points du con- 
dndnx ^ ' ^ 

tour, entraine la connaissance des valeui's de la même expression 

pour un contour quelconque. 

D'ailleurs ces hvpothèses n'empêchent pas la valeur initiale de 

— d être quelconque, a la restriction près d être la somme de 



dn dnx 

" O A 



, , et d'une (miction régulière. En elTct. il existe une fonction 
dndnx "^ 

harmonique <Ï>b des points A et B, ayant la même singularité 
que ^g, s'annulant lorsqu'un de ces points vient sur le contour et 

telle que-; — 7— prenne sur le contour la valeur considérée, (^ette 
* dndnx 

fonction vérifie toutes les conditions du n° 19; à cette valeur 
initiale correspond donc, lorsque le contour se <létoruie, une solu- 

tion de l'équation ( i" ), et par suite la variation de -; — — - est bien 
1 \ ■ / / I dndnx 

celle qui résulte des formule (.')3) et (54). 

Donc, bien que Tt-qualion (i~) ne soil pas complètement inti'-- 

"rable, 1 équation qui donne la variation de — — — — > qui résulte Je 
■^ ' 1 d/i dit \ 1 '^ 

. d'< 
1 élimination de -; — ; — entre les fonuules (.)>) et (>)4), est com- 
dndnx \ /' 

plètement intégrable piyur les tonctions avant 1 i in<'iiie sinmilarilé 
' dndnx 



— 02 - 

21. I)ans le cas où la fonction <I>j^ n'est f)as liaiinoniqiie, il faiil 
<'\ idenimenl, au second membre «le l:i t'onimle (o4)i ajcniter les 
lermes 

Am -^ on -I- Aa — t— o/iA. 
an A an 

VouT que ce terme soit nul, et que par suite la variation 

de -, — r — soit la même que dans le cas précédent, il tant que 
an dnx ^ ' 

Am ~, — = Aa —j— — o, 
aii\ an 

et pour que cette condition reste réalisée quand le contour se 
délorme, la variation de <ï» étant donnée par la formule {^'])•, <>n 
voit aisément qu'il faut et il suffit qu'elle soit vérifiée, non seule- 
ment pour des points A et M du contour, dn.^ et dn désignant des 
éléments de normales au contour, mais pour des points quel- 
conques et des directions quelconques; en d'autres termes A\<ï>,j 
doit ne dépendre que de A et A„<ï>,'^ ne dépendre que de B. 

Si cette condition n est pas réalisée, la variation de -; — r — n est 
^ an dn.K 

pas la même que dans le cas précédent. On peut dire qu'elle est 

donnée par une équation aux dérivées fonctionnelles différente de 

celle qui résulte des formules (53) et (M)? équation qui parait 

surtout intéressante à envisager. 

Nous allons maintenant étudier l'intégrabilité de l'équation (m^ i 

en nous plaçant successivement dans les deux hypothèses. 



Intégrabilité de i équation (5o). 

22. Faisons d'abord sur t[)^^ les hypothèses suivantes : 

i" Etre une solution de l'équation (ij); 

2° Avoir même singularité que^^j^; 

3° .S'annuler lorsqu'un des points A et B vient sur le contour; 

/j" Etre une fonction harmonique de B (mais non nécessairement 

de A, de sorte que nous envisageons ici un cas un peu plus 

. . rf-'ï'^' 
général que celui du n°20; la fonction —, — r— peut ici être choisie 

■" *■ an an A ' 



— 63 — 

ailiitrairement pour un contour initial, à la seule condition d'à voir 

même sino;uIarité que -; — :; — > et sa variation lorsque Ir contour se 
" ^ an anx ^ 

déforme dépend des valeurs de A^^^b* 

Toutes ces conditions, supposées réalisées pour un contour 
initial, restent réalisées lorsque le contour se déforme. 

Dans ces conditions, on vérifie aisément que l'équation ('.>o) esl 
vérifiée par la fonction 

F étant un point fixe quelconque, du moins dans la région voisine 
de la courbe G dans laquelle la fonction $3 est supposée régulière. 
A cause de la forme linéaire et homogène de l'équation f 5o), 
cette équation est également vérifiée par la fonction 

(55) »A=— / f(yi)-r^ds, 

■-'- Jy dnx 

r étant une courbe décrite par le point M. ds la longueur de l'arc 
de cette courbe, et /(M) une fonction quelconque. 

Nous allons montrer que, lorsque la courbe G tend vers la 
courbe F, cette fonction u tend vers / (A), c'est-k-dire vers une 
fonction quelconque de A. Tl en résultera que l'équation foo) est 
complètement intégrable, et que la formule (^yy) en donne l'inté- 
grale générale. 

Il faudra seulement supposer que la courbe F a sa courliurr 

d^^l , . . dg'l 

partout finie. La fonction -7— a alors mèuie siniiularité que — ;— ^ 
' dii\ • ^ dii\ 

et, par suite, tlaprès les propriétés connues de cette fonction, 
que 2 — — log-r-ry 1^ intégrale ( 55 ) est alors iliscuntiuuc au mo- 
ment du passage à la liniite comme la dérivée normale du potentiel 
dû à une couche de densité -/VM) étalée sur la courbe F. De 

cette circonstance, et du lait que -; — s annule quand M est sur i\. 

^ dnx ^ 

résulte que la limite cliercliée a la valeur /(^A), comme nous 
voulions l'établir. 



— 64 — 

l)()nc nous avons montre que Tt-qualion ( Ht) est comjjlèleuienl 
lnlé^ral)le; nous avons même obtenu un résultat plus complet en 
formant l'intégrale qui, pour un contour particulier F, prend la 
valeur /'(A). 

23. Examinons maintenant le cas où <l>^^ n'est pas une fonction 
harmonique du point B. 

L'équation (5o) n'est plus complètement intégrahle, en général. 
Pour le \oir nous devons former la condition d'intégrabilité. 

r3'après un résultat connu ('), cette corilition se forme de la 
manière suivante : 

(Considérant une déformation de la courbe C dépendant de deux 
j)aramèlres A cl y., et définiss.int les symboles S,, Oo. o- par les 
tormules 

. ) dix, 



-!<■■ 




rJi.. 


. ) = -^ — ( . . .)dKd\x\ 
d/. O'x 



il faut déduire des équations ( i~) et (.^o) l'expression de o-w, et 
écrire que l'expression 

(56) 0- ?< H ; ; rj, n 

ds ds 

dé|)eud symétriquement des fonctions oii et o,/i. 

Le calcul peut se faire aisément. Mais l'on évite presque tout 
calcul en remarquant que, d'après le n" 22, nous savons que cette 
condition est sûrement vérifiée lorsque <^^ est une fonction harmo- 
nique du point B. Or, d'après le n" 21, on passe de ce cas au cas 
général, envisagé Ici, en ajoutant à l'expression de 

. d^'l>^ 

r. . A 



dn dtix 
le terme 

d^l 



('; Voir n" 11 île noire Thèse, déjà citée, ou n" 3 de noire Mémoire 5m/' 
l'intégration des équations aux dérivées fonctionnelles partielles {Rendiconti 
del Circolo matematico di Palernio, igi-'i: '"" semestre). 



— 65 — 
ce qui revient à ajouter à l'expression (56) le terme 

(57 — — Oi/îA / Aa — ; — u^=,nds. 

iT. J^ an ' 

Il faut donc que ce terme dépende symétriquement de rnii 
et ôa/i. 

Cette condition n'est réalisée, en dehors du cas peu intéressant 
dune (onction u identiquement nulle, que si 

A A 
A— î = O, 

an 

et, comme nous Tavons vu au n''2J, ne reste réalisée lorsque le 
contour se déforme que si, pour des points A et B quelconques, 
Ab<Ï>b dépend seulement de B, et non de A. 

S'il en est ainsi, l'équation (5o) est complètement intégrable. 
Dans le cas contraire, elle n'admet pas d'autre solution que 11 = 0. 

Vn r.iisonneuient analogue à celui qui précède montre bien 
pourquoi le fait que 4'^ soit ou non une fonction harmonique de A 
ne joue aucun rôle dans la condition d'intégraliilité. En effet, 
pour passer de l'un à l'autre de ces cas, il faut ajoutera l'expres- 
sion (56), au lieu du terjne (^j), le terme 



I C ^*A . 
— / A -5 — uoin^-, n as, 
1-J^. an\ 



qui dépend symétriquement de 5, «et 02^^- ^^^ s'explique ainsi 
que nous ayons pu former l'intégrale générale de l'équation (5o) 
sans faire intervenir l'hypothèse que $^ soit une fonction harmo- 
nique de A, hypothèse que, d'après le n" 21, on aurait pu croire 
nécessaire. 

Intégrabilité de l'équation (40). 

Si. En écrivant u au lieu de [jl, u étant une solution de l'équa- 
tion (00), et en appelant JC la fonction inconnue, celte équation 
s'écrit 



(58) 



ô3€ = — 2î: / it-o/ids. 



La condition d'intégrabillté se forme aisément en se reportant à 

XLVI. 5 



- 6G — 

lu méthode indiquée dans noire Thèse (n"12), et Ton constate que 
cette équation est complètement intégrable. 

Son intégrale générale est évidemment de la forme 

3e = 5Ci-(- const., 
3C, étant une intégrale particulière. 

Résumé des résultats des n " 18 à 24. 

23. On sait que, lorsqu'une quantité $ dépend du contour C, 
sa variation est en général de la forme 



0* = / <t>f( s )on ds, 



tl>,(.s) étant une fonction du contour et d'un p(jiut du contour, 
que l'on appelle la « dérivée fonctionnelle preuïière de <ï> ». De 
même la variation de *ï*)(5) introduit une fonction du contour et 
de deux points du contour que l'on appelle la « dérivée fonction- 
nelle seconde de $ ». 

Si l'on considère H comme fonction du contour, la formule (4t>) 
nous montre que sa variation introduit la fonction nouvelle a; en 
d'autres termes la dérivée fonctionnelle première de H s'expriuie 
en fonction de u.. La formule (42) nous montre que la variation 

de ij. introduit la fonction nouvelle —, — ; — : en d'autres termes la 
' an an\ 

dérivée fonctionnelle seconde de H s'exprime simplement à l'aide 

de cette fonction. Enfin les remarques du n" 20 nous montrent 

que la variation de cette fonction s'exprime sans introduire de 

fonction nouvelle; il est commode, pour étudier cette variation, 

d'introduire la fonction g'^, mais cela n'est pas une nécessité. 

Les formules qui donnent la varialujn de H, ui, -; — 7— sont 
' ' dn d/i\ 

ainsi analogues, dans le calcul fonctionnel, à ce qu'est dans le 

calcul différentiel ordinaire une équation ditlerentielle d'ordre o, 

que l'on écrirait sous la forme d'un système de trois équations 

dilférentielles du premier ordre en prenant comme inconnues 

auxiliaires les dérivées première et seconde de la fonction inconnue 

principale. 



- 67 - 

Les résultats des u."^ 20, 22 et 2i nous montrent que ce système 
d'équations aux dérivées tonctionnelles est complètement inté- 
grable, c'est-à-dire que nous pouvons en former un système de 
solutions prenant, pour un contour particulier, non les valeurs H, 

u, -; — -; — » mais des valeurs nuelconques JC, w, -; — ; — ? avec la 
' an rf/ïA ^ ^ an dn^ 

seule restriction que les fonctions ii et 



dn dn\ dn dnx 
soient régulières. 

On voit donc quelle e^t ia généralité de la solution ; elle dépend 

d'un paramètre, d'une fonction arbitraire d'un point du contour, 

et d'une fonction arbitraire de deux points du contour. 

d^-<^l 

L aspect du problème change si au lieu de —, — r^ > dont la 
' ' '^ dn dnx 

variation est définie comme nous lavons \ u au n" 20. on veut étudier 
les valeurs pour d'autres points que ceux du contour de la fonc- 
tion $g, la variation de cette fonction étant définie par la for- 
mule (4"). 

Alors le système constitué par les équations (47)7 {^^) et {^^ } 
n'est plus complètement intégrable, et pour qu'à un système de 
valeurs initiales de jC et <I>g, telles que u et $p — g-^ soient régu- 
lières, corresponde un système de S(jKitions de ces équations, il 
faut et il suffit : 

D'une part, p(jur que l'expiation (47) s*^it intégrable, que 
(49) ^*« = ^*ï = „. 

M étant un point de contour et A un point quelconcpie; d'autre 
part, pour que l'équation (r)o)soit intégrable, que A,Jt^^ dépende 
seulement de B, et non de A. 

Nous n'avions il est vrai, dans l'élude (pii précède de l'équa- 
tion (5o), envisagé que le cas où la première de ces conditions est 
remplacée par la condition plus restrictive 

mais le moile de raisonnement emjiloyé au n" 23 montre que le 



— 68 — 

rcMillal ohlcnii s'ap|)li(jue >i l'on rem|)lace cette <(nulif imi |»ar l.i 
condition (49)^ moins reslriclive, et siilTisante pour que l'équa- 
tiitu ( 17) soit inlef^rable, et l'énoncé rjul précède est bien exact. 

Extension au cas de l'espace. 

26. La méthode employée dans le présent (;iia|iitrr pour l'é-tude, 
au point de vue de leur intégrabilité, des équations au\ dérivées 
fonctionnelles du Chapitre II, s'étend sans peine à l'élude au même 
point de vue des équations (2), (i4) et (24) du Chapitre 1. Nous 
laisserons an lecteur que cela intéresse le soin de faire cette étude. 

Malgré la dillerence des formules des Chapitres I et II, l'analogie 
avec Tf-tude qui {)récède est presque complète. Signalons seule- 
ment les deux ditTérences salivantes : 

I" L'expression (56), qui intervient dans la condition d'inlé- 
gral)ilité, doit être remplacée par une expression dans laquelle 
interviennent les dérivées par rapport aux deux paramètres qui 
fixent la position du point sur la surface. Les calculs seront donc 
un peu |)[us compliqués. 

2" L'équation (i4) est complètement intégrable, comme l'équa- 
tion ('joj, mais ici nous pouvons aisément former son intégrale 
qui est 

IL dS -4- const., 



i' 



u étant la notation employée au lieu de <t pour représenter l'inté- 
grale générale de l'équation (24) et intervenir ensuite dans 
l'équation (i4)- 



- 69 - 

SUR CERTAINS CRITÈRES DE CONVERGENCE; 
Par m. Emile Cottojn, 



Les critères qui font le principal objet de ce travail sont relatifs 
aux séries 

dont les termes sont les modules des différences premières 

d'une suite de nombres complexes c„. Ces séries (i ) se rencontrent 
dans l'étude d'autres séries par la méthode de transformation 
d'Abel. 

Pour faciliter l'exposition, je définis d'abord (n" 1 ) ce que 
j'appelle suite de nombres réels à variation bornée. Cette notion 
est voisine de la notion classique de fonction à variation bornée, 
due à M. Jordan. J'aborde ensuite les séries (i); et j'étudie en 
premier lieu (n" 2) le cas où les nombres d tendent vers une 
limite différente de zéro; puis le cas où la limite est nulle, en 
commençant (n" 3) par deux critères simples de convergence, 
suffisants pour les applications indiquées plus loin; viennent 
enfin (n°* -4, o) d'autres critères plus complexes et intéressants au 
seul point de vue théorique. 

On peut se poser au sujet des séries 

construites avec des fonctions données '^^(z) et des coefficients 
constants des questions analogues à celles qui constituent la 
théorie des séries de ïavlor, chercher par exemple l'analogue du 
théorème d'Abel, entraînant l'existence du cercle de convergence. 
Les critères simples signalés tout à l'heure conduisent ainsi (n" 6) 

à étudier les ciuolients ^""^' " : ' ""^^ ^° > formés avec les rapports 

dun tenue au précédent dans les suites o„(5), On{Zo). Cette 

XLVI. 6 



— 70 — 

(jtiide est p(>ssil)le djus des cas nombreux : séries de polvnomes 
données par des érpialions aux din'érences finies, séries de Diri- 
chlet, séries de factorielles et généralisations diverses. Il est inté- 
ressant de comparer les façons dont cette étude se poursuit dans 
dilFérents cas. de classer ainsi et d'étendre parfois (n"' 7 à 9) 
cpielques-iin> des résultats obtenus antérieurement \y.\r dillérents 
auteurs. 

1. ^»ous dirons (piiinf suite indéfinie de nombres réels 

Cl) «0. «1, •••, «/i, ... 

est à variation bornée si la série formée par ses différences 
premières 

— Aa,;, Aa„ = (in-k-\ — ci,i 

est absolument comerg^erite. Lorsqu'il en est ainsi la suite (i) 
(on suite a„) admet une limite, mais l'inverse n'est pas vrai; la 
série des différences peut convert^er sans converger absolument, la 
suite (i) peut admettre une limite sans être à variation bornée. On 
peut rattacher ces suites aux fonctions à variation bornée de IVf . Jor- 
dan, en supposant la fonction définie non pour toutes les valeurs 
de la variable comprises dans un intervalle déterminé, mais seule- 
ment pour les valeurs entières de la variable. 

Parmi les propriétés que cette analogie conserve, nous citerons 
les suivantes, dont la démonstration est immédiate et qui seront 
utilisées plus loin. 

Toute suite à variation bornée peut s'obtenii- en irtranchant 
teinte à terme deux suites convergentes et non décroissantes. 
On a, en effet, 

«n = «0 -r- A«o -f- . . . -^ Art„_i , 

et l'on sait que la série absolument convergente - Xa,, jieut être 
obtenue en retranciiant terme à terme deux séries convergentes à 
termes positifs. 

I. Etant données deux suites an-, ba à x^ariation bornée, les 
suites aji-^bni cin — bn, a„bj, obtenues en les ajoutant, en les 
retranchant ou les multipliant ternie ci ter/fie sont encore à 

variation bornée. Il en est de même de la suite -j^que donne la 

On '■ 



— 71 — 

dU'ision ternie à terme^ pourvu que la home iuférieui-e des 
valeurs absolues des bn soit, différente de zéro (*), 

On peut donc dire que des opérations rationnelles en nombre 
limité etlectuées sur les termes correspondants d'un nombre limilé 
de suites à variation bornée donnent le terme général d'une suite 
à variation bornée, pourvu que les dénominateurs soient tous, en 
valeur absolue, supérieurs à un nombre fixe. Il n'est même pas 
nécessaire que les opérations soient rationnelles, ainsi que le 
montre la proposition suivante, qui s'applique encore au cas où 
l'on opérerait sur plusieurs suites au lieu d'une seule (-), et qui 
est également valable (avec quelques modifications dans l'énoncé), 
pour les fonctions de M. Jordan : 

H. Etant données une suite ci variation bornée a„ et une 
fonction '^{x}^ la suite a„='-p(rt„) est ci variation bornée dès 
ciue les nombres de la prernière suite restent compris dans un 
intervalle où la fonction '-six) et sa dérivée o' (x) existent et 
restent bornées. 

On a, en elTet. 

Aa,j = o(an^i) — '^(ctn) = ?'(c„) Aa„, 

Cn étant compris entre a,,^^ et «„ ; la série S Aa« étant absolument 
convergente et z)'(cn) étant inférieur en valeur absolue à un 
nombre fixe, -| Aa„ [ est convergente. 

La remarque suivante, bien évidente, nous sera utile : 

m. Etant données trois suites a,,., b,,^ c„ telles cjue pour 
toutes tes valeurs de n les modules des différences Ici,,, -i/y„, 
lc,i puissent rep)'ésentcr les longueurs des trois côtés d'un 
triansle, si deux des trois suites sont à variation bornée la 
troisième l'est aussi; autrement dit, si deux des trois séries 
^ \a„. ï A^„, - ACrt convergent absolument, il en est de même de 
la troisième. 

Nous allons apj)llquer ces propositions à l'iîlude de certaines 



(') Voir le Chapitre I du Cours il' Analyse de .M. Jordan. 

(') Voir Hadamaud, Acta niathemalica, t. XWII, igo3, p. i8i. 



séries. Quand nous dirons que les hypothèses sur lesquelles elles 
reposent sont vérifiées, nous sous-enlendrons en général qu'elles 
le sont asymptotiquement, c'est-;i-dire par ceux des termes des 
suites sur lesquelles on opère dont le rang est assez élevé. 

2. Soit 
Co= ao-h ibo, Ci= Ui-hihi, ..., Cn= a„-h ibni 

une suite de nombres complexes, nous allons étudier la conver- 
gence de la série formée par les modules de leurs différences 

(i) SjAc^l, Ac„= c„+i— c„= Aa„-i- i Aè„, 

D'après une proposition bien connue il faut et il suffit, pour que 
la série soit convergente, que les séries S! | A«„ |, i) ] 'E\b,i\ le soient 
aussi; en d'autres termes que les suites a„ et bn soient toutes 
deux à variation bornée. 

Nous représenterons aussi les nombres complexes c^ par leurs 
modules p,j et leurs arguments B„, c/ue nous supposerons essen- 
tiellement choisis de façon que les valeurs absolues de leurs 
différences \ iH^ \ = | ^n+\ — ^« | soient comprises entre o et tt. 

Si la série (i) est convergente, la suite c,, admet une limite c; 
supposons d'abord celte limite différente de zéro. 

Pour que la série (i) soit convergente et ciue la limite c soit 
différente de zéro il faut et il suffit c^ue les suites p,, et 0,j 
soient à variation bornée^ la limite de o„ étant différente de 
zéro. 

Ces conditions sont suffisantes., car o,i et h,i étant à variation 
bornée, sinO«, cosô^, et les produits a«= p„ cos6„, ^„= p« sin8,t 
forment des suites de même nature (propositions I et II du nu- 
méro précédent). 

Montrons maintenant que ces conditions sont nécessaires. 

Pour p,,, c'est une conséquence d'une proposition antérieure 
(n" 1, III). On [peut, sans changer les différences A^),, multi|)licr 
tous les nombres d par cosa+isino, ca désignant rargument 

de-; autrement dit, on peut supposer que la limite c des nombres 

complexes d est un nombre réel et positif. S'il en est ainsi, 



— 73 — 

tangG„=: -^ est à variation boi^née et 8„ = arc tang(tang^„) l'est 

aussi (n'' 1, II). 

Les conditions relatives à la suite o« : variation bornée, limite 
non nulle équivalent à la suivante : logp„ est à variation bornée. 
On peut dès lors résumer ce qui précède en disant : 

Pour que la série (i) soit convergente et que la limite c 
de Cl soit différente de zéro, il faut et il suffit que la 

série ^ log -^^^ où le coefficient de i, dans le logarithme, est 

inférieur à ~ soit convergente (' ). 

On ramène cette proposition à la règle de convergence absolue 
d^ un produit infini. Posant, en effet, 

Cn-^-l _ , . . _ 

— I /'/(, ^(^n — r/iC;i, 

Cn 



nous avons 



Co(i-l-ri)(i-f-7-2) ...(ï-hrn). 



Le produit infini Cq U(i +r„) est absolument convergent en 
même temps que la série }i]| log(i + /■,() j et la convergence de 
l'une des séries à termes positifs ^[rnl, ^| log(i -i- r,j)| entraîne 
celle de l'autre puisque le rapport des termes correspondants tend 
vers Funité quand 71 devient infini (-). 

3. Lorsque la limite c de c„ est nulle, le raisonnement antérieur 
reste exact pour o„ qui est toujours à variation bornée, sa limite 
étant alors nulle. Il n'est plus valable pour 0„ ; on voit bien que 
si On et 9„ sont tous deux à variation bornée 1 1 Ac„ | converge, mais 
cette série peut converger sans que hn soit à variation bornée. Les 
cas élémentaires suivants, importants par leurs applications, vont 
nous le montrer. 

1. On a 

I Ar„ 1 = I c,j+i — c„ I S I c„+, I -4- I r„ I = p„-Hi -^ ?«, 



(') liien (]iie celte proposition ramène lune à l'autre deux questions dont les 
difficultés paraissent égales, elle a des conséquences intéressantes (n" 9). 

(^) Cette métliode dillére peu de celle de 'SI. Jordan (lotVson Cours d'Analyse, 
3" édition, t. I, p. 3i i). 



— 74 - 

ei par suite : si la srrie -o„ est coui-'ergente il en est de même de 
la série ï | Ac« |. 

Un autre critère siuiplc résulte de rinterpréliilioii de -|AC/, | 
comme longueur de la brisée obtenue en joignant les points A„, 
A|, Ao, .... A„, d'affixes Cq, c,, c^, •••. c„, ... et de la remarque 
.suivante. 

L'élément d'arc d'une courbe (G) rapportée à des coordonnées 

polaires ^, o est 

do _ p./0 

as — 7^ — —. r-, f 

cos V sui V 

Vdésignant l'angle de la tangente et du rayon vecteur. Supposons 
Il courbe telle que le rayon vecteur décroisse constamment quand 
on la parcourt dans un sens convenal)le, et que l'angle \ reste 
inférieur à un an^le a < - • La lons^ueiir de tout arc de la 

courbe intérieur au cercle p = Zp reste finie et injérieuie 

• ?/' 
a ■ • 
cos a 

La proposition subsiste quand la courbe (C) admet une infinité 
de points anguleux; soient Aq. A,, . . ., A„, . . , ces points rangés 
dans Tordre des ravons vecteurs décroissants ; les arcs intermé- 
diaires A„A„^_, sont toujours supposés réguliers et la limite a de 
l'angle V est la même pour tous. La ligne brisée obtenue en tra- 
çant les cordes AqA,, A, Ao, ... a, elle aussi, une longueur finie. 

On peut inversement se donner la brisée A,, A, . . . A„ . . . et 
chercher à construire une courbe (G) remplissant les conditions 
qui précèdent. Supposons, comme plus haut, les points A„ donnés 
par leur affixes d ou par leurs coordonnées polaires p„, 6^ 
(avec \\h,i\<^r^)\ nous prendrons pour arcs A,jA,(_^, de (G) des 
arcs de spirales logarithmiques ayant le pôle O comme point 
asymptote. L'angle V,. sous lequel l'arc A„A„^, coupe ses rayons 
vecteurs est donné par 

I A0„ I 



tani:\' 



l-^'-JgP'^ 



11 suffit que cette expression reste inférieure à un nombre fixe 
pour cjue la courbe (G) remplisse les conditions requises et que la 
brisée ait une longueur finie. On peut d'ailleurs écrire 



A0„ :M\o%q„) c„+, 



Alogp„ ^a(log^„; 



c'tl(;) et r>(^z) désignant respectivement la partie réelle et le coeffi- 
cient de i dans le nombre complexe z. La détermination du loga- 
rithme est telle que | -3(log^„)l << -. La décroissance de la suite c^ 
se traduit d'ailleurs par-<^R.(log'^„) < o. Xous arrivons ainsi au cri- 
tère cherché : 

IL Si l'on a posé qn=^ -^^5 et si : 

(^ n 
1° 

Jl(logy,j)<o {suite z„ décroissante ): 
2" 

15(10": r/„)| 



l<^»^(l"g^n)l 



< tanga, 



a étant an nombre fixe^ la série 2l | Ac^ j est convergente; de 
plus, le reste | \cp | + | Ac^_^( | ^ . . . est inférieur à — i^^. 

Nous appliquerons plus loin ce critère; mais nous allons aupa- 
ravant en donner d'autres qui proviennent encore de la compa- 
raison de la croissance des suites o„, jAp^l, p,j|A9„|. 

4. Soit 1,1 la longueur de la partie de la brisée A^ A, Ao . . . com- 
prise entre les sommets A,, et A„ : 

/„= AoA,-H Al Ao-h. ..-H A„_i A„ = I Acol -H I Ac, i -r-. . .-H I Ac,i_,|. 
On a 

At/2 = tii^i 1 11^— \ Ac,{ , 

et le triangle OA^A,, , , donne 



A/« = r/(A?„ 



. ,A0„ 
}2-L- 4p„p„+i sin2_-, 



ce qui montre que (') 

A/„, |Ap„| et 2v/p/jP/(-«-i 



AO, 



])envent représenter les côlt's d'un triangle; donc, pour que In 



(') Nous ne supposons plus ici la suite 0,, décroissante. 



— 76 — 
tende vers u/ie limite finie, il faut et il suffit que 



X 1 Ap„ I el Z v/p„p„+i 

convergent (' ). 

La convergence de l'une des séries 



. Af>„ 

sin 

■1 



- ^9n ?«-+-J 



AO, 



et Z /p«,-'-i 1 -î^^'" I 



entraîne celle de l'autre, puisque le quotienl des termes de même 
raniî reste compris entre les limites - et -• 
On a d'ailleurs 



VP«?« + 1 — V ?'i(?'^~^" ^?/i) 



^P„-^ -Ao„) — (4^) ; 



la série S|Apft| est censée converi;enle, par suite aussi S|Ac„ A8„ 
puisque | AO,; | < "î^i donc (1, IJI) les séries 

Sv/^;7:7:|A0„| et ^ P"+.^"-' |AO.| 

sont simultanément convergentes. On peut d'ailleurs substituer à 
leur étude celle dei;p,JA8„|, ou plus généralement celle de 2:^g^|A8,,|, 

o\^ étant un nombre positif tel que le quotient -^. — ^-^ reste 



•^p« 



A0„ 



borné. Tel est. i)ar exemple, le cas de la série 7 — j — ^^— Ap„ 

' 1 ' .^md I A lOgp/i ' 

puisque 



Ap„ 



pn-+-l — p« 



Alogp,j logp„+i— logp,, 

est, d'après la formule de l'accroissement fini, compris entre c„ 
et c„_^, . En résumé : 

Pour que la série S | Ac„ | converge, il faut et il suffît que les 
conditions suivantes soient remplies. 

1° La suite des nombres o„ = | c„ | est à variation bornée; 
2° La série 1 p„l AO,, | est convergente. 

A cette dernière série on peut substituer toute série ï p',J A()„ [ 



(') Voir la Thèse de M. Caiien, Annales de l'École Normale. •> série, t. XI, 
1894, p. 83. 



— / / — 



qui lui soit équivalente au point de vue de la convergence, en 
supposant la condition i" remplie. 

5. Si les quotients —-J-; — ^-'— - sont bornés, et si la condition i " 

est remplie, la condition 2" l'est également; on a ainsi une exten- 
sion de la règle de convergence donnée plus haut (n° 3, II). 
Nous avions, à cet endroit, supposé la suite o„ décroissante; étant 
formée de nombres positifs, elle est alors à variation bornée. 
Quand ce critère du n" 3 n'est pas applicable, mais que l'extension 
actvielle peut être utilisée, on aura une limite supérieure du reste 
de la série So,jAp„| en remplaçant le facteur Op du n" 3 par la 
variation totale de p, c'est-à-dire par i | Ao„ |, l'indice ?i variant de p 

à -j- oc. 

I \fi I 
Quand , , " — devient infini avec n, on peut essayer des cri- 

^ |Alogp„| ^ '' 

tères, dont nous allons dire un mot, qui sont analogues aux cri- 
tères logarithmiques bien connus ('). 
A l'aide des fonctions 

\o^xX — \o^x, loga.r = logMoga"), ..., log/^ = log( log,-,a^), 

obtenues par itération de la fonction logarithmique et des nombres 
a7«= — > construisons la suite dont le terme de rang n est 

Ui,p,,i= (log/x„)-P, 

p désignant un nomlire réel, et considérons la suite des difte- 

rences 

àUi.p.n^ (log,-.r,t^,)-p—(log,;r ,.)-/'. 

Admettons que les nombres p„ forment une suite décroissante , 
et tendent toujours vers zéro. Toutes les différences Am, ^,„ ont le 



(') Voir BoREL, Lerons sur les séries à termes positifs, Cliap. I; Joudan, 
Cours d'Analyse, t. I, p. arj^-^gS; Encyclopédie des Sciences mathématii/ues. 
t. I, 4, n°' 8, 9. 

l^es séries de comparaison employées ici diffèrent peu sans doute des séries 
indiquées dans les Ouvrages cités; mais la forme qui leur est donnée, attirant dès 
le déhul l'attention sur la croissance de la somme de la série de comparaison, m'a 
paru assez intéressante par sa simplicité pour justifier l'exposé rapide qui fait 
l'objet du n° 5. 



— 78 — 

sii^ne de — p\ lorsque p est positif, la série S„ Af/,„ (à termes 
tous néj^atifs) est conver>;ente; ^'\ p <C <»> elle est divergente. 
L ne formule bien connue 

f(x)- f(x') ^ f'(x") 

x" étant compris entre j? et ;r', se prête facilement à Tétude asjmp- 

totique des rapports - — ''''''^ , qui deviennent infinis avec n lorsque 

p' est positif et tendent vers zéro lorsque jo' est né<;atif, et à celle 

des rapports — ^i^^, qui deviennent infinis avec n si p'^p- On 

compare, plus facilement encore, les diverses expressions «,,,_„ et 
par suite les sommes ou les restes correspondant aux 71 premiers 
termes des séries. 

Utilisant alors les séries i^| A«/^^ „| comme séries de comparaison, 
nous suivrons le procédé indiqué par M. Borel (Ouvrage cité, 
p. 10) en l'appliquant à la série i! p'^| A^^ j, où, comme nous l'avons 
Yu (n° 4), p',^ peut être choisi de façon quelconque entre p„ et p„^, . 
En regardant i et p comme fixes, nous prendrons pour p^^ un 
nombre tel que la formule de l'accroissement fini donne 



'^"/.r,» 



(foov^'„)-/'^^ 



îormule ou x^^ = — et /^iX = x loga? . . . log/j;. 

Si x'n était connu, on pourrait déterminer y;„ tel que 

( iog/37'„ yp„ ^ , I ao„ I ^ I Ae„ I , 

) -t' ^" A-; t' S.'j ' 

associons un tel nombre p,i à tout nombre x',^ compris entre Xn = — 

pu 

elXn4.{ ^= ' i)uis faisons croître Ji indéfiniment, dans ces condi- 

tionsp„ admet une plus grande et une plus petite limites^' et p" . Si 
ces deux limites cV indétermination sont positives^ les séries 
^p,j|AO„] et ]Sl Ac^l sont convergentes; si p' et p" sont négatifs^ 
Les séries sont di^-ergentes ; s'ils sont de signes contraires, le cri- 
tère est inapplicable ; si yt?':=/>"=o, il tombe en défaut et l'on peut 
essayer le critère analogue en remplaçant i par t -f- i , etc. 

L'hypothèse, faite en dernier lieu, que la suite 0,1 est décrois- 



— 79 — 
santé, n'est pas indispensable : on peut présenter le mode de com- 
paraison précédent en faisant intervenir la grandeur de p«, c)^ = — r » 
pn+i et non le rang n, et admettant que la suite [\o^iX„)~P (où p 
est l'exposant de la série de comparaison) est à variation bornée. 
Mais nous n'insisterons pas sur ces questions dont nous n'aurons 
[)as à faire usage. 

6. Les séries Ii| AC/j] se rencontrent quand on applique aux séries 
de la forme Sc„M„ la métbode de sommation partielle d'Abel. 
Rappelons à ce sujet les propositions suivantes : 

I. La série '^CnUn converge si les deux séries ^h„, -\1c„\ sont 
convergentes. 

IL La série '^CnUn converge si les trois conditions suivantes 
sont réalisées : i° la somme des p premiers termes de la série Sw„ 
reste bornée quel que soit p; 2" c« tend vers zéro avec -; 3° 2:| Ac/, | 
est convergente. 

Ces théorèmes peuvent êti-e complétés par des énoncés concer- 
nant la convergence uniforme des séries '^CnU/t quand la suite c„ 
est formée de fonctions d'une variable, la suite u,i étant composée 
de constantes ('). Ils ont permis d'étendre à diverses classes de 
séries (séries de Dirichlet, séries de factorlelles, etc.) (-). la plu- 
part des résultats que les travaux d'Abel, de Cauchy et de M. Hada- 
luard avaient donnés pour les séries de Taylor en ce qui concerne 
l'existence et la détermination du domaine de convergence, la 
continuité de la série, etc. 

Les séries ainsi étudiées se contniisent, d'une façon générale, 
eu parlant d'une suite donnée de fonctions d'une variable couj- 
plexe 

(1) ?o(-)) ?l(-). •••' (^nC-'l 

(') Voir Encyclopédie des Sciences mathcniatiques (11, 1, 17), pour ce point 
et pour la bibliographie. 

(-) Voir Encyclopédie des Sciences mathématiques, t. I, 17, n" 1 et 17 à 1Q. 
Depuis l'apparition de cet article, M. R.-D. Carmichaël a étudié une classe géné- 
laie de séries do cette nature ( Transactions of the American Matheniatical 
Society, vol. 17, 1916, p. 207; American Journal 0/ Malhematics. \o\. IVJ, 1917» 
p. .Î85). 



- 80 - 

Elles sont de la forme ïrt„ On{^)i les «„ désignant des constantes. 
L'existence du domaine de convergence s'établit en montrant 
que si la série I>an'fn{^) converge pour une valeur ^o <Je ^, ou 
plus généralement si la somme de ses p premiers termes reste, pour 
cette valeur de z, bornée quelque soit p, on peut affiruier la con- 
vergence de la série pour un ensemble de valeurs de z indépendant 
de la suite des coefficients a„. On écrit 

el posant 

»„ = «/, o„(Zo), c — 



on est conduit par les théorèmes I et II à étudier la série ^ \ ^Cn \ où 
les a,i ne figurent plus. 

La convergence de cette dernière série S| Ac„| peut, ainsi que 
nous l'avons vu (n°' 2, 3), être, dans un grand nombre de cas, 
étudiée par l'examen des expressions 



qa 



7. Nous poserons 



C„ '-f/zi-j " <?«(-3o) 



^«+-l(-) .,.„.-. „ _ ^ni^) 



0,;( 3) = -:-—-— — , d'où qn~ 



Les critères de convergence où intervient le quotient q,, sont 
d'une application particulièrement simple lorsque dans la 
suite (i) le rapport ^h{z) d'un terme au précédent tend vers 
une limite. 

1° Supposons d'abord que la limite dépende de z\ soit 6(^) 
cette limite. 

On applique alors le premier critère du n" 3; la convergence 
de la série I.an ^ni^) Gst assurée en vertu de l'hypothèse concer- 
nant Han !f>«(-So) dans tout le domaine où \ ^{z)\ << | ^(^o) I- C'est 
le cas des séries de Tajlor; c'est également le cas de certaines 
séries de polynômes, par exemple de celles signalées par Poin- 
caré dans son Mémoire ( ' ) •' Su?- les équations linéaires ordi- 
naires et aux différences finies. Les séries de cette natui'e s'étu- 

( ') American Journal of Mathematics, t. VII, i885, p. 243. 



— 81 - 

(lient, comme les séries de Taylor, sans faire appel, en général, à 
la méthode de sommation d'Abel. 

2° Si ^n{^) tend vers une limite h indépendante de z^ et 
différente de zéro, qn tend vers l'unité. On peut alors écrire 

pn{^-) tendant vers zéro avec -j et 

I -1- PnK^o) 

Les termes non écrits peuvent être négligés dans l'application des 
théorèmes des n°'2 et3, si, comme nous le supposons, p,i{^)pn{~-o) 
et [pn{^o)Y sont infiniment petits par rapport à la différence 
Pn{^) — Piii^o)- Dans ces conditions, on étudiera d'abord la série 
]S|p„(c) — pn{zo)\ {n° '2); s'il existe une région où elle est con- 
vergente, SartC2„(^) converge dans celte région. Si l'on ne peut 
affirmer l'existence d'une pareille région, on examine, comme 
au n" 3, la partie réelle et le coefficient de i de log^n ou de rinfi- 
niment petit équivalent pn{z) — pn{zo)- La série I«„ç)„(:;) 
converge dans toute région où A\pn{z) — pn{zo)\ est négatif et 

OU le rapport reste borne. 

On peut donner comme exemple certaines séries de polynômes 
(PoiKCARÉ, loc. cit.. p. 25 1), les séries de factorielles et leurs 
généralisations ('). 

Il est facile d'ailleurs de construire des suites de fonctions '-p«(-:^) 
pour lesquelles le rapport 0«(^^ tende vers une limite H indépen- 
dante de ^ ; on peut toujours (par le changement de cp« en l"o„) 
supposer h= i . Il suffit de déterminer alors »„ par la donnée de csq 
et de Hn{z)- Prenons, par exemple, 

oa voit facilement que les séries construites en partunt de la suite 
de fonctions 



<?«(-; = JJ 



lanir - — 



(') Landau, Sitzungsberichte Akad. Miïnchen, igoG, p. iji 



— 82 — 

oui \u\ domaine de convergence limité par une parallèle à l'axe 
(les quantités imaginaires. Il est intéressant d'observer que se 
donner 0„(;) tendant vers la limite i revient à se donner 
p„{z) = h„( z) — I , et k déterminer les fonctions '^„ par le système 
d'équations linéaires aux différences finies 

8. Les critères précédents peuvent être encore d'une application 
facile lorsque h,i(z)^ sans tendre vers une limite finie et dillerente 
de zéro, a une expression simple. 

Telles sont les séries de Dirichlct. où, comme on le sait, 

les nombres )./, étant positifs croissants et devenant infinis avec n. 
On a 

et l'étude des qu(Hients 

est immédiate. Les différences A„^, — A„ pouvant être des nombres 
positifs quelconques, on n'a plus, en général, de limite pourG„(:;); 
mais on voit immédiatement que sk S{.[z)'^ A{Z(f), le coefficient 
de i dans :; étant naturellement fini, les conditions du n° 3 sont 
réalisées; l'existence de l'abscisse de convergence en résulte 
immédiatement. 

Plus généralement, supposons connue une expression asympto- 
tique pour h„(z)^ telle qu'on puisse en déduire 

(i) log</„ = ,^„ I a(z, -o) -+- ib(z,Zo)[ \ i -i-a„(;:, Zq) -H ?' 3„(5,Zo)!, 

les nombres f,>,i étant constants, réels, positifs, la série -^'« étant 
divergente: a(z, Zq), b(z, Zq), ol(z, Zq), p{^-i ~-o) désignant des 
expressions réelles construites en partant des nombres complexes r- 
et Zq. a„ et 3„ tendant vers zéro en même temps que -• On a 

Jl \ogcj,i = ,^,i a ' I -H a,, fjn>, 

( ^ ] 

-3 lojî^',, 6 1 -^ 3c„ 3.. 

I -T- a,; On l -+- J-n J/i 

a a 



- 83 ~ 

Si donc la série Srt^ '-Sni'-} converge pour z =^ Zq, ou si tout au 
moins la somme de ses p premiers termes reste bornée, elle con- 
vergera pour les valeurs de ; telles que «(;. ::o) soit négatif et 

que ,"^'^° reste borné. C'est le cas des séries étudiées par M. D. 

T aiz,Zo) i 

Carmichaël dans le travail cité plus haut. 

On peut encore donner un exemple d'utilisation d'une expres- 
sion asymptotique de q,i en prenant 

(2) ^„ = (^'^y'e-;W, _).„)(=-.„). 

Dans log^n le terme /?(logA„_,_, — IogA„) est négligeable vis-à-vis 
du terme contenant „+) — À,* en facteur, lorsque les A deviennent 
infinis avec ii. Ce rapport ('>.) intervient et ces circonstances 
se présentent dans l'étude directe des séries obtenues en tlérivant 
terme à terme une série de Diriclilet, étude faite par M. Caben 
dans sa Thèse bien connue. 

9. Etant données deux suites de fonctions 

si l'on pose c„ = ' " " , et si l'on admet que pour tous les points :; 
d'un domaine D la série ^| Ac„ | converge (ce qu'on peut souvent 
reconnaître, d'après les n°* 2 et 3, par l'étude du rapport Z^""^' :-!-lri j, 

alors en tous les points de D où une série ^a„ '-3«(-:) converge, la 
série -rt,i 'I^„(;) construite avec les mêmes coefficients est égale- 
ment convergente ( ' ). 

Si, de plus, la limite c de c„ pour n infini est différente de 
zéro, dans le domaine D la réciproque est vraie (voir n" 1, I ) de 
telle façon que les séries Sa„o„(c), '^a„'i„(z-) convergent poul- 
ies mêmes points. D'après ce qu'on a vu plus haut (n°2), pour 
que les deux conditions : ï|Ac„| convergente, c ^' o soient reui- 



(') Lorsque c„ tend vers zéro, il | Ac„ | étant convergente, il suffit que la somme 
des/? premiers termes de i:a„9„(-) reste bornée quel que soit p pour que la 
série £a„6„(-) soit convergente. 



— SA — 
[)lies, il faut el il siiffil que le prodiiil infini 

II(H-/-„), i-~ rn= (/u= -^> 

soit absolument convergent. 

C'est ainsi que la proposition de M. l^andau (/oc cit.. p. i(i()), 
concernant la convergence simultanée d'une série de factonelles 
et d'une série de Diriclilel. se rattache à la convergence absolue 
du j)roduit infini 



^(i + -)JJw I-+- - )e 



Z \ :U>e 



n 



<'-^j! 



qui représente la fonction -7; — j et qu on ramène aisément à la 
forme classique 



n 



I H le 



75=1 
où C désigne la constante dKuler. 



SUR CERTAINES HYPERSURFACES DE L'ESPACE 
CONFORME RÉEL A CINQ DIMENSIONS ; 

Par m. E. Cartais'. 

J'ai étudié dans un Mémoire précédent ('j la représentation 
conforme des hypersurfaces dans l'espace à /i ^ 5 dimensions et j'ai 
montré en particulier qu'une telle rejjrésentation ne pouvait exister 
qu'entre deux hypersurfaces se déduisant l'une de l'autre par une 
transformation conforme, à moins que les hypersurfaces ne fussent 
des enveloppes d'hypersphères à deux paramètres au plus, et 
encore cette condition n'est-elle pas suffisante. J'ai signalé que 
pour n :^ 5 il pouvait j avoir un cas exceptionnel où deux hyper- 
surfaces distinctes de l'espace conforme, c'est-à-dire ne se dé- 
duisant pas l'une de l'autre par une transformation conforme, 
admettraient une représentation conforme lune sur l'autre sans 

(') La déformation des hypersurfaces dans V espace conforme réel a 
71^5 dimensions {Bulletin de la Société mathéniati'jue de France, t. \L\. 
191"- P- 57-121). 



— 83 — 

être des enveloppes d'iiypersplières à deux paramètres : ces 
hypersurfaces possèdent alors quatre familles distinctes de lignes 
de courbure et la représentation se fait aiec conservation des 
lignes de courbure. 

Le but des pages suivantes est l'étude de ces hypersurfaces. 
Le résultat principal obtenu est, qu'étant donnée une hypersur- 
face (S) à lignes de courbure distinctes, il n'existe aucune famille 
continue d'hypersurfaces (S) distinctes admettant une représen- 
tation conforme sur (S) ou, plus brièvement, que (S) n'admet 
pas de déformation continue dans Vespace conforme. D'une 
manière plus précise, il ne peut exister i\\x une hypersurface (S) 
distincte de (S) admettant une représentation conforme sur (S). 
La recherche des couples de deux hypersurfaces distinctes (S) 
et (I]) admettant une représentation conforme l'une sur l'autre est 
ramenée à l'intégration d'un certain système de PfafFqui n'est pas 
discuté complètement. J'ai simplement déterminé les couples 
d'hypersurfaces (S) et (S) tels que, sur chacune des deux hyper- 
surfaces, les trois premières familles de lignes de courbure soient 
formées de circonférences : ces couples dépendent de cinq para- 
mètres arbitraires. 

1. Considérons, dans l'espace conforme à cinq dimensions, un 
système de référence heptasphérique formé de cinq hypersphères 
A, A,, Ao, A3, A4, de rayon non nul, et de deux hypersphères- 
points M, N de rayon nul, les cinq premières hypersphères pas- 
sant par les centres de M et ^i et étant orthogonales entre elles : 
chaque hypersphère est définie par sept coordonnées homogènes Xi\ 
la condition pour qu'elle soit de rayon nul est obtenue en annulant 
une certaine forme quadratique <!> des sept coordonnées. Si deux 
hypersphères A, B ont pour coordonnées Xi et j'/, nous poserons 

A lî = > - yi---> 

et nous supposerons que les coordonnées des hypersphères de 
référence sont choisies de manière à avoir 

A |A = A,| A/=M|\ = i; 

on a, de plus, par hypothèse, 

A I A, = A, I A, = A I M = A 1 \ = A, | M = A, | N = M | .M = N | N = o. 
XLvr. 7 



— 80 — 



Le système de référence le plus i;énéral dépend de 21 para- 
mètres arbitraires. Si Ton donne à ce système de référence le plus 
j^énéral un déplacement infiniment petit, on a des relations de 
la forme 



dM = 6 M 



A -H 7 0)r^\r,, 



(I) 



d\ 



p = ; 
dAi = — /i M — co/ .\ — ^ CT/p A p -!- <1^/ A , 



p = i 



d^ 



-^^-^■/.?-h-^v^> 



p= 



où les coefficients to/, y/, ^ij^ — Wy/, 'i^/, 0, y , sont 21 expressions 
«le Pfafif indépendantes par rapport aux différentielles des 21 para- 
mètres dont dépend le système de référence mobile. Ces 
•j.\ expressions de Pfaff ont leurs covarianls bilinéaires donnés 
par les formules 






"' =-y>a^A^ 



(^-) 



?='* 



7j =V/j^-^Vh^w^^^'-^'-/^ 

p = ' 

7: =[/.'^]-y[/.p'yp]- 



^U = f«"y/.'] - [W'7.y] ^_^['^'P^py] - ['^''^yl' 



' •!>;• =-[o.r/J-2['^P^P'l- 



— 87 — 

2. Etant donnée une hvpersurface (S) à quatre dimensions, on 
peut faire correspondre à chaque point M de cette hvpersurface 
un système de référence heptasphérique, lune des hjpersphères- 
points ayant pour centre le point M et continuant à être désignée 
par cette même lettre, l'hypersphère A étant tangente à (S). On 
peut, de plus, supposer que les hypersplières A(, Ao, A3, A-, 
sont normales aux lignes de courbure. Le système de référence 
associé au point M est encore jusqu'à un certain point arbitraire, 
car on peut multiplier les coordonnées de M par un même facteur 
et remplacer respectivement A, A,, Ao, A3, A,, par A + XM, 
A,H-A,M, A2+A2M, A3 + A3 M, A, -hA-iM, avec cinq para- 
mètres arbitraires. Quoi qu'il en soit, une fois choisi le système 
de référence associé à chaque point M de (S), on a, pour tout 
déplacement sur (S), les relations 

OJ = o, 

où les coefficients a< sont tels que A-r-a/^I soit la Z*^'™® hyper- 
sphère de courbure. 

Si maintenant on a une seconde hypersurface (Z), à chacun de 
ses points P on peut faire correspondre d'une manière analogue 
un système de référence formé des hypersphères-points P, Q et 
de cinq hypersphères B, B/, l'hypersphère B étant tangente à (S). 
On peut enfin supposer les B/ normales aux lignes de courbure, 
de sorte qu'en désignant par de grandes lettres ies expressions de 
PfatT qui définissent un déplacement infiniment petit du système 

de référence on a 

= 0. 

Le ds- de l'hypersurface (S) est, à un facteur fini près arbi- 
traire, ('gai à 

W j -i- (O !; -I- W j -I- U) r , 

celui de (!) est, dans les mêmes conditions, égal à 

3. Cela posé, si les deux hypersurfaces (S) et (S) admettent 
une représentation conforme l'une sur l'autre, avec conservation 



— 88 — 

des lignes de courbure, on aura, entre les systèmes de référence 
associés aux deux hypersurfaces, une correspondance telle qu'on 
pourra toujours supposer, par cette correspondance, vérifiées les 
relations 

û/= w,- (i = I, 2, 3, 4). 

En résumé, la reclierclie de deux hypersurfaces (S) et (S) 
admettant une représentation conforme l'une sur l'autre avec con- 
servation des lignes de courbure revient à l'intégration du système 
de PfafF suivant, où entrent 5o variables, tant dépendantes qu'in- 
dépendantes : 

(O = o, 

o =o, 
f II,- = ajMi^ 

Le système de référence associé à chaque point M de (S) 
dépend de six paramètres arbitraires : une fois qu'il est choisi, le 
système associé au point correspondant de (S) ne dépend plus que 
de cinq paramètres arbitraires : la connaissance du facteur arjji- 
traire qui entre dans les coordonnées de M entraîne en efTet celle 
du facteur ari)itraire qui entre dans les coordonnées de P. 

Si l'on égale les covariants bilinéaires des deux membres de 
cliaque équation (I), en tenant compte de ces équations elles- 
mêmes, on trouve, d'après (2), 



il' = o, 



p=4 



(10 \ 



'i/i — rt/w/)'= [iMi{dai-\~ a,0 — /_)] -t-^(rtp— a,) [wp^p/], 



p = i 



( «r, - bi Q, )' s [ Q, ( dbi + ^,, _ X ) ] +2 ( 6p - i,- ) [ Op n p, ] . 

p=i 

Ou peut maintenant spécialiser le système de référence associé 
à un point P de (Sj de manière à avoir 

= 0; 



- 89 — 

il suffit pour cela, comme le monti-ent les formules (i), de choisir 
convenablement les hjpersplières B,, Bj, B3, B^. Les six paramè- 
tres qui entrent dans le système de référence associé à M une fois 
choisis, le système de référence associé à P ne dépend plus alors 
que d'un paramètre, l'iiypersphère B pouvant être remplacée par 

Pour toute solution de (I) les seconds membres des équa- 
tions (1') doivent être nuls ; on en déduit facilement qu'on doit 
avoir 

U,j = TTSjj. 

4. On peut d'après cela ajouter aux équations de Pfafr(I) les 

suivantes 

(0=0, 

L'égalité des covariants bilinéaires des deux membres des 
équations de ce nouveau système donne, en tenant compte des 
équations (î) et (II), 

(„,^ ) «'-6'^-2[-pfXp_Xp)], 
p = . 
V U'ij — T^'ij = [ oj^ ( X/ — /_,■ )] — [ 0)/ ( Xy — yj )] — {bi bj — a,- «y ) [(o, wy ] 

J^es seconds membres de ces équations doivent être nuls pour 
toute solution du système (I) et (|II) ; on en déduit facilement des 
relations de la forme 

(3) X/— /,= UHy^i, 

avec 

( 4 ) Ui -h Uj = ai aj — bi bj. 

En calculant de deux manières différentes la somme -;<p, on 
arrive à la relation importante 

(5) {ai—aj){ai,— ai) = ( b,— bj) (b/,— b,) 

qui a lieu quelle que soit la permutation (/,y, Â". /) des indices 

(•,2,3,4). 

Cette relation (5) prouve en particulier que le rapport anbar- 



— 90 — 

monique des (juatre coefficieiils hi est égal au rapport anliarino- 
ni(|iie (les quatre coefficients «, de sorte qu'on [)eut passer des 
(li aux l>i par une même transformation homographique. 

Supposons d'abord que cette transformation soit de la forme 

(6) i/= /i«/-f- /.- a = i, 2, 3, -i). 

Les relations (.">) donnent 

/i- = I, d'où h =-zi. 

Les liypersplières de courbure de (S) et de (S) sont alors respecti- 
vement 

A — «, I\I, 

Changeons au besoin l'iiypersplière point P en — P, et prenons 
B + /. P pour nouvelle bypersphère B : on voit qu'on a alors 

bj = a/, 
et par suite 

L'égalité des covariants bilinéaires de Wi et •!/ conduit, d'après (2), 
à 

[W/(X — /jj^O (/=I,2, 3, 4), 

d'où 

X = /.. 

L'égalité des covariants X' et 7' conduit à la relatu)n 

X['i/_,jXp--/_P )] =0 
(jui, jointe à la relation, extraite de (H'j. 

montre facilement qu'on a 

X/ = /_/. 

Finalement les deux systèmes de référence associés aux deux 
hypersurfaces (S) et (X') admettent, dans riiypothèse exprimée 
par les égalités (()), le même déplacement instantané, et par suite 
ces deux liypersurfares résultent l'une de l'aulie par une 
transformation confornie^ cas banal que nous écartons. 

La relation entre les «/ et les ht est donc de la forme 



— 91 — 



mais on peut encore la simplifier en remarquant que les hvper- 
sphères de courbure de (S) étant 



hui-h k 



P, 



on peut, en remplaçant B par B -}- //P, supposer h nul. On a donc 
finalement 

(8) 6,= — ^ 
avec la relation, tirée de (5), 

(9) A-= («1 -H />)(a2 -+-/>)(' «3 -f- /')(«! -f-/?)- 

Le système de référence associé à (S) dépend toujours de six 
paramètres arbitraires, mais ces paramètres une fois choisis, le 
système de référence associé à (S) est bien déterminé. 

Remarquons encore que si, pour deux hjpersurfaces (S), le 
coefficient /> a la même valeur en deux points correspondants 
quelconques, ces deux hjpersurfaces résultent Tune de l'autre 
par une transformation conforme, puisque les coefficients bi sont 
proportionnels ^ et par suite, à notre point de vue, ces deux, 
hjpersurfaces ne sont pas distinctes. 

On a enfin, en résolvant les équations (4), 



(10) 2M,= «/(ay-i- a/. -H a/) 



ai— ai) 



o. L'i recherche des couples d'Iijpersurfaces (S) et (^) admet- 
tant une représentation conforme l'une sur l'autre avec conser- 
vation des lignes de courbure, revient finalement à l'intégration 
du système de Pfaff 



(III) 



10 


= 


0, 





= 


0, 


ii, 


= 


t.j,-, 


e 


— 


0, 


{ n,y 


= 


^ij, 


1 ^' 


=-- 


a,o),. 


'' ' 


= 


/.- 


a, -f- p 


X, 


= 


■/i-i- u, 



- 92 — 

où les ai, /•,/> sont dix fonctions inconnues et où les Ui sont don- 
nés par la formule (loj. 

La condition que les covarianls bllinéaires de 'li — (ti(.')i et 
Wi — OiMi soient nuls pour toute solution du système (IH), 
donne, d'après (1"), 

^(a^— «/) [ojpTOp,] = o (modo)/), 
p=i 

2«P — a, 
A- ■ [(0^77(^,1^0 (modoj,), 
(ap-^yo )(«,-+-/.) ^ ^ ''^ "' 

d'où Ton déduit facilement, les quatre quantités «p +/> étant 
toutes distinctes, 

[oj^roy/] = o ( mod lu,-) (y ^ i). 

Par suite, l'expression de Pfafl' m/y ne dépend que de to, et mj, 
et l'on peut poser 

(l\) 73 ij = >,,y OJy — Ày,- O), ; 

on a alors d'après (]') 

dai-\- ai<) — / Es^( flj — «;)Xp, lop (mod w,), 

(12) . ^ 

En remplaçant dans la seconde équation (12) />/ par sa 

valeur , on obtient 

«/+ p 

(i3) iai-\- p ) dk — Ik dp 

^^^^ ^'0 

9 9^' '' 

(mod a»,). 

On peut enfin déterminer des quantités ap, |^p,Yp, telles qu'on 
ait, quels que soient les indices i et c, 

( ! 4 ) (ar^-Uir- Xp, = ap a,2 + 3 p a, -~ Vp ; 



— 93 — 
de sorte que l'équation (i3) devient 

(i3'; i. Ui^ p) dk — k dp 

^{ai-^pf-X + kx - kiiui-^p)^ + k2^ ^ ^-^-^ Mp 

9 9^' 
(mod (»)/). 

6. Supposons maintenant choisi complètement le système de 
référence associé à (S). Les expressions y et deviennent, ainsi 
que X, des combinaisons linéaires de co, , ojj. 0)3, (O4, soit 



(i5) 


1/. = zcpcop, x = :s:cpwp, 
1 e = s^ptop. 


Posons enfin 




(16) 


( dk^zk^iùç, 

\ dp = I.ppbip. 



La relation (iS') donne alors 

(17) {ai-^p)kr^ — kpp ^ 

= («, + /) )2cp H- kcp— k(/2ai-i- p }tp-\- k y — -t 

où l'on suppose les indices i et p différents. 

Cette relation (17) a lieu quand on remplace successivement a, 
parles trois coefficients a différents de «p et, comme elle est Ju 
second degré en «/, elle esl une identité. Exprimons en particulier 
qu'elle est vérifiée, ainsi que sa dérivée première, pour «,- = — p. 
Nous obtenons 



/>p= — Cr^—plç, '^ 

kr^ =-1 k tr. + A- ^ '—^ 



L'égalité (9) différentiée donne alors, en appelant otp le coeffi- 
cient de ojp dans ^<7p, et en tenant compte de (18) et de (12), 

aprt^ _i_ ^a ap-+-Yp 

â, - c, + », ,, - 3, - . ,, «, H- y a^i:t^£^î£il£ 



l zi: 



— 94 — 

Dans cette relation, p entre au premier degré, de sorte que si 
elle est vérifiée pour deux valeurs distinctes deyj, elle est vérifiée 
ulcnliqueiuent. 

T. Clicrchons d'abord si à riiypersurface (S) on peut taire cor- 
respondre deux lijpersurfaces (S) distinctes, c'est-à-dire pour 
lesquelles la fonction/) a deux valeurs différentes. La relation (19) 
est alors vérifiée identiquement et l'on a 

i a^rt^ -r- ^^a^-^ Yo = o, 

(20) ■ — '^ ' ' ' r. 

Les formules (18) donnent pour dp une expression linéaire en/?, 

c'est-à-dire que p satisfait à une équation aux différentielles 

totales de la {Mmie 

dp = /) Z A-; o); -r- £ ;i 



'.Xr.lMr 



OÙ les coefficients a^ et ul^ sont bien déterminés. 11 en résulte que 
si cette équation aux différentielles totales n'est pas complètement 
intéiirable, elle admet une solution au plus, ce qui est contraire 
à l'hypothèse. L'équation étant complètement intégrable, sa solu- 
li(jn générale est de la forme 

p = Il ^ Cv, 

où C est la constante d'intégration. Les hypersphères de courbure 
de (S) étant 



on peut choisir M et A de manière à remplacer ai par— ^ : 

la valeur de p est alors une constante arbitraire. 

On peut dv)nc choisir les systèmes de référence de manière à 

supposer 

dp = o; 

le système de référence associé à (S) dépend encore de quatre para- 
mètres arbitraires, ceux qui sont nécessaires pour achever la déter- 
mination de A,, Ao, A3, A-, ; ces paramètres une fois choisis, le 
système de référence associé à (Z) est bien déterminé. On peut 
enfin choisir ces paramètres de manière à annuler H] les deux sys- 
tèmes de référence sont alors déterminés sans aucune ambiguïté. 
Finalement, en tenant compte des conventions précédentes, 



— 93 — 



tr = O, 



a-; = o, 



-p-p, 
puis, d'après (i4) et (12), 



(22) < ■■" rt/-«p 

On en déduit enfin 



Comme h est nulle et y une différentielle exacte, les équations ( 2) 
montrent que Fon a 

^[^p/.p] = o- 
2ap[wp-/.J =0, 

c'est-à-dire que l'expression y/ ne dépend que de co/, soit 

(28) ■/,= a'iMi. 

Si nous exprimons que cnx)i^=^ - dcii est une dlllerentielle 
exacte, nous obtenons 

(24) f/c/= (•; O), — ^ — L W5. 

^^ f'i — «0 

9^' 



(it') 



8. Partons maintenant de l'égalité ( i i), qui s'écrit 

C, Cj 



''J ~ 7. TT ""J 



Ijlll II, («y 



et exprimons que les coeiïlcients de [to^ojy] dans les covariant; 
bilinéaires des deux membres sont égaux; nous obtenons 



a j — a, { Uj — «y)* 

1 -:- Oiaj-h IV,— Ify = o. 

9 7^''l 



— 90 — 

Nous pouvons éliminer les c'- et les wi entre les six équa- 
tions (aT)) en les multipliant respectivement par [m — aj) («^ — «/), 
où les indices /, '/, /. , l forment une permutation paire des 
indices i, 2, 3, 4- H vient alors, en chassant les dénominateurs, 

(«2 — «3 )^ {il-!. «V )- («3 — «4 )* Cf 4- ( a, — «3 )" ( «1 — «4 )M «3 — «0* ci 

-4- (ai— a2)î (a, - a,,y- (a^— 04)2 c* 
-i-(a,- «2)2 (a,- a3)2(<'2— a3)*c|=o. 

Cela n'est possible que si tous les c, sont nuls. Mais alors les 
équations (2')) conduisent facilement à des relations telles que 

(a, — aj)(a/,— ai) = o, 

ce qui est impossible. 

Donc il est impossible que V hypersurface (S) admette une 
représentation conforme sur plus dune hypersurjace (Sj dis- 
tincte de ($). En particuliei* // est impossible que (S) admette 
une déformation continue dans C espace conforme. 

9. La fonction/? n'ayant qu'une valeur possible on peut, en pre- 
nant l'hjpersphère A — /?M comme nouvelle hypersphère A, sup- 
poser />=o. On peut de plus choisir le facteur arbitraire qui entre 
dans les coordonnées de M de manière à avoir 

(26) aiao«3a4= I ; 

on a alors 

A = ., 

^,= -1. 

On peut enfin, comme plus haut, supposer choisies les hyper- 
sphères A de manière à annuler B, les systèmes de référence étant 
alors complètement déterminés. La formule (17) donne dans ces 
conditions 

(•27) («p— «/)2>'p/=— «p(cp-+- ajcr), 

d'où, en tenant compte de (12) et (26), 

, ., dui v* Cp-f-rt,apCp ^ Ci-\-aiarCi 

ai A^ ai - a^ ^ ^^ ai — a^ 



— 97 — 



Avant d'aller plus loin, résumons les résultats obtenus. La 
recherche des couples d'hjpersurfaces (S) et (S) admettant une 
représentation conforme l'une sur l'autre revient à l'intégration du 
système de PfalT 



(IV) ( X, 


•/, 

X 

777/y 
fia; 



10 = o, 
Q = o, 

=0, 

'Ifi ^ a,- (jj/, 
I 



Cli 



/.'■"+" ~ (aiaj— mai^— aiai— aja^— ajGi— a/,a/)(xii, 



= o, 



Ci- 



iai—aj)-^ 

0-iar.Ci 



fia, \^ tv^-t- a/apCp -^ Ci-^-Uia^c,- 

ai j^ ai — rtp '' ^d ai — ar 



où les rt/, c/, Ci sont des fonctions inconnues, les quatre premières 
ayant un produit égal à i . j 

Pour toute solution de ce système, les covariants bilinéaires des 
deux membres de chacune de ses équations sont nuls. Il en est 
ainsi identiquement pour les 21 premières équations, la dernière 
étant 






Il en est aussi de même pour les quatre équations suivantes, comnie 
un calcul sans difficulté le montrerait. 

jNous ne poursuivrons pas l'étude du système (ÏV). iNous nous 
contenterons de chercher les couples d'hypersurfaces (S) et (ï) 
jouissant de la propriété que les trois premières familles de lignes 
de courbure soient^ pour chacune de ces /lype/surfaces, fer- 
mées de circonférences. 



— 98 — 

10. Exprimons d'aljord que la première famille de lignes de 
courbure de (S) est formée de circonférences. Cela veut dire que, 
quand on se déplace en laissant ojo, (O3, co^ nuls, il existe une cir- 
conférence fixe passant par M et normale à A , . Cette circonférence 
est l'intersection de quatre lijpersphères de la forme 

A-^pM, As-^paM, A3 ^03 M, Ai+piM. 

» 
Or Ion a, en supposant Wo = tt>:t = ^'^^ = o^ 

d{k -H p iM) = (p — «1 )'jui Ai-4- (rfp — cioj,)M, 
d{X,_^ pîM) = (?2-r- X2l)wi Al-^ (dpz— 7.2 jM, 

rfC A3 -^ P3 M ) = ( p3 ^ X3, )tOi Al -^ (C?p3 — /_3)M, 

û?(Ai-i-piM) = (pi-HÀiOwiAi-t-Ct/pi— ■/j,)^i. 
II faut donc et il suffit qu'on ait 

da\^ Ciuii fiTiodio,, 103, w;), 

dl,i-h /,îs o (mod (Oo, t03, toj) (^ = 2, 3, 4)- 

Si l'on veut que la même propriété appartienne à (-), Il faudra 
qu'on ait en particulier 

dai - 
5-^Cioj, (mod ojo, 0J3, 0)4), 

d'où 

^^29) Cl -f- aj Cl = o. 

]\Iais les formules (28) donnent, en tenant compte de (29), 

da^ — 

^ — irtiCito, (mod W2, W3. cui); 

il faut donc qu'on ait 

Cl = Cl =: o. 

11 est impossible que les quatre familles de lignes de courbure 
soient, pour chacune des deux lijpersurfaces (Sj et (i; ), formées 

de circonférences, car alors les ci et les c, étant tous nuls, on 
aurait 

7TT/y = O, 

d'où 



— 99 — 
y^i serait de la foi-me «'/w/, avec 

Wi -+- iVj -+- aiaj=^ o, 
relations qui donneraient 

( a/ — aj){ aie — ai) = o. 

Supposons donc que les ti'ois premières familles de lignes de 
courbure soient formées de circonférences. Réservons la lettre l 
pour désigner un des indices i, 2, 3. On a alors à intégrer le 
système 



(V) 



co 


= 


O) 


Q 


= 


0, 


Qi 


= 


Oi;, 


Û4 


= 


Wi, 





= 


0, 


n.y 


= 


'^iji 


n,/ 


= 


^ih 


^i 


= 


a, W;-, 


^'^ 


= 


«iWi, 


"■v. 


= 


I 

— w/ 

a,- 


^4 


= 


I 

— W4 
«4 



X; = / ; H ( «/ «y — "l ai! -4- a, «4 Clj «A — «7 «4 — «/.■ «4 ) ^ii 

X4 = /iH — (a, a4-t- ajci-^-h a/^ci;— ajUj — aja/;— aja/-)iii/, 

e =0, 

y = Cl tOj, 

X = ''40^4, 



Cl H- af c, 

dn, c'*-ir- a,- a:, d, 
, a, ai, — «4 

La considération de nrl-^ montre que yj ne dépend que de to,- ; 
celle de 8' montre alors que y .. ne dépend que de o^ ; soit 



(3o) /j= »vw/- /.v 



— 100 — 
En égalant cMitre eux les covariantsde '/ et c^oj,, ainsi que ceux 
(le X et C!^i.ù,i oii ^''>il c[ue dd, et dc^ ne dépendent que de (o... Les 
covariants hilinéaires des deux membres des trois dernières équa- 
tions (V) sont alors égaux d'eux-mêmes. En égalant enfin les 
covariants bilinéaii'cs des deux membres des équations (V) rela- 
tives à w/y et w./? on obtient 

où l'on a posé pr)ur abréger 

Les solutions du système (V) satisfont donc au système com- 
plémentaire suivant 

(VI) p.- = -,-., 

où les (V/ et «r., sont liées aux fonctions inconnues «/, a^, C4, C4 par 
les relations (3i); ce sont du reste des fonctions dont la différen- 
tielle ne dépend, comme les précédentes, que de 0)4. En posant 

dwi = oi'i 0)4, div^ = W4 oj;, 

l'égalité des covariants bilinéaires des deux membres des équa- 
tions (VI) donne 

( 3-2 ) w; = X4, ( Wi — w, ; - Ci a,. 

Or ces relations sont des conséquences des relations (3i); il 
suffit en ellet de remarquer que les trois premières équations (Si) 
déterminent a-,, tt'o, «'3 et par suite (v, , (T'',, w'.^. Les relations (Sa) 
sont donc des conséquences de (3i) si, en diflerentiant les trois 
premières équations (3i), on obtient des identités en tenant compte 
de (3i) et (32); et c'est ce que montre un calcul facile. 

IL Finalement, si l'on remarque que les équations (3 1) détermi- 
nent sans ambiguïté «•,, Wo, w^, w^ en fonction de «,, «o? «31 c^, C4, 
le problème revie.it à la détermination de ces cinq dernières fonc- 
tions inconnues. Comme w'^ = o, l'expression W4 est la différen- 
tielle d'une variable indépendante x^ et les cinq quantités a,, «2? 



101 - 



<^.n Cki t''. sont des fonctions de x définies par les cinq équations 
différen licites 



(33) 



, Ci -H a,ai Ci 

«, = tti j 

«, — a; 

^^'l 1 — ''-43 -^- (^-U — >-V;i) (>-U -(- À43— À42) + («1 — «3) («V— «2 ) = «, 
À;,— À'i3-i- (X42— X4j;(Â42 -H X43— X41) -t-(rt2 — «3)(«4— «1) = O, 



OÙ a•^ est mis pour et ),,/ pour sa valeur 



X„ = - 



a- Ci 



* {ai — aij2 



La solution générale du problème proposé dépend donc de 
cinq constantes arbitraires^ indépendamment des constantes qui 
fixent la position des hypersurfaces (S) et (S) dans L'espace 
conforme. 

l!2. Les hypersurfaces (S ) el ('-) ainsi obtenues admettent une 
génération assez simple. Considérons en effet sur chacune d'elles 
les variétés à trois dimensions obtenues en faisant a).., = o, c'est- 
à-dire les variétés trajectoires orthogonales, sur les hypersurfaces, 
des lignes de courbure de la quatrième famille. Sur une de ces 

variétés, on a 

û?M = oji Aj 4- (0, Ao -i- 0J3 A3, 

dk. = — rtiW,Ai — a^oj^k-i — «30)3 A3, 
(34) { dPi-i — oj,i— (ï^,iM — N — Ai, Ai-H a/A), 

fl?A4= A41 (Oi Al -I- Xi2''J2-^2 -+- Xi3 0J3 A3, 
f/N := H'i OJ 1 A 1 -i- 1^2 Wo A 2 -T" '^'3 ^3 A3 . 

On a de plus 

tij'j = oj'2 = OJ3 = o, 

de sorte que co, est une diirérentielle exacte, soit dxi. 

Il résulte des formules (34) que rhv[)ersplièie A, nedé[)end que 
du paramètre .r/, et l'on trouve farileuient 

-^ = - (af + Vii -^ 2 n',)\,: 

Supposons par exemple les trois coefficients «J + Aj^ -f- 2<v, 
positifs (il pourrait y en avoir deux seulement de positifs, le troi- 

XLVI. 8 



— 102 — 
siènie cUiiiL nul ou néyalif); on aura, en les appelant mj, 

A, = cos(/M,a"/) H.2,-1 -+- sin ( niiXj) Wa, 

où II,, IL, II:i, II,, IÏ5, Ho sont six hypersphères fixes orthogo- 
nales entre elles et satisfaisant à 

H,|H,= i. 
On en déduit 



INI 



: 7 — rsin(rt!,-.r, ) H.,/_i — cos(m/a:/) Ho/ 1 -i- i / — - ^ r H 5 H^ 

.^ /;*/'■ ' ' ^ y mj //?'^ w-î 



où II7 désigne une hvpersplière fixe (H'thogonale aux six premières 
et satisfaisant à 

H;|H7=— I. 

Autrement dit on peut choisir, pour chaque trajectoire orthogo- 
nale des lignes de courbure de la quatrième famille, un système 
de référence tel que les coordonnées heptasphériques d'un |)oint 
de la variété soient de la forme 

I 

x^i-i = — sin m.Xi, 

m, 

I 

(35) •: ^0,- = cos/»,.r/. 

Les coefficients m; sont naturellement des fonctions du para- 
mètre dont dépend la variété considérée. Ces variétés sont tout 
à fait analogues aux cyclides de l'espace à trois dimensions : ce 
sont de trijiles enveloppes d'Iivpersphères à un paramètre. 

13. Les hypersurfaces (S) qui satisfont au systèuie (IN ) font 
partie d'une catégorie plus générale d'hypersurfaces, à savoir celles 
qui admettent des l'ariétf's de courbure à trois dimensions, c'est- 
à-dire des variétés remplissant toute l'hypersurface et contenant 
trois des lignes de courjjure de l'hypersurface : ce sont encore les 
trajectoires orthogonales des lignes de courbure de la dernière 
famille. Ces variétés à trois dimensions existent; on a, en effet, 



— 1(J3 — 
d'après (i i), 

lo;. = [Ow,] -4-^?.p/[cOpOJ/], 
9 

ce qui prouve que l'équation oj, := o est complètement inté- 
grable. Sa solution générale fournit les variétés de courbure de la 
^•eme famiUe. 

Les hjpersurfaces qui font partie d'un système quintuple ortho- 
gonal jouissent toutes de cette propriété. 

Cherchons à déterminer les hjpersurfaces les plus générales qui 
en jouissent. En les supposant rapportées à leurs lignes de cour- 
l)ure, il faudra que les quatre équations od/ = o soient complète- 
ment intégrables. Or on a 

w; = [610/] -ul [wpnjp,]; 
posons 

p=l 

avec 

(36) À,.^p-(-Xy,.p=o (M y); 

nous devrons avoir, en exprimant que le coefficient de [(Oyco/;] 
dans a)| est nul. 

( 37 ) À/,7.- - h:ij =0 {i^j-^k). 

En appliquant successivement les relations (36) et (-ij), on 
obtient 

j)ar suite tous les coefficients A/^a îi trois indices dillérenls sont 
nuls. On a donc la Idi-inule (i i) 

TT^ij = ).,jO>j — Ay, (o/. 

La recherclie des bvpersuriaces en question icvient ilonc à l'in- 
tégration du svsièiiie de Pfafl 

, (O = o. 
(VII) ■ 'i', — a,Lo,= o, 

( TO,/— Kjj'Mj-^ \j,M,— O. 

Or si l'on forme les covariants Ijiiinéaircs (kv-; [)remiers membres 



— 104 — 

(le ces ('(iiialions en leiiant compte de ces équations elles-mêmes, 
on trouve 



lu ^ o, 



«/(0/)'= (0,7 



dai-\- a, H — / 



^^(rtp a,)Ar,iOJr, 



<VII') 



(CT/y— lijMj-t- Ày/(0/)' 

= Wy (f/À,7+ //^ A/yO ^ ;^(0/ay-^ il Xp,- /py ) (0/ + 1 (X,y— ).,p )Xpy (Up j 

— OJi(dlj/-i- yj^'^j/fi -+- -(a,aj-+- 1 Xp,Xpy;(Oy-i- s ( Xy,— Xyp) Xp,(Op ) • 

Les seconds membres des formules (VIF) sont de la forme 



(VII") 






où les 1 6 expressions II/, Xl/y sont linéairement indépendantes entre 
elles et indépendantes des w,. Il résulte facilement de là que le 
système (VII) est en involul ion et l'on peut non moins facilement 
trouver le degré d'indétermination de ses solutions. Il suffit pour 
cela d'appliquer la théorie générale des systèmes en involution. 
Désignons par a/, a,, a", . . . , des systèmes de quatre arbitraires et 
considérons un |)remier système d'équations linéaires en II/, Jl/y, 

a,II/= o, 
«y U,j — a, Ily,- = O ; 

il contient 5, := lo équations linéairement indépendantes. Le sys- 
tème obtenu en ajoutant aux équations précédentes les suivantes 

a^ n, = o, 
:l'j IT/y — X,- Il ji = o 

contient en tout ,9, + ^2= 10 + 6 équations linéairement indépen- 
dantes. Le système suivant obtenu en utilisant les aj ne con- 
tiendrait évidemment pas d'équations nouvelles. Au système de 
Pfafl'(VII) sont donc associés les entiers 

5i = IO, i'2 = 0, A'3=0, Si = 0, 

et le système sera en involution si les formules qui donnent les 



— lOo — 

ri/ et les TT/y en fonctions linéaires des w/ de manière à annuler 
les expressions (VIT) dépendent de 

paramètres arlntraires; or c'est ce qui se vérifie immédiatement. 

Le système (^ II) est donc complètement intégrable et sa solu- 
tion générale dépend de s^ = () fonctions arbitraires de deux 
arguments. Lhypersurface la plus générale de l'espace à cinq 
dimensions dépend au contraire d'une fonction arbitraire de quatre 
arguments. 

La même méthode s'applique encore plus facilement au système 
de Pfaffqui donne les systèmes n — uples orthogonaux dans l'es- 
pace à n dimensions; elle conduit immédiatement à la conclusion 

que le système le plus général dépend de ^ — ; fonctions arbi- 
traires de deux argruments. 



SUR LA RÉPARTITION PROBABLE ET LES FLUCTUATIONS DES 
DISTANCES MUTUELLES D UN NOMBRE FINI DE POINTS, 
DROITES ET PLANS ; 

Par m. Emile Borel. 

1 . Remarques préliminaires. — Avant d'aborder les [)r()blèmes 
de probabilités continues ([ui font l'objet de cette JNote, nous 
exposerons quelques remarques qui s'appliquent à tous les pro- 
blèmes de probaljilité et, pour plus de netteté, nous prendrons 
comme exemple des jjroljlèmes de probabilités discontinues. 

Considérons les looo nombres de 3 chilTres couqiris entre ooo 
et C)99; soit ooo, ooi, etc. Les looo nombres ainsi écrits com- 
prennent oooo chiffres, parmi lesquels .3oo chiffres -; il va, sur 
les looo nombres, ^43 renfermant i chiffre -; 27 rentermant 
'2 chiffres -; 1 renfermant 3 cliifires 7, en tout 271 nombres ren- 
fermant au moins i cbillie 7 et -■>.[) n'en renfermant aucun. Ceci 
posé, nous allons ('tiKlicr le pntblèiue suivant : n Ln nombre de 



— lOG — 

.) cluirres csl lel qu'o// sait (|ii il rcnicrmc an moins i cliillrt; j; 
(Hielle est la piohahiiitc; pour (juil en reuloi-mc pircisémenl i, 
(Ui M, on 3. » \j'r\n)nré |»en[ être roiupris de deux manières, aux- 
(jiiclles corre.spoiideiil deux solul ions dillVrentes A el B. 

A. l^e nombre a été riioisi an hasard |)aiiiii les ■>- i nombres 
qui renferment au moins un -. Les prohabilih's demandées sont 
alors : 

— !- = o,SqG(i8; 

— — = o,o()963; 
y.71 

I 

= O.OOjfX). 

•271 

L'espérance niatliématique du pjuenr (jui toucherait 1'' {)Our 

<;haqne chiflVe ~ serait 

3oo 

— 1 . 107. 

271 

B. On a clioisi au hasard nn des 3oo chillVes - qui se trouvent 
parmi les iooo chiUVes des 1000 nombres et le nombre choisi est 
celui auquel appartient ce chillre 7. En ce cas les deux chiffres 
inconnus forment un nombre ^wc/co/iijrMe de deux chiffres compris 
entre 00 et ()(); parmi ces 100 nombres, <Si ne renferment aucun -, 
1 8 en renferment un, 1 en renferme deux ; les prol)abilités sont donc 

0,81 au lieu de 0,89668 ; 
0,18 » 0,09963 ; 

0,01 » 0,00369, 

et l'espérance mathématique du joueur qui reçoit i^*" par chiffre ~ 

est 

1,2 au lieu de 1 , 107. 

On voit que la différence essentielle entre A et B est la sui- 
vante : dans A, le fait d'avoir un chiffre ~ diminue les chances 
pour que les autres chiffres soient des 7; dans B ces chances sont 
intégralement conservées. 

La distinction entre ces deux points de vue est parfois assez 
subtile; mais, faute de la saisir, on est exposé à des erreurs dans 
les évaluations des ])robabilités. 



— 107 — 

Considérons, par exemple, le nombre décimal égal à \/2 ; dans 
l'état actuel de la science, nous ne connaissons aucune loi poul- 
ies cliillres décimaux successifs; de sorte que, si un chiffre nous 
est inconnu, nous devons regarder la probabilité pour qu'il soit 
un- couime égale à 0,1. Considérons les chitlres dont le rang 
après la virgule sont égaux à loooooi, 1000002, etc., jusqu'à 
1000 100. Ces 100 chiffres nous sont entièrement inconnus; nous 
devons donc considérer que, pour chacun d'eux, la probabilité 
pour qu'il soit un - est 0,1 ; le nombre probable des chiffres - 
parmi ces 100 chiffres est 10. 

Si un mathématicien, par une méthode nouvelle et inconnue 
dont il a gardé le secret, calcule ces 100 chiffres et garde secret le 
résultat de son calcul, deux joueurs pourront engager des paris 
sur la valeur de ces chifîres et le prendre comme arbitre; le jeu 
sera équitable si l'un d'eux verse i'"" en pariant que le 54^ de ces 
chiffres, par exemple, est un ~ et reçoit lo'"^ dans le cas où il aura 
deviné juste. Comme les probabilités relatives aux divers chifîres 
sont indépendantes, le joueur, après avoir gagné ou perdu son 
pari sur le 54" chiffre, pouiTu parier dans les mêmes conditions 
pour le 63^, ou pour le :>A'f, et ainsi de suite, s'il lui convient, 
jusqu'à ce qu'il ait épuisé les 100 chiffres. Nons nous trouvons 
ici dans l'hypothèse B. Voici ce qui correspond à l'hypothèse A. 
Admettons que le mathématicien qui possède les valeurs des 
100 chiffres ait inscrit sur \\n carnet les numéros d'ordre des 
chiffres qui sont des -; par exemple •i'", .35'^, 43", 58'', etc., et qu'un 
joueur indiscret ayant jeté les veux sur ce carnet ait ainsi appris 
que le \?)'' chiffre est un -. 11 va de soi que s'il parie pour ce 
\'.Y chiffre, sa probabilité 0,1 de gagner devient la certitude ( pro- 
babilité r); mais s'il parie pour un autre l'ang, par exemple pour 
le 42*^ ou le 53'', sa probabilité de gagner se trouve diminuée et 
n'est plus que de 

A = _L 
99 ~ " 
au lieu d'être 



Cette affirmation peut paraître paradoxale, carau premier aitord 
on ne voit pas liien la différence qu'il y a entre apprendre (pic le 



— 108 — 

i-V cliinVe est un ~ an iiioyeii du carnet indiscrètement consulté, 
(Kl de l'apprendre en pariant qu'il en est ainsi et en gaj^nant son 
pari; or, dans ce cas nous avons affinix' (jiie le gain d'un pari ne 
uiodiliait en rien les prohabilités pour les autres paris. La difle- 
rence est la suivante : lorsque le joueur indiscret a consulté le 
carnet, il a pu, par hypothèse, connaître le rang de l'un des 
chiffres - qui se trouvent parmi les loo cliillres considérés; si donc 
un rang, tel que le 68^, n'a pas été vu par lui, cela diminue la 
|)n)hahilité pour qiie ce soit le rang d'un chill're 7. A un autre 
point de vue, on peut observer que si l'on néglige (') l'hypo- 
thèse très peu probable où il n'y aurait aucun chiffre 7. le tait 
d'apprendre le rang d'un des chiffres - qui existent n'augmente 
pas le nombre total probable de ces chiftres 7 ; si, au contraire, 
un joueur non prévenu parie que le i'^V chiffre est un - et gagne 
son pari, il est en droit de penser que sur les 99 chiffres restants, 
la proportion des 7 est encore — > c'est-à-dire le nombre probable 
de 7 égal à 9,9, le nombre probable total étant dès lors 10,9 au 
lieu de 10. 

!2. La répartition des points sur un segment de droite. — 
Nous dirons que n points sont distribués au hasard sur un seg- 
ment de longueur l si la probabilité pour chacun d'eux de se 

dx 
trouver sur un élément dx est égale à —j-- Etudier les propriétés 

dune telle distribution revient à étudier statistiquement les pro- 
priétés des A" distributions que l'on obtiendrait en divisant / en 
A parties égales et en plaçant de toutes les manières possibles les 
n points chacun dans une de ces portions, A étant supposé un 
nombre suffisamment grand pour que deux positions intérieures à 
une même portion — soient regardées comme indiscernables. Il 
est souvent plus commode de parler le langage de la probabilité 

(') Comme nous l'avons fait d'ailleurs en évaluant la probabilité .Notre 

1 1 

raisonnement est, en effet, le suivant : l'espérance mathématiijue d'un joueur qui 

mise i'"^ sur chacun des 100 rangs et qui reçoit lo'' pour chacun des chiffres - est 

précisément égale à 100. Or, le joueur indiscret payera lo^' sans risques de perte 

le pari fait sur le !\'.V chiffre; son espérance mathématique est donc ((o'' pour les 

99 autres paris; la probabilité est donc bien le quotient de 9 par 99. 



— 109 - 

que celui de la statistique, mais on ne doit jamais perdre de vue 
que la statistique est le seul fondement concret du langage des 
probabilités et que Ion doit v recourir dans tous les cas liti- 
gieux ('). 

Au lieu de considérer n points sur un segment /, on peut 
admettre qu'il y a en moyenne n points sur le segment /. Cela 
signifie que li étant très grand, il j a hn points sur un segment hl 
qui comprend le segment considéré; le cas limite /i = oo donne 
les formules les plus simples, i^es probabilités pour que les 
nombres des points situés sur le segment / soient respectivement 
égaux à o, I, 2, ... sont les termes successifs de la série (-). 



r n n- nP ~\ 



c'est-à-dire que la probaljililé pour qu'il v ait précisément/) points 

est 

ni' 
pi 

Le nombre moyen des points est, par définition, 
ZpP{p) = n. 

On retrouve /?, comme cela devait être. ^Mais le carr»; moyen 
du nombre des points n'est pas n^; car on a 

S/?2 P(p) = :£.p{p — \) P(p) -i- l/> P(/> ) = «--- n. 

De même, le nombre des segments dont deux points sont des 

extrémités et situes sur l est égal a - — dans le cas ou il y a 

p points; le nombre moyen est donc 

yuji^iipip,^'^. 



(') Nous laissons ici de cùté la difliculté suivante, en nous contentant do la 
signaler : les définitions statisti({ues (|ue l'on obtient par deux modes de division 
diflérents (par exemple en a" ou en 3" parties égales, n croissant indéfiniment) 
sont-elles équivalentes''. Cette difficulté est particulièrement intéressante à 
étudier dans un domaine, tel que la surface de la sphère, où il n'est pas possible 
de considérer des divisions régulières. 

(-) Voir Kmile Borel, fntroduction géométrique à quelques tlu-ories phy- 
siques, Note \ . 



— 110 — 

f^ I .1 I ' ■ . - • . n( n — O /\ 

i>e nombre est donc. Ic^crenient siipcriciii' n (hi peiii 

obtenir ce résiilliil )»ar un raisonnenienl diiecl : si Ton a /i/i |)oinl> 
sur un .sei;inenl hl, le uonilMC des sef^nients foriiK-s par ces [lomls 

j>ris deux à deux est 

, hn( hn — i ^ 



Pour qu'un de ces .\ segments soit tout entier sur le sej;ment / 
considéré, il faut et il snffit que cliacune de ses extrémilé-s y 

soit; la |ir(ii)al»ilit<'' est -r pour cliacune d'elles et rr l^our les 
^ n ^ //- ' 

deux (ces probabilités sont indépendantes); le nombre pnjbabb- 

des segments est donc 

JJans le cas luiule où h est oc, on retrouve bien — 

j. 

3. Les /luctuatioiis de la répartition des points sur un seg- 
ment de droite. — INous avons vu que si un segment / renferme 
en moyenne n points, ce qui correspond à une densité moyenne c : 



la probabilité pour qu'il en renferme yj est 

ni' 

La moyenne de la valeur absolue de l'écart entre le nombre 
moyen n et le nombre réel p est 



^\n-p\Y>{p). 



/'■ 



Pour évaluer cette somme, nous la décomposerons. On a d'abord : 

p = n j>z= n ii=:n — 1 

^(n-p)P(p) = n^P(p)- V ,,P(^). 

^J = It — O f) —0 

car 

pPip) = nP(p-i). 



— m — 

On a donc 

p = n 

^(n-p)P(p) = nV(n). 

On trouverait de même 

2 (p-n)P(p) = nPin). 

p — n + i 

La valeur moyenne des valeurs absolues des écarts est donc 

•>. /i P(n ) = 2 n — f e-". 
Or la formule de Stirling donne 

/? " I — £„ 

— r e-" = 



\/>. - n 



le nombre £,j tendant vers zéro lorsque n augmente indéfinimenl ; 
la valeur moyenne des valeurs absolues des écarts est donc 

Y -2 T. ri y •' 

On trouverait par un calcul analogue que la moyenne des carn-s 

des écarts est n 

M(n — p)- = «• 

La densité moyenne est t; la densité vraie est t, : 

.,= f 

La fluctuation moyenne de la densité ^1(1 3-, — 7|) peul se cal- 
culer en fonction fie 7 et de l 

La valeur de la fluctuation peut se déduire des résultats connus 
de la tliéorie c'i's probabilités continiu*s. On sait que sur 
jN épreuves, la pi' '>\bilité de l'événement favorable étant p cl la 
probabilité de révv..cmenl contraire ^= ' — /', Tunilt' iré-carl A 



— 112 - 

est donnée par la r«)riiiiil(> f ' ) 



et l'écart moyen est 



^x 



Ici, on doit supposer que IN augmentant indéfiniment p tend 
vers zéro de telle manière que le produit X/) soit égal à n. On a 
donc <^ r= 1 et 

K 

\. Les dislances mutuelles des points répartis au hasard 

sur un segment. — Si un segment de longueur / renferme 

// |toints, le nombre des distances mutuelles de ces points deux ù 

, n( n — I ) • 'a p 

deux est — : si ce même segment renierme en moyenne 

n points, le nombre moyen des distances mutuelles est, comme 

nous 1 avons vu, 

i. 

Parmi ces distances, combien y en a-t-il qui sont inférieures à 

une longueur donnée £? 

Posons 

£ = Id. 

La pi'obabillté pour que la distance des deux points compris 
sur le segment / soit inférieure à kl est 

..-..= 11^5:. 

Le nombre probable <\e<, distinces inférieures à e est donc, sui- 
vant que l'on suppose qu'il y a précisément n points ou qu'il y a 
en moyenne n points, 



ni n — 


•<)/ 




£2 


■1 


\ 


l^ 


n- 1 


' -xt 


'■-\ 




t( 


1 


-7^) 





(' ) Voir BoREL, Éléments de la théorie des probabilités. 



— 113 — 

J'omets les formviles que Ion ôbliendrait en recherchant le 
nombre des distances comprises entre £ et t-\-cU^ ou entre e, et 
£o et aussi les formules où l'on introduirait au lieu de n la 
densité (t définie par ti r= /t. 

On pourrait objecter à la démonstration précédente qu'elle 
suppose que les distances sont indépendantes, hypothèse non 
exacte. En réalité, cette objection n'est pas fondée : si nous 
appelons les n points A,, Ao, .... A„, un joueur peut parier que 
la distance A,Ay est inférieure à z; s'il doit payer 2 A" — A- pour 
recevoir i en cas de gain, il joue un jeu équitable. .Si 

— joueurs tont un pan analogue pour chacune des 

distances, chacun d'eux joue un jeu équitable. Ln seul parieur 
peut se substituer à eux sans que le jeu cesse d'être équitable : la 
dépendance mutuelle des distances ne joue pas de rôle. 

On peut d'ailleurs arriver au même résultat par un raisonne- 
ment direct. Plaçons-nous dans le cas où il y a précisément 
n points et désignons-les par A,, Ao, .... A„. Plaçons le point A, 
et entourons-le d'un intervalle de dimensions 2î dont ce point est 
le milieu. Si la distance du point A, aux extrémités du segment / 
est inférieure à î, ce segment as sera tout entier à l'intérieur de /; 
sinon, une portion seulement sera intérieure à /; cette portion, 
que nous appellerons la portion utile, a pour longueur probable 



Ceci veut dire que si l'on considère un grand nombre de seg- 
ments identiques sur lesquels A, occupe successivement toutes 
les positions possibles, telle est la longueur moyenne des ])ortions 
utiles. 

Plaçons maintenant le point A^ : s'il ti)mbe dans la portion 
utile du segment qui entoure A,, la longueur A, Ao sera inférieure 
à s; la probabilité pour qu'il en soit ainsi est 

Quoi qu il en soil, eut nir.jus de même A ^ t^l un segment :> ; dont 
la portion utile aura la même longueur probable. Li somme i\e> 



— 114 — 
deux portions uliles est 



■,.-j 



[l peut arriver (pi'cUes empiètent l'une sur l'aulre; niais si l'on 
place le point A3, l'espérance nialliéniiilirpie du joueur fpii rece- 
vrait autant d'unités de valeur rpi'il y a de se<^uients auxquels 
a[)partient A3 est 



iV'~i) = '\i~i')' 



On verrait de même que l'espérance mathématique lorsque 
l'on place A/, est 



^'t-Î^ 



et, lorsque l'on place A„, 

L'espérance mathématique totale, ou le nombre probable des seg- 
ments A/Ay inférieurs à z est donc 



-h. . ;+ (n. -t- 1) 



u £ E- \ n{n — \) 



l l'-l -i \ l 



On retrouve donc le même résultat. 

Dans le cas où il j aurait en moyenne n points, il suffirait de 
faire le même calcul pour chaque valeur p et de prendre la 
moyenne comme au paragraphe 3. 

Lorsqu'on donne la densité 7, sans fixer la longueur /du seg- 
ment, on peut raisonner d'une manière un peu différente. Cher- 
chons la densité des points A qui sont des extrémités de seg- 
ments de longueur inférieure à s. Dans une région donnée, la 
densité des points A est a-; c'est le nombre des points A par 
unité de longueur. Si A est un des points, la densité dans l'inter- 
valle ■>t dont le milieu est A est encore t, c'est-à-dire que le 
nomltre moyen (') des A' est aso-; la densité Aei extrémités des 



(') On voit ici la diiïérence entre l'iiypollièsc A et riiypothèse B tiu para- 
graphe 1. I-orsqu'on supposait n points dans le segment l et que l'on fixait l'un 
d'eux, il n'en restait plus que n — i. Ici on part, non d'un segment as fixé 
indépendamment des A, mais d'un A déterminé: il y a donc jet points A' et 
non 2 £5 — I. 



— llo — 

se*;ments tels que AA' est donc 2ît-; comme chaque segment a 
deux extrémités, la densité des segments est et-. 

Si l'on prend s = /, on trouve l^'-, comme densité et 1--7- comme 
nombre de segments inférieurs à / sur le segment /; or l7=?î., 
on en trouve donc n'-; le nombre moyen des segments intérieurs 

au segment / est — ; les autres segments sont des segments qui 

chevauchent sur deux segments consécutifs de longueur /; ceux 
qui n'ont qu'une extrémité sur le segment / considéré comptent 

I 
pour -• 

En d'autres termes, il y a, sur un segment de longueur /, 211- 
extrémités de segments inférieurs ou égaux à /, à savoir n- extré- 
mites correspondant aux — segments interieui^s au segment donne 
et n- extrémités appartenant à des segments qui chevauchent sur 
ce segment et l'un des deux segments contigus. 

On voit que Ton obtient exactement la moitié du nomljre des 
segments inférieurs à / renfermés sur un segment M/, ÎM étant un 
entier quelconque, en divisant ce segment M/ en M segments / 
et en partant de cette remarque simple que tous les segments dont 
les fieux extrémités sont intérieures à un uiême segment / ont une 
longueur au plus égale à /. 

Cette remarque nous conduira de la manière la plus simple au 
calcul des fluctuations que nous allons aborder. 

o. Fluctuations des distances mutuelles de points en nombre 
fini suf une droite. — Considérons des points répartis avec une 
densité a- sur une droite; la densité moyenne des segments de 
longueur inférieure ou égale à / est a--/; quelles sont les lluctua- 
lions de cette densité? Pour nous en rendre couipte, divisons la 
droite en segments fixes de longueur /; ils renfermeni en 
moyenne n^^il |)oinls et eu it-alité y> |)()iuts avec une probabi- 
I ■ - r. / I I ' p( P — I ) I 

lit(; r(p); sur chacun deux se trouvent ^—^ segments de 



n- 



longueur inférieure à /au lieu de — , nombre moyen ; la lluctualion 

movenne esl donc 

p( p — \ ) n' 



^P(P) 



— IKJ — 
Celle somme se calcule aisémenl; car ou a 



p{p-^)\->{p) = n''-P{p-^) 



el par suile 



i"<^>[T 



pip — 'i) 



[!»(/*) — Vui — i)\ 



D( 



Oi 



,P(/ 



^[ 



^j ^'^yPin)+V{n-x)\. 



V(n)= |>(rt — n = ^e-". 
/il 

La lluctualion moyenne est donc en définillve 



«! v/'.>-7i 



ce qui peut s'écrire aussi : 



\/f 



D'après le calcul <léjà l'ail pour les tluctualions du nombre des 
poinls, si les distances inférieures à / élaienl indépendantes les 
unes des autres el réparties au hasard de telle manière qu'il j en 

eut en moyenne ]N := — sur un segment /, les fluctuations 

moyennes de ce nombre N seraient 



On voil que la llucluation est multipliée par le facteur y,/:-> n du 
fait que les dislances ne sont plus indépendantes ; s'il y a une 
accumulation fortuite de points dans une région, les dislances 
inférieures à l'étendue de la région augmentent comme le carré 
du nombre de poinls accumulés. 

.romeltrai le calcul direct un peu plus compliqué des (luctua- 
tions des distances inférieures à / qui chevauchent sur deux seg- 
ments fixes conligus de dimensions /; ce calcul le vient à celui de 



— 117 — 

a somme 



2 ^?{p)P{q)\pq-n-^. 

p^O ,1=0 

On obtient une approximation largement suffisante par notre 
remarque d'après laquelle la moitié du nombre total des segments 
inférieurs à L est obtenue en prenant les segments intérieurs aux 
segments fixes de longueur /; dans deux segments fixes distincts, 
les positions sont indépendantes, et par suite, suivant la règle 
classique, la tluctuation se multiplie par la racine carrée du 
nombre des segments. 

En résumé, si N est le nombre moyen des segments inférieurs 
à / dans une étendue quelconque, la fluctuation moyenne de ce 
nombre N est, non pas 

1^ 



comme il résulterait des théories générales dans le cas où ces 
distances seraient indépendantes, mais 

n étant le nombre moyen de points sur le segment /; /i ^ /?; la 
iluctuation peut donc s'écrire également 

o \/-i 11. 

6. Les points dans le plan ou dans l'espace. — Les détails 
dans lesquels nous sommes entrés dans le cas linéaire nous per- 
mettront d'êti'e très brefs dans le cas des points répartis au h isard 
dans une région donnée de forme quelconque du plan ou de 
l'espace. La densité o- est ici le nomjjre moyen des points par 
unité de surface ou de volume. Dans une surface S ou un 
volume V, le nombre moven des points est /e = tS <»u tN et le 
nombre réel estp avec la probabilité P(/>)- 

7. Les distances nintuelles des points dans le plan ou dans 
Vespace. — Le calcul du nondjre nuîven des distances mutuelles 
inférieures à un nombre donné / est tout à fait analogue au calcul 
lait dans le plan. 

XLVI. Q 



— 118 — 

Diins une aire (un vdliiiiie) (■>;alo à rmiilé il \ a n points; 
cliaciin (J"eii\ peut rire regardé eonime le cenlre tl'uu cercle (d'une 
sphère) de rayon /, la surface lolale Me volume lolal) dt; ces cercles 

(sphères) est t— /- (t.itA-^X et le nonihie moyen des j)oints int(''- 
rieurs est T--/^ / ^ 3-- ■tî /* j ; telle est la densit*'- des exlréniilrs de 

segments de dimensions ^ /• chaque segment ayant deux extré- 
trémités, la densité moyenne des segments eux-mêmes est, dans 
le j)lan, 

et, dans l'espace, 

Dans un cercle (une sphère) de diamèlre /, le nombre moyen 
des extrémités des segments s'obtient en multipliant la densité 
])ar la surface (le yolume), c'est-à-dire par 

77/2 ^/,t 

— — ou —^, 

4 »' 

ce qui donne 

ou 

4 1) 

Or le nombre 11 des points intérieurs au cercle (ù la sphère) de 
diamètre /est, en moyenne. 



77/2 


77 /s 




« = a — — 


4 


(i 



et le nombre moyen des segments obtenus en joignant ces n points 
deux à deux est — , le nombre des extrémités étant /i-, c'est-à-dire 



772/4 




.--f 




c\ 


!T- r 


Ib 




06 



On voit que les nombres ainsi obtenus sont dans le plan le 
quart et dans l'espace le huitième du nombre moyen total des 
extrémités; le ])rocédé qui donnait la moiti('' du nombre des seg- 
ments inférieurs à / sur la droite en donne - dans le plan et - dans 
l'espace. Le calcul des lluctuations se ferait d'une manière ana- 



logue. 



— 119 — 

Pour une aire (un volume) de forme quelccinque, le calcul du 
nombre moyen des segments intérieurs de dimensions intérieures 
à / est un problème de calcul intégral qui peut être assez com- 
pliqué; je me contenterai de reproduire ici les résultats qui m'ont 
paru les plus simples et les plus intéressants parmi ceux que j'ai 
calculés. 

Probabilité pour que la distance de deux points intérieurs à un 
cercle de rayon R soit ^â : 



:a2-+-a(;R2— a2) — sina (K2-+- f^I^ 



-R2 

en posant 

. a a 
sui - = — — . 

Pour une sphère de rayon R, l'expression est plus simple : 

Etant donné un polygone convexe tel qu'un segment de lon- 
gueur a rencontre au plus deux côtés (y compris les prolonge- 
ments), si l'on désigne par S la surface, par P le périuiètre, par 
A, B, C, ... les angles, le nombre des segments de longueur infé- 
rieure à a entièrement intérieurs est proportionnel à 

Ra2S — ^P + ^y cotA(- — A + tan-A). 

Pour un carré de côté /, cette forujule devient 

Sa^l a* 
T.a- l- 1 

On pourrait calculer les lluctiiations eu dc-composiuil en (wrrés 
ou cubes au lieu de considérer des cercles ou sphères. 

8. La ri'partilion de droites ou plans. — Je uie contcnleiai 
d'indiquer les pi-incipes d'api'ès lesquels des problèmes analogues 
jieuvent être traités pour des droites dans le plan ou dans l'espace 
ou pour des plans dans l'esjjace. 

Dans le plan, étant donnés une aire S et un angle a, considérons 



— 120 — 



les cli-oites données dont les par.illèles sont inlérieures à l'angle a 
et qui coupenl S; la somme des serments intérieurs à S ('lunl [^ 
le rapport 



est la densit('' moyenne des droites données dans S et a; celle 
densité a les dimensions de l'inverse d'une lonj^iieiir. 

Dans l'espace on considérera un angle solide a et un Nolunie V 
et l'on prendra le rapport 

aV 

dont les diuieusions sont celles de l'inverse d'une surlace. 

Pour les plans distribués dans l'espace, on considérera ceux 
dont les normales sont intérieures à un angle solide a et qui 
coupent un volume V; la -somuie des surfaces découpées sur ces 
plans étant S, la densité moyenne a- est 

On traiterait de la même manière que ])0ur les points les pro- 
blèmes concernant les probabilités et les liuctualions des plus 
courtes distances de droites distribuées dans une région de l'es- 
pace avec densité moyenne a ou des distances de points de den- 
sité (7 à des plans de densité t' . 



SUR DEUX POLYNOMES ASSOCIES AUX POLYNOMES 
DE LEGENDRE; 

Pau m. Pikrre Hu.mi;kiit. 



Soit P„ ( :■), le polynôme de Legendre d'ordre n. Nous définis- 
sons les deux polynômes A^ (^), de degré /i — 2, et B^, (3), de 
degré /i — i, |)ar l'identité 



— 121 — 

que nous appellerons identité fondamentale. Nous nous propo- 
sons d'étudier les principales propriétés de ces polynômes, ainsi 
que de quelques autres que l'on peut en considérer comme des 
extensions ('). 

I. 

Premières remarques. — Le simple examen de l'identité fon- 
damentale nous permet les remarques suivantes : A«, qui est 
d'ordre n — 2, ne contient que des termes d'ordres n — 2, n — 4? 
n — 6, ...; B«, au contraire, n'a que des termes d'ordres n — i, 
n — 3 , n — 5 , 

Aq, a,, et Bo n'existent pas. 

Les polvnomes définis par les premières valeurs de n sont les 
suivants : 

A2 = — 2, 62=^^; 

A3 = — j z, Bi = 



A, = - 


3 ' 


A- — 


'il5z^—l/l-jz 








]■?. 



B,== 



3 ' 
o5z^ — 23 z 

Fi ' 

3i5s* — -iS-z^-h 32 
6Ô - 



Enfin, si a est une racine quelconque de P«(-s) l'identité fon- 
damentale montre que 



(') B„(a)=- ' 



i\(^)' 



le signe de B,;(a) est donc celui de P)^(a). On en déduit que, de 
même que les n — i racines de P„(5) séparent les n racines de 
P«(j), les n — I racines de B„(s) séparent les n racines de P,i(z): 
On voit de la même manière que les n — 2 racines de An{z) 
séparent les n — i racines de P',^{z-), et séparent également les 
n — I racines de B,i(z). 



(') Nous supposons connues du lecteur les propriétés élémentaires des fonc- 
lions de I.egendre, qui se trouvent dans tous les traités dAnalyse. J'nir. notam- 
ment, WiuTTAKER et Watson, Modeiii Analysis, 2' édition, Cambridge. 191*3- 



122 



h'ormules de n'currence entre V et B. — Entre les polvnomes B 
et les polynômes de Legendre existe la relation de récurrence 

{■i) P„_,(^)Ti„(i:)-P„(^)B„_,(5)+^^ - o. 



Il nous suflit, pour la démontrer, de prouver que le premier 
membre, qui est un polynôme en ^ de degré in — 2, s'annule pour 
in — I valeurs de ;, à savoir les //racines ajdeP„(^), etles/î — i 
racines ,j/deP„_, (c).Eneflet, pour :^ = a,,rexpression (2)devient, 
en vertu de (i), égale à 

P/»-i(g/) _^ ^,- — ' 

ce qui est nul, d'après l'une des formules de récurrence entre les 
polynômes de Legendre et leurs dérivées , 

iz'-—})V'„(z) = nzPn(z) — nPn-i(^)- 

De même, pour une racine [ii-, 1 expression (2) devient égale à 

ce qui est encore nul, en vertu de la relation 

— iz^--i)P'„..,{z) = nzl\,-U^-)-nVn(z). 

La formule (2) est donc démontrée. 

Par un raisonnement identique, on démontrera aussi la formule 
suivante 

(3) P„+, B„_,- P„_, B„+i = ^''l^'^\^ ^-(-■^- 1). 

Valeurs particulières des polynômes B. — En faisant, dans 
la formule (2), :;= 1 , et en nous rappelant que P„ (i)= i, nous 

obtenons le résultat 

B„(i) = B„_,(i), 
et, comme B, (i)= 1 , 

B„(i) = i. 

De m«^me, faisant ; = — ^ i , et sachant que P„ ( — 1) = ( — 1)", 
nous trouvons 



— 123 — 
Enfin, faisant z=zo, nous pourrons écrire 



B-2m+l (O) =(—!)' 



B^m (O) = O. 
2 . 4 - 6 . . . 2 /« 



1 .3. j. . .( i/n -^ I) (7.m -H i)P2,„(o) 



Le polynôme B sous forme de déterminant. — Si nous écri- 
vons la formule (2), 

P«-l ^>n — P/i B/j_, -^ = o, 



et la suite des formules obtenues en diminuont chaque fois n d'une 
unité, 



» «-2 »/i-i — P„_iB,j_2-^ = o. 



P1B2— P.B, 



en y joignant 



PoBi-, = o, 



nous obtenons n équations linéaires en B,, Bo, ..., B;,, d'où nous 
pourrons tirer ces n quantités considérées comme inconnues. 
Nous aurons ainsi B^^ sous forme du quotient de deux détermi- 
nants. Le déterminant dénominateur sera simplement le produit 

P,P2...P.-i; 

et le déterminant numérateur sera très aisément simplifié, en ajou- 
tant terme à terme deux lignes consécutives, et tenant compte de 
la formule de récurrence entre trois polynômes de Legendre consé- 
cutifs. Le produit P, Po...P„_, se trouve en facteur au numérateur, 
et nous obtiendrons l'expression suivante : 



B„(.)=^ 



1Z 
2 



O O 

3 o 

7- 4 

î •)- 



le déterminant ayant // — 1 lignes et colonnes. 

Cette forme très simple permet aisément le calcul dun polynôme 
B,, d'ordre quelconque. 



— |-2t — 

Fornmlc de récurrence entre trois polynômes B consécutifs. 
— Re|irenons les relations (i) et (3), joignons-y la suivante, 

P«B„+i— P„+,B„-h = o, 

n -t- I 

et éliminons I\/_|_i, P^ et V*n-{ entre ces trois é(juations et la for- 
mule Je récurrence bien connue 

(/i-hi)P„+i — (2n -M)3P„-l- /iP„-i = o, 

(le façon à obtenir une formule ne contenant plus f|ue des poly- 
nômes B. ^ious trouvons 

(4) (fi -î- I) B„^_i — (in -\- i)zB,j-i- nB„_i = o. 

c'est-à-dire la même formule de récurrence qu'entre trois polv- 
nomes P consécutifs. 

Ou aurait pu également l'obtenir à partir de B^ mis sous forme 
de déterminant. 

Expression de Q^ ciu moyen du polynôme B,, . — La for-, 
mule (4) va nous conduire à un résnltat très important. Si nous 
considérons l'équation aux diflerences 

(5) {n -f-i)a„+i-f- nun^\ = {')-n + \)zUn, 

nous remarcjuerons que nous en connaissons deux solutions parti- 
culières, P/, (^) et B/^ (:;) ; la solution générale en sera donc 

H„=o(^)P„('i:)-i-if^)B„(^), 

'j et '\) étant deux fonctions cpielconques, indépendantes de n. Or 
nous savons que cette équation (5) admet également pour solution 
la fonction de Legendre de seconde espèce, Q„ (cl. 11 existe donc 
deux fonctions s est ■!/ telles que Ton ait 

Q„(^) = cp(..)P„(^) -+- J;(s) B„(x;). 
Cherchons à obtenir directement cette expression ('). On a, par 

(') Nous avons déjà publié ce résultat, ainsi que le raisonnement qui y conduit. 
(Comptes rendus Acad. Se, t. 165, p. 7.59) et l'avons étendu en faisant connaître 
une inéiliodc de réduction pour des fonctions de seconde espèce vérifiant une 
équalion diffcrentiellc d'un type général {l^roceedings of the Boyal Soc. of 
Edinburgli, vol. XXXVIII, p. 61). Nous en verrons plus loin deux exemples. 



— d2o — 
définition de la fonction de seconde espèce, 

ce que nous écrirons 

J. l /, f'—l 

En intégrant par parties le terme contenant P'„, nous trouvons 

Q„(2) B„(s) 



P„(s) ( ;;2— i)P„(;;i 






En dérivant l'identité fondamentale, nous avons la relation 
A « -^ B „ A^ H^P^t 

l> ~ n p p/ * 

' « ' « ^ « r ,j 

Par décomposition en éléments simples, les racines de P„ étant 
«,, «o, ..., cin et celles de P^^ étant A,; /y^ f>n^\i nous pourrons 

écrire 

/ = « — 1 

p;, ~ Zà vi(bi) z-bi' 

B„P^ Jy" B„ra,)P;,(«,) , '~v;r' B„(6,) I 

ce qui nous donne, en observant (|ue les sommes portant sur les b 
se détruisent en vertu de lidentité fondamentale dérivée, 



A„-B„ ^ y 



B„(a,)p;;(«,) T 

[P',(«,)P z- 



Mais nous tirons de l'équation différentielle de Legendre la rela- 
tion suivante : 

P',', 1 «/ ) _ _ ?- <ii 

donc 



P>, A^{a\ — \) V'n ( «, j z — a, 

D'autre part, la décoMi|)ositi(>n en (Uéments simples, jointe aux 
résultats que nous avons établis plus haut sur lî//(i) el B,, ( — i), 



— 12(1 



nous jierniet d écrire 










/ = n 
-izY^niz) ^ 


-idi R„('a,) 




I 


I 


i =1 


i; !';,(«/) (- 


-ai) 


z I 


z -H I 


d'où 










({\) A„-i- B^, ■} 


'zMn 


I 


I 





donc, en portanl dans l'intégrale, el en intégrant, 
c'esl-à-dire 



2 - I Z-- 



C'est bien l'expression que nous chercluons, et nous avons 
donc 

o{z)= -log- — — 



2 Z I Z l 

De nombreux auteurs ont mis (^„ sous la forme 

Q« = - Pn log ^-^^ —fn-i, 

où/„_, est un polynôme d'ordre /? — i. Les expressions qu'ils en 
ont données sont en général compliquées, et contiennent les poly- 
nômes de Legendre d'ordre inférieur à n. On voit que nous avons 
simplement 

/«-l — .■>_ J — 

Le polynôme y«_i est encore solution de l'équation aux dilTé- 
rences (5), avec cette fois 



Enfin la formule (()), que Ton peut écriie 

(3-2_,)(a„4-b;,)=>(cB„-i»„), 



— 127 — 
montre que le polynôme 

A(5)=-^(A„+B'„) 

est lui aussi solution de la même équation aux différences, avec 



La formule 



?(-)=^izr7' 'M-) 



QI „ , ^ ' I -3 r ^ h ,1 
„ = - P„ log 



est de toute première importance dans la théorie des polynômes 
qui nous occupent; elle permettra en effet d'écrire de nombreuses 
propriétés du polynôme B«, à partir des propriétés connues 
de Q«. 

II. 

Les polynômes A jouissent de propriétés analogues, et dont la 
démonstration est à peu de chose près identique à celle que nous 
avons donnée dans le cas des polynômes 13. 

Formule de récurrence entre A et P'. — C'est par une démons- 
tration calquée sur celle de la formule de récurrence entre BetP, 
mais en considérant, au lieu des racines de P^ et P« i, celles de 
P,', et P,/ 1 , que l'on établira la relation 

(7) A„_,P„-A„P;,_,= n, 
ainsi que la suivante : 

(8) A„_iP'„^, — A „+!?;,_, = (an 4- 1)3. 

Valeurs particulières des polynômes A. — Ces formules nous 
permettent d'écrire, en tenant compte des valeurs particulières 

des P', 

n(n^\) 
A„(i) =1 > 



et 



A„(-i) = (— i)«A„(i) 

A2/« + l('>> — o. 

. ^ , . a . i . G . . . i /» ,, . , 



— 1^28 -^ 



Le polynôme Xn SOUS forme de déterminant . — En opt-rant 
sur les formules (^) et ((S) exactement comme nous lavons fait sur 
les formules de récurrence entre les Pet les li, nous obtiendrons 
sans diffîcullé l'expression 



A„ = - 



(/*—!)! 



1 


/ " 


i 


o 


o 


o 


') 


9- 


4 


o 


(J 


o 


(i 


I 1 z 


5 



où le déterminant a n — i lignes et colonnes. 

Formule de récurrence entre trois polynômes A consécutifs. 
— On la tirera des mêmes formules, jointes à la suivante, 

«P;, + , — (2«-i-I)^P'„-^(rt-f-i)^"„-l = o 

et l'on obtiendra 

nS-n+i — {'i.n-rï)zkn-\-{n-\- i)A„_i = o. 

c'esl-à-dire la même formule que pour P'. Or cette équation aux 
différences est satisfaite aussi par la fonction Q'„ (i;), qui dès lors 
pourra s'exprimer au moyen de P/^ et de A„. 

Expression de (^[^ en fonction de An- — H suff"it, pour obte- 
nir cette expression, de dériver la formule donnant Q„ en fonction 
de P„ et de B,^. jNoiis trouvons ainsi 

n- _ ' i>' I ^'^' ^' ''" ~ -' '^» ~ ^ ^'" ~ ^ P" + ^''1 ^ ''■ - ^" 

^" ~ ^ * " ""» ^ - I (^^-1)2 

En tenant compte de la formule (G) établie plus haut, 
nous trouvons Texiiression très simple 



Remarquons que ce terme 



^ r „ -I- A /, 



— 1-29 - 
n'est pas un polynôme, comme dans le cas de Q„. On a en elTet 

n( n -^ i) n( n ^i) 

PU')= > A„(i) = i ; 

le numérateur n'est donc pas nul pour :; = i . 

III. 

Formules de véciivveuce entre A et B. — • H existe, comme on 
le sait, un certain nombre de formules de récurrence entre les 
polynômes de Legendre et leurs dérivées, linéaires par rapport 
aux P et aux P', et vérifiées aussi par les fonctions de seconde 
espèce 0„ et leurs dérivées. Considérons l'une d'entre elles, et 
écrivons-la 

fcQmQ;, ....q'/, q;, ...) = <>• 

Remplaçons dans cette formule les () par leur expression en 
fonction de P et de B, les (V par leur expression en fonction de 
P' et de A; tous les termes en P et l*' disparaîtront en vertu de 

F(p„ p„ ...,p;-, P}, ...) = o 

et il restera l'expression 

F(B,, By, ..., - A,, -Ay, ...) = o. 

On obtiendra donc des formules de récurrence entre les poly- 
nômes A et B à partir dune quelconque des formules de récur- 
rence entre les fonctions de Legendre et leurs dérivées, en rem- 
plaçant P/ par B/ et V- par — A,. 

JNous écrirons donc, à partir des lormiiles de récurrence clas- 
siques des polynômes de i^egendre, 

^A„ — A,;_i — 7jB„ = o, 

A„— cA„_i-+- n\in-\ = o, 

(«- — i)A,j -h n(z]in~ B„_,) = o, 

(^-— i)A„_i -I- n{B,i — -H,,-,) = o. 

(■Art -H i)B„= A„_, — A„_Hi, 

et, à partir il'unc foniuilc dimiK'c par !•". ^«clllll;lll^, 

(■in-h\)(z'-— ilA„= n{n -.- i; ( D„_, — Ji,.,H , ;. 



— 130 — 

Remarques. — Nous avons dit que A^, A, vA lî„ n'exisliiienl 
pas; mais, pour fpic les foruiulcs (pie nous venf)ns d'écrire soient 
\alal)l('S (picl (pic soil n. nous serons anuMU'S à poser. [)iir conven- 
tion, 

A„r= I, 

Aj = o, 

Bo ::^ Z. 

Toutes les formules indiquées ci-dessus (relations de récurrence 
entre P et B, entre P' et A, entre trois B ou trois A consécutifs, 
expressions de Q« et de (^,'^) seront alors vulubles sans restrictions; 
et il en sera de inèine de celles que nous établirons par la suite. 

Foniniles de récuiience contenant les déiivées. — • On |)eul 
obtenir un certain nombre de formules de récurrence introduisant 
les dérivées des polynômes A ou B; mais elles contiendront en 
général les polynômes de Legendre. On y parviendra en dérivant 
la formule 

I 3 + 1 zV„ ^n 

1 o — I -<>* — I 

et en appliquant la relation de récurrence 

(52—1) Q;j= n^Q„— «Q„-i. 

On trouvera ainsi 

et 

(^2— i)B;,= (« -+-2)3B„- /iB„_,~ •>.?„ 

ou encore 

(9) (^2- i)A'„+«(n-i)B„==2P;,. 

A ce gi'oupe se rattache la formule, que nous avons (Uablie par 
ailleurs, 

(-2_i)^a„-i-b;,) = 2(-b„-p„), 

d'où l'on j)()urra tirer la suivante, ne contenant plus P. 

(x:2 — I) B; +[//("+ ij — B„ -4- ■>.- A„+ ■>,( s2 — i) A'„ = o, 

mais ces dernit'res formules ne sont plii> des forinules de récur- 
rence proprement dites. 



— 131 — 

Equation différentielle pour A„. — Nous allons néanmoins 
en tirer un résultat intéressant : dans la formule (9), remplaçons B,j 
par sa valeur tirée de l'identité fondamentale : nous obtenons 

(z- — 1; A^, P„ — ni II — I ) A„P„= iY*',J — n(/i -h\), 

d'où, par dérivation, l'équation dllFérentielle du second ordre, 
linéaire et avec second niembre, à laquelle satisfait le polynôme 

(z'--i)A;- n( /n- i)A„ = 4 P'„. 

On en remarquera la forme particulièrement simple ; et Ton 
pourra noter que l'on connaît une solution de l'équation sans 
second membre, à savoir la fonction |)rimitive de P„ (:;). 

Equation différentielie pour B„. — Le même procédé pour- 
rait nous conduire à une équation différentielle vérifiée par le 
polynôme B„ (:;). Il est plus sim])le de la rechercber à partir de 
l'expression de Q^ en fonction de P;^ et de B^ : on la dérivera deux 
fois, et l'on écrira que (^„ vérifie l'équation de Legeridre. On sera 
ainsi amené à une équation différentielle pour B„ (;), beaucou]) 
moins simple d'ailleurs que celle de A„ : 

{z'- - iY\y„ — 1 z( z'- ~ \)W„-^ [■!{ z.'- ^ i) — n{n ^ i) {z'- — ï)]\^a 

Fonction génératrice de B„. — C'est encore à partir de la 
même expression de Q„ que nous pourrons trouver une fonction 
génératrice pour lî,; : il nous suffira de partir des fonctions géné- 
ratrices bien connues de P„ et de (^)« : nous trouverons sans diffi- 
culté 



sj \ — ihz-^ h"^ 

le logarithme (''tant népérien; et nous nOublicroiis pas la ((Mncn- 
tion que nous avons faite sur Bq. 

Foimules de récurrence diverses. — De nombreuses autres 
formules pourraient être établies par des procj-tlés analogues : 
signalons par exemple les sui\antes. don! la d<''iuonslration sérail 



- 132 — 

aisée : 

A/i—il'/j-i- B,jr„_, = z, 

A,,F„— A„_,F^,-l -^(P„A„_,+ P„_iA„) — -2 1 =o, 
B„Q„_,-B„_,Q„= -LL-_„(-2_,)UjgizJ.l 

IV. 

Dés'clopnements en séries se ratlachanl aux suites de Slurm. 
— L'équallon aux dilFérences à laquelle satisfont les poljnonies B„ 
montre que ces polynômes apj)artiennent à une suite de Sturm. 
On peut donc leur appliquer la formule fondamentale établie par 
Darboux dans son Mémoire sur le ihéorènie de Sturm, et écrire 
le développement suivant: 

(n-hi) ^— ; =(in + i)B„(z)Bn(x) 

z — X 

-t-(2/i — i)B„-i(^)B„_i(a7) 



-+- •3B,(^)B.2(:r) 
-H2B,(^)Bi(ar). 

Li démonstration directe de celte formule, à [)artir des rela- 
tions de récurrence, est d'ailleurs immédiate. 

En faisant a? = ^, nous oJjtenons le développement 

(«-i-i;(B;,+ ,B,,— B„^iB'„) = ('2/i + i)B2, + ...-i-5B;; ^ iB\. 

De même, en remarquant que les polynômes P,t vérifient la 
même équation aux dillerences, on pourra écrire un autre i^roupe 
de développements : 

(n + i)(B„P;,+ ,-B„+,P;,)= BoPo+2B,Pi-f-... + (2n + i)B„P,„ 
(n + i)(B;,^iP„-B„P„+i)=-BoPo+3B,P,-i-...+ (->.n-f-i)B„P„. 

]în considérant à présent que, pour la même raison, les poly- 
nômes A forment une suite de Sturm, nous aurons les développe- 
ment'^ suivants : 



A„4-) A„ A„ A„-j-i 






jLà i{i 



— 133 — 
el de même 



— ^ = : : A 2 ( - ) r ., ( a: ) , 



n{ n -i- i) 
d'où, en faisant x^= z, 






\ p" _ V p' V ' p' V ' P' 



n -i- I 






Autres développements. — Des dévelop[)ements en série 
analogues à ceux que l'on rencontre dans la théorie des fonctions 
de Legendre s'obtiennent aisément à partir des diverses formules 
de récurrence : ainsi 

— (A„+i -+- A,,) = — I -T- 3 Bi— j 132-^. . .-)- r-i/i — i) B„. 
— A,j=^ (2/1 — i)B„-i-i- (y.n— 5)B„-3-t- (2« — 9)B,;_--h. . ., 

le dernier terme étant ici 2 B| ou 5 B;^ suivant que /i est pair ou 
impair. 

Les mêmes formules de récurrence permettent d'écrire 

I — -" A„ = B, -f- 2 s B2 + . . . — /i c."-i B„ 
et 

z" ' p.,, — Il :; c" - 

— = - A.— -A3 -H. . .H A„. 

I — ;;- 1 n 

Un développement i/ttrodaisant les fonctions ( K — La l<>r- 
mule suivante, due à Frobenius, 



va nous permettre d'écrire \\\\ dévelopjieiuent particulièrement 
remarquable. 

Remplaçons dans le second membre (^«(^Z') p^n- sa valcui- en 
fonction de P^ et de B„ ; puis tenons compte du drveIop|)t'!uent 
fondamental 



= 2)("^«-^0P«(^)Qn(.r)- 



XI.VI. 



— i;5 5 — 

Nous arriverons alors an développemenl <licrcln- : 



y -- r 



D(''\'ploppeineiil de B^ en sét-ie de polynômes de Lei^endre. — 
Plusieurs résultats ont été établis par Gliristoirel (') sur 1«; poly- 
nôme que nous avons appelé yn_t (-3), tel que 

Q« = rP/tlog ^_j —/«-!• 

Nous allons utiliser ces travaux pour obtenir de nouvelles for- 
mules relatives au polynôme B„. 

Tout d'abord, nous partirons du développement, indiqué par 
CbristofTel, de/„_, en série de polynômes de Legendre, 

■xn — \ , '^^ — ^ p , ->n — ^ p 

J n- 1 — * /i — 1 ~!~ ~t ' « — 3 "T" 7 • «—5 — . . . . 

•' \ .n i ( « — I j 5 I /( — -i) 

Or nous avons établi la formule 

, _zP„-B„ 

d'où nous tirerons 



B 






Les formules de récurrence entre les polynômes Pnous permet- 
tent d'écrire 

Z \ I, — r„4_i -: 1 „-i. 

•2 /t -T- I 2 n -f- 1 

2 /t H- I i /i -r- I 

(n— 1)2 (n — (n — 2 ) p 

(an — 3)^2p ^ = ^ ^ Vn_^~- -— — P„-.-j 

(« — 3)' ( /î — 3)(/* — 4 ) 



(■) f/e/^er rfte Gaussische Quadratur {Crellc, l. 55, i858). Les notations de Chris- 
toffel sonl un peu dilTérentes et le polynôme /„_, dont il s'occupe dilTèrc du 
nôtre par un facteur constant. 



— 13S — 

Ceci nous doaue, après simpliHcalions, et en remarquant que 
les ternies en l*/, 4., se détruisent, le développeuient du polynôme 
B,i (z) en série de polynômes de Le^endre : 

_ 2 ( 2 n — I ) 9. ( '2 « — 5 ) r «2 — o « -^ 9. ) 

" ^ 377^ ""' ~ i.3.i./H«-i)(//-î.) ^"- •■' 

■A (' 9. // — 9 ) ( /i* — 4 /* -^ 9 ) 



■>. (jtn — 1 3 ) (yi- — (■) /i -4- 9.0 ; 
-j . 7 . 9 . ( /i — "2 ) ( /i — 3 ) ( /i — 4 ' "~ ' 



ce que nous écrirons de la façon suivante: 

m - n — t 

( ■>. m -I- I )(/«■- -f- m- -(- /? -f- m — •'.)''' 



B„ = _8y U- + U 

^t^ in — m — ■i,){n—in){n~ 



-m+2)(n-i-m-t-3)(n-(-//n-i^(/j-l-/n — i) 

m 1=0.1 

la parité de /?i étant dillerente de celle de n. 

Développement du polynôme A„. — Le polynôme (jue nous 
avons désigné par A,,, c'est-à-dire 

•j. 

admet un développeuient analogue, mais un peu plus siuiple. Il 
suffit, pour le trouver, (Técrire une foruiule connue, 

^n — .2_ I — — — ' /( -^ -y«-i, 

el d'appliquer le développeuient de (^liristofîel. On trouve. apn*s 
réductions, 

;;/ — n — 2 

•^ (9, /» -4- I) f;? — W)(« -H /« -^ l) ,, 

A^ {n~ m — \){n — ni ^ i) (n ^ m -r- i){n -\- ni) 

jn=0.\ 

ni et n étant de même pariu'-. 

Développements introduisdnt des produits de fonctions de 
Legendre. — La seconde formule de Cliristotïel donl nous allons 
nous servir est la suivante: 

n — /" — I 

Vf Vf - V ''-•^"-"'-'-' . 



— i:}6 — 
• jui coniprentl, comme cas parliciilier, la t'onmile tic Scliiifll cl 
llermlte, 

s = n 

/ll-l = y^ - Prt-.^P.r 1. 
5=1 

Nous remarquerons que le premier meml)re tic la formule de 
ChrlslofTel n'est autre que 

Z' — I 

Si nous taisons alors m = 2, nous arriverons à l'expression sui- 
\anlc j)()ur le polvnorne }^„: 

ce qu'au uioven de formules de récurrence on peut encore mellre 
s(jns la forme 



s := n 



3.. ,. VT» /. ^— 3 r.- T. -I'"-? 

\J ( s — 2 ) 



■2 ^^ SIS — 11(5 — 'i) 



Faisons de même, dans la formule générale, m^= \; le premier 

membre devient 

P„-:;B, 



Il " " n 



c'est-à-dire le polynôme A,,. >yoiis avons par conséquent le 1res 
simple développement suivant : 

n — 2 

^^ s -^ -J. 
S — 



Intégrales dr/ïnies diicrses. — Ln certain nombre d'inté- 
grales définies où figurent les polynômes A et B ont des valeurs 
simples et qu'il est facile de calculer. 

Si nous considérons l'identité fondamentale, et si nous l'inté- 
grons enlre — i et + i, en remarquant que, puisque A„ est de 



— 137 — 
degré inférieur à l\,. l'intégrale 

• —1 
est nulle, nous oblenons le résultat 

f B„iz)P:,(z)dz = 'i. 

De même, la lornuile de récurrence ' 

r*/i-i B„ — P„ H„_i -^ = (> 

nous permet d'écrire, en intégrant, 

(lo) / BrtiZ)P„^i(z)dz^^- 

Si nous posons à présent 

B„{z) = bn-iZ"-i^..., 
P,Jz)=pnZ"-^..., 

il est facile de Ciilculer />„_i en fonction de pn : il suffit |)ar 
exemple de se servir de l'équation difTérenlielle satisfaite par B,, , 
«m du développement de B„ en série de polynômes de I^egendrc 
ISous trouverons ainsi 

/ ^ 

Ecrivant alors 

nous aurons d'une part, en égalant les coefficients de z" dan> les 
deux membres, 

d'où 

et d'autre purl 

d'où la formule 

r'.B,.(=)p„(.,rf===^^^. 



— 138 — 
qui n'est dailleuis valable que pour // ">• i ; car pour /; =: i , on 
n'a plus b„^^ — ^^pu^ 

Un procédé analogue nous conduira aux intégrales suivantes : 

/ z'-\„(Z)VniZ)dz=— î-^^-. 

/•"..b;,(=,p„(.)<^= = 4^^^- 

En appliquant les formules de récurrence, nous trouverons encore 

f z\„{z)Pn-i(z)dz=-±, 

Ur) p\K,,^,<z)P,,Mz)dz^-l^^^^. 

Enfin, en appliquant aux intégrales (lo) et(i i) la formule d'Olinde 
Rodrigues pour le polynôme P„, nous obtenons les suivantes : 



f (.-,.'-)" 



ûf«B„^, 



dz = — n 



dz" Un -4- 1 ) 



/ (i_^2w» --dz= — — ; — ni. 

Il nous est facile d écrire une formule plus générale que toutes 
les précédentes. Si nous nous re|)ortons au développement de B„ 
«n série de polynômes P, multipliant les deux membres par P,„ et 
intégrant, nous trouvons de suite, si m est de parité différente de n 
<'t inférieur ou égal à « — i , 

f Br,(z)V,„(z)dz 

i6( n- -f- m- -^ /* -T- 1)1 — ■> ) 

(// — m — ■>.) ( II— m) {n — nt-{--î) (n-\-m-i-'i) (n-î-m-r-i) < n—m — i ) 

Si m est de luème [)arité que /?. ou supérieur à « — i , on a évi- 
demment 



f Bn(z)P„,(z)dz = o. 



— iso- 
lions avons donc eu particulier, si ji est impair. 



f "^uiz 



)d. -'^ 



_i ( /« — -2) ni n -^ i ) ( n -^ j j 

^.ous ohtienclrons de même les résultats suivants : 
i" Si // et j) sont de parités différentes, 

I B„i z.)B,,(z)dz = o: 

■a" Si n et p sont de même parité, 

f n„(z)Bi,(z)dz 
— I 

( 2in -^ 1 I ( ni- -i- «2— m -f- n — ■x ) ( m- -^ p- — ni — /? — >) 



= liS 



2 



\ {ni-^n-h-2) (rn — n.) [m — n — •j.){m-~n -t-3j (/« ^ n — ï) (ni-i-n—i) i 

I X (ni— p-^i) (m — p) (m — p — 2) (ni^p — 'i) (m—p^i) ini-^ p — i » 'j 



la somme étant entendue de la laçon suivante : ))i doit être de 
parité différente de n et p^ et varier depuis o ou i jusqu'au plus 
petit des entiers ii — i ou p - — 1 . 

De même, nous reportant aux résultats établis sur le poly- 
nôme Art, nous aurons, avec m << n et de même parité, 

\„iz)V,n(z)dz = ^- !■ ——- :, 

. in — m — 1 j ( Ai — ni -r- ] I [ n — ni — -i) ui -f- m ) 

et, en particulier, avec n pair. 

r^' , ^ 

I A„ ( c I dz = • 

Enfin, pour terminer, nous signalerons la formule suivante, que 
l'on déduira facilement de l'expression de Qn sous forme d'inté- 
i;rale de'finie, dite de Xeunianii : 



".'^) = i/" 



dx. 



VI. 



Polynômes de Gegenbauer. -^ l^es principales propriétés des 
polynômes de Le^^endrc ont <''t(' ('-tendues Ji di\crs polynômes 



— 140 — 

siilisfiiisanl à une ('qualion dlflérentlelle analogue, mais plus géné- 
rale. Telles sont les lunetions C/^ de (legenbauer, ilonl l'équalion 
différentielle est 

Cl — -'):>" — ( •'.V -j- i)zy'-h /i(/t -f- 2v)jK = o. 

Cherchons à étendre quelques-unes des propriétés des polynômes 
A„ et B„ aux polvnomes A'^^ et B'/^ associés à Cj, par Tidenlité fon- 
da ment a le 

Kl C'I, -r- B)', G;J 5= I . 

Rappelons tout d'altord quelques points de la théorie des fonctions 
C)',, dont nous aurons à taire usage ('). 

I^e polynôme C'/, (:;) est défini par le développemeat 

i' I — •> a ;: 4- aV) ^ = T], "" ^" ^- -'' 



et s'écrit, en série hypergéométrique limitée, 

"^ ' r(«-Hi)l(2Vj V '^ •■'■ 

Ces polynômes athnettenl diverses relations de récurrence, suivant 
que l'on fait varier les indices n ou v, ou tous deux à la (ois. 
Lorsque v reste fixe, on a la formule de récurrence suivante entre 
trois polynômes consécutifs : 

et des formules introduisant les dérivées, telles que celles-ci, dont 
nous nous servirons, 

(i3 ) « c;, = ( n + 2 V - 1 ) 3 c;,_ 1 + r ^2 _ , ) ç:'> ^ , 

(i4) /i3C';, = (/i -h 7v -,)€;,_, -t-(^2_,^G;;. 

Polynômes associés aux polynômes de Gegenbaaer. — ].,es 
])rincipales propriétés des polynômes associés, A'/^ et B'/,, se dédui- 



(') Les divcis Mémoires de L. Gegenl)auer sont résumés dans l'article de 

MM. Appell et Lambert, Généralisations diverses des fonctions sphériques 

édition française de l'Encyclopédie des Sciences mathématiques, t. II, 5, 
p. x37). ■ ■ • 



— 141 — 

ront. des relations de récurrence suivantes 



et 



( « -f- 2 V — I ) C'/,_ , B"/, — n Cil B"/,_ , 4- ■:- — I = o 



On les démontrei'a en procédant comme pour leurs analogues dans 
le cas des fonctions de Legendre. Ainsi, pour la première, on 
remarquera que le premier membre, polynôme d'ordre 2« — 2, 
s'annule pour les u — i racines a, de Q^.,, devenant alors égal à 

— ncii-xi)-^ {'j-j — i) c;;'_,(a,), 

expression nulle d'après (i)); et s'annule aussi, d'après (i 4), P'>i'i" 
les n racines ji/ de C/^. La seconde formule admet une démons- 
tration identique. 

Nous déduirons de la première relation, comme nous l'avons 
fait pour le polynôme B„, et en tenant compte de la relation (13), 
l'expression de B',j sous forme de déterminant à « — 1 lignes : 



B'^ 



rr-iv; 



r ( rt -f- 2 •/ ; 



(2V^-l)j 2V-^[ O O 

•2 ( 2 V -f- î ) .2 2 V -f- 2 O 

o 3 ( 2 V -+- 6 ) 3 •', V -+- 3 



et de la deuxième, en tenant com[)te de la relation 

g;; c;/_, 2(n + v — iu 






rt -t- 2 V — 1 ' n — I {n -h i-j — i) ( n — 1 ) 
l'expression de A/, sous forme de déterminant à // — 2 lignes 

>(v + 2)- 2V H- ". O O 

n(2V-i-l) IY2V) 1 •>, 2(V— 3)- 2V-t-4 O 

(, 3 



V{n -+- 2v) 



2 ( V -+- 4 ) - -v/ -+- 



De même, il nous sera 1res facile d'écrire la formule de récur- 
rence liant trois polynômes B^ à indices inférieurs consécutifs : 

( 1 ') ) {n-h 2v; B";,+ , — n B'/,. , = 2( n -i- v ; c B)",. 

Remarquons que, contrairement à ce qui avait lieu dans le ca- 



— I i"! — 

des fonctions de Legendre, celte loriimle n'est pas la même (jue la 
formule {i9.) qui lie trois polynômes C'',^ consécutifs. Klles ne 

seraient identiques que si l'on avait v — - - > cesl-à-ilire lorsque les 

fonctions de Gegenbauer se réduisent aux jxdynomcs de Legendre. 
Cependant (ui observera (jue la fonction 

vérifie la même équation aux différences (12 ) que Q'. 

Toutes les formules que nous avons indiquées deviennent, 

<:omme il fallait s'\ attendre, identiques, pour v ^= -> aux formules 

correspondantes de la théorie des polynômes A,, et B„. 

Parmi les relations de récurrence existant entre les ])olynomes 
A'I^ et B"/j, signalons les suivantes : 

- A"' v . 

( -2_ ,; A-;,_, = ( n -4- o V - I) (zB]',_, -Bl); 

il sei\iit aisé d'en écrire un grand nombre d'autres. 

La relation (I 5) montrant que les [)olynomes B)'^ forment une 
suite de Sturm, on pourra leur appliquer la formule de Darboux 
•et obtenir par ce moyen divers développements en séries. On en 
<l('duirait aussi à partir des formules de récurrence. 

/•'onction de seconde espèce. — L'équation difterentielle à 
J Kjuelle satisfait Cj^ admet une seconde solution, qui peut se 
mettre sous la forme 

dt 



Ul(z) = KCl(z)J' 



4)U 



(,-r-) nci{t)r- 

Kl • • o • 1 • 1 1 - I , r (/i -f- ?. V ) 
est une constante arbitraire. 01 1 on prend K eg^al a —-, , 

' " 1 (^H -H l) 

la fonction H]f^ satisfera, non seulement à la même équation diffé- 
lentielle, mais à la même équation aux diflerences que C^^. Or, 
comme nous savons que la fonction 



— 143 — 

satisfait aussi à cette équation, nous aurons, ce et 'l étant indépen- 
<lants de «, 

r ( n -4- 2 V ) 



HUz) = o(z)Cl{z) 



r(n-Hi) 



'l(z)Bliz). 



En effet, si nous appliquons à H"/^ la méthode générale de réduc- 
tion, que nous avons signalée ailleurs, et que nous avons employée 
plus haut pour obtenir la valeur de 0„, nous serons conduits à 
l'expression 

T(n^i'j) n';,(z) 



H:;,(.-j-(2v-t-i)nr'(-)c;u-)- 



r(rt 



généralisation de celle qui donne 0„(;). 



(' 



Polynômes U«. — Particulièrement intéressants, au point de 
vue des applications, sont les polynômes C,',, qui, désignés par le 
symbole U„, ont été rencontrés par MM. Guillet et Aubert dans 
une question d'électrostatique ('), et forment la base de la théorie 
des [)olynomes E lectvo-spJiériques introduits par ces auteurs. Les 
polynômes B associés aux polynômes L s'expriment fort simplement 
en fonction des U eux-mêmes. En faisant en effet v = i dans le 
déterminant qui donne B'/^, on trouve, après simplifications. 



B' = 



avec toujours n — i lignes. En développant, il vient 



(« + i)B« = 



2 - I <• f> 

I '.Z I <) 

O I Z \ 

•). Z \ o () 

I >. J I o 

o I \z \ 



(') Annales de Physique, (f série, l. IX, lyi*^, p. J^. 



— iii — 



le premier (ItHeiiiiintint étant à ii — a lif^nes, et le second à « — 3. 
Or, ainsi qu'il est facile de le vérifier, le déterminant à n lignes 



"f.Z 1 o o 

1 XZ I o 

o 12-3 1 



n'est autre que le polynôme U„ lui-même. On a donc la remar- 
quable expression 

in -t-i)B;, = -sU„-2— U„-:i, 

ce qu'on peut encore écrire, eu égard aux propriétés des fonc- 
tions L , 

(„-^,)b;;=u„-,--u„-2, 

2 

ou 

on, encore plus simplement, 

4(n-+-i)B;, = 3U,, .,-U„-3. 



Pol] /lomes G",. — Aux fonctions C)'^ se rattachent les polynômes 
que Idji désigne par la notation G)), et que l'on définit comme le 
coefficient de 2 a" dans le développement de 

-log(i-2a;;-l-a2). 
Si Ton pose z = cos9, on a alors 



CX(--> 



cos n 



Les polynômes associés, A)| etB". ont alors une expression remar- 
quablement simple, et qu'il est facile de vérifier : 



et 



B;',(^) = cos(n — 1)0 = <;« — i)G«(5) 



AO(.) = -„ ""^^-'"' =-„c;».). 



- 143 



VIL 



Polynômes de Jacobi. — Les polynômes de la .s<jrie hypergéo- 
métriqiie, introduits par Jacobi (') et spécialement ('tudiés par 
Darboux (-), peuvent également être considérés comme une 
généralisation des polynômes de Legendre. 

Rappelons brièvement leurs principales propriétés, avant d'étu- 
dier les polynômes qui leur sont associés par Tidentitc fondamen- 
tale. 

Nous désignons par X^^(;) le polynôme de Jacobi d'ordre //, 
exprimé par le symbole 

F(— n, 'X — n; -y. z). 

Il satisfait donc à l'équation liypergéométrique 

(i6) -(i — -)X;'^ -+- [y — (a-i-i)^]X;, ^ nfa-H /i )X,i= o. 

Parmi les relations de récurrence qu'admettent ces polynômes et 
leurs dérivées, citons les trois suivantes : 

(17) '—(\„+i — \n)-^(2n-^7.)z\n 

•.». n -H a -r- I 

H ■ ^(X„_i~-\„ =0, 

2 /i + a — 1 

(18) n\n — z\;, = n\n-\- _._ -^//-l: 

(19) {n-^ ■'jXn+i—zix — z)- — ^ "^ X;, = [/t -H -; — (■..« -t-a-f-i)^]X„. 

La fonction de seconde espèce Q,/lonne lieu à diverses remarques 
intéressantes. Darboux la définit par le développement 



z ~ V Àà 



X„(5)Q„(.>') 



(') Untersuchung liber die DiJ/'erentialgleic/ium; der hyper geometriscltcii 
Jieihe {Journal de Crelle, t. 5G, i^5<)). 

(^) Approximation des fonctions de très grands nomhres {Journal de 
Mathématiques pures et appliquées, 1878). 



h.= 



— 146 — 

V(n -M)r-(Y) r(a -t- n — Y + ') 
( •>. n -r- a ) r ( a -(- n) T ( y H- n) 



La fonction Q,^ ainsi délinie vérifie l'cqualloa aux dilFérences 
()-). qui lie trois j)oljnomes de Jacobi consécutits ; mais elle ne 
v(''ri(ie pas It^quation difierentielle (i6). L'équation din'érentielle 
|)our i)^^ est en ellet 

z(i — z)Q'l, H- [ 2 — Y -!- ( a — 3 ) - J Q/^ -4- ( « -i- i) ( « -l- a — i ) Q„ = o. 

Mais, si Ion pose 

Q„(^) = ^ï W,_-)a-yU„(^), 
on aura 

U ,, ( 5 ) = ( 2 rt -^ a I J „ X„ ( s ) / —rrr, 

et U^ vérifiera l'équation dinérentielle (i())- 

Polynômes associes aux polynômes de Jacobi. — Ceci posé, 
nous introduisons, comme toujours, les polynômes définis par 
r identité fondamentale 

.AvtX„-t- iii)„x; = 1. 

Connue nous l'avons fait dans les cas précédents, nous établirons, 
sans aucune difficulté, au moyen des formules (i8) et (i())i la 
relation de récurrence suivante : 

n{n -f- a — v)X„_i ll'.)„— (/; — a — i) {n -h y — i;X,ill!>„-i 

-^ Z{\ ^ ) ( 2 /? -4- 7. — I ) = o 

et nous en déduirons la formule de récurrence liant trois polv- 
nomes ii'.> consécutifs : 

( /; — i)(/i-^a — Y^i) ,,, _^ (n — g — ij(n^Y — '^ ,,, 
in — -x -T- \ vi n -)- a — i 

■xn -r- 'X -^i xri -i- 'X — i J 

Cette formule, on le voit, n'est pas la même que la relation (17) 
entre trois polvnomes X. Elle ne lui sera identique que dans le 
cas V = I . Si de plus on a a = i , on retombe, par un simple clian- 
j;ement de variable, sur les polynômes de Leg^endre. 



— Ii7 — 

On sait que, si a = 2" — • ( , les poh nomes de Jacobi deviennent 
identiques aux polynômes de Gegenbauer. Ce qui précède nous 
montre donc que les fonctions B'/^ et C"', ne satisfont à la même 
équation aux dilTérences que si y=i, donc a = i. c'est-à-dire 
dans le cas des fonctions de Legendre, fait que nous avions déjà 
remarqué directement. 

Expression de la fonclion de seconde espèce. — La fonction 
de seconde espèce O,^ ne s'exprimera donc par une expression de 
la forme 

que dans le cas -' = i . 

Mais, dans le cas général, si l'équation aux diflerences (\~) 
n'est pas satisfaite par ilb„(5j, on peut remarquer qu'elle est satis- 
faite par la fonction 

(■^n -H a )J„ \S\i„{z). 

Donc on aura toujours , 

Q„(;:) = o{z)Xn{z)^{'in -h a;J„ 'lîz) Dl.„(-). 

D'ailleurs, pour v = i , on a (2/i -f- '^■)i„ ^ 1 . 

On trouvera cette expression en appliquant à L„, seconde solu- 
tion de l'équation différentielle (16), la méthode générale de 
réduction que nous avons indiquée. Dans le cas y =zz i , on aura 

a(o: — i)lll>„^[a — (a — i)-]-'^« 

v« =^ -^n vo-T ; ; — ; ; 

a(a-^i)^(i — z) 

et, dans le cas général, 

(20) Q/, = X„Qo-^ ; :; ! 7 



z{\ — z) Y(a-(-ijj(i — z) 

on a d'ailleurs 

La formule ( 20 ) donne une expression nouvelle de Q,,, que l'on 
pourra ajouter aux huit expressions différentes qu'en a données 
Darboux. 



U8 — 



Vin. 



Polyiwiiies dllermite. — Nous allons lei miner ce travail en 
Faisant connailre quelques j)roj)rl<''lcs des polynômes A„ et B^, 
associés, par ridentité fondamentale, aux polynômes L,, dllermite, 
qui peuvent être considérés comme un cas limite des polynômes 
de Jacobi. On sait que ces polynômes (' ), d(''(inis par 

satisfont à réqiialion dilTérentielle 

\J",t — 'ixl]',, -\- •). « U„ = o, 
à l'équation aux différences ■ 

(■21) U,j_n-f- P-^rU/iM- 'i« U„ , — o. 

et possèdent la propriété fondamentale suivante : 

(22) \}'„ = — 9,rtU„_,. 

Nous démontrerons, par la méthode ordinaire. e:i nous servant 

de (?-2) et de 

U„-Hi-i- '.j;U„— U^^ = o, 

qui est une conséquence de (;>.i) et (22), la relation de récurrence 

(23) LI„+,B„— .>(n -r-ijU,jB„+,— 1 =0. 
Or, d'après (22), celte relation s'écrit 

ce qui montre, par comparaison avec l'idenlilé fondamentale, que 
l'on a la remarquable propriété suivante : 

(2ij A„^_,= B„. 

Diverses autres formules peuvent être écrites aisément : ainsi 

(') Cil. IIeumite, Œuvres, t. II. p. 2()'|-3o8. 



149 - 



la relation de récurrence entre trois polynôme? B consécutifs, 

tin -h i)B„+i-h ixBn-^ B„ ,= o, 
et l'expression de B,^ sous forme de déterminant à ri — i lif;nes : 



Bn(x)^ 



(-1)" 



•IX 4 o o o 
I IX (■) o o 
o I ij? 8 o 



L'identité fondamentale, écrite sous la forme 

B„_,u„+B„u;, = I 

donne, par dérivation, et en tenant compte des relations de récur- 
rence établies plus haut, la formule 

U/,[B^,-( — ■>.nB„] — 2nU„_, [B;, — lin -r-i;B,t+,l = o, 

d'où l'on tirera, eu égard au degré des divers termes, 

B;, — a(/i + i)B„+, = K„lU, 

B;,_, — inV,n = ~ '/tK„U„_,, 

K^^ étant une constante dépendant de n ; d'ailleurs 

b;,_| — •).nB„= K„_iU„_,, 
d'où 

Kh-1 = 2 n K„ 

et, comme K, = > 



■i" Il 
Nous aurons donc enfin 

B;, — 2(/i -4- I B„ 



U„ 
■>." n\ 



Ce résultat nous permettra d'écrire le développement de B en 
série de polynômes U. On aura en effet 

9''+' ( « + r ) ! Wn+\ — ■>-" n '. b;, ^- U„ = o. 

9."n\ b;, —•/"-•(« — i)! b;,. , -H i ;,_, = o, 

et ainsi de suite, d'où en ajoutant 



XLV[. 



1 1 



— I."0 - 

En teuanl coinple de (aaj, on expiiinera les dérivées successives 
des U en fonction de ces U eux-mêmes, et l'on aura 

— 0."+^ n — i)! B„+, = U„— lin — i ) L'^-o-i- -îin — -i )(n — 3 ) U,,-;-!-..., 
ie coefficicul du terme L ,i_2;) étant 

(— i)i' -iP ( n — p) ( n — p — i ) . . .( n — -2 p ^ i ). 

Il sera facile d'en déduire, en s'appuyant sur une propriété connue 
des polynômes d'Hermile, la valeur de l'intégrale 



/■ 



g-'" B„ U„, dx. 



Polynômes de M. AppelL. — La propriété la plus intéressante 
des polynômes associés aux polynômes d'Hermite, c'est-à-dire la 
relation 

<24) A„-i_i = B„, 

|)eut se généraliser de la façon suivante. Considérons une suite de 
polynômes Xq, X,, . . . , X,^, . . . satisfaisant à une équatiiui difFé- 
rentielle du type 

\;; ~[a{n)x-^b{n)\\',^ +/(«)X„=o 

et jouissant de la propriété suivante : 

<2ii) X;, = of«jX„_,, 

ce qui les fait rentrer dans la classe de polynômes étudiée par 
M. Appell ('). Il est facile de voir que ces polynômes satisfont à 
l'équation aifx différences 

(26) fin -^ I ) \n^\-^\':i(ii-^'i-)x — h(n -i- i)] X„-^ o(« -i-i) 01 /i)X„_i = o. 
L'idenlilé fondamentale pourra s'écrire 

A„X„-H ç(«jB„X„_i= I. 
Ecrivons de plus 

A„+iX„^i-f- 9(/t -h i;B„_HiX„ = I. 
(') Annales de l'École Normale, t. I\. 1880, p. 119-144. 



- iol — 

Si a est ime racine de X^^, ou aura 

An+[(x) X„_^i(aj = '^( n) B,j(a) X„_i(7.)- 
Or, daprès (2()), 

/(' /i -H i; X„+i(a) -r- '^f rt)o(rt -i- i) X„_i(a) = o: 
donc 

/(/t-t-ij B„(a;-i- (pCn-,- i) A„^-,(a) = o, 
ce qui, eu égard au degré de B^^ et de V.^^,, nous montre que 

/(«-+- I) B,i(x) -H ç;(/i-ui) A„+i(j7) = o, 

relation qui généralise la formule (■.^f i pour les polvnomes de la 
classe de M. Appéll."'' 



SUR LES POLYNOMES D'APPROXIMATION; 
Par m. l>. MoNTEL. 

INTRODUCTION. 

Les recherches de MM. Lebesgiie, de la Nalh-c Poussin. 
S. Bernstein, D. Jackson ont mis en évidence le lien choii ipii 
rattache les propriétés dilïerentielles d'une fonction d'une 
variable x à l'ordre de la meilleure appi-oximalion de celle fonc- 
tion par un polynôme de degré donné. 

Soient /(x) une fonction bornée de la variable x dans liulcrva lie 
( — I , -f- I ) et P,j(a: 1 un polynôme de degré inféru^ur ou (-gai à /i ; 
le maximum M» de |/(.^) — P«f^)| dans rinterxullc s'app(dle 
Vapproxijiiation dvf(x) par le j)olynome.L(U'squ'on prend Ions les 
polynômes possibles de degré inférieur ou égal à /i, les noud)rcs 
M„ ont un minimum u(//) ({u'on appelle la meilleure âpproxi- 
matio/i de f (x) \rj.v un polynôme de degré non supérieur à /i. 
Ce minimum 'J.{n) eslatteint par un polynôme unique !!«( J7) qu'on 
appelle \q polynôme (rapproximation ou polynôme d<' Trlwhi- 



- lo-2 - 
c/ief de dei;ré //. Ou a ,ilor>, qiifl que soit x dans riiilervalle. 

\/iT) — Un(,x)\^lx(n). 

La suite des nomhres ^xf /i ) n'esl jamais croissanlc et le lliéort-me 
de Weiersirass exprime que cette suite a pour liiuite zéro pour 
une fonction f(x) continue. Réciproquement, si 'i-(n) a pour 
limite zéro quand n croit indéfiniuienl, la fonction J (x ) est con- 
tinue. 

Le théorèuie de W eierstrass nous fi)urnil ainsi une relation 
entre la continuité de la fonction et la décroissance de u.(/i). Les 
recherches récentes que j'ai rappelées au début t'-tablissent un lien 
entre la rapidité de cette décroissance et l'existence pour /"(a?^ de 
dérivées de divers ordres. M. S. Bernstein a démontré surtout 
des conditions nécessaires : il a déduit, de la rapidité de la décrois- 
sance de 'j.( n), l'existence de dérivées \)Our f(x). M. D. Jackson 
s'est surtout occupé de conditions suffisantes : de l'existence des 
dérivées de f (oc), il a déduit la rapidité de la décroissance 
de <x(n). 

Les recherches de M. S. Bernstein re|)Osent sur la possibilité de 
limiter les dérivée-, successives d'un polvnouie de degré n, dans 
un intervalle djnné, en fonction du nombre n et de la borne supé- 
rieure du polynôme dans le même intervalle. Ce résultat a été 
obtenu, par M. S. Bernstein, au moyen d'une anahse délicate 
des polynômes de Tchebichef qui s'approchent le plus de zéro 
dans un intervalle donné et satisfont à une autre condition : par 
exemple, le coefficient du terme de de^ré le plus élevé est donné. 
Dans le Chapitre I du présent travail, j'obtiens très simplement 
des résultats analogues à ceux de !NL S. Bernstein par une méthode 
de représentation conforme applicable à des polynômes réels ou 
complexes. J'introduis la dérivée généralisée deR.iemann-Liouville 
et je montre comment cette notion permet d'apporter plus de 
précision et de régularité dans l'étude des rapports entre lexis- 
tence pour la tonction /(x) d'une dérivée d'ordre quelconque 
inférieur à a et le fait que l'ordre infinitésimal de [J-{n) par 

,1 ,1 

rapport a - est égal ou supérieur a a. 

.l'introduis, dans le Chapitre II, les ditférence» succeèsives de la 
fonction fi'x) pour des accroissements de x égaux à //. Si l'^ 



— lo3 — 

A''' f(.r\ 
rapport -p, — a un modale home, A>''^/(:r) désignant la diffé- 
rence d'ordre r de f {x ) pour des accroissements égaux à h donnés 
à X, on en déduit que '~>-{n) est d'un ordre infinitésimal supérieur 
ou égal à 7-, et que, par conséquent, toutes les dérivées d' ordre 
inférieur à r existent pour f(x). Plus généralement, si — '[ > 
avec y. Ir^ est borné, toutes les dérivées d^ ordre inférieur à % 
existent. On sait, par exemple, que si le rapport -^ — - a un 

module borné, la dérivée f'{x) existe presque partout comme l'a 

• \- fyx) 
établi M. Lebesgue; si '^^^ est borné, pour une valeur a com- 
prise entre o et i, la dérivée existe partout. 

Dans le Chapitre III, je m'occupe de rapproximation des fonc- 
tions de plusieurs variables. Il y a lieu de faire intervenir ici les 
degrés du polvnome par rapport à chacune des variables. S'il s'agit, 
[)ar exemple, d'une fonction de deux variables y*(ii*, y), nous con- 
sidérerons les polynômes P,„.« (j?, J'j de degré m en x et de degré 
n en y et nous ('-tudierons la décroissance de 'x (m. /i i lorsque m 
et n augmentent indéfiniment d'une manière indépendante (* j. 

Nous serons amenés à trouver pour u-int, n) des expressions de 

la forme — i -; A, B, a. 3 étant des constantes positives, et 

nous montrerons que : si 'j.(ni, n) est de la forme \ r> la 

fonction correspondante f{jc,y) admet toutes les dérivées 

a' 3' 

/!r^v?'' P*^"^'^ lesquelles - -^ 4 < ' • 

Il en sera, en particulier, ainsi lorsque les rappoits — '' "^ ._ ' •^' 

et — ' i-s' — sont bornés, A'/^ désignant la dillérence d'ordre /• 
de f(x, y) pour des accroissements ('-gaux à h donnés à x, et A'^.', 
la différence d'ordre s de f(x, y), pour des accroissements égaux 
à k donnés ù )'• On peut d'ailleurs remplacer /• et s par des nom- 
Ijres quelconques a et ^ respectivement inférieurs à r et à .y. 



(') Le nombre \x{m, n) csl défini ave<- les polynômes I',„„ (x. j; comme [i («) .i 
él(i ilélini avec P„(a7). Il faut remarquer que. lorsque m et n sont donnés, il 
n'existe pas iTécessairement un seul polynôme •I,„„{x. y) fournissant i'approxi- 
ination ix{m,n). Cf. L.Tonelli, / polinomi d'approsstmazione di Tchebyche\' 
[Annali di Matematica. série 3, t. \V, 190S. p. ~\\). 



— loi - 

A ' A/^ ' 

Il ivsiill.' It; là (III. • : si les rtipjtorls -~ {'J--^r) et-^ {'p<s)'6ut 

des nio//t(/rs hotncs^ la fonction f(x^y) admet toutes les déri- 

vres ixirlicllcs f'^'-^f'' pour lesquelles ^ 77 < • • '*'»i' exemple, 

si h^s rapports -^ (i<.7<2)ei -^(i<^i^a) sont Jjoniés, 

A'a' 

les dt-riv('-('s/j et /',' existent et sont cnntlnues; si les rapports -|-j- 
et —± ( I < |î< 2) sont l)ornés. les il('riv('-es /^. /,', /,". existent et 

h? 

3 - . 
sont iiiiitiaiies; il en est de même poin-y , , si |j>>-' Si les rap- 

pDTls -r^ et ^^ sont l)i>rués pour cliaqiie \aleiir de /• et de .v, la 
' h' A"' ^ 

inn(tion/(j:, j)') admet des dérivées partielles de tous les ordres. 

CHAPITIU: I. 

SIK yUF.LQLES PIIOI'RIÉTKS DES POLYNOMES. 

1. SoitP(j:") un polvnome entier de degré//, à coefficients réels 
ou imaginaires dont le module ne dépasse pas M pour tous les 
points X du segment ( — i, + i) de l'axe réel. Les dérivées de ce 
polynôme ont, en chaque point du plan et en particulier sur ce 
segment, des modules dont les limites supérieures peuvent être 
exprimées en fonction de n et de M. C'est ce calcul que nous allons 
faire. 

^I. Du lac a montré le premier que si un polynôme entier à 
coefficients réels ou complexes a un module inférieur à M en tous 
les points d'un segment rectiligne ou curviligne, les coefficients <le 
ce polvnome sont tous inférieurs à M).", n étant le degré du poly- 
nôme et A un nondjre qui dépend seulement de lare de courbe ou 
de la longueur du segment ( '). 11 en résulte, en particulier, que le 
module d'un polvnome de degré n, supposé inférieur à M sur le 
segment ( — 1 . H- i ). est inférieur à M (-) dans un domaine quel- 
conque ilii [ilan, - étant ici un noud^re qui ne dépend que de la 
forme du domaine. C'est ce théorème que M. Serge Bei^nstein a 



(') H. I)ULAC, .Sur les séries de Mac-Laurin à plusieurs variables {Acla 
matlieniatica, t. XXXI, 1908, p. 96). 



— loo — 
démontré en 191 2 pour les polynômes à coefficients réels dans 
le cas où le domaine est un seg^ment de l'axe réel ('); il u 
étendu ce résultat au cas où, le polynôme étant toujours à coeffi- 
cients réels, le domaine est une portion quelconque du plan (-). 
L'énoncé précis du théorème de M. Serge Bernstein est le suivant: 
Si M est la plus grande valeur absolue d'un polynôme de degré n 
à coefficients réels sur le segmenta — i, ^- i), le module de ce 
polynôme en un point extérieur à ce segment est inférieur à ^I ( - j y 

- étant la demi-somme des axes de l'ellipse passant par ce point et 
ayant les points — i et + 1 pour foyers. 

Les démonstrations de M. Sei^ge Bernstein reposent sur une 
étude approfondie de certains polynômes de Tchehichef. Je me 
propose d'établir que la proposition précédente est applicable aMJ:^ 
polynômes à coefficients complexes et qu'elle est une conséquence 
fort simple des principes de la représentation conforme ( •'). 

Soit, en efiet, 

P (a^j = «0— «iJ^ -t-- ■ •— ««•''"" 

un polynôme de degré n à coefficients réels ou complexes et tel 

que 

|P(r)|sM 

sur le segment ( — ■ 1 , +1) de l'axe réel. 
La transformation conforme 

I 



Z =^ X — <Jx- 1 , 

où la détermination du r.idical est choisie de manière que les 
points z=i} et J7 = 00 soient homologues, fait correspondre aux 



(') Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par 
des polynômes de degré donné {Mémoires publiés par la classe des Sciences de 
l'Académie royale de Belgique. >.' série, l. IV, 1912. p. 14 ). 

(-) Sur une propriété des polynômes {Mémoires de la Société mathématique 

de Charkoiw t. XIV). Dans ce cas, M. S. Bernstein démontre seulement que le 

/ ' \" 
module ne dépasse pas aM ^ - I • 

(^) J'ai communiqué cette démonstration à M. Dulac en juillet 1908. Depuis, 
cette méthode a été signalée et utilisée par M. Marcel Riesz {Acta mathematica, 
1916, p. 3'|i). 



— 136 — 

points du plan des x^ où l'on a elleclué la coupure ( — i, + i), 
les points intérieurs au cercle C(|5| = i). Les points de la 
circonférence correspondent aux deux bords de la coupure; 
à tout cercle (^p concentrique au cercle C et de rayon p << i , 
correspond une ellipse Ep ayant pour foyers — i et -h i dont le 

<:ran(l axe est :>.a= — h ^ et le petit axe -xh ^= o : la demi- 

? ? ' 

somme a -^ b des axes est - • 

? 
Soit R(^)la fraction rationnelle correspondant à P(.rj 

on a 



(^)(;) étant un polynôme réciproque de degré in. Sur la circon- 
férence C, on a 



|R(^)| = 



Q(.-)| = |P(:r)|^M; 



donc, pour tout point du cercle | ^ | ^ i , on aura 

IQr.-)|sM. 

Dans l'anneau compris entre les cercles C et Cp, on aura 



|Rr=)|S^3^l|M(l), 



donc 






dans la région correspondante du plan des x, c'est-à-dii-e dans 

l'ellipse Ep de foyers ( — i. +i) dont- est la demi-somme des 

P 
axes. 

Celte limite supérieure n'est d'ailleurs jamais atteinte, car si l'on 

a\ait en un point de Ep 

on aurait |Q(^j|=:M en un point du cercle Cp intérieur à C, 
Q(^) serait alors une constante, ce qui est impossible, puisque 



- Io7 — 

Q(^) est un polynôme réciproque. On peut donc énoncer le théo- 
rème suivant : 

Si le polynôme V(^ûe) de degré n à coefficients réels ou com- 
plexes a un module inférieur à M sur le segment {^- — i, -i- i), 
on a 

en tous les points du domaine fermé limité extérieurement 
par une ellipse de foyers (— i, -h i) dojit - est la demi-somme 
des axes. 

!2. Nous allons déduire du théorème précédent <.les limites 
supérieures pour les coefficients du polvnome ^(x). 

Désignons par F le cercle de centre x = o et de rayon b. il est 
à l'intérieur de l'ellipse Ep et l'on a 

I f P (x) dx 






et, comme | P(:z;) | < — sur F, on peut écrire 

P 

' '^' û"bi' 
OÙ 

I / I 




donc 

<•) i"/-i<^ %.-.(r->)/ >- 

Nous pouvons donner à o une valeur arbitraire inléiicurc îi 
l'unité ; prenons par exemple 

I — p" = ?) 
c'est-à-dire 

V/") — 1 2 



P = 



y/à -i- I 

il viendra 

(2) |a/,|<(v/5'-4-i)"M<M(^y'. 

On peut obtenir une meilleure approximation pour \af,\ eu 



— 158 — 

tliileriiiiiiiml p de manière que le second membre do rinégalité (i) 
ait la plus |K'titc valeur possihlc : en annulant la df'-rivée lof,^aritli- 
niique du dénominateur, on obtient 



n — p xp 



v/^ 



p. 
p 

et 

n -*- p 

, , ^ M (n-^-p)~^~ 

V / ' ' ' pi' "-!' • 

(n~p) -^ 

liirmule encore valable poury^ = o dp = /i. à condition de rem- 
placer, dans le premier cas,, pP par runlté et, dans le second cas, 
(n — jo)"^''par l'unité. 

Tl est facile d'obtenir le maximum du second membre de l'iné- 
^alit('' lorsque y; varie dune manière continue de o à n. On peut 
espérer ainsi arriver à une limite supérieure applicable au module; 
de tous les coeflicients et meilleure que celle fournie par l'iné- 
galité (.■>.). 

Un calcul facil»', que j'omets, montre que le second membre 

de (.)) est maximum pour 

n 

et que la valeur de ce second jueudjre est alors 

M(v^ + i)"<MQy'; 
on peut donc écrire 

(4) \ap\<u[-\ , 

inégalité à peine différente de l'inégalité (2). 

3. Vrrètons-nous un instant sur l inégalité relative à a< ; on a, 
en faisant yj ^ i dans la formule (3), 

n-+-l 

(«-0 •■' 



< ne 



— ir» — 

or 

^=" 

et 

I «il < «Me < JMrt. 

Si l'on remplace le serment (' — i, + i) p^iï" le segment 
( — /i, + /<), lii transformation x = lix' donne 

V( x) = a,-, -h ai Itr' -i- . . . 
et 

, , e M // 

donc, si le polynôme P(j;) a un module inférieur à M sur un sei;- 
ment de longueur oJi porté par Taxe réel, la dérivée P'(x) a un 
module intérieur a — - — , au milieu de ce segment. 

Considérons, en particulier, les points intérieurs au segment 
( — X, + r ) avec I a: I <; 1 . chacun de ces points est le milieu d'un 
segment ( — li. -\- h) contenu dans ( — i, +1) si l'on pren l 
// = 1 — [ .r I ; si donc | P( .r) | <^ M sur le segment ( — i , + i ), <>ii 
aura 

1P(-^)1<: — m 



pour tout pdint x intérieur à ce segment. 

On peut obtenir une inégalité plus précise en introduisant de 
nouveau le cercle C ; chaque point de ce cerch* C est le centre 
d'un cercle V de rayon I — 0, contenu dans l'aniuMu limité pur 
les cercles (^^ et (1,, concentriques à (i, ayant respectivement pou r 

9 
rayons et - • On a. en un point r de ce cercle -'. 

R ( z' ) dz' 






-')- 



et par suite, comme R(::')=:K(- j a un module 
dans ranm-au ( \r^ (1, , 

~' M 



. ... . . M 

inl«'rieur a — 



— 100 



le iiiiuiiiiiiiii du second inemljro a lieu i)()ur o = el Ion a 

('«_+- I V'-t-i / I \ «-+-1 

|r'(^)1<m!_î___J — = M„/, + J.j <4M«. 

<ar le nombre (in — \ décroît lorsque n croît et sa valeur poui 
n = I est 4- 
De l'égalité 

«m déduit 



P{x)-^ Riz), 



iiii a l'acilenienl, en tenant compte de 



et, sur le cercle (], 



d'où 

(!) 



•V 


r — \/x'- — 1 , 


dz _ 


dx 


\^x-' — I 


1 ^- 

\dx 


I 


v/i — X' 


\/ l — x- 


(x) 


^ 4Mn 



l/ I — ^2 



(') 



Si l'on cherche le maximum du module de i^'{x) dans l'inter- 
valle ( — I. +i) tout entier, on obtiendra une limite supérieure 
proportionnelle à n^. On a en effet 

I rP(x')dx' 



n-/ _ ' fP(x')dx' 



d'où 



P'(^)|< 



M 



p''(a — 1) 



car rt — I est le minimum de la distance d'un point du segment 
(— I, + i)k l'ellipse Ep. 
Or 



2 \ 



(\ — py 



(') M. S. Bernstein a montré que l'on peut remplacer 4 par '• pour un poly- 
nôme à coefficients réels {loc. cit.. p. 11). 



16! — 



donc 



' (^) < ; : 



lorsque p varie, entre o et r , le minimuju du second membre a 
lieu pour 



la valeur de ce second membre est alors 

a ' ( n — I )«- 1 ' 

or, nous avons vu au début de ce paragraphe que le dernier fac- 
teur est inférieur à n'-e-, donc la valeur minimum est inférieure à 

i 
on a donc sur le segment ( — i , 4- i) 

IP'(^)l<4Mn2 (1). 

4. On déduit aisément de ce qui précède des limites supérieures 
pour le module maximum du rapport 



P(x' ) — P{x"} 

{x' 2-")» 



o<a<i), 



dans lequel .r' et x" appartiennent au segment ( — i, n- ')• ^^'^ 
peut écrire en effet 

V{x)-F(x" ) VVix ^-V(x")Y , p, „ .,_ ^ 

{x'~x'}^ L x—x" J ^ 



Le second facteur est, en module, inférieur à (2^1)'"^. Occu- 
pons-nous du premier : si r' et x" appartiennent au segmeni 
(— I, -f- i) tout entier, la dérivée P'(^) est inférieure en module ii 



4M/i- ; si ^{x) est à coefficients réels, le maximum de 



Ï'{x)-V{x'') 



(') M. S. Bernslein a monlré «jue l'on peut remplacer 4 par i, dans le cas des 
polynômes à coeflicienls réels (/oc. cit., p. i3). 



— 1(32 - 
<>si le luêine que celui Je | P'(x) | ; ou a tluuc 



(x' — x")<' 



<(.UI«2)*x (7.M)'-«= x'-^^.M/i-a. 



Si l'(^) est à coefficients complexes, il suttit de le décoiuposereu 
sa partie réelle et sa partie imaginaire; comuie, pour chacune d'elles, 
le rapport admet comme limite supérieure la valeur précédente, il 

suffira de multiplier par y2 cette valeur pour dhlenir une limite 

p ( x') P( x" ) 

supérieure du r,»])[)i)rf — ^^, -^y-^^ On aura donc, dan; 



is ce cas, 

(./•'— X- )y. 
:i 

le coefficient 2- 

Si 0C-' et x" restent ù l'intérieur d'un se£;ment ( — x, -i- x) inté- 
rieur an segment ( — 1 , +1), on aura 

\r(x)\<j- 



P(x') — P(x") 



{x'—a;")=' 



< 



i-UI 



/.- étant égal à e ou ey/2 suivant que i--*{x) a ses coefficienls réels 
on complexes ; on peut prendre aussi 

4 M n 



|P'(^)I< 



V(x') — P(x" 



v/^ 



( x' — x" )^ 



/.'M «a 



(l —x^)- 



■c /. ' = :>'+^ on :ï- 



o. Nous obtiendrons des résnltals plus complets en introduisant 
la dérivée généralisée de Piiemann-Liouvilie. Nous poserons 

l^i/(:r)= ' / f {x-zr='-'A^)d3 1 a : o), 

formules dans lesquelles j\x) est une fonction uniforme quel- 
conque. 1' la fonction eulérienne de seconde espèce et / une 



- 163 — 

constante que nous prendrons dans la suite fréquemment égale 
à — I, parce que nous étudierons des fonctions de x définies 
dans rintervalle (■ — i , — i). Nous prendrons toujours, dans ce cas. 
pour {x — z)"^"^ ^ la détermination réelle pour j = — i . 

On peut d'ailleurs faire varier k : si la dérivée existe pour une 
valeur particulière /.o, elle existe pour toute valeur de /. . 

L'égalité 

i (x-^a — z)-^-if(z~a)dz= (x — z)-=^-> f( z) dz 

montre que nous pouvons faire subir à la courbe y=J\x)-^ine 
translation parallèle à Oa; et mesurée par a sans changer la valeur 
de la dérivée. 

J'établirai la proposition suivante : 

Si une fonction f[x) admet une dériiée bornée d'oidre a, 
elle admet aussi une dériiée d ordre a! quelconque inférieur à a. 

Nous prendrons /.= o et nous supposerons d'abord 

o < a'< a < I. 
On a 

avec 

supposons F'(ii?) bornée dans l'intervalle considéré. i>n peut 
alors former 

Dî'-*F'(:c) = ' f ix — z')=^-^'-i¥'iz')dz'. 

Cette expressi(jn est la dérivée de 

—-^ f dx f (x-z')^-^--^¥'(z')dz' 

- f F'(z')dz' f (T-z')^ ^- ^d.r 



r(a 



(^ 



__L _/ (.T-z')^-^T(z')dz 



161 



cl, en inlcgraat pur parties et remarquant que F(<)) = o, cette 
:nt 

r-—^ f rr — s')'^-x'-iF(3')f/5'= I. 



iulégrale devient 



1' 

I jx'iil sf'crire 

'=7^7 r^ f {x—z'Y-^'-^dz f iz'^zr^flz)dz 

= F^ ^^ f /(-'^- f (T—z')^^''^{z'-z)-^dz'; 

1 (a — a il (I — ï)^^ •' J^ 

la dernière intégrale devient, en posant 

z'-z = t{x-z), 

ix - .)-' r \ , _ t^.-.-u-^ dt = £(^-Ol'(;-^)(^ _ ,^_a' 
Jo r(i — a ) 

et 

I = -TT- I (x — zr^'f{z)dz. 

1(1 — ^K/o 

La fonction I admet donc nne dérivée et l'on peut écrire 
r=D*/(T)=- / (x — z)=^-^'-^?'{z)dz. 

Si l'on examine le cas particulier de a' = o, on retrouve la solu- 
tion du problème d'inversion classique d'Abel. 
Plaçons-nous maintenant dans le cas général où 

p — i<'j.^p. 

II nous suttira de supposer a' <[ a placé lui aussi entre/) — i ely^, 
car, de proclie en proche, on démontrera aussi l'existence d'une 
dérivée d'ordre quelconque inférieur à a. Supposons donc 

/) — i^a'<a</j 

en laissant de côté le cas de a = y;. 
Par dédnition, on a 

avec 

Y{x)=-—^ f (x ~z)i-='-if{z)dz. 



— 165 - 
Formons encore l'expression 

r ( a — a ) J^ 
on a 

=- î ~ f F'^/'{z')dz'f (^— .-•)*-«■-' f/.r 



. ■ ("\x — z' )»-»'¥ ^PUz')dz' , 

(a — a'jr(a— a'; J^ 



et, en intégrant par parties, 

.r»-*F'/'-"(o) 



•^0 



( .7- ) dx = 



r(a — a'-t-- 1 ) 

! ^ r (x—z')=^-<*'^F^P--^'(z')dz', 

i ( a — a 1 . /„ 



on aura de même 



''■'■ '"■'■ .^s-a'+iF(/'-i'(o) 






) C^ J7 dx = 



r(a — a'-f- 2) 



r(a — a' -(- I ) 

H "^ / (x-z')=^-=^'-^F^/'-^-Hz')dz' 

et cnliu 

/ ••• / 'i'{x)dx .. .dx = x^-^ 0,,-i(x) 

1> 

-^ — — ' r- f {x — z')=^-=^-n-\z')dz\ 

(^^_ I (ip) étant un polynôme en a^ de degré p — \ . Dcisignons yiwv I 
cette dernière intégrale, on aura 

I = .■; ^^ f\r-z')yi-y-'-^dz' f {^' --)!'-=' 'f{=^)dz 

\ {7.-7. )\^p -:l)J^ ../, 

= ,-t: A-; f fi^^tf- f {X- z')^ '^-^(z- z)i' »-i dz: 

XI.VI. 12 



— 160 — 

liU.son-> II' cluini:!'!!!!'!!! {\f \;iri;ihlc 

j;' — ;= fix — z ) 

(liiiis lii ilciiiirrc iiiri'^ralc : file (lc\ ifiit 

.'j._-;/'-a'-i 1 ti_t\7.-3.-\//<-x-\d( = — — — '-, (a:— 3j/'-«-', 

' ■' f ' \ ( n — a ) 



«:'l. par snitP. 



I = 



^ {X — z)i--^'-\j\z)clz. 



Vip — ^ I , ' 

( )n (Icdiiil île lii 

Lr cas (If y.=p se traite de la iiHMiif manièrf en r''iii[tlaçaiit 
dans les (Mlnil-; préciVlents F(iP) par /(a"). En posanr 

«î.(x) = ^ ^ T. r (x — z')i'-^''^f ''Uz)dz 



et 

I = — 

■ P 



< 



avf c p ■ — ^^ 1 ^ a <C/^- "Il <'l»t uni 

La proposition est ainsi dé'montrt'c dans hms les cas. 

(). Siip[)nMiii> iiiaiiilriiaal que / ( x ) soit une tonction li<d(i- 
inorplif et unitonne dans un domaine contenant le segiiifiil 
(' — 1, H- i); nous désignerons tim joiii- pai ./ l'abscisse d'un point 
de ce segment. Je me propose dt- nprcxnlii la dérivée X^^fix ) 
par une intégrale de contour. 

< )u a. SI /> -- 1 ^ 7. << /y, 

avec 



= - î Ç (T-~z)l'-'J-^f{z)d^ 



V(x) 



— 167 — 

Partons de — ^i avec la détermination réelle de ix — zV^ et 
«lécrivons dans le sens inverse le lacet (— i, ■!'). Lintégrale 
étendue au petit cercle est infiniment petite d'ordre p — r\ on a 
donc, en traçant un contour quelconque C passant par — i et con- 
tenant le segment ( — i. -r- i), 






O, 



le contour C étant parcouru dans le sens direct en partant du 
point — i; lorsqu'on revient au point — i l'expression (^ — ^)^-« ' 
est multipliée par e-'"^/'~='"'^ et la seconde intégrale est égale 
à e-"^f^~°'~'^F(a?); pour obtenir la dernière, il faut tourner de '.>.- 
autour de x et dans le sens inverse, on revient donc à la détermi- 
nation initiale de (a? — 5)/^"* ' et la troisième intégrale est égale 
à — ¥ ( X ). Donc 

(Jr 

I — e2/7t /^-a-i; — g-^Tita+i-/^) 2 ^ si n ( a -r- i — />< ) -, 

et comme 

!"(/> — a) r(n- y — p 



sin( i -r- a — p )7z 
il vient 



F(:r) 



V (\ -h OL ^- p ) 






F(j-)= Lli±.J^ E2 fiz-x)i'~^-^ fiz)dz. 

■>i- J^■^ 

On déduit de là 

F(-^)= / {z-xM'-^-^f^z)dz 



et 



F(/''(a7)= -!-^^U-^ f {z~ t)-^-' fiz)dz 

>.IT. ,/j. 

•'^'' ^ ri- J^. ( z — xp 



lormiile ([ui g('néralise l'expression bien coiuiiie pour le>-d< ri\ées 
d'ordre entier. 



— 16S — 



7. Nous allons appliquer les résullats précr-dealN îi l'i-tiulr de l.i 
(.Iérivt3e d'ordre a d'un polynôme eiilier V{x) de des;rc // dont le 
module sur le segment ( — i. + i) reste intérieur à M. On ii. pour 
iiii pdiiil ./■ di' ce S('i;nieiil , 






C dési*;nant un contour simple quelconque [)assan( par le 
point — 1 et entourant le segment ( — i, -h i). Nous nous limi- 
lerons aux valeurs de X comprises dans le segment ( — ./o. -t-.^'o) 
intérieur au précédent. Traçons une ellipse E quelconque d»- 
t"o\ers ( — I, +1): nous supposerons lellipse assez aplatie pour 
(pic l'ahscisse du centre de courbure au sommet .r = rt de l'axe 
l'dcal soit supérieure à Xq. 

Sdit P un point d'abscisse x sur le segment ( — i , -)- i), calculons 
la dislance de ce point à l'ellipse E; c'est la longueur VM de la 
normale menée de P distincte du grand axe; appeb)ns P' le point 
de rencontre avec Ox de la tangente h lellipse I' an pied M de 
cette normale et Q la projection de M sur Ox : on a 

'^'"=|-7| 0Q = ^'="'l-l' 

(10 II 

I I — r- 



|.r| ' ' l./;l 

FÂiL pQ.pp'= ù'Hi- X-). 



\^\ distance /■ de P à l'ellipse est donc b\ i — x- el 1 ou a 



ù\' i — X l "i r "i^l ù . 

Si 1 ellipse E a nue excentricité telle que, pour certaines valeurs 
de X, le point M soit imaginaire, nous conserverons la même 
valeur de /'. ce sera le raxon d'un cercle de centre P, iulérieur à 
l'ellipse et ayant avec elle un double contact imaginaire. 

Traçons le cercle -' de centre P et de ravon /• qui coupe en A le 
segment ( — \.x) si ù est assez petit, l'intégrale prise le Iiuig de (1 
peut être remplacée (> ir 



— 169 - 



ot SOI! iiiiicliilf" csl iiiH-noiir à 



AfUf 



-Nous allons évaluer une liniile supérieure de cliacuae de ces 
iutéi;rales. Pour la seconde 

!'( a -f- I ; r V( z) dz 






n 



... {z-x)^-^ 
r( a — i)M 



puisque à l'intérieur de I ellipse E. le module île P (^v ) est \i\iv- 



, M 
rieur a — et coninie 



=. by \ — j"- et 6 =^ 

a'-Ti 2 -1- I ) M I 



a 5«-X(,_;2 



( I — a:^)- 



Délerniinons o. entre o et i, de manière que le second iiiend»re 
^oit minimum, il suilit de prendre 



/< — a 

Pn = l / (rt > a;, 



d'o 



A 



or, en posant n = n' v.. 



n - a 
]Mr(a — 1 ) (/?-:- a ) - 



a n — a 

aa(L — X-)- in — a) - 



n + 3. 

1 ( n -^ n) - \ { n -- \ } - 

2^ " iïZ 



( /t — a) - 



ri II — \ I 
I « ' — ri 



•i 



car nous avons vu, au j)aragraphe .'î. que le iioud)re entre ( locliel' 
<'sl inférieur à en. 
Il résulte de lîi que 



<•) 



l''l 



//««AI 



( I — X2 )2 



/.' désignanl la «onslanle l'( a -j- i U'*. 



— 170 

PassoH'- il lii jimnièrc lnt('i;ral<; 



r(a-i-i)IM /-"■-'• , , 



I"| 



Mr(a)ri 1 



[il.) ri - 



< 



Air (a) 



et comme /■ =: by \ — X-, 



\V\ 



M Vit) I 



or iioii-^ ii\oii> 



b = 



uirri — .7-2)2 



I — - 



a />a' 



v/;^ 



I /i 



|J"I< 



Mria)^^ /."n«M 



■l, si /, = /.■'+/". 



a^tx 7:(i — ./-ï)-^ (|_a72)2 



D?P(.r)| 



(I — a--)2 



Le calcul que nous venons de faire est encore applical)le au 
cas où a est un entier; dans ce dei'nier cas, les intégrales prises 
le long du segment ( — i, A) ont une somme nulle et il suf'lil 
d'évaluer une limile supérieure du module de l'intégrale prise le 
long du cercle -'. 

Pour un point quelconque intérieur au segment ( — .^o, -^Xq). 
nous aurons, dans tous les cas. 



(2) 



|DÏ.I'(^)1< 



n=^M ^ An^M. 



ii-^l)' 



La validit*' ^\^l raisonneuient précédent suppose le point A à 
I inlé'rieur du segmeut ( — i. x): il faut pour cela que 



r <: I -h or 



— 171 



b< 



V/i^ 



Pour que celte inei;alilé soit vériliëe pour loute valeur de x 
comprise clans rinlervalle i - Xq, + a:»), Xç^ étant positif, il suffit 
(lue 



/ i -+- J"(i 



et, en remplaçant h par sa \aleur / > il vient 

' ' ' \/ n- — a- 



L*inéii;alité {:*.) n'est donc vérifiée qu à partii" d'une certaine 
valeur de n dépendant de .i,,. mais il suffit de modifier la valeur 
(le /.■ |)our supposer qu'elle est satisfaite quel que soit n. La nou- 
velle valeur de /. (h'-pendia alors deic,,. 



8. Considérons uiainlenanl i^les f()ncti(»ns de plu>ieurs \arial)les, 
pur exemple de dcuv \arial)les réelles x et y : nous nous place- 
rons en ^én(''ial (lan-> If iloniaine carn'' iT) (l(''lini p;ir les iu(''i;alilés 

— ii.r_-i-i, — i%y^-7-i. 

Soit 1^(3". v) un poi\n(iMic de dei;r('' /// en x et dv degr('' // en )•; 
>upposons que le module de ce polvnome reste intérieur à M 
lorsque le point ( x, )) est dans le carré (T); soit (l") un rec- 
lan<;le concentrique à (F) dont les côtés sont parallèles au\ 
aves O.r, Or et situé tout entier à l'inh-rieur de (F). Proposons- 
nous d'évaluer une limite supérieure du module des di'-rivées 
de P(x, y) pour les points du domaine ( V). 

Donnons à r une x.iieur li\e )o *'•' uianièic (pie la droile )■ ^ )„ 
coupe le rectangle (V') suisant l(; segmeni \\\. l'our le» points 
de A 13, on a 



di>V{x,y«) 



dxi> 



/{' nii'M. 



n ('lanl un cntiei- el /, ' une convlanle in(l('[)eudanle de )'o. Il en 



— 172 - 
if'sullp qiir. ])(nii' lout point de (T'), 
<)/>P(x. y) 



dxi' 



//mi'M. 



Celle dérivée y^"""" esl encore un [)oljnoin(,' l*,(.r, >'), en particu- 
lier un j)olynome en y de degré n auquel on peut up[)liquer le 
r»''Millal pré'cédenl; on aura 



di\\(T, v) 



ây'l 



-k" n'/i A'MmP), 



// é-ianl un cufier ef /." une constante. l\»r suite, en posant / = A' k", 

fji'^'/Pix. r)\ 



d.Ti'Oy'l 



Lini' n'i M. 



9. Pour étendre ce résultat aux dérivées d'ordre non entier, nous 
adopterons la définition suivante : si p — i ^a<;y> et q — i ^ [5 <[ ^, 
la dérivée d'ordre a en x et ^i en )' de la fonction y (j?, >') est 

ja.KW ■> J } àxi'ily'i 

en posanl 

X / / (x — z)v-^-'^{y — u)n-'^-'^f^z. u)dzdu. 

Supposons que toutes les dérivées de F jusqu'à l'ordre /> 4- 7 
soient continues et montrons qu'on peut obtenir la dérivée 
d'ordre a+[i en prenant d'abord la dérivée d'ordre a en x de la 
fonction /(a?, i'), puis la dérivée d'ordre ^ en j' de cette première 
<li''riv('T (Ml en faisant l'inverse. Posons pour cela 

•{x, v)= 7— / (y — uy/-?"^'i'(x, u)du. 



Ou aura 
(I) \ 



Li dérivée d'ordi-e <j en y de F(:r,^)') existe, c'est-à-dire 
<pie $(x, }') admet une dérivée d'ordre |^; on en déduit, par les 
formules du n" 5, en remarcpiant que I" i — ••.)) est nul quel que 



- 173 - 

soit )• 

I /■■'' 
*(.r. y) = — — - / ( y — Il \?-'^FXt.T. u) du. 
l {p)J_i ■' 

Or, hi ronclion F[7,i(x,y) aclinet une dérivt-f continue crordre /> 
en X, il en est de même pour ^( x, y ) et 

i.y; ( T. y , = ^^ f (y-u )? -> vj;^:i'ix, u ) du. 

■ ' ■ ^ — l 

Celte expression, en tenant compte de la valeur de <ï>( x, y), n'est 
autre que D[^rlf(x, y) dont on montre ainsi l'existence. rJérivons 
maintenant p fois par rapport à x les deux mend)res de l'éfia- 
lité (i), on aura 

F'Jp (x. r) = ^—^ I ' ( y.^ u )7-?-i D*.„ ftx. u ) du : 

■ ■ - ' \ t q — ;i )^/ , "^ "^ 

«'etle ui)ii\(11l' loacLioii adaieL par livpolhèse une dérivée d'ordre </ 
en ]' qui est par définition la dérivée d'ordre ^ en ^v de Xy^^fix. y ). 
On obtient ainsi 

L)^;^/(^,.r) = Yj^^^'ix, y) = \)l^\ylJ(x. y). 

On (h'inonirer.iil <.\r iwrww [('lialui'- 

D.*^,?/(-^: ri = D%.D ?,/(>•, y). 

10. Il est inaiuleaaiil larilc distendre aux d<'ri\ées |iarliidifs 
d'ordre quelconque les résultats du n" 8. .Soit IN./, )'j un polynôme 
de degré m en .r, de dei;ré n en ]■ et dont le module ne dépasse 
pas M, dans le carré F. On a. dans F'. 

JD,*/('.r. y\\ < /.'//>*. M ; 
Pour ohlcuii' celle dérivée il laiil d "altord calculer l'intégrale 



!•(/. 



f-.r- 



)!• a-i I*( :;. )• ) dz 



qui esl un pidvnomc en )'. de degré //. Q( >'»; l'Usiiilc, prendre 
la dériv('e d'ordre j> en x de ce pid\U(tme. Le r<'>ultal e><l encore 
un i^ohnome eu )' de degré //. l\ (.)'!• car le^ cuellicients du p'ds- 



- 17i — 

nome Q(.v) soiil lie la forme .'/""°'S(.r j, S éianl un polynôme en x 
t'\ peuvent «'Irc (l(-ri\és p t'ois. Appliquons au |)ol\nonH' lv(^.r ) le 
lli«"(»rt'me Tclalil an maximum i\u module <1 une dt-rivéc d'iu-dre [ii 
'I lin |)olvnome, 

|d;^h<.:v;|< />"n'^\. 

N liant une limilr >iipérieurc de R( r): on pi-iii picndre 

N = /.'/;»*. M. 

(\'<}\\. en posant / : : /.'/.". 

|D!.;?/(.r,r)| /-'"^nPM. 

CIIAPITUE 11. 

LAI'I'ROXIAIATIOX UKS FONCTIONS DUNE VARIABLK. 

11. Je vais ra[)j)(dei" un tliéiutiiie de M. S. Bernstein (' ) liant 
l existence des dérivées d Une tmietion / i ./ ) ;i la rajiidilé de la 
décroissance de la meilleure approximation de cette fonction par 
un polynôme P„(x) de de<;r('' /i, lorsque l'entier n croît indélini- 
ment. Comme je me propose d'étendre le théorème de M. S. Bern- 
stein au cas des dérivées d'ordre quelconque, entier ou non. jr 
domontrerai d'ai)ord la proposition suivante : 

Soit J ,(x), J-2{X ), . . ., J,i( X ), ... une suite infinie de fonc- 
tions convergeant uniformément vers /(oc); si In suite f^'fix), 
y''.*'(a7), .... f',fU,x ). ... converge uniformément, elle a pour 
limite f^'^^x). 

Je supposerai, comme toujours tlans la suit»-, qiir !('■> lonction- 
^nn\ définies et hornées dans rinter\alle ( — i. — i ) cl je dirai 
qn une suite u^ converge unitormément lorsque la si-rie dont ïv 
terme génér.il est l u,t_^.i — u„) cnnveri;!' iinilnniiciiirnl . 

Soit /> Ir plii'^ prlil enl ler dcpassaul y.. puMuis 

V„(x)=- ! / (T — z)''-^-^ fn( z> dz (/) — iSa<p). 

1 ( /> st ; , / * ' ^ 

(') Sur l'ordre de la meilleure approximation, etc.. p. .>.>. 



— ITfi — 



Soit, de même. 

f' (!•?■)=.-; / i.r — z)i>-^-^ f{z\ dz, 

l \ P — 7.) .1 . 



F{t) — V„(x)=- ^- f (x- zM'-=^-^[fiz^~-f„iz)\dz 

\¥{r)-¥^^x)\<- ^ ; f (x-zU>-=^-^dz ~-^^—^ . 

' 1 ( /j — a ) J I ( /^ — a — 1 I 



si n est assez yr.md pour que f(x) — Jnioo ) ait, dans l'inter- 
valle ( — 1, + i), un module inférieur à t. 

La suite F„(x) converge donc uniformément vers F(a"); mais 
la suite F)^'' ( x) converge uniformément, par hypothèse; elle a 
donc pour limite Fp^i^x)^ c'est-à-dire /'"' (j7). Comme la suite 
F^f f J?) n'est autre que la suite y^f'Cx). le tli(''07-ruie est démontn'-. 

12. \ oici maintenant la [)roposition de Al . S. Bernstein dont 
je modifie rénon((- pour l'étendre au cas d'une dérivée ([uel- 
conque. 

Si, quel que sm'l l'eiihcr it . il cxisic un polynôme V„( x) de 
degré n, tel que 

|/(.r)-P„(;r)|<A, 

A f't a étant des constantes positives , f { x) possède des dériiées 
d^ ordre a' inférieur à a. 

Supposons d'altord a' << a — ^ i (a >> i i. on a 

cette dillérence e>l uu poUnonu; entier île tiegic // i auquel 
nous pouvons appliquer les théorèmes du Cliaj)itre |U(M(''denl . 
donc 

comme a — a'^i. la >erie [ l*,J'^, — \*'/i | c-l iiniloruifiucul eon\er- 
genle et sa soiunie repi«''sente y* ( if). 



— I7(J — 

Sn|)|)()Miii> m linlcaaiil que a — i ^ a'<C a cl cal eu Ions une liuillc 
supciicurc (lu reste de la série V\fHx) lorsqu'ou s arrèlc au Icnnc 
<lc raiiii «; soit •>.'""• '^ //<<'>,'" ; le reste esl i-epn'-sciité |);ir la 
série 

[ i'S' - i':f '1 -+- [ i'5'., - pi,*:'] -:-.... 

Le premier Icruic dr celle série esl, en \aleur ah->(>hie. inh'-- 

ricur à 

>/.A9."'« iAX-i'"^' . , . I 
< — ■ — = ji^»/. A .— , 



le >cci)ii(l Icriue e>l luterieur à 

•jt/i A ■>,'" + 1 ^ 



■t m a 



= 2'+*/. A 



a— a' /H-Hi 



<■! aiuM de suite, le resle esl donc inlé-ricurii 

'> r, ■ , , 1 ^'' . ^- 

-, x-3.' III I .^ a— a': ' • • • .^ a— a'/' ' ' ' 1 'Jt ^— ^ '" " «* * ' 

I) el (] d('-sii;iianl des conslanles; coinnie a — a'>o, la suite 

1*,^* (./jcsl uiiilnnnéiuent convergente el a pour liinile /** '( j;) ; 

hien entendu, cette seconde partie de la démonsiration s'applique 

aussi au cas où a' <^ a — i. Les raisonnements siip|)0sent que x 

\Av\v dans un iuler\alle cjuelconque intrrieui' ii ( — i. + i '• ^^^ 

montrent que, dans un tel intervalle, la dérivée d'ordre a' entier 

i\e f(x) peut (Hre ajjpi-ochée par un polynôme de degré ji au plus 

• I A' 
a\ec une erreur moindre que ;• 



13. Donnons ;i la variable X des accroissements égaux à h. nous 
pourrons foiiuer les dilFérences 

\,, /( .,• I =/( .r -h h) —fix), 

^,J fix) =/(.T-i- ■'./() — -xfix-^ h) -hf(x), 

A/,' /(.ri =f{T --Ml)— "\f(x -f- xh) -+■ ^fix -4- /( ) —/(x), 



ii(Mi> désignerons plus ljriè\cmenl ces dillérences par A. A'-', 
A*-'', .... .\ous allons montrer comment riivpolh«"'se (jue lun des 



>p(Uh 



est horné entraîne pour / (^.r) l'evistence de dérivées 



— 177 — 
d'ordre intérieur ù /•. Pour faire cette déninnstr.ition. nous ét^i- 
est l)orné, on peut repn'senter y'i .r ) par un 



hli 



rons que si 



hr 



[)olvnome V„(x) avec une approximation de l'ordre de — ; la 
[)roposition du {)ara<^raphe précédent nous conduira au ré--.iiltat. 
jNgus prouverons l'existence des polynômes V,t(x) en ado[)tant 
la marclie suixie par M. Dunham Jackson ( ') pour le cas où f{x} 
admet des dérivées jusqu'à un certain ordre; je modifierai sa 
démonstration Mir quelques points et. en particulier j'introduirai 
des fonctions de Bessel à la place des puissances dr la fonc- 
tion- — -• Je dé'signerai par 3/,(.r) la fonction de Hessel d'ordre 



entier A, c'est-à-dire la si-rie entière 



(-1)" 



on a aussi 

Cl) 

et 



i/t(-r} 



■r-i'p'.{h ^ p)\ 
J // 1 ■'■ ) = - / cos ( a: si n u — A -i ) d-:. 

= — ; — : - / cos(a: cos'j;) <in-'''i f/c 

i . ^ . j . . .yilt — 11-.' 



Vppelons I/, la dernière intégrale 

— / €0^(3" co?'ji) sin-/'-j; (^/-i, 



on dé-monlre que 



donc. SI 1 on |);)^( 



/ I /, ' J" I (Ix = 1 (- )-, 

' u 

lv,(.r,= -i-[J^ 1, 
Se \ -I ^ / 

/ K/, ( .r ) dx = I. 



(') Ueber die genaiiigLeit der Aniiàhi'rting slctiger Fiinhlioncn dttrcli guiizc 
rationale Funkintnen gvgebener Grades itnd trigonoinelrisclic Suiii/ncn gcgc- 
bener Ordnung i ('•idùu^cn. Mémoire couronnù et disserlation inaugurale, 191 1). 

(-) Pour celte formule et les précédentes, roi/-, par exemple. Guay ami Matiikws, 
'/'renlise on Des^cl fitnctions H^ontlres. Macmillan and Co. i^^gô). 



— ITS 



r>. hi(-^) 



D'ailleurs l/J s ) = C ^\^ et comme IJ/ifa^il^i d'après la foi- 
mule ( 2 i. on \(>ii ([iie / |./ '■j/jl j' )| c/./ a iiu scM> |)iiiir /< ^ /■ — 1: 

il en est de même des intf'grales / \.r''K/,( r )\ fl.x. C'est la 

ronctioii K/i[x) que nous utiliserons dans la suite. Nous d<'"sijj;ne- 
rons par K.(jr), sans indice, une fonction K/((.r) pour laquelle A 
est supc-rieur ou éjial à m. 



14. Plaçons-nous dahoid dans le cas où 



"A/, 



est l)orn<;. .Nous 



pouvons toujours su[)po>er que f[ — ij:= /(+ 1 ) == o, en retran- 
cliant au besoin (\ef(x) une fonction linéaire; nous prendrons 
f(x)=^o pour |./ I >- 1; ainsi la fonction /(r) est définie quel que 
soit .r et l'on a, pour toute valeur de a\ | AA| <Z A|/i|, A étant une 
constante, évaluons lintéorale 



Nous avons ici 



1^ I aK(a)|<:^o( = B (A = 3), 



donc 



D'autre pari 



|S|.<AJ |ak(a,|./: 



n 



et 



/ f y^'^ ~ ] K ( a ) </a = / nf\ ai l\ | // 1 % — x ]\ di. 

= I rt/(a) k[//(a — j-)] = U„Cx), 
'- —ï 
ne 

\ R 

|/(>7)— U„(;r)|< — . 

D autre j)art. si l'on développe K(^.a7 ) en >é'iie entière, le leriiic 



— 179 — 

i;énéral est. à un facteur constant près, 

a- \2/' 



(- 



■'"l^j 



p\i h — /» ) ! ' 
])i>iii- lv[/M^a — ri], le terme général, de rang^^ — i, est 

' {Her-"p\{h^p)'.' 

Le rapport de ce terme an précédent est, en valeur ai)soIiie. 

/t"-(a — .7-)- ^ n- 
i 8 e )'-p i h — p ) ^ 4 ^' (^ i P '" 

.si, comme nons le supposerons désormais, |.r| est inférieur à i. 
Lorsque ip^n^ le rapport est inférieur à i , la série alternée a des 
termes dont la valeur absolue, à partir d un rang supérieur on 

éoal à — > va en (l<''('r(iis>atil : le reste de cette série ne déi)ass(' 

donc pas, en module, la \aleur de son premier terme. 

Supposons 11 pair et égal à :iv, nous prendrons p=z^/. on a 
alors, en prenant la somme des p premiers termes de la série. 
un polynôme Qn{'y- — -JC) de degré // — a et le reste R« vérifii' 
l'inégalité 

R„1C 



Si ti est impair et égal à ;2v — i, nous prendrons encore /i -^-z v; 
Q„(a — .r) sera un polvnouie de ilegré n — i et le reste R„ vé-ri- 
fiera l'inégalité 

Or l'expi^ession Uv = .,. , ^ décroît avec v, car le rap[>orl 






ÏÏÏÏ 



est inférieur à i , donc 



»v< «1= -i 



R,. 



_G_ . _G 



On a, par suite, 

\/iK\n{(x - x)] — nQn(^ — ■r)\ 



/<<: 



180 



01 



l?«(^)- / /(a)«Q„(a-.r)./a ;- / \f(:>.^\dy.^—', 



()„(a. — jc) éLiUil iiii |H»lvn()mc entier (le clej;r<'- iiit'éiieiir à /i . il en 
esl (le même de 1 iiil(''iirale 



^+1 

l'n(x)= I f{7.)ni)„('X~T)d%, 



\f{x)-{\{x)\< 



AB -^ DI-: 



Si lions avions seulement supj)()S(' que 

|A/r^)l</|//|^ (o<'a<i), 

le iiK-me raisonnement nous ent eondnits à n\\ jxilvnome l',,(.r> 
le! que 

\f(x-)-V„(T)\<^^^ 

Il en l'ésulte qne /'l ./• ) possède des déri\«'es d'oi'dre a'-< a. Done r 

Si une fonction f(x') satisfait, dans l' intei^alle ( — i . — i ), 
à une condition de Lipschitz- d exposant a., cette Jonction 
admet des dérivées d'un ordre qaclconqae a' inférieur à a (^). 



U'). Snpposons maintenant qne Inn des rappoils 



h- 



soit borné 



et prenons, par exemple, /■ =; :2. Nous formerons l'intégrale 

s = / A-/ 1^(.3: 1 dy. 

>- — A. 7, 

la ("onction K(x) eorrespondant, celte lois, à un indice A supérieur 
ou égal à 4- Nous ferons varier x dans un intervalle intérieur 

à ( — - I , -h i); nous prendrons l'intervalle ( — i -h ^? ' — ^); pour 

i') l\MicIant la correclion des épreuvfs. j"yi connuissancc d'un Iravail de 
M. Ilennaiin ^^'eyl où cette proposition est établie par une élude des cocflicienls 
de Foiirier de la fonction : Berneshuns(en zum Hegrijf des Differentialquo- 
tienlen gebrochener Ordiiniing ( Viei teljalirsscliiij't der iXatur/orsc/tenden 
gesellschafl in Zilinrh. ly.'- p. 2C)G). 



— 181 — 
riiit(-i4i"alion, nous supposerons que f(.x) =^ <» pour j./| > i . Si 



a 
i-l<~ ou lai 

n " ■>. 



, . 'J. •>. 7. . , . / < 

les points .r, ./■ H , ./• H sont interieui's au sef;ment ( — i , -f- i ) 

I ^ Il n . \ / 

et l'on a 



Si lai >- — '- , on a linénalité 



/(^» 



A'—. 



a- 



1^ = V 



\'^ 



M désignant le module uiax-inuun ûej\x)\ on a donc quel que 
soit a, 



I \ -^M -- \ 

- /i- 



et 



|S|<-/ |.Mv(.;|rf.= — . 
I ) aiilie part, 

^ /(:r)K(a)^/x =/(.r), 

/ /(^-^-j \<'(y)dy.= f n/iOL)\\[/uy.-.r<]d 



r /U^'^y<(^)^^^= f "/('^ 



(;t, coiunie y'(a) e.^t nul pour |a|>-i, il suflir.i de prcadie ces 
dernières intéiirales entre les limites — i et + i . Snii 






f(.r)-l„(.r)\< — 



- 182 — 
Nous pouvons maintenant remplacer 

K[n(a — a?)] et K /; — — — 

pur des j)()lynouies de dej;rés intérieurs h ii et avec une erreur de 
l'ordre de -^- Ou peut donc remplacer la différence L„ placée 

entre accolades par un polynôme Q„(a — ./) avec une erreiu- 

C 
inférieure à — • ^*ous aurons alors 



rtL„(a — T) — nQ„(:t — ^)| 



nC D 



et 



^ni^r) - j /(oi)nQ„(0L — x)d'JL <— I |/(a)| 



ch 



DK 



|>ar conséquent, en désigniuil par P//(-^) rinté<;rale du premier 

membre 

AB-+-DE F 

|/(:r)-P„(:r)|< = -• 



Si l'on avait seulement supposé que -y^ (i^a^3) est borné, les 

mêmes raisonnements auraient conduit à un polynôme P,i(.r) tel 
que 

|/(:r)-P„(^)|<-^. 

Le cas général se traite de la même manière: il suHit d'introduii-e 
lintég^rale 

I \'£K(y.)du, 

dans laquelle lv(aj correspond à im indice A ^ /• -^ >.. On repré- 
sente aloi> l'(x). avec une erreur moindre que -^ — i)ar une int»'-- 

•' • ^ n'' ^ 

t;rale V„(.r) portant sur une somme de fonctions de la forme 

/?K II y s étant un des nondires i, :^. ..../'. A son tour, 

ebaque fonction «K est remplacée par un polynôme, en luuitanl 
son développement en série au terme de degré it — i ou ii — ■>.: 

la nouvelle erreur est de Torche de — et par eonsc-queut d'iiu 



— 183 



ordre inférieur îi — j-- On en déduit, couune plus haut, qu'on peut 
trouver un polynôme Prt(.r) tel que 



|/(^)-P„(^)|< — 
' n' 



A' 



Si c'est le rapport y^ qui est horné. avec /■ — i j;a^/-, on aura 
un polynôme P„(./) pour lequel 

|/(.r)-P„(^j|<-^. 

Appliquons maintenant à la fonction^ (\r j le théorème du n"!!, 
nous voyons qu'elle admet des dérivées d'un ordre quelconque 
inférieur à /• dans le premier cas ou inférieur à a dans le second. 
On peut donc é-noncer la |)roposition suivante : 

Soit J\x ), une jonction boim'c dans l'intcnalle ( — i. -h i) 
et telle que le iapi>ort -jj ait un module boiiié dans cet inter- 
valle; pow toute valeur de x intérieure à l'interKalle^ la Jonc- 
tion admet une déri\('r d' ut) ordre (judconque inférieur à r. 

Si le rapport -j~- dans lequel t. est compris entre r — i et r. 

a un module borne . la fonction admet une dérivée d'un ordre 
quelconque inférieur éi a. 

r» I . fi T ^- h) — /■( .ri , ... , 

Par exemple, si = ■ est borne, j {x ) admet yn\e 

dérivée d'un ordre quelconque inférieur it i ; [xtur la dérivée 

d'ordre i, on sali (jiie Af. j^ehesgue a démontré ([uello existe 

/•,.r-+-2/0 — ■>./"( ■*"^/0-^ /■(./•) , I 

presque partout. Si ' j:, est liorne, 

J'{x) admet une dérivc'-e d'un ordre quelconque inh-rieur à '. : 
en jjarticiillcr, la dé-rivée première existe partout (')• Poiii- le 



cas iienerat ou 



est l)orné, les déri\«''('s f'(x), f"{x). 



/'''■"''(./■) existent en tout point intérieur à rintcrvalle ( — i, H- i). 



(') Il en est de iim'iih- si le rappori 
lequel I < a f 1, est liorm-. 



/(ar-i- ■>/*)— .>f{x -T- II) f{x \ 



dans 



- 18i — 



16. Les dt'inonstralions précédentes s'appliqircnl iui cas (»ù la 
fonction /'(.r) admet des dérivées jusqu'à Tordre /• — i, la dérivée 
d'ordre 7'^ — i satisfaisant à une condition de Lipschitz d'expo- 
sant fj. ( )ii a. CI» cdrt. 



Ar/(^ 



A/r'7(.r-f-/o- A/: ' fix) 



f'(Ty) 



It'—'- 



<le même. 






A/('-»(^,^0. 



I*.ir 11 vpollicse, cette dernière dilléieuce a un module inléiieiir 



//|? 



A/f 



est horné. Si la d(''ri\é<' d'ordre /• existe, la 

est horné en même 






dernière dillcrence est (-gale à ///'''' (.r,) et 
temps que \f '-'''' {jr)\. 

Ou peut observer que, dans le cas précédent, il est possible 
de prolonger f{.r) dans un intervalle ( — ■ i — o. i H- o) conte- 
nant ( — I, + i) de manière à conserver les bypotlièses faites 
sury'(./). On en déduit que l'approximation par les polynômes 
V,i{3c) est valable uniformément pour tout le segment ( — i, H- i); 
mais je renverrai pour ce point au travail de M. Dunbam Jackson. 

Enlin, on peut encore remarquer que l'existence, pour la fonc- 
tion /(.r), des dérivées jus(pi'à l'ordre /■ — i, la dérivée d'ordre 
/■ — I satisfaisant à une condition de Lipscliitz d'exposant -îi, 
entraîne l'existence des dérivées de tous les ordres, entiers ou 
non, inférieurs à /* 4- fi — i . 



CHAPITRE III. 



L APPROXIMATION DES FONCTIONS DE PLliSIECRS VARIABLES. 



17. L'ordre de grandeur (Je la meilleure approximation d une 
fonction y (./•) par un polynôme de degré ji dépend des propriétés 
(lillérenlielies de cette fonction. Si nous passons à une fonction 
de deux variables y (j:', j), la meilleure approximation sera liée 
aux propriétés différentielles par ra])port à .r et par rapport à )'. 
Il y aura donc lieu de faire intervenir s(''parément le degré du 



— 185 — 

|)oljnoiiîe par rappoii à x et son degré par rapport à )'. Si l'on se 
l)ornait à considérer le degré d'un polynôme P(x, y ) par rapport 
ù l'ensemble des variables, on n'arriverait pas à modeler evacte- 
inent l'ordre de grandeur de la meilleure approximation sur les 
propriétés différentielles. 

JNous introduirons donc des polynômes P;„.«(j", .)') de degré nt 
en X et de degré n en y et nous serons conduits à représenter la 
meilleure appi'oximation, pour un polynôme de degrés m et //, par 

\ P 

des expressions de la (oruie s; A et a, B et fj étant des 

nombres positifs dépendant des propriétés différentielles de 
y'(x, jk) respecti\euicnt par rapport à x et par rapport à j'. 

18. Soit f{x^ y) une fonction définie dans le carré |x|^i, 
I rl^i; nous supposons que, quels que soient les entiers ni et //, il 
existe un polynôme l*,„.„(./-, )• ), de degrés m et // . v('riflant 
rinés^alité 

et nous nous proposons d'en déduire des conséquences relatives 
à l'existence des déri\ées partielles de/(.r, )'). 

Soient a^[j et a', y deux nouibres positifs, entiers (ui non, res- 
pectivement inférieurs à a et [j ; nous désignerons parP,^^;^ la 

I ■ • ' .-11 '•^^'^^' ''»/■ >'' ■^- ri Hm .. 
<l(;rivee partielle ,, , ,., Un a 

•?. A -x H 

\^ ni+ii.,n+^,{x, y ) — ^ n,,n{.X, y )\ < — -r- -^ , 

Il suflit, en effet. d"ap|)liqiiei' au polvnouic du pifiiiier membre 
de la première in(''galit(', dont les degrés sont m ]- u et // i v le 
résultat du n" 10, en supposant le point {.r,y) dans yyn carré inK'-- 
rieur au carré initial. 

Prenons 

I -I \ t\ 

en désignant |tar li[.r \ la partie entière du nombre r : ou |tonrra 



\Hii 



ri > m? — I, 

«I*>m*|i — /n ?) ^2~?m* (si ni'^i), 
«1 . en prenanl -j. = ///. 

/ V B \ . , „. 

( i I /» — 'i, 1^ ( « — V )p 



in^ 



f A — '2? B ; ( 2 /» j ^' ( 2 m i î^ = C 



Suit a'j — oa' — aj'=-'. I.i I Imite -ii|M'iiciii-<- |)rcc(''(lonte est éptlc 

, C 

;i — ;; f'I. |t;ir >iiite. 



j,. 'i-, , . 2A-C v./,<; 



i ' in^>j..n+-i ' Hi,/i I ~^ V / V\.< 



vi noii> clioisissons jxtiir m hi >iiilc do xaleiiivs f>^ ^ous obtenons 
ainsi luiê suile infinie de pohnitnes Pç(a:, ii dont les degrés sont 

r ^i 

respeclix enient ^>* et E [^2 '^ J • Cette snite e>l ali-nluinenl conver- 
j^ente si v> <» et sa limite est égale à la d» ri\('-e _/ ^Ij'^v . Il snffirail 
pour s'en assurer de répéter, pour le ras de plusieurs variables, la 
démonstration <pi(' jai donnée au n° 11 : il n"v a qu'à remplacer 
dans cette d(''iiii)U-lralii)n lo inté-grales siiiiplr-- par des intégrales 
doubles. 

La condition " ;> o peut s'écrire 

a' 3' 

et s"inlcr[)rétcr geoinétriqucnienL de la inaninc la plus simple. 
Soient Oa, 0|j deux axes. Faisons coirespondre à chaque 
dérivée d'ordres a' et ,3', le point de coordonnées a' et |j'. Soient A 
et B les ])oints (y., o) et (o. 'i). J.e juiint t y', 'i') doit être à l'inl»''- 
I leur <lii triangle OAB. 

^.(tus pouNons donc ('-noncer le théorème Niii\;iiii • 

•S'/. qLU'ls que soient les entiers positifs m et it, il existe nu 



— 187 — 
polynôme P,„„(x, k) vérifiant Vinégalité 

\f{x, y) — P,„.„(:r, y)\<C-- -, 

'«* n? 

en tout point (x, y) intérieur au carié \x\<C\, \y\<Zf' la 
fonction f(X.r) admet, à l'intérieur du carré, toute déri- 

»e<? /'*j:^E^ pour laquelle 

a' 3' 

19. Nous allons maintenant établir, relativement aux fonctions 
de deux variables pour lesquelles certains rapports des différences 
partielles à une puissance de l'accroissement sont bornés, des 
propositions analogues à celles du Chapitre II. Nous désignerons 
par A^j", la diflérence d'ordre /• pour les accroissements /i, :>./«, ..., /•// 
donnés à a? et par A^*', la différence d'ordre .v pour les accrois- 
sements A", 2/ . . . . , sk donnés à j'. 



Supposons d"al)ord que les rapports 
que Ion ait 

A, 

<A, 





Aa 




A/. 


rts 




et 






h 




k 


Aa- 


< 


A'. 


/ 









-r^ soient bornés et 



Nous supposerons que f{x,y) est égal à o à l'extérieur du 
carré (F) de centre O, de côtés parallèles aux axtis et égaux à :>. ; 
nous ferons varier le point (x^y) à l'intérieur d'un carré (V ) 
concentrique au premier dont les côtés, égaux à 2(1 — 0), seront 
parallèles aux axes. Soit M le module maximum de f{x, y) 
dans (V). Il existe un polynôme 0,„(:r). de degré m, tel que 



(0 



^+1 

f{x,j) — / fi 7., y )n) o ,„ \in(7. — x)]d:i 



F ne dépendant que de \. M. 0. 

De même, il existe un polynôme Q//I J'), de degn- //, tel que 



0' F' 



l'"' ne dépendant que de A'. M, 0. Ou a d'ailleurs 



01) 



Q,4m(a — .r)l==/»Klm(a-./»l + — (10| <i), 



'-) 



— ISS — 

I ) lie (l<''|iiii(l;inl que de M. ]]\i rciii|tla(aiil / i y., y } |)ar sa Nalcui' el 
|)(i-^aiil. [u>ui- aLri'^fi- 1 ('■ciiliiic. 

'^-^1 I' m ^ /" i' ,11 \ /n( y. — x)]. 

F,„ ('tant liai- foiicliori (]iiclcou(|ii('. il vicul 

/ f':y;y)'^\'l>ndy..= l I /ra, 3)CÔ,Q,„CD,0„r/a<i-:-— / 0'/, a,jja>, 

•• _ 1 • - 1 • — 1 " • - 1 

Jji dcriiièrt' inléj^ialr [)eiil s'écrire 

f 0/ra, ,r kOi K rfa -f- — f Of)/i y., y) dr. 

l^a picmicrc de ces intégrales peut, s'écrii-e 

et sou uiuliile r>l iiité-neur à 

M / 1 K(a)|(/a= M.\ ; 

I 1 • £■ - • , •>. DM , , , , , 

la seconde est intérieure a : donc, en reuiplacani dans (2) 

m ' ' ' ' 

, iMNF' ^ 2DMF' ^ ^\\''l \ — ■;. D 1 _ G 

n inn ~ n n 

d'où, en tenant coin|»te de l'inégalité (i), 

' — 1 ' — I 

F G 

< — I — 

m n 

L'intégral»; dmdile e>l. eoninie 1 (■l('nient dillérentiel. nu |)ol\- 
noine entier en x,y de degré m. en x et de d<'gré n on y que nous 
désignerons par \*,n^n( x, y); nous aurons donc 

\f(x,y)-?„,.n{x,y)\< - ^f ' 



et cela, quels que soient les entiers m cl //. 



181) - 



fl résulte iilors du paragraphe précédent qur la IViuctlou fix^y) 
admet des driivt-es partielles d'ordres a' et [i' tels que 7.'+ |j' < i . 



520. Supposons inaintenani que les rapport? 
l)oraés dans ( F). 



el 



A,:" 



soient 



A'/- 



< A , 



A,:'' 



< A'. 



Nous remplacerons encore j\x^ y) par o à l'extérieur de (F) et 
nous ferons varier le point (a?, r) îi l'intérieur de (F'j. Pour faire 
la démonstration nous prendrons r := 2, .ç = i . 
Il existe d'ahord un ixdyuoiue 0,„( j: ) tel que 



Ci) 



avec 






:^Q' 



</a < — - 

■>. \\ \ in'- 



= /// ' 2 K [ //M « — -^^ ) ] '^ 



/ 

/ 1.) 
^ ni- 



(|0|<n. 



D'autre pari, on peut lniu\<'r Q/i( J'I tel que 



(i) 



A^.y}=f f 



OT 



(a. [Un Q„[«( 2 - j )] rf[i -^ U"' 1 < '); 



reuq»laeons, dans linlégrale de l'inégalité (> ), y ( a. )' i par sa 
valeur tin-e de ( 5 ) et posons, pour ahn'ger rc-erilMi-e. 

CD, F„ =nV„in{'i-jq, 

(p., V,„ ^ m ^ ■> V,„[iii(-x - .r)J - - l" 



1 1 \ leiKlra 



(6) ^ /(a._^)-)(lt)on,„./a 

" —1 



rfa. 



— 190 - 

(icilc (Icniirrc iiiU-^imIc, en teiianl ronipli' de ( \ i. s'c-ciil 

I I • (• • I I I - '-^ ^' t) I 

le sccoikI Icrinc est ini( riciw ni valeur absolue a , !<• prcmici- 

ni- ' 

I ■i^'flx-\-—\Kf'x)dy.— 0'/(./-^- — I K(a;f/a; 

il (Si iiiliTiciii' eu \ alciir al)S()liie à 

3 M / \\\yoi)\dx = 3M\. 

\a' iiiixliilc (lu (leriiier terme de ( ()) ne surpasse doue pas 
3 MNF' ?M\)¥' ^ MF' ( 3 N -f- > H ) C, 



(7) 



,^ H- I ,-. + 1 



r ,/'('^: r '®2 Q/n «fa - / / /(a, ^,Kt)2 Q,„ lOi < »„ ./a ^/^ 

•/_i «^'—i •-- _i 

cl , en ei)iii|taiMnt ( 3) el ( ~ ), 



(r 



J;^ G 



L'intégrale double est, comnie l'élément différentiel, un poly- 
nôme en X. y de degrés ni et // que ikjus dc'signerons eneore 
par V,„n( X, y ); nous aurons done 

F G 



\f{xj) — P,„^Ja;,y)\ 



m- Il 



et eela, rpuds rpie soient les entiers m et n. 

Il r(''sulle <iu théorème établi au n" 18 cpie les d('' rivées y ^,*,'^^,' 

pour lesquelles - — |- j3'<< i . exisleni à linterieiir de V. Parexemple. 

la dérivée _/ \. existe. 

Ou esl ainsi conduil au I li(''(uèiue "éiu'i.il simaiil : 



Soit f{-'^,y) une fonction définie dans l'i/itrriei/r diin do- 



— 191 — 
inainc {^) f^t telle que. à l'intérieur de ce domaine, les rap- 

A^''' Av-"' 

ports -j-j: et -^ soient bornrs : cette fonction admet., à V intfhieur 
de (r). toutes les d('ri\èes partielles f^^/^f,' pour lesquelles 

a' S' 



A ■-' A -' 

Par exemple, si les iMppoiis -j^- et -^ sont boruc's, les dérivées 

A 3' A'^ 

I \. et /,' existent; si les r.ippoiis — ^ et -j^ soni bonn-s, les clén- 
. ■ . . 11 /j.i i^i 

^''*'^ fl'-' f'îyfU ''^'>^t<'nl p;ii't(iiil ( ' ). 

Si nous supposons que tous les rapports 

//' ' /^ 

sont bornrs pour chaque râleur de r et de s, on en déduit que 
la fonction f(x,y) possède des dérivées partielles de tous les 
ordres. 

21. Plus oénéraleiiieul . nous poiurions >iipp(>s{ r que le rap- 

A"'' A'*'' 

\^on -p^('y.llr) et que !<• ra|)|)(»rt -^(3<a') sonI horn(''S. Ou eu 
' «^ ^ * ' ' /iP 

(l(''(luirait l'existence de polvuouies P,„„(jr, i') pour lesquels 

et par suite que le> (l(''ii\ ('-es f X'JJ \ pour les(juellc> *" V "^ ' ' 

existent en tout poini ioU-iieui' à (I' ). 

Nous nous Irouverons. dius les liypotlièses pr:'eédentes si, par 

exemple, les dérivées/;., /,". /,"',./ e\islent et salisfonl à 

une Condition de Lipscliitz par rapport à .r d'ordi-e A el •>! le» 

(li'rivées y; . /",'.', Z,'^.' existent (>l sulisl'oul à une coiuliliou de 

Li|)scliil/ par rapport à 1' d'oixire ;j.. Noir» a\oii» \u qu'il -.ullil ilc 



(') On peut même itablii' «inr ns Héiivi-es soiU «onliiiiit^- (•( satisfont ;i îles 
conditions «le J^ipschil/. 



- lO-J — 



prc 



iicli 



(X = r — I -f- A 



v — I -1- -j. 



|Kiiir (Hre ramciK' ;ui cas précédenl. 

Il (;n sera ainsi, m j)aiiif'iiliri". si !(•> (I( rivi-cs /,', cl /^.C e.vi>lciil 
cl sont bornccs. Si U()ii> siipposaiis cnlin (pic les clc-rivées y,.'r' 
cl /','f exisiciil quels (jiic suienl les ealier^ /• et .s, iuhis pouvons 
en conclure rexislencc dans ( 1"^ de I ouïes les (U-rivccs /'^^y^Y . Ce 
dernier llH-orcinc, au moins lorsque a et [i sont <'ntiers. a déjà 
cl('' ('laMi par M. S. Bcrnslein l '). 



( ' ) Loc. cil., p. 9^. 



(^^ 



TABLE DES MATIERES 

DU TOME XL\ ï. 



( I>os lettres et luiinéros f|iii précèdent les litres indiquent les classifications 
(lu Répertoire bibliograpliique des Sciences mathématiques, nouvelle 
édition, iiitT).) 

|I 23 a] ( Amsler. ) Sur le développement aux fractions continues 

d'une irrationnelle quadratique i" 

|J 2 fj (E. Borel.) Sur la répartition probable et les fluctuations des 
distances mutuelles d'un nombre fini de points, droites et 
plans 1 o.T 

1 P'-6 I (E. Cartan.) Sur certaines hypersurfaces de l'espace conforme 

réel à cinq dimensions s', 

I D 2 a 2 I ( E. Cotton.) Sur certains critères de convergence i><» 

jD 1 b ^i I fP. Humbert) Sur deux polynômes associés aux polynomesde 

Legendre i Jo 

I H 11 C Y I (P. Lévy.) Sur la variation de la distribution de l'éleitricilé 

sur un conducteur dont la surface se d('-forme .H.> 

I L 23 a I lEd. Maillet.) Sur certains types de fraction' continues arilli- 

mé tiques i 

[D 1 b î] (P. Montel.j Sur les polynômes d'approximation i ')i 



l'IN DK LA TAULIC DliS MATIKRES DU TOME XI.VI. 



pviîis. iMi' i;i M KJtii; (; M I H ( Ki:-v ii.r. \i!.s i:t r.-. 

ô'.llôlt Uiiiii des (ji;in(U-Aiii;ii>tiiis. 't'i. 



^^ 



A 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES 



DE L'ANNÉE 1918 



60448 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-YILLARS ET G", 
Quai des Grands-Augustins, 55. 



1^^ 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE. 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES 



DE L'ANNÉE 1918. 



PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS ET C", ÉDITEURS, 

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDKS, DE l'ÉCOLB POLYTECIINIQl K, 
Quai des Grands-Augustins, 55. 

1919 



Tou5 droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés 
pour tous pays. 



SOCIhiTÉ >IATHÉMAT[(JUE DE FRANCE. 

ÉTAT 

Dlî LA SOCIÉTI'Î MATIIIÎMATIQUIÎ U IflUNCIÎ 

Ail COMMEiNCE.MENT \)E L'ANNÉE 1918 ('). 



Membres lionoi-aires du Hiueau . 



MM. APPÉl.L. 

DEMOILIN. 

DERLYTS. 

HADAMARD. 

HATON DE LA GOIII'ILLIÈRE. 

HUMBEKT. 

JOKDAlN. 

LECORNU. 

MITTAG-LEFI'LER. 

NEUBERG. 

PAIN LEVÉ. 

PICARD. 

VALLÉE POUSSIN (de la). 

VOLTERRA. 

ZELTHEN. 



Président MM. MAILLET. 

( BOULANGER. 

,.• D • , , ^ CAHEN. 

\ ice-Presidenls < ^„ „ 

] DRACH. 

( LEBESGUE. 

c ., . * P- LÉVY. 

„. ^ . . l THYBAUT. 

> ice-Secretaires J TRESSE 

Archiviste FATOU. 

Trésorier SERVANT. 

ANDOYER, 1910. 
j BIOCHE, 1921. 

l BLUTEL, 1919. 

I BOREL, 1921. 

I CARTAN, 1919. 

Membres du Conseil ( ') ' CARVALLO. 1920. 

FOUCHÉ, 1920. 
FOURET, 1921. 
GOURSAT, 1920. 
GUICHARD, 1919. 
QUIQUET, 1920. 



(') MM. les Membres de la Société sont instamment priés «l'adresser au Seorétaria 
les rectifications t\u'i\ y aurait lieu de faire à cette liste. 

(') La date qui suit le nom d'un membre du Conseil indique l'année au oom- 
mencement de laquelle expire le mandat de ce membre. 



S. M. — Comptes rendus. 



En raison de l'étal de guerre actuel, le Conseil de lu Société mathématique de France a 

décide de suspendre les relations de la Société avec ceux de ses membres qui appartiennent 

aux nations ennemies; en conséquence, les noms de ces membres ne figurent pas sur la liste 

ci-dessous : 

Date 

de 

l'admission. 

1872. ACIIVUI), ancien directeur de la Compa;;uie d'assurances sur la vie La Foncière, 

rue de la Terrasse, 6 his, à Paris (17')- 
1900. ADIIEHAR (vicomte Robert d' ), professeur à la Faculté libre des Sciences, place de 

Genevières, i4, à Lille (Nord). 
1896. A\Dl)VElt, professeur à la Faculté des Sciences, membre du Bureau des Longitudes, 
rue du Val-de-Grâce, 11, à Paris (5'). 

1894. AXDIUDE, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Villars, 3, à Besançon. 
1879. AI'l'ELL, membre de l'Institut, doyen delà Faculté des Sciences et professeur à l'Ecole 

Centrale des Arts et Manufactures, rue du Bac, Sa, à Paris (""). 
1910. ARCHI«ALD(R.-C.), professeur àBrown-Université, Providence, Rhode Island( États-Unis). 
1900. Al'lUC, ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue du Val-de-Grâce, 2, à Paris (5'). 
1900. BAIKE, professeur à la Faculté des Sciences, 24, rue Audra, à Dijon. 
189G. BAKEU, professeur à l'Université de Toronto (Canada). 
1917. BARRAI] (J.-A.), professeur à l'Université, à Groningen (Hollande). 
1905. BARRÉ, chef de bataillon du génie, docteur es sciences mathématiques, rue Lho- 

mond, 10, à Paris (5"). 
1875. BERDELLE, ancien garde général des forêts, à Rioz (Haute-Saône). S. P. ('). 
1891. BERTRA\D DE EOXTVIOLANT, professeur à l'École Centrale des Arts et Manufactures, 

avenue de Wagram, 167, à Paris (17'). S. P. 
1910. BERTRAND (G.), rue de la Vieille-Église, 2, à Versailles. 

1913. BILIMOVITCR, privat-dozent à l'Université de Kiew, rue Stanislas, i4, à Paris (6°). 
1888. BIOCIIE, professeur au lycée Louis-le-Grand, rue Notre-Dame-des-Champs, 56, à 

Paris (6°). S. P. 

1891. BLUTEL, inspecteur général de l'Instruction publique, lue Denfert-Rochereau, 110, 

à Paris ( i4')' 

1902. BOBERIL (comte Roger du), rue d'Antibes, ii4, à Cannes (Alpes-Maritimes). S. P. 
1907. BOITEL DE DIEIVVAI., ancien élève de l'École Polytechnique, au château de Valsery, à 

Coeuvres (Aisne). S. P. 

1892. BOXAPAUTE (prince), membre de l'Institut, avenue d'Iéna, 10, à Paris (16"). 

1895. BOREL (Emile), professeur à la Faculté des Sciences, sous-directeur de l'École 

Normale, rue d'Ulm, 45, à Paris (5'). S. P. 
1913. BORTOLOrn (E.), professeur à l'Université de Modène, via Maggiore, 18, à Bologne, 

(Italie). 
1909. BOULAD (F.), ingénieur au service des ponts des chemins de fer de l'État égyptien, 

au Caire (Egypte). 

1896. BOl]LA\GER, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, répétiteur et examina- 

teur d'admission à l'École Polytechnique, rue Louis-Hervé, i5, à A'ersailles (Seine-ct- 

Oise). 
1913. BOlLIfiAiVD, docteur es sciences, professeur au lycée de Rennes (Ile-et-Vilaine). 
1896. BOURGET (H.), directeur de l'Observatoire, à Marseille. 

1903. BOUTIN, rue LavieuviUe, 26, à Paris (i8«). 

1904. BOUTROUX (P.), professeur à la Faculté des Sciences de Poitiers. S. P. 

(') Les initiales S. P. indiquent les Sociétaires perpétuels 



— d — 

Date 

(le 

l'admission. 

1900. BREITLI\'G, proviseur du lycée BiifTon, boulevard Pasteur, 16, à Paris ( 14'). 

1911. BUATU, professeur, stradela Goliei, 8, à Jassy ( Roumanie). 

1897. BRICARD, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, répétiteur à l'École Poly- 
technique, rue Denfert-Rochereau, 108, à Paris (i4*)- 

1873. BROCARD, lieutenant-colonel du génie territorial, rue des Ducs-de-Bar. 70, à Bar- 
le-Duc. S. P. 

1912. BROWXE, Grange Mockler, à Carrick-on-Suir (comté de Tipperary, Irlande). 

1901. BUHL, professeur à la Faculté des Sciences, rue des Coffres, 11, à Toulouse. 
1894. CAIIEX, rue Cortambert, 46, à Paris (i6«). 

1893. Cil-DAREKA, ancien professeur à l'Université de Palerme. via Umberto 1, 65, à Catania 

(Italie). 
1885. CARO\, chef honoraire des travaux graphiques à la Sorbonne, rue Claude-Bernard, 71, 

à Paris ( 5' ). 
1892. CAROXNET, docteur es sciences mathématiques, avenue >iel, i5, à Paris (i-'). 
1896. CARTAX, professeur à la Faculté des Sciences, avenue de Montespan, '|, au Chesnay 

( Seine-et-Oise). 
1887. CARVALIiO, directeur des études à l'École Polytechnique, rue Descartes, 21, à Paris 

{■j'). S. P. 
1917. CAIDEZE, lieutenant-colonel, place du Square. i3, à Aurillac (Cantal). 
1890. CEDERCREl'TZ (baronne Nanny), Unionsgatan, 4, à Helsingfors (Finlande). 
1911. CmiiORY, professeur au lycée Carnet, avenue de Montespan, f^, au Chesnay (Seine- 
et-Oise). 
1896. CIURVE, doyen honoraire de la Faculté des Sciences, villa Gambie, 21. rue \ a-à-la- 

Aler, à Marseille. 
1911. CIlATEliET, maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue du Japon, 12, à 

Toulouse. 
1907. CnAZY, maître de conférences à la Faculté des Sciences, à Lille. 

1913. COBLYN, capitaine du génie, rue des Vignes. 34, à Paris (16'). 
1915. COXSTAÎVTIiMDES, professeur au gymnase de Phodos (Grèce), 
1896. COSSERAT (E.), directeur de l'Observatoire, à Toulouse. 

1900. COTTOK (Emile), professeur à la Faculté des Sciences, a Grenoble. S. P. 

1914. CRELIER, professeur à l'Université de Berne, à Bienne (Suisse). 

1904. CDRTISS, professeur à l'Université Northwestern, Milburn Street, -:>o, a Evanston 

(Illinois, États-Unis). 
1885. DACTIIEVILLE, doyen de la Faculté des Sciences, cours Gambetta, 27 /;/.r, a Montpellier. 

1901. DELASSUS, professeur de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences, rue 

de Brach, 92, à Bordeaux. 
1895. DELACNAY (iV.), professeur à l'Institut Empereur Alexandre II, à Kiew (Russie), 

1913. DELVIliLE (L.), ingénieur aux forges et aciéries de Huta-B inkowa, à Dombrowa 

( Pologne, Russie). 
1885 , DEMARTRES, doyen de la Faculté des Sciences, avenue Saint-Maur, à la Madeleinc- 

lès-Lille (Nord). 
1892. DKMOliLlN ( Alph. ), professeur à l'Université, rue Joseph-Plateau, 10, à Gand (Belgique). 

1905. DKMJflY, professeur a l'Université d'I trecht (Hollande). 

1883. DERUYTS, professeur à l'Université, rue des Augustins, 35, à Liège (Belgique). 

1894. DESAI\T, docteur es sciences, boulevard Gouvion-Sainl-Cyr, 47» à Paris (17*). 

1900. DICKSTKIN, Marszatkowska, 117, à Varsovie. 

1914. DOXDER (J. i>e), rue Forestière, 11, à Bruxelles (Belgique). 



_ 4 — 

liste 

de 

l'admission. 

1899. DR.ICII, chargé de cours à la Faculté des Sciences, rue GeoHioy-Saitit-Hilaire. 53, 

à Paris (5*). 
1909. DULllY, bibliothécaire de l'Université, Uuiversity Station. Urbana ( Illinois, Étals-Unis ). 
1907. BILAC, professeur à la Faculté des Sciences, quai des Hrotteaux, \, à Lyon. 

1890. DLMAS (G.), docteur de l'Université de Paris, professeur à l'Université, Cabriéres, 

avenue Mont-Charmant, à Béthusy-I.ausanne (Suisse). 
1897. DUMOXT, professeur au lycée, avenue Bouvard, 6, à Anrtecy (Haute-Savoie). 
1902 EGOHOFF (Diniitry), professeur à l'Université, Povarskaya, Borissoglebsky per., n" 8, 

à Moscou ( Russie). 

1915. ESCL.\\liO\, astronome à l'Observatoire de Floirac (Gironde). 

1912. EISENUAKDT (L.-P.), professeur à l'Université de Princeton, Alexander Street, 2->, 
à Princeton (New-Jersey, États-Unis). 

1916. ELCl'S, banquier, rue du Colisée, 36, à Paris (8'). S. P. 

1903. ESPA.XET, ingénieur civil, Brazil Railway Company, rue Louis-le-Grand, g, à Paris. 

1900. ESTAVAVE, docteur es sciences, secrétaire de la Faculté des Sciences de Marseillr. 
1907. ETZEL, professeur de mathématiques et d'astronomie au Collège de Saint-Thomas, à 

Saint-Paul (Minnesota, États-Unis). 

1896. EUVKRTE, ancien élève de l'Écoli»' Polytechnique, ancien capitaine d'aitilierie, rue 

du Pré-aux-Clercs, i8, à Paris (7'). 

1888. FAIIKV, professeur à la Faculté des Sciences, rue Chaptal, 17, a Montpellier. 
1906. FARACfil, professeur, galerie Sarlande, i, à Alger. 

1904. FATOl, docteur es sciences, astronome-adjoint à l'Observatoire, boulevard du Mont- 

parnasse, 172, à Paris (i4')' 

1891. FAIQLEMBKUGUE, professeur au lycée, à Mont-de-Marsan. 

1892. FEIIK ( Heiiii ), professeur à l'Université, route de Florissant, iio, à Genève ( Suisse ). 
1885. FIEliDS (J.)) professeur à l'Université, Toronto (Ontario, Canada). 

1881. KliOQlET, doyen de la Faculté des Sciences, rue de la Comnianderie, 21, iiNancy. 
1872. FIjYK SAI\TE-MAItlE, chef d'escadron d'artillerie en retraite, ancien répétiteur à l'École 
Polytechnique, place Royer-Collard, à Vitry-Ie-François (Marne). 

1897. FOXTEiVÉ, inspecteur de l'Académie de Paris, rue Le Goff, 7, à Paris (5'). 

1903. FOKD (Walter B.), professeur de mathématiques à l'Université de Michigan, à Ann 
Arbor (Michigan, États-Unis). 

1889. FOLCIIÉ, répétiteur à l'École Polytechnique, rue Soufllot, 5, à Paris (5*). 

1905. FOUtr, professeur à l'Institut catholique, rue Le Verrier, 17, à Paris (6*). 

1872. FOUUKT, ancien examinateur d'admission à l'École Polytechnique, avenue Carnol,4) 

à Paris (17'). S. P. 
1903. FRAISSE, inspecteur des études au Prytanée, à La Flèche (Sarthe). 
1911. FREGIIET, professeur à la Faculté des Sciences, à Poitiers. 
1903. FIETEU, ancien président de la Société mathématique suisse, ancien professeur à 

l'Université de Bàle, professeur à l'Université, Friedrichsplatz^ 9'", à Karlsruhe 

( Allemagne ). 
1911. GALBRL\, docteur es sciences, avenue Émile-Deschanel, i4, à Paris (7'). 
1900. GAIiUEA\0 (Z.-G. de), correspondant des Académies royales des Sciences de Madrid et 

de Lisbonne, professeur à l'Université, Galle del Coso, 99, à Saragosse (Espagne). 

1906. CARGAM DE MOXCETZ, licencié es sciences, à Étoile (Drôme). 

1872. GARIEL, inspecteur général des ponts et chaussées en retraite, professeur honoraire 

à la l''acultéde Médecine, rue Édouard-Detaille, 6, à Paris (17"). 
1908. GARMER, maître de conférences à la Faculté des Sciences, à Poitiers. 



Date 

de 

radaii.s-:ion. 

1911. CAD, professeur à la Faculté des Sciences, cours Saint-André, ii6, à Grenoble. 

1896. CAL'TillElt-VILLAdS, ancien élève de l'École Polytechnique, éditeur, quai des Grands- 

Anguslins, 5,5, à Paris (6*). 
1890. GEBBIA, professeur libre à l'Université, h Palerme (Italie). 

1906. GÉIiARDI\, quai Claude-le-Lorrain, Sa, à ?.'ancy. 

1897. (iERRAAS, professeur à Worcester Collej^o, Saint-John street, 20, à Oxford (Grande- 

Hrotagne). 
1913. GlilAlD, agrégé de mathématiques, rue Le Verrier, 11, à Paris (6«). 
1917. (iLOBA-MIKIIAii,E\KO, docteur es sciences, avenue des Gobelins, 10 bis, a Paris (5'). 

1913. CODEAIX, rue Victor-Cousin, 6, à Paris. 

1903. GODEY, ancien élève de l'École Polytechnique, rue du Bois- de-Honlogne, 7, à 
Paris (i6=). 

1914. COLOLBEFF (W.), agrégé de l'Université, rue Stanislas, i^, à Paris (6"=). 

1907. COT (Th.), docteur es sciences, section technique du génie, rue de Kellechasse, 89, 

à Paris (7'). 
1881. COURSAT, professeur à la Faculté des Sciences, répétiteur h lÉcole Polytechnique, 
rue de ^'avar^e, 11 bis, à Paris (5'). S. P. 

1912. GRAMOXT (A. de), licencié es sciences, rue de Ponthieu, 62. h Paris (8*). 
1896. GREVV, professeur au lycée Saint-Louis, rue Claude-Bernard, 71, à Paris (5'). 

1899. GlADET, ancien élève de l'École Polytechnique, rue de l'Université, G9, à Paris (7*). 

1906. Gl'ERBV, professeur au collège Stanislas, rue d'Assas, 5o, à Paris (6'). S. P. 

1900. GIJICIIARD (C), professeur à la Faculté des Sciences, rue de la Fontaine, kj, 

à Paris (16'). 

1907. CIICIIARD (L.), professeur de mathématiques au collège de Rarbezieux (Charente). 
1896. IIADAMARD, membre de l'Institut, professeur au Collège de France et à l'Idole 

Polytechnique, rue Humboldt, 26, à Paris (i4'). S. P. 

1894. IIALSTEO (G.-B.), Colorado State Teachere Collège, à Greeley (Colorado, États- 

Unis). S. P. 

1901. IIA\COCK, professeur à l'Université de Cincinnati, Aubiirn Holel ( Ohio, Étals-Unis). 
1909. IIA\SE\, prival-doceiît à l'Université, Strandboulevarden, 66, Copenhague (Dane- 
mark). 

1872. IIATOX DE l,A GOL'PILLIÈRE, membre de lluslitut, inspecteur général des mines, direc- 
teur honoraire de l'École des Mines, rue de Vaugirard, 56, à Paris'( 6'). S. P. 

1905. IIEDRICK, professeur h l'Université, Hicks Avenue, 3o4, à Columbia (Missouri, 
États-Unis). 

1892. IIERMAW, libraire-éditeur, rue de la Sorbonne, 8, à Paris (5*). 

1911. IIIERIIOLTZ, professeur, avenue de Belmont, 28, à Montreux (Suisse). 

1911. IIOLMGREX, professeur à l'Université d'Ujisal, à l'Observatoire, à Upsal (Suède). 

1895. IIOTT (S.), professeur à l'École S'"-Croix de ÎVeuiily, boulevard Pereire, 218 bis, 

à Paris (17'). S. P. 

1880. ilUMBERT, membre de l'Institut, ingénieur en chef des mines, professeur à l'École 

Polytechnique, rue Bonaparte, 3o, à Paris (6'). 
1907. Ill'SSO\, professeur à la Faculté des Sciences, rue des Tiercelins, 60, à Nancy. 

1881. IMRER, ancien directeur des études à l'École Centrale, ancien membre du Conseil de 

l'École Centrale, place Voltaire, 2, à Paris (i i* ). 

1896. JACQIET (E.), professeur, au lycée Henri IV, rue Notre-Dame-des-Champs, 76, à 

Paris (6«). 
1914. JAGER (F.), licencié es sciences, avenue de la Grande-Année, 6ij. à Paris (i6«). 



- G - 

Date 

(le 

l'admission. 

1903. JEiVSE.M ( J.-L.-W.-V.), ingénieur en chef tles téléphones, Amicisvej, :G, à Copen- 
hague y. ( Duiienmrk). 

1872. JOKUAN, membre de rinslitiit, professeur honoraire à l'Iilcole Polytechnique et au 

Collège (le F'rance, rue de Vareiine, /|6, à Paiis (/')• S. P. 
191G. KA1IPE BE {'KlUKr. docteur es sciences, Grand Hôlel de Bretagne, à Lorient (Morbihan). 
1913. KAS\EH (E.), professeur à l'Université Columbia, à New-York ( l^.tals-liiis). 
1910. KEUVVAIi, professeur au lycée Louis-le-Grand, avenue du Maine, ^6, à Paris (l't"). 
1913. KlVKLIOVMCIl, licencié es sciences, rue Laromiguière, 6, à Paris (5'). 

1892. KOCII (H. von), professeur à l'Ecole Polytechnique, à Djursholm-Slockholm 

(Suède). 
1880. KŒiVICS, professeur à la Faculté des Sciences, exaniinaleur d'admission à l'École 

Polytechnique, rue du Faubourg-Saint-Jacqiies, -~, à Paris (i')'). 
1913. K0ST1TZI\ (V.), avenue Villemin, 02, h Paris. 

1907. KKYliOFF, ingénieur des >Iines, profes>cur d'analyse à l'École supérieure des Mines 

de Petrograd, à Ouezd-Radomysl, Gitoniirska Chaussée, Station Nebylitza, village 
Kolganowka. gouvernement de Kiew (Russie). 

1897. LAtAlJCIllE, ingénieur civil, rue Brochant, i8, à Paris ( 17*). 

1873. liAISANT, docteur es sciences, répétiteur et examinateur à l'École Polytechnique, 

rue du Conseil, 5, à Asnières (Seine). 
190G. LALESCO, maître de conférences à l'Université, str. Luteranh, 3i, à Bucarest. 

1893. liA\CEIil.\, asironome adjoint à l'Observatoire, rue Boissonnade, 3, à Paris (ij*). 
1896. LAROZE, ingénieur des télégraphes, rue Froidevaux, 8, à Paris (14'). 

1908. LATTES, professeur ii la Faculté des Sciences, rue de la Trinité, 10, à l'oulouse. 
1896. LEAII, professeur au lycée Michelet, rue Denfert-Rochereaii, 83, à Paris (i4')- 
1886. LEBEL, professeur au lycée, rue Pelletier-de-Chambrun, 12, à Dijon. 

1902. LEBESGlIi, maître de conférences à la Faculté des Sciences de Paris, rue Saint- 

Sabin, 35 bis, à Paris (ti°). 

1903. LEBEUE, directeur de l'Observatoire, professeur d'astronomie à l'Université, à Besançon. 
1893. LECORXU, membre de l'Institut, inspecteur général des mines, professeur à l'École 

Polytechnique, rue Gay-Lussac, 3, à Paris (5°). 
1895. LEMERAY, licencié es sciences mathématiques et physiques, ingénieur civil du génie 

maritime, villa Meissonier, à Antibes (Alpes-Maritimes). 
1895. LE ROli.V, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Châteaudun, i3, à Rennes. 

1898. LE ROY, professeur au lycée Saint-Louis, rue Cassette, 2-, à Paris (6"). 
1900. LEVI CIVITA (T.), professeur à l'Université, via Altinate, i4, à Padoue (Italie). 
1907. LESCOLRGIIES, professeur au lycée Henri IV, rue Jean-Barl, 4, à Paris (6«). 

1909. LEV Y ( Albert), professeur au lycée Saint-Louis, rue de Rennes, 86, à Paris (6*). 
1907. LEVY (Paul), ingénieur des mines, répétiteur d'analyse à l'École Polytechnique, 

rue Chernoviz, 9, à Paris (16°). S. P. 
1898. LIIVDELOK (Ernst), professeur à l'Université, Sandvikskajen, i5, à Helsingfors (Finlande). 
1886. LIOUVILLE, ingénieur en chef des poudres, examinateur des élèves à l'École Poly- 

teohnique, à Maure ' llle-et-Vilaine). 

1912. LOVETr (E.-O.), Rice Institute, à Houston (Texas, États-Unis). 
1902. LliCAS-iilRARDVILLE, à la Manufacture de l'État, à Tonneins. 

1902. LUCAS DE l'ESLOLA.X, ancien élève de l'École Polytechnique, avenue Rapp, 4^ ii Paris (-'). 

1913. LISIX, professeur adjoint à l'Université de Moscou (Russie). 

1895. MAILLET, ingénieur en chef des ponls et chaussées, examinateur des élèves à l'École 
Polytechnique, rue de Fontenay, 11, à Bourg-la-Reine (Seine). S. P. 



Date 

de 

l'admission. 

1905. MALtSKI, proviseur du lycée de Marseille. 

1906. M.4RCl'S, agrégé de lUniversité, rue Frédéric-Passy. i5. à N'euilly (Seine). 

1904. MABOTTE, professeur au lycée Cliarlemagne. rue de Reuilly, Zb bis, à Paris (ta*). 
1884. MAItTI\ (Artemas), Columbia Street i35a, N. W., à Washington D. C. (États-Unis). 
1889. MEVDIZABVL TA.MBOREL (de), membre de la Société de Géographie de Mexico, calle 
de Jésus, i3, à Mexico (Mexique). S. P. 

1884. UEUCEBEAl', licencié es sciences, docteur en médecine, rue de l'Université, 191, 

à Paris (7'). S. P. 
190'v. .MEIILIX (Emile), chargé des cours d'astronomie mathématique et de géodésie à 
l'Université, rue d'Ostende, 11, à Gand (Belgique). 

1904. METZIiER, professeur à l'Université, à Syracuse (État de iV'ew-York). 

1909. MICHEL (Charles), professeur au lycée Saint-Louis, rue Sarrette, i4, à Paris (i4*). 
1893. MICllEIi (François), ingénieur, licencié es sciences, chef du service des parcours de 
la Compagnie des chemins de fer du Nord, faubourg Saint-Denis, 2to,àParis (lo*). 
1873. MlTTAG-LEFFLEIt, professeur à l'Université, à Djursholm-Stockholui (Suède). 

1907. JIOXTEL, chargé de conférences à la Faculté des Sciences, répétiteur d'analyse à 

l'École Polytechnique, boulevard de Vaugirard, 5-, à Paris (iS"). 
1898. MOXTESSIS DE BVLLORE (vicomte Robert de), professeur ii la Faculté libre des 
Sciences de Lille, rue Cassette, 02, à Paris (6*). 

1911. MOORE (Cil.-\.), professeur assistant à l'Université de Cincinnati (États-l'nis). 
1909. XEOVIl'S, ancien professeur à l'Université d'Helsingfors, Chr. Vinthersvei 3', ii Co- 
penhague (Danemark). 

1885. XELBERG, professeur à l'Université, rue Sclessin, 6, à Liège (Belgique). 
1897. XICOLlilEli, professeur, la Châtaigneraie, à Saint-Clarens (Vaud, Suisse). 

1900. XlEWEXGIiOWSlil, docteur es sciences, inspecteur général de l'Instruction publique, 

rue de l'Arbalète, 35, ii Paris (5* ). 
1882. OCAGXE (M. d'), ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à l'École 
Polytechnique et à l'Ecole des Ponts et Chaussées, rue La Boêlie, 3o, à 
Paris (8'). S. P. 

1905. OlIVET, rue de Seine, 5i, à Paris (6'). 

1873. OVIDIO (E. d'), sénateur, professeur à l'Université, via Sebastiano Valfré, i^, à 
Turin (Italie). 

1901. PADÉ (H.), recteur de l'Acailémie de Dijon. 

1893. PAIXLEVÉ, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à l'Ecole 
Polytechnique, rue Séguier, :8, à Paris (6*). 

1912. PAXGE (de), ancien élève de l'École Polytechnique, rue François I", 32, ■ Paris (8'). 

S. P. 

1888. l'APELIEli, professeur au lycée, rue Notre-Dame-de-Recouvrancc, 29, à Orléans. 

1917. PASQIJIER (du), professeur à l'Université, rue de la Cote, 106* , àN'eufchàtel (Suisse). 

1881. PELI.ET, professeur à la Faculté des Sciences, boulevard Gergovia, 77, à Clermonl- 
Ferrand. 

1914. PÉRÈS, agrégé de l'Université, professeur au lycée de Montpellier . 

1881. PEROTT (Joseph), Université Clark, à Worcester (Massachusetts, États-Unis). S. P. 

1892. PERRIX (Éiie), professeur de mathématiques à l'École J.-B. Say, rue de la Conven- 
tion, 85, à Paris (i5'). 

1896. PETROVITCH, professeur a lUniversité, Kossantch-Venao, 2(j. à Belgrade (Serbie). 

1902. PETROVITCH (S.), général major, professeur ordinaire à l'Académie d'artillerie 

Michel, Sergevskaïa, '.y?., log. 10, à Pétrograde (Russie). 



Date 

de 

I ailmission. 

1887. l'EZZO (nEL), prufessem- à l'Université, plaz/.a San Domenico Maggiore, 9, à Naples 
( Italie). 

1905. PFEIFFER, professeur à rLniverslté, S/.aoiidl Wladiniirskaïa \'n, ioj IF. à Kiew 

( Russie ). 

1879. IMCAKD (Emile), membre de rinslitiit, membre du Bureau des Longitudes, pro- 
fesseur à la Faculté des Sciences et à l'École Centrale des Arts ei Maiiuf:ic- 
tures, rue Joseph-Bara, 4, à Paris (6"). 

1872. PICQDET, clief de Liataillon du génie en retraite, examinateur des élèves à l'École 
Polytechnique, rue Monsieur-le-Prince, /J. « Paris (6'). 

1913. PODilAGllM- (N.), rue Stanislas, i4, à Paris (fi*). 

1906. l'Ol'OVICl, professeur à la Faculté des Sciences de Jassy (Roumanie). 

1894. l'OTRON (M.), docteur es sciences, professeur aux Facultés catholiques de l'Ouest, 
rue Rabelais, 46, à Angers (Maine-et-Loire). 

1914. l'OWALO-SCIlWEIKOWSKI, licencie es sciences, rue Gazan, 5 bis, h Paris (i4'). 

1896. QIIQIJET, actuaire de la Compagnie la Nationale, boulevard Saint-Germain, 92, à 

Paris ( 5"). 
1903. lŒMOlNUOS, professeur d'analyse supérieure à la Faculté des Sciences, rue Spyridion 

Tricoupis, 5.^, à Athènes (Grèce). 
1903. lUCBARD, docteur es sciences mathématiques, professeur au lycée, rue de Fonds, 100, 

à Châteauroux. 
1908. RICHARD D'ABONCOIRT (de), ancien élève de l'École Polytechnique, rue Nationale, -\, 

à Lille. 
1908. RISSER, actuaire au Ministère du Travail, rue Sédillot, 5, à Paris (7°). 
191G. R0ni\60\ (L.-B), 23"d Street 3o6E, à Baltimore ( Maryland, États-Unis). 
1903. ROCHE, agrégé de l'Université, docteur es sciences, rue d'Assas, 76, à Paris (6*). 

1896. ROIGIER, professeur au Lycée et ii l'École des ingénieurs, rue Sylvabelle, 84, 

à Marseille. 
1906. ROtSIERS, "professeur au collège Stanislas, boulevard du Montparnasse, 62, à 
Paris (i4'). 

1911. RUDMCKI, licencié es sciences, avenue Reille, 28, h Paris (l'i''). 

1900. SALTVKOW, professeur à l'Université, à Kharkow (Russie). S. P. 

1872. SARTIAl'X, ingénieur en chef des ponts et chaussées, chef de l'exploitation à la 

Compagnie du chemin de fer du Nord, à Paris. 
1885. SAUVAGE, professeur à la Faculté des Sciences de Marseille. 

1897. SCIIOl] (Erik), ingénieur, Thorvaldsinsi, 198, à Copenhague (Danemark). 

1901. SEE ( Thomas-J.-J.), Observatory Mare Island (Californie). 

1896. SÉGLIER (J.-A. de), docteur es sciences, rue du Bac, ii4, à Paris (7"). 

1882. SÉL1\AN0FF (l)émétrius), professeur à l'Université. Fontnnkà, 116, log. 16, à Pctro- 

grade (Russie). S. P. 
1900. SERVANT, chargé de conférences à la Sorbonne, à Bourg-la-Reine (Seine). 

1908. SHAW (J.-B.), professeur à l'Université, "West California, 901, Ave Urbana (Illinois, 

États-Unis). 

1912. SIRE, niaitre de Conférences à la Faculté des Sciences de Rennes. 
1916. SOL'IjA, agrégé de l'Université, 4o' d'infanterie, S. P. i3o. 

1900. SPARRE (comte de), doyen de la Faculté catholique des Sciences, avenue de la 
Bibliothèque, 7, à Lyon. S. P. 

1909. SPEISER (Andréas), membre de la Société mathématique suisse, privat-docent à 

l'Université, Stephansplan, 7, à Strasbourg (Allemagne). 



— y — 

Date 

de 

l'admission. 

1912. STECKER (H. -F.), professeur île matliématiqiies, à Pensylvania State Collège, 

Miles St. 3o6 (Pensylvanie, États-Unis). 
1S79. STEPII.WOS, professeur h l'Université, rue Selon, 20, à Athènes (Grèce). 

1898. ^TOKMER, professeur à l'Université, Cort Adelers gade, 12, à Christiania (Norvège). 
1904. Sl'DRlA, directeur de l'Ecole préparatoire à l'École supérieure d'Électricité, rue de 

Staël, 26, à Paris (i4'')- 
1904. Sl\D>U\, maître de conférences h l'Université, Fredriksgatan, 19, à Helsingfors 

( Finlande ). 
1872. SYLOW, professeur à l'Université, M.ijorstnveien, 16 111, à Christiania (Noi-vè;;e,i. S. P. 

1913. TAMARlilXE, répétiteur à l'École inipéri.ile des Ponts et Chaussées, rue Liteinaia, (5, 

App. 33, à Pétrogiade (Russie). 

1899. THYBAl'T, professeur au lycée Henri IV, boulevard Si-Germain, 5o, h Paris (5'). 
1910. TIMOCIlEXhO, professeur à l'Institut Empereur Alexandre II. à Kiew (Russie). 
1913. T1\0 (0.), via Lagrange, 2, à Turin (Italie). 

1912. TOICIIARD, in^fénieur des Arts et Manufactures, boulevard Haussmann, ijo, à 

Paris (8'). 

1910. TRAViVARD, professeur h la Faculté des Sciences de Besançon. 

1872. TRESCA, ingénieur en chef des ponts et chaussées en retraite, rue du Général- 
Henrion-Berthier, 7, à Neuilly-sur-Seine (Seine). 

1896. TRESSE, professeur au collège Rollin, rue Mizon, 6, à Paris (i5'). 

1907. TRIPIER (H.), sous-directeur des études h l'École Centrale, rue Alplionse-de-^eu- 
ville, 17, à Paris (17"). 

1911. TLRRIERE, docteur es sciences, boulevard Saint-Michel, 21, à Paris (5*). 

1913. VALIROV, docteur es sciences, professeur au lycée du Parc, à Lyon (Bhône). 

1893. VAIiLEE POISSIX (Ch.-J. de la), membre de l'Académie Royale des Sciences, des 
Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, professeur à l'Université de Louvaiti 
(Belgique), avenue Dorian, 2, à Paris (11'). 

1904. VAM)EIRE\, professeur à l'École militaire, avenue Macan, i<>, à Bruxelles. 

1905. VA\ VI.EtK, professeur de mathématiques. University of AVisconsin, à .Madison 

(Wisconsin, États-Unis). 

1897. VASSILAS-VITAIilS (J), professeur à l'Ecole militaire supérieure, rue Epicure, i3, 

à Athènes ( Grèce 1. 
1898. VASSILIEF, membre du Conseil d'Etat, Vassili Osliowligne 12, m* 19, h Pétrograde 

( Russie ). 
1913. \EBIiE\ ({).), professeur à l'Université de Princeton (États-Unis). 
1901. VESSIOr, professeur à la Faculté des Sciences, avenue du Peti'-Chambord, 'f!f, h 

Bourg-la-Reine (Seine). 
1911. VILLAT, maitre de conférences à l'Université de Montpellier. 
1888. \01,li;RltA ( Vito), i»rof('sseur à l'iniversité, via in I.ucina, 17, h Rome. 

1900. VIIBERT, édit.-ur, boulevard Saint-Germain, 63, à Paris [S'). 

1880. WAI,CKE\AEIt, inspecieur général en chef des mines, bniilevard St-Gerniain, 218, 

a l'aiis(7' j. 
1879. W'EII,!,, directeur honoraire du collège Chaptal. boulevard Dclessert, 23, à Paiis(iG'). 
190G. \VH,SO.\ (E.-B.), professeur a l'Institut de Technologie, a Boston (Massachusetts, 

États-Unis). 
1911. W'IXTER, avenue d'Iéna, 66, à Paris (16'). 
1909. WOODS ( F.-S. ), professeur à l'Institut de lechiiologie, à Boston (Massachusetts. 

États-Unis";. 



— lu — 

Date 

de 

admission. 

1878. WOKMS DE KOMILLY, inspecteur général des mines, en retraite, rue du Général-Laii- 
giois, 5, à Par'is { i6* ). 

19r2. ÏOL.Xfi ( W.-H.), membre de la Société Royale de Londres, professeur à l'Université 
de Liverpool, villa Rodiinde, Épinettes, 23, à Lausanne (Suisse). 

1903. ZEIIVOS, professeur agrégé à l'Université, rue Sozopoleos, 88, à Athènes (Grèce). 

1881. ZKUTIIE.X, professeur à l'Université, Forchhammers Vej. 12, h Gopeniiague (Dane- 
mark ). 

1898. ZIWET, professeur de mathématiques à l'Université de Michigan, South Ingalls 
slreet, 6/(45 ^ Anu Arbor (Michigan, Etats-Unis). 

1909. ZORKTTI, professeur de mécanique à la Faculté des Sciences de Caen. 



Membres décédés en 1917 : MM. A\DRË, DARBODX, ZABOUDSKI. 



— 11 



SOCIÉTAIRES PERPÉTUELS DÉCÉDÉS. 



BEIVOlSr. — ltIE\AYME. — BlSCIIOFFSllEIM. — UnKClUKDT. — BOIUI.ET. — CAXET. 
CHASLES. - CLAUDE-LAFOXTAIIVE. — GAtTHIER-VILLARS. — HALPHEX. — HERMITE. 
HIRST. — LAFO.\ DE LADÉBAT, — LÉALTÉ. — MAWHEIM. — PERRIX (R). — 
POIXCARÉ. — DE POLIGXAC. — RAFFY. — TANXERY (PAIL). — TCHEBICHEF. — 
VIELLARD. 



LISTE 



PRÉSIDE\TS DE LA SOCIETE MATIIEMATIQUE DE FRANCE 



DEPUIS SA FONDATION. 



IHM. 



1873 


CHASLES. 


1896 


KŒMGS. 


1874 


LAFOX DE LADÉBAT. 


1897 


PICARD. 


1875 


BIENAYMÉ. 


1898 


LECORXU. 


1876 


DE LA GOljRXERIE. 


1899 


GIJYOU. 


1877 


MAXXHEIM. 


1900 


POIXCARÉ. 


1878 


DAKBOrX. 


1901 


D'OCAGXE. 


1879 


0. UOXXET. 


1902 


RAFFY. 


1880 


JORDAiX. 


1903 


PAllVLEVÉ. 


1881 


LAGIERRE. 


1904 


CARVALLO. 


1882 


HALPUEX. 


1905 


BOREL. 


1883 


ROICHÉ. 


1906 


HADAMARD. 


1884 


PICARD. 


1907 


BLIÎTEL. 


1885 


APPELL. 


1908 


PERRIX (R.). 


1886 


POLXCAKÉ. 


1909 


BIOCIIE. 


1887 


FOCRET. 


1910 


BRICARD. 


1888 


LAISAXT. 


1911 


LÉVY (L.). 


1889 


AXDRÉ (D.). 


1912 


AXDOVER. 


1890 


IIMOX DE LA GOlJPILLIKRE. 


1913 


COSSERAT (F.) 


1891 


COLLtGVOX. 


1914 


VESSIOT. 


1892 


VICAIRE. 


1915 


CARTAX. 


1893 


IICIIBERT. 


1916 


FOICHÉ. 


1894 


PICQLET. 


1917 


GUKIIARD. 


1895 


GOLRSAT. 


1918 


MAILLET. 



MM. 



- li 



Liste des Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesqiiels 
la Société mathématique de France échange son Bulletin. 



Amsterdam. 
Amsterdam. 
Amsterdam . 

Baie 

Baltimore. . 

Berlin 

Berlin 

Berlin 

Boiojne. . . . 
Bordeaux.. . 
Bruxelles. . . 

Bruxelles. . . 
Calcutta. . . . 
Cambridge . 
Clirisliariia. 
Coïmbre. . . 

Copenhague 
Copenhague 

Cracovie. . . . 

Deift 

Edimbourg. 
Edimbourg. 

Gand 

Gôttiiigen . . 

Halifax 

Hambourg.. 

Harlem 

Helsingfors. 

Kansas 

Kasan... . . . . 

h'.liarkow . . . 
Kliarkow . . . 

Leipzig 

Leipzig 

Leipzig 

Liège 

Livourne .. . 
Londres. . . . 
Londres. . . . 



Vcadéniie Iloyale des Sciences d'Amsterdam. 

Société malliéniatiqne d'Amsterdam. 

Revue semestrielle des pnhlicntions mathéma- 

ti(jues. 
Naturforscliendc Cesellschaft. 
j4mericnn Journal oj Mathematics. 
Académie des Sciences de Berlin. 
Jahrbuch nber die Fortscliritte der Matlte- 

matlli. 
Journal fi'ir die reine iind niigewaiidte ]\]a- 

ihetuatih . 
Académie des Sciences de Bologne. 
Société des Sciences physiques et naturelles. 
Académie Royale des Sciences, des Lettres et 

des Beaux-Arts de Belgique. 
Société scientilique de Bruxelles. 
Calcutta mathematical Society. 
Cambridge philosophical Society. 
Archiv for Mathemnlih o^ Xalnrvide/isktiù. 
Ànnars scientijtcos da Acadeniia Polylech- 

iiica do Porto. 
Nyt Tidsskrift for MtithematiL 
Dec Kongelige danshe videnskabernes sels- 

kabs Skrifter. 
Académie des Sciences de (^lacovie. 
Académie technique. 
Société Royale dÉdimbourg. 
Société mathématique d'Edimbourg. 
Mathesis. 

Société Royale des Sciences de Gôttingen. 
>'ova Scotian Institut* of Science. 
Société mathématique de Hambourg. 
Société hollandaise des Sciences. 
Société des Sciences de Finlande. 
Université de Kansas. 
Société pbysico-matliémali(|ue . 
Annales de l'Université. 
Société mathématique de Kliarkow. 
Société Royale des Sciences de Saxe. 
Matheniatische Annalen. 
Archiv der Matheniatik itnd Physik. 
Société Royale des Sciences. 
Periodico di Matematica. 
Société astronomique de Londres. 
Société mathématique de Londres. 



Pays-Bas. 
Pays-Bas. 

Pays-Bas. 

Suisse. 
Etats-Unis. 
Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne. 
Italie. 
France. 

Belgique. 

Belgique. 

Inde anglaise. 

Grande-Bretagne. 

Norvège. 

Portugal. 
Danemark. 

Danemark. 

Autriche. 

Pays-Bas. 

Grande-Bretagne. 

Grande-Bretagne. 

Belgique. 

Allemagne. 

N '''-Ecosse (Canada) 

Allemagne. 

Hollande. 

Finlande. 

États-Unis. 

Russie. 

Russie. 

Russie. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Belgique. 

Italie. 

Grande-Bretagne. 

Grande-Bretagne. 



- 13 



Loiulies 

Luxembourg 

Marseillp 

Mexico 

Milan 

Moscou , 

Munich , 

Naples 

New-Haveii 

iNew-York 

Odessa 

Palerme 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Pétrograile 

Pise 

Pise 

Pise 

Prague 

Prague 

Prague 

Princeton 

Kennes 

Rome 

Rome 

Rome 

Sophia 

Stocithohu 

Stockholm 

Stockholm 

Tokyo 

Toulouse 

Turin 

Upsal 

Varsovie 

Venise 

Vienne 

Vienne 

Washington 

Zagreb ( Agram ) . 

Zurich 



Société Royale de Londres. 
Institut grand ducal de Luxembourg. 
Annales de la Faculté des Sciences. 
Sociedad cienlifica Antonio Alzate. 
Institut Royal lombai'd des Sciences et 

Lettres. 
Société mathématique de Moscou. 
Académie des Sciences de Munich. 
Académie Royale des Sciences physiques et 

mathématiques de Naples. 
Académie des Sciences et ArtsdnConuecticut. 
American matliematical Society. 
Société des naturalistes de la Nouvelle-Russie. 
Readiconti del Circolo inalematico. 
Académie des Sciences de Paris. 
Association française pour l'avancement di^s 

Sciences. 
Société philomathique de Paris. 
Bulletin des Sciences mathématiques. 
Journal de l'Ecole Polytechnique. 
Institut des Actuaires français. 
Intermédiaire des Mathématiciens. 
Académie Impériale des Sciences. 

École l'ioyale Normale supérieure de Pise. 

Université Royale de Pise. 

Il Xuovo Ciinento. 

Académie des Sciences de Bohème. 

Casopis pro péstovâui matkeniatilij af\ siky . 

Société mathématique de Bohème. 

Aunals of Mathematics. 

Travaux de l'Université. 

Académie Royale des Lincei. 

Società italiana délie Scienze. 

Società per il progresso délie Scien/.e. 

Annuaire de r Université de Sophia. 

Acta mathematicn. 

Archiv for M atheniaiik . 

Bihliotheca mathe/natica. 

.Mathematico-phy sical Society . 

Annales de la l'acuité des Sciences . 

Académie des Sciences. 

Société Royale des Sciences d'Upsal. 

Prace Malematyczno Fizyczne. 

Institut Royal des Sciences, Lettres et Arts. 

Académie Impériale des Sciences de Vienne. 

Monatshefle Jùr Mathematik und l'hysik. 

.National .Academy of Sciences. 

Académie Sud-Slave des Sciences et Beaux- Arts 

Naturforschende Gesellschaft. 



Grande-Bi etagne. 
Luxembourg. 
France. 
Mexique. 

Italie. 
Russie. 
Bavière. 

Italie. 
États-Unis . 
États-Unis. 

Russie . 

Italie. 

France. 

France. 
France. 
France. 
France. 
France. 
France. 
Russie. 

Italie. 

Italie. 

Italie. 
Autriche. 
Auli'iche. 
Autriche. 
New-Jersey, Étals-tuts. 
France. 

Italie 

Italie. 

Italie, 
Bulgarie. 

Suède. 

Suède. 

Suède. 
Japon. 

France. 

Italie. 

Suède. 
Russie. 

ItaJie. 

Autriche. 

Autriche. 

Etats-Unis. 

Autriche-Hongrie. 

Suisse. 



— 13 



COMPTES RENDUS DES SÉAINCES. 



SEANCE DU 10 JANVIER 1918. 

PRÉSIDENCE DE M. LEBESGIE. 

La Sociélé. réunie en Assemblée générale, procède au renouvelle- 
ment de son Bureau et d'une partie du Conseil. 

Communications : 

M. Lebesgue : Sur des problèmes isopérimé triques. 

Proposons-nous de déterminer dans le plan n domaines avant des 
aires données Aj, A,. .... A„, et cela de façon que la longueur totale 
des courbes frontières soit minimum. Ces courbes frontières sont 
naturellement formées de circonférences et tout revient à déterminer 
1 es points appartenant à la frontière de plus de deux des domaines 
cherchés ou encore à la frontière de deux de ces domaines et à celle 
de la partie non utilisée du plan. Le problème dépend donc d'un 
système d'équations ordinaires; ces équations sont des équations 
transcendantes dont la résolution ne peut, en général, être faite 
algébriquement. 

Pour se guider dans l'élude de ces systèmes d'équations on peut 
utiliser quelques propriétés qui font l'objet de celle Communicalion. 

ï° En tout point commun à trois circonférences frontières, les 
trois circonférences se coupent sous des angles de J 20°. > — En eflel, 
supposons que cela ne soit pas réalisé pour un point M. De M comme 
centre traçons une circonférence dont le rayon sera l'infinimenl pelil 
principal. Cette circonférence coupe nos trois frontières en A, B, C. 
Soit M, le point qui donne le minimum pour la somme des dislances 
à A, B, C. D'après l'hypothèse, en remplaçant les trois arcs de fron- 
tières MA, MB, MC par les trois segments rectilignes MiA, M,B, 
M,C on diminuera la longueur totale des frontières d'un infiniment 



— IG — 

petit du premier ordre. Il est vrai qu'on modifie des aires, mais ces 
modifications, élant seulement de second ordre, peuvent être com- 
pensées par de nouvelles modifications des frontières comportant 
seulement des variations de longueur du second ordre. I^n définitive 
on aurait donc diminué la longueur des frontières, sans modifier les 
aires. 

1° Eli aucun point n'aboa lisse nL plus de Irais circonférences 
frontières. — Soient MA, MB deux, circonférences frontières, A et B 
élant encore sur une circonférence infiniment petite de centre M. 
Soit M, le point donnant le minimum pour M, A -h M jB -h M, M ; ce 
point doit être à une distance de M qui est infiniment petite de pre- 
mier ordre, sans quoi il y aurait avantage à remplacer MA et MB par 
MMi H- Ml A et MM, 4- M, B. C'est le même raisonnement que précé- 
demment. Donc AMB est au moins égal ii no". 11 ne peut donc y avoir 
plus de trois tels angles. 

3° Les courbures, comptées dans le plan orienté, de trois circon- 
férences frontières, aboutissant en un même point, sont liées par 

la relation 

III 

c'est dire que ces circonférences ont deux points communs. 

Modifions chacune de ces trois circonférences de façon à ce que, 
pendant la modification, elles balayent toutes trois, dans le même 
sens, des aires égales à un infiniment petit a. La modification de 
longueur correspondante est 



"ii. 



I I 

^ ^^ 
d'où l'énoncé. 

Ces résultats s'appliquent au cas où l'on voudrait traiter la ques- 
tion analogue pour une surface quelconque : en aucun point il ne 
passe plus de trois cercles géodésiques frontières: en un point où 
passent trois frontières, elles se coupent sous 120° et leurs trois 
cercles de courbure géodésiques tracés dans le plan tangent ont 
deux points communs. 

M. Lalesco : Sur les noyaux symétrisables. 

Les noyaux symétrisables, découverts par J. Marty, jouent un rôle 
important dans les applications de la théorie des équations intégrales 
à l'étude des équations différentielles linéaires. Reprenant une mé- 



— 17 — 

thode proposée par M. Picard, pour former les équations intégrales 
qui correspondent aux divers problèmes bilocau\ dans la théorie des 
équations du second ordre, on peut développer une théorie systéma- 
tique de ces problèmes et Ton trouve qu'immédiatement après les 
noyaux polaires et symétriques, ce sont les novaux svmétrisables qui 
se présentent couramment dans ces applications. 

Ces noyaux symétrisables sont de diverses sortes, d'après la nature 
du facteur composant et du noyau résultant. Si l'on désigne par (c) 
la symétrie d'un noyau (£:= 4-1 si le noyau est svmétrique, e r^ — 1 
si le noyau est symétrique gauche), les types des novaux svmétri- 
sables seront caractérisés par (ô, c'), ê et z' désignant respectivement 
les symétries du facteur composant et du noyau résultant. 

En réalité, il n'existe que trois types distincts de nojaux symé- 
trisables. à savoir : (i, i), (i, — i) et( — i, — 1). On peut montrer en 
effet que les types (i, — i) et ( — i. i) sont identiques. De cette 
identité, il résulte que cette classe de novaux jouit de propriétés 
analogues à celle des noyaux symétriques gauches. 

M. Fatou : Siu- Viléralion de certaine polynômes. 

Soit P(^) le polynôme qui exprime ^ = cosK« en fonction 
de ^^cos« (K pair), ou ^,=rsinK« en fonction de .;=rsin« 
(R impair). Les problèmes relatifs à l'itération du polynôme P(-) 
sont immédiatement résolus au moyen de la représentation paramé- 
trique. Il est facile notamment de calculer explicitement les coeffi- 
cients de P„(::) au moyen de 

P„(z)=^''''(K"«) 
sin \ 

et de trouver le domaine du point à l'infini qui est un point invariant 
de la substitution ^,= P(c); ce domaine comprend tout le plan à 

l'exception du segment ( — i, 4- i) de l'axe réel. 

Ces polynômes appartiennent à la classe des fractions ration- 
nelles R(::) telles que :;,= R(5) laisse invariant un arc de cercle et 
l'ensemble des points extérieurs à cet arc de cercle. Ces fonctions K(c) 
se déduisent des fonctions à cercle fondamental par une transforma- 
tion de la forme 



-; s/lx -T- T s/'t -^ 



S. M. — ComiJtex renrluf. 



— 18 — 



SEANCE DU li FEVRIER 1918. 

PRÉSIDENCE DE M. MAILLET. 

Élections : 

Sont élus, à l'unanimilé, membres de la Sociélé, JNLM. Barriol, pré- 
senté par MM. Elcus et Montel; Stoïlow, présenté par MM. Appell 
et Fouché; Pompeiu, présenté par MM. Lalesco et Maillet ; IS'éciilcea, 
présenté par MM. Lalesco et Maillet. 

Conimiinica lions : 

M. Lalesco : Sur les séries trigononiclrirjiics el la théorie des 
équations intégrales. 

M. D. Hiibert, à l'aide de la théorie des noyaux symétriques 
appliquée aux équations différentielles linéaires du second ordre a 
démontré que toute fonction deux fois dérivable est développable en 
série de Fourier absolument et uniformément convergente. 

En utilisant la théorie des noyaux symétriques gauches et une 
méthode de M. Picard perfectionnée pour l'application des équations 
intégrales aux équations différentielles linéaires, on peut démontrer 
que toute fonction une fois dérivable est dé\eloppable en série de 
Fourier absolument et uniformément convergente. On peut même 
étendre ce théorème aux fonctionsy"( j:") de la forme 



/(:r)= ^ h{s)ds. 



M. Gahen : Sur la convergence des fractions contitiuelles les plus 
générales. 

Il s'agit des fractions de la forme 



(^) 



b. 



les a et les b étant des nombres quelconques. Voici une règle due à 
Pringsheim {Silzungsber. d. k. Akadem. d. Wissench. zù Miinchen, 
t. XXVllI, 1898, p. 3i2) : 

Pour que la fraction précédente soit convergente, il suffit qu'on 



— 19 — 



ait, pour Ion Le valeur de n, 



i^J^i. 



Ceci posé, la fraction continuelle (i) peut s'écrire 



6, 



«O-i- 



en ce sens que les réduites de celles-ci sont identiques aux réduites 
de la précédente. 

Donc, la fraction continuelle (i) est convergente si l'on peut déter- 
miner /«i, m,, . . . , tels que pour toute valeur de n, on ait 



en particulier, si l'on peut déterminer /n,, m,, 
toute valeur de n, on ait 



tels que pour 



{•>■) 



bn 



nin-inin 

Ecrivons, pour simplifier, a,,, j3„, /j.„, à la place de |a„|, \bn\-, |"',il 
Des conditions (2) on tire 



h^ 



h 





a,— ^j 






!-<•«= ''■n — 







h 





Donc la fraction (i) est convergente si l'on a, pou/- foule valeur 
de n, 



^n 



P2 



>o. 



'1 — i^l 



Cette nouvelle règle est meilleure que la précédente. En ellet, h» 
première condition entraîne la seconde, tandis que la seconde n'en- 
traîne pas la première comme on le voit en prenant tous les p.„ com- 
pris entre zéro et un. 



— 20 — 
Exemple. — Soient tous les y. égaux à i, et tous les |3 égaux à - 

4 

sauf |3i=:-- La première règle ne donne rien. La seconde montre 
que la fraction est convergente car tous les ju. sont égaux à -• 

M. Gahen : Sur les couples de nombres réels réduits. 

\ous appelons nombres de même classe deux nombres oj, o', liés par 
une relation o) := ky ou a, p, v, o sont quatre entiers tels que 

7(0 -HO ^ ' ' ^ 



Lorsque co est un nombre imaginaire on sait qu'il y a un nombre de 
même classe et un seul qui est réduit, c'est-à-dire dont l'affixe est 

dans le domaine fondamental (limité par le cercle j^'-h )'*=r i, elles 

demi-droites x =i ± - dirigées de ce cercle vers les y > o j. 

Une définition semblable des nombres réduits est impossible pour 
des nombres réels. On ne peut pas définir des nombres réels réduits 
par des conditions de grandeur, de façon que tout nombre réduit soit 
de même classe qu'un seul nombre réduit, ou même qu'un nombre 
limité de nombres réduits. C'est un fait bien connu qui tient à ce que 
le groupe modulaire appliqué aux nombres réels est continu. 

Cependant ce qui est impossible en général, devient possible, avec 
une certaine modification, pour les nombres quadratiques. Car soil (,) 
un tel nombre, racine de 

aw--r- 6u) -h c = G i a, b, c entiers, b^ — 4 «c ]> o) ; 

par le procédé de Gauss, on définit un nombre limité de formes de 
même classe que la forme («, b, c) et qui sont réduites. En prenant 
cette méthode sous la forme sous laquelle je l'ai exposée dans 
mes Eléments de la théorie des nombres, on a le résultat suivant. 
Disons qu'un nombre quadratique réel est réduit lorsqu'il est plus 
grand que i, et que son conjugué est compris entre — J et o. Alors 
tout nombre quadratique réel a un nombre limité de nombres qui 
sont de même classe que lui et qui sont réduits. La modification dont 
il a été parlé plus haut consiste en ce que les conditions de grandeur 
portent, en même temps que sur le nombre, aussi sur son conjugué. 
On est alors porté à se demander s'il est nécessaire que deux 
nombres soient quadratiques conjugués pour qu'une telle définition 
soit valable, et la réponse est qu'il n'en est rien. 



— 21 



Définidon. — Nous appelons couple réduit un ensemble de deux 
nombres réels oj, i];, tels que 

— 1 < 'l' < o < 1 < w. 

Nous disons que deux couples «, .i; et c/, 'J;' sont de même classe 
lorsque 

w = — ^^' H' = — j ^ (a, fS, Y entiers, ao — S-.' = i). 

Problème I. — Etant donné un couple oj, '^, trouver un couple 

réduit de même classe. Pour cela on réduit oj en fraction continuelle. 

P _ P _ 
Soient pr-^^ — 1 pr-^^ — deux réduites consécutives, la première étant 

V27i— 2 s;2« — 1 

d'ordre pair, soit oog/j le quotient complet qui vient après. On a 

W= TT -—7=^; » P2n-lQ2«-2— P2«-2Q27i-l = I, 

V2n— 1 '«*2ra~r- Vra— 2 

et l'on aura (jJ2,j > i . 

Si de plus on définit d;,,, par 

■ P?7i - 1 *\'-2n -^ P2«-2 



Q2«-rh«-+-P2n-2 
on démontre facilement que pour n suffisamment grand, on a 

— ' < 'T'a» < o. 

Le couple oj2h, J^2h l'épond à la question. 

Problème II. — Etant donné un couple oj, 6, trouver tous les 
couples réduits de même classe. D'après I on peut supposer que le 
couple oj, 'J; soit lui-même réduit. Alors on démontre la règle suivante. 
On réduit w et p en fractions continuelles. Soit -rr- In réduite de 

^ ■' Q/< 

rang h du premier développement i en appelant la première 

P \ P 

réduite 7^ ) j e^ 7-^ la réduite de ran^ h du second. 

Les substitutions 

f Q2«-2 -P2«-2\ 

\-Q2«-l P2«-t /' 

OÙ n prend toutes les valeurs entières de — oc à -h 00, étant appli- 
quées au couple «, (|, donneront tous les couples réduits de même 
classe. 



— 22 — 

En général, cela donne une infinité de couples réduits. Pour qu'il 
n'v en ait qu'un nombre limité il faut qu'on trouve deux couples iden- 
tiques, c'est-à-dire que 

Q2«-2''^ — P-2>l-i ^^im-i^'^ [ 2/«— 2 



- Q2rt-1 W -^ Po/i 1 — Q2W-I W -H \\,n-l 

Qin -2 •l' - P-m^i Q2,«-2 'i> - P2.»-2 



— Q2«-i'J' -+- P2/1-I 



Donc (x) el <]/ satisfont à une même équation du second degré à coeffi- 
cients rationnels, et comme ils ne sont pas égaux, ils sont quadra- 
tiques conjugués. 



SÉANCE DU 14 MARS 1918. 

PRÉSIDENCE DE M. MAILLET. 

Election : 

Est élu, à l'unanimité, membre de la Société, M. Huber, présenté 
par MM. Barriol et Elcus. 

Co?niniinic(itions : 

M. Giraud : Su/- les substitutions elliptiques et paraboliques de 
certains groupes hyper fuchsiens. 

Soil/(.r, y, z\ .r^, y^, Zç,) une forme d'Hermite du type 

UU^-{- VVfj — <V(ï^o, 

a, V, (v^étant trois formes linéaires en j;, y, z\ l'indice zéro ajouté à 
une lettre sert ici à désigner l'imaginaire conjuguée de la lettre privée 
d'indice. Si les coefficients de/ sont des entiers d'un certain corps A" 
quadratique imaginaire, et si l'on considère le groupe des transfor- 
mations automorphes de / dont les coefficients sont des entiers du 
corps k, on sait qu'on peut faire correspondre à ce groupe un des 
groupes nommés hyper fuchsiens par M. Picard. 

On trouve aisément que, dans tous les corps A, sauf dans le 

corps [—^ ^^ 1 > on peut se borner au cas où la substitution 

automorphe a un pour déterminant : les autres cas ne donnent pas 
de nouvelles substitutions hyperfuchsieunes. 



- -23 — 

Les tnultipUcatears de la substitution aulomorphe sont alors donnés 
par une équation en s telle que 

s^ — as- -4- «0 -S — ' = o, 

où a est un entier du corps. Si la subslilution est ellipli(|ue ou para- 
bolique, les modules des trois multiplicateurs sont égaux à un, et 
réciproquement. On trouve que la condition nécessaire et suffisante 
pour cela est que le point d'affixe a soit à l'intérieur ou sur le con- 
tour d'une hypocycloïde à trois rebroussements avant son centre à 
l'origine et l'un de ses points de rebroussement au point d'abscisse 3, 
de l'axe réel. Une conséquence immédiate est que le nombre des sys- 
tèmes possibles de multiplicateurs est fini, fait qui pouvait du reste 
être prévu sans calcul (et qui est vrai même pour des cas beaucoup 
plus généraux). Voici la liste de ces systèmes ; les multiplicateurs ayant 
pour modules un, on n'écrit ici que leurs arguments; deux valeurs 
imaginaires conjuguées de «donnant des multiplicateurs imaginaires 
conjugués, on n'écrit qu'une seule de ces valeurs. 

Valeurs de a communes à tous les corps, c'est-à-dire réelles, et 
arguments des multiplicateurs : 

rt = — 1. arg.o, t:, t:; « = o, arg.o, == "ô-J 
a = r, arg.o, dz — ; a =^ i, arg.o, —"^'y a = 3, arg.o, o, o. 

Corps {i)\ autres valeurs de a et des arguments : 






a=i, avz.- ■ - 1 —; a = — i -H t, arg.-, ——■, -; 

•2(4 () D 



a = — i-r-2J, ari;.-, — > -• 
■.i jl 



Corps (« V^) • 
Corp- ' 



«:= — H-tv/2, arg.-, -, -T". 



4 4 



— \-^i v/7 '.> - -i - ^* - 

a = j arii. — , — > — • 

2 "77" 

Le corps ( j donne pour a des valeurs égalt-s au produit 



— ±1 



d'un des entiers réels ci-dessus par une puissance de e ^ : cela a pour 
effet de multiplier tous les multiplicateurs par cette même puissance, 
et de ne pas clianger la substilulion hyperf'ucJisienne correspondante. 
En dehors de cela, il y a lieu, dans ce corps, de considérer le cas où 
la substitution autoinorphe considérée a pour déterminant une unité 
autre que un : on peut ramener tous les cas nouveaux à celui où ce 

déterminant est e ^ . Les multiplicateurs correspondants sont donnés 
par l'équation 

s^ — as^ -\- a^e -^ s — e-* =o, 

où a est un entier du corps. C'est alors le point ae ^ qui doit être à 
l'intérieur ou sur le contour de l'hypocjcloïde précédente. ^ oici la 
liste de ces cas; au lieu des multiplicateurs de la substitution auto- 
morphe considérée, on a inscrit ceux de la substitution à coeflicients 
non entiers obtenue en multipliant tous les coefficienls de la première 

par e * , substitution qui a alors le déterminant a/i : 

-2- 

a = o, arg. o, ir -7^ 
(les mêmes arguments ont déjà été rencontrés d'une autre manière); 



W. i4- 17- 
— , , 

9 9 9 


; a = 


— I, 


^'-7^' 


«77 
9 ' 


1977 

18 ' 


3 — i v/3 


277 


2- 

9 


I477_ 

9 ' 






5 -^ Jv/3 

a = î— , 

■2 


"«■f' 


1777 
9 


1777 
9 







Les plus petites puissances de ces substitutions elliptiques qui soient 
la substitution identique ont pour exposant 8, 12 ou 7 ou des diviseurs 
de l'un de ces nombres. Notamment, dans aucun cas ce n'est la cin- 
quième puissance. 

Il faut remarquer que ces considérations ne prouvent pas l'existence 
eff"eclive de substitutions correspondant à chacun des cas énumérés. 

M. Lalesco : Sur l'addition des noyaux non orthogonaux. 

Lorsque deux noyaux P(jr, y) et Q{x, y) ne sont pas orthogonaux, 
la fonction D(/.) de Fredholm, relative au noyau-somme 

N(ar. y) = 'k?{x. y)-\- ,aQi x,y) 



- 23 — 



est donnée par la formule 

'''■'^Ja \yx---yk I 

X ^^\^ '"'^J lA ^^(^i, Il ) d(Xi, y-i) . . . dix,,; y/,) -^ . . . , 

\Xl . . . Xl; J 

les expressions sons le signe / étant les mineurs de Fredholm. 

Lorsque, par exemple, Q (^, y) r=^ f{x) g{y), la formule se réduit, 
pour ). =: p., à 



Dn( 



X) = Dp()0 i-HÀ f f(s)ff(s)ds -a2 f Dp{^^}}jg(s)f(t)dsdt. 



Les valeurs caractéristiques du noyau N(j:', y) sont alors données 
par l'équation 

r'' r'' 

i + à/ f(s)j^(s)ds-^l-i j g(s\^S(s. t)f{t)dsdt = o 
• il •- (t 

qui s'éludie facilenienl. Ce cas particulier est utile dans la théorie des 
équations différentielles linéaires, d'ordre fini. 

M. Montel : Un nouveau théorème sur la convergence des séries 
de fondions analytiques. 

Soient/i(^), /,(5), ...,fn{z), ... une suite infinie de fonctions 
analytiques bornées dans leur ensemble à l'intérieur d'un domaine 
connexe (D). Si celte suite converge uniformément sur un arc (y) 
arbitrairement petit du contour limitant le domaine (D), elle con- 
verge aussi uniformément dans tout domaine intérieur à (D) et don 
la frontière peut comprendre des portions de (y). 

Ce théorème, généralisation d'une proposition classique de Weier- 
strass peut servir de base à l'étude de la correspondance des points des 
contours dans la représentation conforme d'un domaine (A) sur un 
cercle (C). On en déduit aisément qu'à tout point accessible de la 
frontière (L) de (A) correspond un point bien déterminé de la circon- 
férence du cercle (C), par une extension naturelle de la méthode que 
M. Picard a fait connaître pour le cas d'un point de (L) commun à 
deux arcs analytiques de (L). Le même théorème permet d'examiner 
la nature de la correspondance entre les points frontières pour le cas 
des points non accessibles de (L). 



— 26 



SEANCE DU li AVRIL 1918. 



PRESIDENCK DK M. MAII.l.KT. 



SÉANCE DU 16 MAI 1918. 



PRKSIDENCK DU M. MAII.l.KT. 



Coinniimica lions : 

M. Lalesco : Sur la théorie générale des fonctions orthogonales. 

Les fonctions orlliogonales peuvent être classées suivant Vordre 
des équations difTérentielIes linéaires qui les engendrent. A ce point 
de vue, les fonctions orthogonales les plus simples, du premier 
ordre, sont les fonctions trigonométriques %\n nœ cos ncc. Chaque 
équation différentielle linéaire irréductible d'ordre n définira un 
certain nombre de classes de fonctions orthogonales d'ordre n. 

Les fonctions orthogonales engendrées par les équations intégrales 
peuvent être incorporées dans cette classification car l'auteur a montré 
que toute équation de Fredholm revient à un problème plurilocal 
pour une équation diff"érentieile linéaire d'ordre infini. 

Pour l'étude analytique des fonctions orthogonales d'un ordre déter- 
miné /^, il faut dégager une classe de fonctions centrales à laquelle on 
rattachera ensuite toutes les autres. L'auteur propose comme fonc- 
tion centrale, la solution périodique gauche de l'équalion diff'éren- 
tielle linéaire générale d'ordre n ; elle correspond, dans une théorie 
systématique des problèmes plurilocaux, aux conditions bilocales les 
plus simples. 

L'étude analytique des fonctions orthogonales périodiques gauches 
peut être entreprise par les mêmes moyens que celle des séries trigo- 
nométriques. En premier lieu, le théorème deRiemann reste vrai pour 
ces fonctions et peut servir de clef de voûte pour toute la théorie. 
Les expressions asymptotiques des fonctions orthogonales d'ordre n à 
l'aide des fonctions du premier ordre s'obtiennent facilement par des 
procédés d'un caractère général et propres à la théorie des équations 
intégrales. 

M. Cahen : Sur les séries de Dirichlct. 



— 27 — 
AI. Maillet : Sur certaines catégories de /'raclions continues. 

Voir le Bulletin de la Société, t. XLVI, 1918, p. 1-9 : Sur certains 
types de fractions continues arithmétiques. 



SEANCE DU 13 JUIN 1918. 



PRESIDENCE DE M. MAILLET. 



C onununica tions : 

M. Laisanl : Procédé élémentaire de formation des triangles 
rectangles héroniens. 

Soit — une fraction quelconque, - son inverse. Si l'on forme la 
^I P 

demi-différence, puis la demi-somme de — et-» on obtient deux frac- 

q p 
, , . a c 

lions ayant même dénominateur -7-5 v* 

•' 00 

a, b mesurent les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle 
dont c mesure l'hypoténuse. 

Si jo et /7 ont un facteur commun ô, les trois nombres «, 6, c sont 
divisibles par ô-. 

Si /) et fjT sont impairs, a, 6 et c sont pairs. 

Si /> et ^ sont premiers entre eu\. l'un de ces termes étant pair 
et l'autre impair, le triangle héronien de côtés «. //, c est primitif. 

Remarques. — I. Si p = 1 , on aura c — a ==: 2. 

II. Si q — p ::= 1 , on aura c — b =: i. 

III. Si l'on pose p' ^=: q , q' = p -\- 2 q , on aura a' — b' ^ — (a — b). 
Il suit de là que si l'on forme la suite récurrente ayant pour 

échelle //„+2 ^= 2 ^/,J^_, -+- u,i 

«1, «2, • • • Un, Un + \, • • •: 

en prenant pour/> et 7 deux, termes consécutifs, la différence a — b 

restera la même en valeur absolue pour tous les triangles obtenus. 

Par exemple, 

I, 2, 5, 12, 29, ..., 

nous donne la suite indéfinie des triangles tels que a — b =: ± i . 



M. Giraud : Sur certains groupes auloinorphes à n variables. 

Considérons une forme quadralique à n -\- 'i variables, décompo- 
sable en 2 carrés négatifs et n carrés positifs, par exemple, si Ai ^2, 
la forme 

Xx Xn + i — X-i a7„-v--, -^ x\-^ x\-\-. . .— x\ 

(pour nz^Q., c'est x^X!,-\- œ^x^). Considérons les substitutions 
linéaires à coefficients réels qui changent celte forme en elle-même. 
Ou peut leur faire correspondre des transformations birationnelles 
quadratiques de la façon suivante : égalons la forme à zéro, et posons 

g = — x^-.xi, g' = Xn^^-.xi, h/,= x/^-^i'.Xi (/t = [, 2, ..., rt — -2); 

les variables g, g\ li^ subissent un groujje de transformations bira- 
tionnelles quadratiques isomorphe au groupe linéaire. 

De ce groupe, on peut extraire une infinité dénombrable de trans- 
formations formant aussi un groupe. On a alors les propositions 
suivantes : 

I. Si ce groupe est discontinu pour un point du domaine 

^1 ^«-i-2,0"+" ^\,i<^7i-\-i ~^~ ^2^ra-!-l,0-T~ -^2,0 ^'«H-1 ~i~ '^^S-^S.O ~^ • • • ~i~ 'i^ii^n,0 <C O, 

il est discontinu dans tout ce domaine (Wo désigne le conjugué de m, 
quel que soit m). 

II. Si ce groupe est discontinu dans ce domaine, on peut former 
des séries du type© de Poincaré qui sont convergentes uniformément 
et absolument dans toute la portion de ce domaine où 

partie réelle de ( g -h g' ) > o. 

m. On sait former le polyèdre fondamental de ces groupes en 
utilisant (méthode du rayonnement) les multiplicités 

\x\ 3«+2-^^«H-2 :i-+--2"2 :«-t-i-^^«+i Xi — ^^z \z-^. . .^ ixn U|- 

+ I ^1,0 Çn + 2 ~i- -^«+2,0 ?1 ~*~ ^2.0 ;«-l-l ~^ ^«-i-1,0 ;? -i- 2^3,0 ?3' ^~ • • • "t" '^^«.0 ?« i' 
-t- A (a?) a7/j-)-2^o~t~ ^l,0''^n-i-2~'~ ^9^QXfi-i-i "t- X2X,i^i^{)-T- IX^X^^q-^ ...-+- îXfiXji^ç)) 

X ( il ç«-i-2.o"'~ ;i,o ;«-<-2-i- ;2,o ;«-t-t ~^ Ç2 ;«-^i.o -r- "-i çs ;3,o-^- ■ • — "^ '.n î/i.o) = o. 

Ces multiplicités jouent d'ailleurs un grand rôle dans les démons- 
trations des deux premiers théorèmes, ainsi qu'une certaine inté- 
grale (2n)"pi«. 

Le même mode de calcul, appliqué à des formes quadratiques qui 
ne sont pas du tvpe indiqué en commençant, donne lieu à des groupes 



— 29 — 

pour lesquels la proposition I n'est plus vraie. Les questions de con- 
vergence des séries deviennent également alors beaucoup plus 
compliquées. 



SEANCH: du 11 JUILLET l'.)18. 



PRESIDE^•CE DE .M. MAILLET. 



SEANCE DU 14 NOVE.MBRE 1918. 

PRÉSIDENCE DE M. MAILLET. 



Élection 



Est élu. à l'unanimité, membre de la Société, M. P. Humbert, 
présenté par MM. Appell et dOcagne. 

Communications : 

W. Fouché : Démonstration géométrique des propriété'! fonda- 
mentales des surfaces et des normalies . 

1. Je commence par établir les propriétés fondamentales des con- 
gruences linéaires. 

Lorsqu'on fait varier les deux paramètres dont dépend la position 
d'une droite (X) de la congruence, un point M marqué sur cette 
droite décrit une certaine trajectoire, et la vitesse de ce point est 
la résultante des vitesses qui correspondent respectivement à la 
variation de chacun des deux, paramètres, d'où il suit que les tan- 
gentes aux diverses trajectoires du point M sont toutes dans un 
même plan. Deux suites de droites prises dans la congruence à partir 
de la droite (X) forment deux surfaces réglées dont les plans tangents 
en M sont définis par la droite (X) et les tangentes aux deux trajec- 
toires du point AL Or, ces deux surfaces réglées sont tangentes en 
deux points F et F, de la génératrice commune (X). Donc, les tan- 
gentes aux deux trajectoires du point F et la droite (X) sont dans 
un même plan. Alors, pour toute autre variation des deux para- 
mètres, la tangente à la trajectoire du point F sera aussi dans ce 
plan, ce qui revient à dire que toutes les surfaces réglées de la 



— 3» — 

congruence passant par la droite (X) sont tangentes entre elles au 
point F et par conséquent aussi au point Fj. F et F, sont les deux 
foyers de la droite (X). Il est aisé de déduire de là. par des raison- 
nements simples, les autres propriétés de la congruence, et en parti- 
culier l'existence des deux developpables contenant (X). 

2. Le théorème des tangentes conjuguées consiste en ceci : « Un 
point M se déplaçant sur une surface, suivant une trajectoire (T), 
le plan langent en M admet une caractéristique (C). Si le point M 
décrit une seconde trajectoire tangente à (C), la caractéristique du 
plan tangent sera tangente à la trajectoire primitive (T) ». On 
démontre généralement ce théorème en prouvant que (C) et la tan- 
gente à (T) sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice. On peut 
l'établir géoniélriquemenl comme il suit : 

Traçons sur la surface une suite continue de courbes (T). La 
surface est l'enveloppe des developpables circonscrites le long de 
chacune de ces lignes. Soient (Tj) et (T,) deux de ces courbes 
infiniment voisines. Les developpables correspondantes se coupent 
suivant une courbe (E); et quand (Tj) se rapproche indéfiniment 
de (Tj), les deux courbes (T,) et (E) ont la même limite (T,). Par 
un point M, de (ïj) menons la génératrice de la développable cir- 
conscrite le long de (T,) : c'est la caractéristique du plan tangent 
quand M, se déplace sur (Tj). Cette génératrice rencontre (E) en un 
point N d'où nous menons la génératrice de la seconde développable 
qui touche la surface en un point Mg de (Tg). Les plans tangents 
en Ml et M2 à la surface sont aussi tangents respectivement aux deux 
developpables et se coupent suivant la tangente (D) menée en M 
à (E). On peut alors tracer sur la surface une courbe passant par ]M, 
et M2 et tangente en ces deux points aux génératrices des deux 
developpables. Si le point Mg se rapproche indéfiniment du point M, 
en suivant celte courbe, la caractéristique du plan langent sera la 
limite de la droite (D) laquelle est la tangente en M, à la trajec- 
toire (T,), ce qui démontre le théorème. 

3. Il résulte de ce qui précède que les tangentes conjuguées en un 
point dune surface forment dans le plan langent une involulion. il y 
a donc un couple de rayons conjugués rectangulaires. Il est aisé d'en 
conclure qu'on peut tracer sur la surface, à partir de chaque point M, 
deux lignes telles que la tangente à chacune d'elles en un point quel- 
conque est perpendiculaire à la tangente qui lui est conjuguée. Ce 
sont les lignes de courbure qui sont ainsi normales aux génératrices 



- 31 - 

des développables circonscrites correspondantes. Si maintenant on 
fait tourner toutes ces génératrices, chacune d'un angle droit dans 
le plan normal à la ligne de courbure, ou obtiendra une suite de 
normales à la surface; mais d'après une propriété bien connue des 
courbes gauches, ces nouvelles droites formeront encore une surface 
développable. Ainsi se trouve établie lexistence des lignes de cour- 
bure considérées comme directrices de normalies développables. 

Les normalies développables qui correspondent aux deux lignes de 
courbure passant par un point M admettent comme génératrice com- 
mune la normale MX, et leurs plans tangents le long de cette normale 
sont rectangulaires comme les deux lignes de courbure qui leur 
servent de base. Donc dans toute congruence de normales, les deux 
développables qui passent par une même droite sont rectangulaires. 

i. De ce théorème fondamental on peut déduire les autres pro- 
priétés des normalies, celles des centres de courbure principaux, et 
les propriétés des deux nappes de la développée, au moins les prin- 
cipales, i^our trouver la relation entre le ravon de courbure dune 
section normale et la direction de son plan, on remarque dabord que 
le centre de courbure de cette section est à Fintersection de la nor- 
male au point considéré M de la surface a\ec le plan normal à la 
courbe en un point infiniment voisin M'. Si le point M décrit la 
section normale, la normale à la surface décrit une surface dévelop- 
pable dont on connaît les plans tangents en trois points, savoir en M, 
et aux deux centres de courbure principaux, qui sont les foyers de la 
normale -MX dans la congruence des normales. Ouant au plan tangent 
au centre de courbure cherché G, on reconnaît facilement qu'il est 
perpendiculaire au plan de la section normale. Or, comme il v a 
correspondance homographique entre les points de contact et les 
directions des plans tangents, on obtiendra ia position du point G et 
par suite le rayon de courbure cherché, en écrivant que le rapport 
anharmonique des quatre points M, G, G', G est égal au rapport 
anharmonique des tangentes des quatre angles que font les quatre 
plans tangents avec une direction fixe. On en pourra déduire l'équa- 
tion et les propriétés de l'indicatrice. 

M. Bioche : Si//- la dioilc de Sinison. 

On sait que, si d'un point IVI du cercle circonscrit à un triangle ABG, 
on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés du triangle, les 
pieds de ces perpendiculaires sont sur une droite qu'on appelle droite 



— 3-2 — 

de Simson. On sait aussi que si M décrit le cercle circonscrit à ABC 
la droite de Simson enveloppe un liypocvcloïde à trois rebroussements; 
les côtés du triangle etses hauteurs sont tangents à cette courbe. Si D est 
le point de concours des hauteurs de ABC, chacun des triangles DAFi, 
DAC, DBC a ses côtés et ses hauteurs tangents à l'hypocycloïde. Il e--t 
donc naturel de se demander si l'enveloppe des droites de Simson, 
correspondant à un des quatre triangles ayant pour sommets trois des 
points A, B, C, D, n'est pas la même que celle qui correspond à chacun 
des autres. 

C'est ce qui a lieu en effet. 

Les points de rebroussement de rhypocycloïde correspondant à ABC 
sont sur le cercle concentrique au cercle des neuf points de ABC et 
ayant un rayon triple de celui-ci. Or, le cercle des neuf points est le 
même pour les quatre triangles. 

D'autre part, si O est le centre du cercle circonscrit à ABC, la 
droite OA fait, avec la droite joignant le centre du cercle des neuf 

points a un rebroussement, 1 angle — 1 ■ — (les angles étant 

comptés dans le sens ABC) ; or si O, estle centre du cercle circonscrit 
à DBC, la droite 0|D est parallèle à OA et la différence des angles à 
la base est encore B — C. Donc l'hypocycloïde correspondant à DBC 
a les mêmes rebroussements que celle qui correspond à ABC. Par 
suite, si l'on considère quatre points A, B, C, D tels que l'un 
d'entre eux soil le point de rencontre des hauteurs du triangle 
formé par les autres, une droite de Simson correspondant à l'un 
de ces triangles est aussi droite de Sii?ison pour les trois autres. 

M. G. Giraud : Sur une équation aujc dérivées partielles se ratta- 
chant aux théories des fonctions hyperfuchsiennes et hyperabé- 
liennes. 

Soit r un groupe hyperfuchsien ou hyperabélien ; on suppose que le 
polyèdre fondamental rayonné de F n'a qu'un nombre fini de faces, et 
que le prolongement analytique des fonctions aulomorphes correspon- 
dantes ne sort pas du domaine fondamental (ou principal) conservé 
par r, savoir du domaine 

\\o-YYo<i, 

dans le cas hyperfuchsien, ou du domaine_ 

XX,j<i, YVoCi, 

dans le cas hyperabélien; les indices zéro distinguent les imaginaires 
conjuguées. Alors toutes les fonctions automorphes de X et de Y cor- 



— 33 



respondanles s'expriment rationnellement au moyen de trois d'entre 
elles £, r,, Ki liées elles-mêmes par une relation algébrique 



Posons alors, dans le cas liyperfuchsien, 



(,_XXo-YYo)- 



■]• 



et dans le cas hyperabélien, 

U = \0S 64 r^ 

En outre, soient 

^ = x-i- iy, 

x^ y, z, t étant réels, u est alors uniforme sur la surface algé- 
brique (i) el satisfait à l'équation 



(i-xXor-(i 



-YYo)-î] 



//.■ 



(2) 



d- U d- u \ / à- u d- u \ 



dUi 



dx dz dy ôt 



c>2 a , 2 / d"- u 



\2_ / d^-u à^u Y _ 

) \ ôxdt ~ dydz ) ~^ ' 



et à l'inégalité 

(3) 



d- u d- u 



>o. 



Ces conditions (2) et (3) peuvent aussi s'écrire 

/ Ou Ou 



uii un \ 



Wdû 



>o. 



La généralisation qui s'introduit par la considération de plusieurs 
exemples de fonctions automorplies d'un nombre quelconciue n de 
variables est la suivante : u doit satisfaire à l'équation 



./du du du\ 



= ke", 



OÙ A > G, et aux inégalités signifiant que iliermitien en .i\, 
^^ ^1 d^ u 



jLà j^ di,, di,,, 



XpXff^^) 



s. M. — Comptes rendus. 



— SA — 

est défini positif. Pour « r=z i , on retrouve l'équation bien connue par 
les travaux de M. Picard, suivis de ceux de Poincaré, 

Un problème analogue à celui que ces illustres géomètres ont traité 
peut dès maintenant se poser relativement aux conditions (2) et (3). 



SÉANCE DU 1^2 l)r<:CEMBRE 1918. 

PRÉSIDKNCE DE M. MAILLET. 



Élections 



Sont élus, à Funanimité, membres de la Société, M. Angelesco, pré- 
senté par MM. Appell et Lalesco;" M. Lefschety, présenté par MM. Pi- 
card et Breitling. 

Cojnmunication : 

M. Auric : S/ir la déformation des niilieujc homogènes amorphes, 
ou cristallins. 

Dans un milieu homogène soumis à une déformation infiniment 
petite, une sphère de centre O et de rayon suffisamment petit devient 
une quadrique, à la condition de négliger les infiniment petits 
d'ordre supérieur. 

Un milieu sera dit homogène (comme en cristallographie) lorsque 
toute propriété, scalaire ou vectorielle, du point O dans la direc- 
tion OM aura lieu pour un autre point quelconque Oj dans la direc- 
tion Oi M, parallèle à OM et de même sens. 

La théorie mathématique actuelle repose entièrement sur la déter- 
mination des éléments de la quadrique transformée de la sphère en 
chaque point du milieu et la déformation de celui-ci est définie par 
les coefficients mêmes de l'équation de cette quadrique. 

On admet habituellement, bien que cette double hypothèse ne 
corresponde nullement au cas le plus général de la déformation : 1° que 
le centre de la sphère reste le centre de la quadrique; 2" que le 
trièdre principal de celle-ci était, avant la déformation, un Irièdre 
trireclangle de la sphère. 

Sous l'influence des idées de Cauchy et de ses disciples, le milieu 
a toujours été considéré comme continu au sens mathématique : or, 



— So- 
les progrès de la cristallographie et de la théorie atomistique semblent 
indiquer que cette notion du continu doit être abandonnée et rem- 
placée par l'hypothèse d'un ou plusieurs groupements périodiques 
d'éléments suffisamment petits, juxtaposés suivant un ou plusieurs 
systèmes de réseaux. 

Pour toute déformation, et d'une manière générale, pour tout 
changement du milieu, il n'y aura autour d'un point O qu'un do- 
maine D, plus ou moins étendu, véritablement intéressé à ce change- 
ment, au point de vue des conséquences qui en résulteront pour le 
point O : suivant que ce domaine D est de Tordre de grandeur des 
éléments ci-dessus définis ou contient un très grand nombre de ces 
éléments, le milieu se comportera à l'égard de ce changement, soit 
comme un milieu cristallin, soit comme un milieu amorphe en 
moyenne. 

Les actions analogues à la gravité sont proporlionnelles à la masse, 
c'est-à-dire au volume des éléments; celles analogues à la capillarité 
sont proportionnelles à la tension superficielle, c'est-à-dire à leur 
surface : on comprend dès lors très bien que pour des éléments 
suffisamment petits, ces dernières actions deviennent tout à fait pré- 
pondérantes par rapport aux premières, 

La recherche de la quadrique transformée d'une sphère infiniment 
petite revient en somme à étudier le changement produit dans la 
distance de deux points infiniment voisins; celte élude fournirait 
des renseignements très intéressants sur la déformation du milieu, 
mais à la condition de ne pas négliger svstématiquement les trans- 
lations et les rotations subies par la droite joignant ces deux 
points. 

Pour ne pas compliquer une question déjà fort difficile, nous esti- 
mons qu'il convient de rechercher tout d'abord s'il existe dans une 
déformation infiniment petite autour d'un point des éléments géomé- 
triques simples, tels que plans, quadriques, etc., restant homothé- 
tiques à eux-mêmes. 

En ce qui concerne les plans, le résultat est bien connu ('); il 
existe toujours un ou trois plans réels restant, dans le voisinage d'un 
point O, homothétiques à eux-mêmes; la solution dépend d'une 
équation générale en S du troisième degré, ce qui explique la possibilité 
de deux racines imaginaires; lorsque les trois racines sont réelles, on 
obtient aisément autour du point O, an moyen de ces trois plans, la 



(') Voir Appkll, rraite de Mécanique ralionnelU\ l. III. p. 
cice 6. 



— :m — 

maille parallélépipédique du réseau crislallin correspondant au 
milieu. 

En ce qui concerne les quadriques, la question n'a jamais été 
étudiée, bien qu'elle ne présente aucune difficulté; il faut, bien 
entendu, prendre leur équation sous sa forme la plus générale, c'est- 
à-dire admettre que leur centre ne coïncide pas nécessairement avec 
le point O; on connaît, en eftet, des cristaux, tels que la tourmaline, 
qui possèdent des propriétés différentes en un même point suivant 
qu'on considère une direction ou la direction opposée. 

Dans ces conditions, la recherche des quadriques homolhétiques 
dépendra d'une équation du neuvième degré, puisqu'il y a neuf coef- 
ficients à rendre proportionnels; il y aura toujours au moins une qua- 
drique réelle satisfaisant à la question et pouvant représenter, à une 
première approximation, Télément infinitésimal caractéristique du 
milieu : d'autres quadriques réelles pourront également être envisagées 
et, s il existe deux quadriques imaginaires conjuguées, on pourra les 
remplacer par la courbe réelle biquadratique donnée par leur inter- 
section. 

On pourrait, soit étudier les différents cas particuliers fournis par 
ces quadriques ainsi que leurs positions respectives par rapport à la 
maille du réseau, soit au contraire examiner les cas plus généraux de 
surfaces cubiques, biquadratiques, etc., restant homothétiques entre 
elles. 

Nous renverrons à une Note ultérieure l'exposé des résultats ainsi 
obtenus et nous nous bornerons à donner ici la discussion relative 
aux diftérentes mailles possibles. 

En adoptant les notations du Traité de M. Appell (t. III, p. 2^7), 
l'équation en S s'écrit : 



Si l'équation a trois racines réelles, nous avons vu que la maille du 
réseau s'en déduit immédiatement. 

L'équation peut avoir une racine réelle qui correspond à un plan 
réel n et deux racines imaginaires conjuguées qui représentent deux 
plans imaginaires se coupant suivant une droite réelle A. 

Il y a lieu de rechercher dans le plan réel II les droites qui restent 
parallèles à elles-mêmes. On voit aisément que celte question dépend 
d'une équation en S du deuxième degré et que les solutions sont les 
asymptotes de l'indicatrice correspondante. 



— 37 — 

Si ces asymptotes sont réelles, on obtiendra deux nouvelles droites 
qui formeront avec la première A un trièdre réel et l'on sera ramené 
au cas général. 

Si les asymptotes sont imaginaires. Tindicatrice sera une ellipse 
qui restera homotliétique à elle-même; on aura donc comme élément 
infinitésimal du milieu non un parallélépipède, mais un cylindre droit 
ou oblique, à base elliptique, dont les génératrices seront parallèles 
à la droite réelle A. 

On peut dire que ces éléments possèdent un plan de polarisation 
parallèle à la base du cylindre. 

Ce résultat est également obtenu si le trièdre réel se réduit à un 
seul plan : car dans ce cas l'élément infinitésimal est non plus un 
cylindre, mais une ellipse contenue dans ce plan. 



Rapport de la Commission des Comptes. 

(MM. Hlmbert, président; Fouret, Bioche.) 



Messieurs et Chers Collègues, 

Conformément à l'article 16 de nos Statuts et auv articles 33 et 3i 
de notre Règlement administratif, j'ai l'honneur de vous présenter 
le résultat de l'examen auquel a procédé la Commission chargée par 
votre Conseil d'administration de vous faire un rapport sur la gestion 
de notre trésorier et sur la situation morale et financière de notre 
Société. 

La Commission a tout d'abord examiné les comptes de l'exer- 
cice igiD-igi^, arrêtés au 2 août igi^» M. Servant, trésorier, ayant 
été mobilisé. 

La Commission, à l'unanimilé. approuve les comptes de M. Servant 
et lui donne quitus de sa gestion. 

Pendant la durée des hoi^lilités, M. Cahen a bien voulu assurer la 
charge de la trésorerie, mais il a été impossible d'arrêter cha(|ue 
année les comptes de façon définitive, aussi MM. Cahen et Servant 
nous ont présenté un compte d'ensemble relatif à la période totale de 
la guerre arrêté au 3i décembre igiS- 



— 38 — 
Bilan au 31 décembre 1918. - 

fr 

Caisse. iijfi.iS 

Société Générale î3G'4,5i 

Poi tefeuille 24007,09 

Stock Bulletin 5877. a5 

Cotisations arriérées 35oo » 

Pertes et profits 2856,85 

Total 4t>'^79,85 

Facture Gaulhier-Villars (évaluation) 3807, i5 

Cotisations d'avance 7-0 « 

Réserves inaliénables '. . . 1600 » 

Portefeuille disponible, dépréciation 5492,29 

Créances douteuses 35oo » 

Capital au 3i octobre 191 3 25 1 10,41 

Total 40279,85 

Ce bilan appelle quelques observations : 

La situation de caisse et de banque est satisfaisante et permet de 
faire face aux. dépenses courantes. 

Le chifl're des pertes des exercices 1914-1918 est peu important et 
il faut remarquer qu'il est occasionné uniquement par la déprécia- 
tion du portefeuille disponible. Ce résultat, dû à la sage adminis- 
tration de ALM. Cahen et Montel, permet d'envisager avec la plus 
grande confiance l'avenir de la Société. 



TABLE DES MATIÈRES. 



Pages 

Etat de la Société au commencement de 1918 i 

Liste des Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesquels la 

Société échange son Bulletin 12 

Comptes rendus des séances i5 

Rapport de la Commission des Comptes 37 

Communications : 
MM. Auric : Sur la déformation des milieux homogènes amorphes ou cris- 
tallins 34 

Bioche : Sur la droite de Simson 3i 

Cahen : Sur la convergence des fractions continuelles les plus géné- 
rales iS 

— Sur les couples de nombres réels réduits 20 

— Sur les séries de Dirichlet 26 

Fatou : Sur l'itération de certains polynômes 17 

Fauché : Démonstiation géométrique des propriétés fontlamentales des 

surfaces et des normalies 39 

Gj/'ai<rf .- Sur les substitutions elliptiques et paraboliques de certains 

groupes hyperfuchsiens 22 

— Sur certains groupes automorphes à n variables 28 

— Sur une équation aux dérivées partielles se ratlachanl aux 

théories des fonctions hyperfuchsiennes et hyperabéliennes. 32 
Laisant : Procédé élémentaire de formation des triangles rectangles 

héroniens 27 

Lalesco : Sur les noyaux symétrisables '. 16 

— Sur les séries Irigonométriques et la théorie des équations 

intégrales iS 

— Sur l'addition des noyaux non orthogonaux 24 

— Sur la théorie générale des fonctions orthogonales ?.» 

Lebesgue :Sur des problèmes isopérimélriques i3 

Afaill^t : Sur certaines catégories de fractions continues 27 

Montel : Un nouveau théorème sur la convergence des séries de fonc- 
tions analytiques 25 



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QA Société mathématique de 

1 France, Paris 

S59 Bulletin 

t. 2^5-4-6 

I\hysicaJ & 

App|jcd Sci. 

Sériais^ 

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